В круге первом. [Парадокс]
Эпиграф:
А.Иванов, пародия на поэта Ю.Ряшенцева
Заколдованный круг
Площадь круга… Площадь круга… Два пи эр…
— Где вы служите подруга?
— В АПН…
Юрий РяшенцевГоворит моя подруга чуть дыша:
— Где учился ты, голуба, в ЦПШ?Чашу знаний осушил ты не до дна
Два пи эр — не площадь круга, а длина,
И не круга, а окружности притом
Учат в классе это, кажется, в шестом.Ну поэты! Удивительный народ!
И наука их, как видно, не берёт
Их в банальности никак не упрекнёшь,
Никаким ключом их тайн не отомкнёшь.Все б резвиться им, голубчикам, дерзать…
Образованность все хочут показать…
Итак, как обещано в эпиграфе, шестиклассного образования вполне достаточно! Достаточно, чтобы получить шанс отправиться в психбольницу при разрешении следующего геометрического парадокса.
Впрочем, здесь нечего даже формулировать. Достаточно взглянуть на рисунок, где изображен один полный поворот круга радиуса Ry, "катящегося" по прямой. Внутренний круг с радиусом Rx делает, естественно, тот же оборот. Вот и всё.
Ну, разве что... длина развёрнутой от такого оборота окружности (YY') от большого круга оказывается равной длине окружности внутреннего круга (XX'). А так, в остальном, всё ОК !
- Vadim Sakovich
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Хорошо. Заменим "принципиально некорректно" на "излишне": при обсуждении аксиом конкретной теории следует ссылаться только и исключительно на логику данной теории, то есть логику, в которой доказываются теоремы и не доказываются аксиомы. А какая она там эта логика - дело десятое.
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 13:05, ссылка
Базовый посыл моего поста был вне этого нашего маленького диспута о некорректности вашего "принципиально некорректно"
Он про другое.
Он про доказываемость аксиом.
Мой тезис -- аксиомическое высказывание нужно доказывать на его аксиономичность.
Т.е. аксиома не есть теорема.
Ну это как бы общее место - минимизировать число аксиом в теории, то есть оставить в аксиомах только те, которые нельзя вывести из других. Но это больше не про структуру теории, а про ее кухню, то есть не имеет отношения к "проблеме" "доказательства аксиом".
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 15:00, ссылка
Так камень преткновения в тезисе - аксиомы надо доказывать - был не в структуре или кухне теории.
И в этом контексте (мною сформулированном) --
ДА!
Аксиомы надо доказывать (доказывать не как доказываются теоремы, а доказывать невыводимость высказывания, тестируемого на аксиономочность высказывания из др. аксиом по правилам из области знания, к коему тестируемое высказывание принадлежит)
Это игра в слова.
Аксиома не доказывается. Можно только доказать, что выражение, претендующее на роль аксиомы в теории не является аксиомой, то есть выводится из других аксиом. Но эту процедуру принципиально нельзя назвать "доказательством аксиомы". Она называется доказательством теоремы.
Доказать же обратное, что аксиома не выводима нельзя. (Возможно я ошибаюсь, приведите примеры доказательства невыводимости аксиом).
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:04, ссылка
Мы с вами про одно и то же. Но разве доказательство невыводимости высказывания следует обзывать др. словом?, Т.е. подобное вдруг перестаёт быть доказательством?
) для некоей "аксиомы" будет найден в рамках др. утверждений и правил в заданной области знаний, где это утверждение изначально было аксиомой, выводимость ея -- всё, кирдык аксиоме.
Но ежели вдруг (а ну как случится такое горе
По этому пункту у вас будут возражения?
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:04, ссылка
К своему ссылка на ваш
Добавлю.
К моему сожалению и с прискорбием сообщу, - то что я пропишу далее -- возможно будет не совсем на языке принятом при описании математических выкладок. Но знатоки поправят (надеюсь)
1. Различают счётную бесконечность и бесконечность континуальную.
2. Строго доказано -- доказать наличествование неких промежуточных бесконечностей невозможно!
3. И также строго доказано -- доказать полное отсутствие подобных промежуточных бесконечностей невозможно тоже.
В начинающей своё развитие области знаний, получившей пока название - теория выводимости - отсутствие выводимости у аксиом -- либо уже есть как подраздел, либо это подраздел безусловно будет.
Необходимость этого уже назрела.
Возможно назрела.
А пока я исхожу и того, что можно доказать, что аксиома не является аксиомой, а представляет собой теорему (что естественно, если есть доказательство), но нельзя доказать, что аксиома является аксиомой.
Это правильно. Но проблема совсем в другом. Ведь когда говорят, что "аксиомы доказываются" или "аксиома требует доказательств", или и.т.д. то дело совсем не в сути сформулированного того или иного выражения в тексте аксиомы.
Дело лишь в несогласии axby1 с использованием русского или любого другого языка! Ведь значение слова аксиома подразумевает именно то, что принимается без доказательств (в отличие от теорем).
И получается, что он возражает этим идиотам - носителям родного языка - в том, что они ложку называют ложкой, а вилку - вилкой. То есть, он просто претендует на то, что тот предмет, которым мы кушаем бульон надо обозначать словом вилка, а тот предмет, с помощью которого мы кушаем спагетти - ложкой.
Другими словами, поцоватое население не понимает своего счастья - им бы переименовать слово аксиома на то, что доказывается, и - считай - коммунизм уже в кармане! Единственный просчёт, который делает axby1, заключается в том, что он не предлагает этим идиотам отдушину - какое-нибудь слово, которое обозначает нечто, не требующее доказательств. Ну, и ещё мелочь: ему надо бы сказать (после введения нового значения слова аксиома) в какую жопу теперь надо засовывать слово теорема.
Добавлю
Логикой теории аккурат и является свойство набора правил этой теории согласно которому возможна теореметрическая выводимость результатов, отличных от значений аксиом теории (не постулатов в общем случае).
boldachev :
Тут уже не возникает никаких сомнений в том, что мою позицию Вы извратили намеренно - думаю Вы прекрасно понимаете что я не считаю эту фразу безграмотной и могу привести исчерпывающие тому обоснования :
Если Вы считаете целенаправленное искажение слов собеседника грамотным подходом к ведению дискуссии, тогда не обессудьте если и по отношению к Вам другие тоже будут так поступать. К тому же своими действиями Вы противоречите сами себе : с одной стороны утверждаете о том что каждый имеет право на свою "понятийную сетку", а с другой пытаетесь всеми правдами и неправдами навязать остальным свою персональную терминологию, выбирая из толковых словарей только те определения которые удобны Вам и называя "безграмотными" любые не соответствующие Вашим субъективным предпочтениям.
Извините, вы вроде бы вполне однозначно написали:
Разве этим текстом вы не сообщаете нам, что
Разве не это то, что вы хотели написать? Мы можете уточнить, что я извратил в изложении вашей позиции.
Уважаемый axby, вам никто не запрещает иметь собственную понятийную сетку. Даже с терминологией полностью противоположной общепринятой. Но иметь собственную понятийную сетку означает одно - ее надо иметь, то есть уметь описать используемые понятия. Так вот, сколько раз я ни просил вас пояснить, в каком значении вы используете термин "аксиома", какое понятие вы им обозначаете, но так и не дождался. Поэтому приходится использовать общепринятую терминологию, в которой фраза "доказанная теорема" является нонсенсом.
Нет, это явно притянутая за уши интерпретация моих слов, которая может свидетельствовать лишь о крайне невнимательном прочтении Вами моих комментариев. У Вас ведь тоже не вызывают восторга случаи приписывания собеседником Вашим словам того чего в них и близко нет - то есть я не более чем апеллирую к соблюдению Вами собственных принципов. Я ведь не требую от Вас соучастия в развитии моих тем, единственная мысль которую я пытаюсь до Вас донести - так это то, что предмет для разногласий между нами отсутствует как таковой, и вся эта полемика раздувается Вами на ровном месте, а мною подхватывается из тех банальных соображений, что мне не нравится когда люди извращают мои мысли до неузнаваемости. Пожалуйста, прочитайте внимательно дальнейший текст - тогда и мне не придётся переживать по вышеупомянутому поводу, и у Вас не возникнет повода для забивания своего ОЗУ избыточной информацией.
Во избежание недоразумений предлагаю скорректировать это утверждение так :
Ну и чем оно Вас не устраивает ? Можете привести хоть малю-ю-сенький аргумент в пользу того, что подобная корректировка предложенной Вами формулировки хоть как-то скажется на формальной логике ?
На каком основании ? Я таких оснований не вижу по той простой причине, что мне известно общепринятое определение доказательства как "процедуры установления истинности". С этим Вы уже согласились :
То есть Вы не возражаете против того, что истинностной оценке аксиомы может предшествовать некая процедура подтверждения (установления) её истинности. Таким образом, имеем полное соответствие с общепринятым определением термина "доказательство", и думаю что в подтверждение этой мысли мне не составит труда привести длинный список определений, взятых из толковых словарей и прочих информационных источников - в общем всё как Вы любите. Так на каком основании Вы мне предлагаете отказаться от этой формулировки ?
Похоже что договорились - по крайней мере я не вижу для Вас возможности это отрицать, так чтобы не противоречить самому себе.
То есть я не вижу ни малейших оснований считать мою терминологию "противоположной общепринятой". Эта явно утрированная интерпретация моей позиции - на что я собственно и пытаюсь обратить Ваше внимание.
Выражению "описать используемые понятия" я предпочитаю словосочетание "определять используемые термины", причём делать это строго и корректно - то есть так как это принято в логике.
Но ведь это явное отрицание фактов, и об этом мы уже с Вами говорили :
Я не могу понять зачем Вам понадобилось раздувать эту проблему из ничего.
По крайней мере я обосновал ту причину, по которой в общепринятой терминологии эта фраза не является нонсенсом, причём эти обоснования были достаточно строгими, а не так - на уровне моих субъективных предпочтений. Ваша же оценка, напротив - является явно предвзятой и создаёт лишь видимость недоразумений, возникающих между нами по этому поводу. То есть я с Вами даже не спорю, а пытаюсь донести до Вас ту мысль, что спорить нам попросту не о чем.
Извините, но вы действительно банальный шулер: написать фразу "возможность объяснить истоки происхождения её формулировки", а потом утверждать, что вы имели в виду "процедуру подтверждения (установления) её [формулировки] истинности".
Извините, что рискнул ответить на ваш комментарий, в котором, как мне показалось, вы заняли волне здравую позицию. Оказалось, что это была очередная подтасовка.
Успехов
Вы опять всё извратили : я не отождествлял эти утверждения а говорил о том, что второе следует из первого на основании общепринятого определения доказательства как "процедуры установления истинности". Процедура есть ? Есть, по крайней мере вполне допустима - Вы сами это подтвердили. Для чего она нужна - так, для мебели, или для подтверждения истинности формулировки аксиомы ? То есть я просто подставил те факты, против которых Вы не возражаете, в общепринятое определение доказательства. Получается что Вы запрещаете мне пользоваться определениями по их прямому назначению. Ну и кто из нас после этого шулер ? И какой тогда толк от этих определений, если ими не пользоваться а тупо складировать их как бесполезный информационный балласт ? Думаю Вы просто не разобрались в сути вопроса, иначе не реагировали бы на мои комментарии на уровне автоматизмов. Максимум к чему Вы можете здесь апеллировать - так это к тому, что одно общепринятое определение противоречит другому. То есть по меньшей мере этот вопрос неоднозначен и требует разрешения возникшего противоречия. Я Вам предложил наиболее простой выход из этой ситуации :
А Вы опять перевели всё на полемику, даже не задумавшись над тем что описанное мною терминологическое несоответствие имеет место быть и как следствие требует разрешения. Получается что Вы не допускаете в этом вопросе компромисса и пытаетесь всем навязать свою персональную понятийную сетку. Я бы может и рад интерпретировать Ваши слова как-то по-другому, но своими ответами Вы просто не оставляете мне выбора.
А вот я - такой упрямый - задаю этот вопрос. Представляете, какой я нехороший? Было так удобно, а я взял и все испортил.
А вы можете ответить на вопрос: что такое линия?
Это тавтология.
Точка пересечения двух прямых - это граница чего? Что такое точка пересечения?
Да, это, по ходу, только моя личная проблема.
Общепринятого определения точки не существует.
Не "точка пересечения", а просто "пересечение". И вот это самое пересечение и следует называть точкой.
А с границей все предельно просто: граница между двумя частями прямой (как граница на плоскости - это граница между двумя частями плоскости). И пересечение определяется как взаимное ограничение двух прямых.
Кстати, возможно обойтись и одной прямой и дать такое определение точки: точка это граница делящая прямую на две части. Далее части прямой отбрасываем и остается точка.
Хотя возможно для того, чтобы не вносить произвол (а откуда взялась эта граница?) лучше говорить о получении этой границы при пересечении прямой другой прямой.
Надо подумать.
Миллион раз встречал словосочетание "точка пересечения". И чего проще сказать, что точка пересечения - это место пересечения двух прямых. Но Александр не разрешает нам такое дикое преступление, и поэтому придется говорить, что точка пересечения - это граница четырех полупрямых.
А вот одна из аксиом геометрии говорит, что какова бы ни была прямая, существуют точки, которые ей принадлежат, и точки, которые ей не принадлежат. Подставим вместо точек границы и получится черт знает что.
Да, лёгкого перехода не будет.
Вы же писали мне про мои мысли - вот я акцентировал ваше внимание на том, что в предложенной мной схеме (и только в ней) некорректно говорить "точка пересечения". А вы "дикое преступление"... караул-караул)
А что такое "пересечение"? Чем это понятие яснее и очевидней, чем начальное понятие "точка"? Ведь ежели вы понятие "точка" объясняете посредством понятия "пересечение", то именно "пересечение" должно быть исходным понятием геометрии, а "точка" - определяемым.
И откуда вам известно, что место пересечения двух линий не может представлять собой несколько точек? В аксиоматической философии, к примеру, две линии могут пересекаться в одной, двух, трёх точках. То есть это общие точки, принадлежащие обеим линиям. Всё зависит от угла, под которым прямые пересекаются, а также от кривизны линий, если это не прямые.
Пенсионер, 27 Октябрь, 2018 - 09:03, ссылка
Да.
Всё зависит от исходных аксиом.
В вашем случае - на каких аксиомах ваш тезис будет соблюдаться?
Философий много. И чего там только не встретишь. Сами понимаете, что это не аргумент.
Правильно понимаете. Ведь это очевидно, что аксиоматика может быть любой. Можно принять за исходное понятие точку и прямую, а можно - пространство и границу. Что-то принимается за непосредственное неопределенное, не определяемое начало, а остальное уже выводится.
И тут спасибо и Дмитрию ("Можно различать два понятия: точка и граница. И тогда проблем не будет. Граница не имеет протяженности"), и Юрию Павловичу ("Вообще-то, по-моему, вся геометрия - о границах. Границами являются и точки, и прямые (да и вообще линии), и плоскости (да и вообще поверхности)").
Чем лучше оперировать границами? Как минимум тем, что не приходится извиваться при попытке дать ответ на законный вопрос: а сколько точек в 1 см, если он состоит из точек. В описании геометрии, через границы отрезок это линия между двумя границами на прямой. Можно и нужно, конечно, писать "между двумя точками", но имея в виду, что точка - это граница на линии. У этой границы, как и у каждой границы нет протяженности.
Итак, давайте попробую повторить еще раз:
Далее еще одни важный момент: отмечаем, что точек (границ) на линии может быть множество. И если мы выделим на линии одну из точек, то все остальные точки на линии относительно нее будут характеризоваться неким свойством, который можно назвать удаленностью. То есть некоторые точки на линии будут менее удалены (ближе) от выделенной точке, а другие более удалены (дальше).
Теперь можно ввести понятие "расстояние между точками". Для этого отметим, что границы областей (точки) на разных линиях могут совпадать и линии с совпадающими точками будем называть пересекающимися. Понятно, что линии могут пересекаться во множестве точек. То есть через две точке на некой линии может проходить множество других линий и на каждой линии из этого множества удаленность одной точки от другой будет разная. И среди всех линий найдется такая, на которой удаленность точек друг от друга будет минимальной. Эту линию будем называть прямой (по крайней мере на отрезке между двумя этими точками).
Можно еще шлифовать, но и так очевидно, что такая схема ввода геометрический понятий менее противоречива и более стройна, чем традиционный подход с суммированием точек.
Я не знаю другой аксиоматической философии, кроме дихотомической. Если вам известно что-то на этот счёт, сообщите.
Во всём остальному соглашусь с вами, хотя, если судить строго логически, это только первые шаги на пути построения вашей аксиоматической теории, но ещё не сама теория.
Намекну, что вы занимаетесь определением частей, отдельных элементов общей категории "пространство", но само пространство у вас не определено. А традиционные представления о нём слишком размыты, чтобы обошлось без противоречий типа колеса Аристотеля или числа точек пересечения секущей в зависимости от наклона прямой.
Готовлю сообщение на эту тему, это принципиально важно - разобраться в том, что такое пространство и как оно устроено. Евклид здесь очень многое не договорил. Сегодня этих школьных представлений явно недостаточно. Задачи физики всё более усложняются и углубляются в микромир, а наше понятие "пространство" - всё такое же туманное, интуитивное и неопределённое.
Пенсионер, 27 Октябрь, 2018 - 12:51, ссылка
Помимо различных правил построения любых дефиниций, - у любой дефиниции есть так же и прагматическая составляющая (именно та, которая и определяет ответ на вопрос -- это вы про что собсна?).
Т.е. ежели некая дефиниция вдруг непонятна в данной аудитории, для которой эта дефиниция была сформулирована -- аудитория вправе конкретно попросить у дефинатора уточнение (одно ли неск), но не надо требовать от дефинатора дефиниций по всем составляющим словам сформулированной дефинатором его дефиниции. Ни к чему кроме увеличения количества букафф это не приведёт.
(мелким шрифтом:
а ежели ещё и наложить запрет на синонимы и повторные термины в зависимых высказываниях -- задача не решаемая вприцыпе
конец текста с мелким шрифтом)
Не могу удержаться от подкрепления Вашего актуального и злободневного высказывания своим наглядным и поучительным примером :
Конечно, не определено и определено быть не может, поскольку принимается за базовое понятие. Но в отличие от традиционной геометрии, где не определены ни точка, ни прямая, ни плоскость, понятие "пространство" не используется в построениях и доказательствах. Так что эту неопределенность пережить легко)
В колесе Аристотеля нет никаких противоречий, перед нами банальная история использования терминов без их определения.
А что там за проблема с точками пересечения? Не сталкивался.
Это вообще не теория, а просто схема корректного ввода основных понятий в геометрии, в которой не требуется иметь ясное представление о пространстве (все теоремы доказываются без этого).
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 11:16, ссылка
Но вы же уже же и прям тут же, это "неопределяемое" понятие и определили.
Тут, следовало указывать -- неопределяемое по типовому правилу [род-вид-отличие]. На то действительно есть причина, но неопределяемое согласно правилу [род-вид-отличие] вовсе не означает -- неопределяемое вовсе. Просто для определения термина который вне [род-вид-отличия] применяют др. методы построения дефиниций.
Тут скорее речь не про то, а можно ли хоть как-то определить, а про то, что в геометрии это определение не требуется. Достаточно представления, что пространство есть то, где реализуются геометрические построения.
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:18, ссылка
НЕ СОГЛАШУСЬ.
Без априорного контекста о том, про что писал Дмитрий в Дмитрий, 27 Октябрь, 2018 - 13:42, ссылка
говорить о введении пространства в геометрию бессмысленно.
Ответ в ответе Дмитрию.
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 17:58, ссылка
Мы, к сожалению, не на первой странице топика.
Найти ваш ответ без доп. указаний я не могу.
Скопипастите тут плз, пару - тройку слов из вашего ответа Дмитрию и ... будет мне щастье
Это вопрос предметной области и аксиоматики. Насколько важно упоминание однородности и непрерывности пространства для геометрии? Я подумал и не придумал, в каких теоремах используются эти понятия. А если не используются, если ни на что не влияют, то зачем их вводить?
Трехмерность также нигде не фигурирует, как самостоятельное понятие. Эта трехмерность получается автоматом при делении пространства границами на области: раз разделили - получили поверхности, два разделили - линии, и три - точки. То есть вводить специально трехмерность в определение пространства не требуется.
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 18:21, ссылка
Ежели под геометрией априорно подразумевать тока евклидовую -- то да.
Говоря тока о евклидовасти мы априорно подразумеваем и всю ту кучу знаний что этой геометрии присуще, но вот к примеру фрактальная геометрия -- сложно говорить и о однородности и о неразрывности и о ...
Там другие принципы. Причём эти др. принципы неподразумевают в качестве инструментов ни цыркуля ни линейки. Но это геометрия. Со всеми вытекающими для геометрии, кроме тех ограничений, про которые я уже приписал.
А кто запрещает строить геометрии в принципиально случайно затасованных подпространствах, количество которых изначально либо оч. много, либо принципиально неопределено?*
Вопрос ведь не в том, де - пока нет -- значит и невозможно и никто и никогда подобной задачи и не поставит и не решит.
, в принципиальной возможности подобной темы.
Вопрос, он в другом
А из этого следует, что в самом-самом общем случае, надо, как минимум, дать сноску на тот класс геометрий (их свойств, качеств, операционных правил, допустимые вх/вых значения итд), про которые будет дальнейший спитчъ.
* сие я без учёта прагматики, т.е. без ответа на вопрос -- ЗАЧЕМ?-
Но ведь понятно, что задача не ставилась в общем виде. Речь зашла только об евклидовой геометрии.
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 19:12, ссылка
Коли так, то возражений нет
Но тогда непонятно -- о чём диспут в вопросе о пространстве и ваши уточнения по этому вопросу?
Ну да ладо.
Спасибо.
Мне если что это тоже непонятно. Обычно когда мне что-то непонятно я начинаю об этом думать. Начинаю я об этом думать отсюда :
Следующим шагом прихожу к такому выводу (думаю что промежуточные рассуждения Вам здесь не понадобятся) : пространство определимо в геометрии ровно настолько, насколько определимо в алгебре число - то есть где-то в бесконечно-далёкой перспективе развития математики. Так далеко я заходить не буду, а сделаю наоборот - опишу несколько первых итераций в сторону дефинируемости этих фундаментальных математических абстракций.
Прежде всего числа можно сравнивать, получая в качестве результата ответ на вопрос "кто слева а кто справа" расположен на числовой оси - отсюда натуральный ряд. Как только мы узнаём о сложении и вычитании, наши представления о числах расширяются до "целых" ; об умножении и делении - до "рациональных" ; о степенях и логарифмах - до "действительных". Там по дороге попадаются интересные случаи вроде "нуля в знаменателе" и "корня из минуса", но расписывать весь процесс развёртки алгебры до текущего её состояния в мои планы не входило - так, сопровождаю исходный тезис картинками, пытаясь показать что с геометрией происходит по сути та же фигня : первое представление о пространстве мы получаем из числа "ноль" в показателе пространственной размерности, потом идёт прямая (алгебраическим аналогом которой выступает координатная ось), потом ортогональное пространство, потом случаи нарушения этой ортогональности, потом случаи пространственной дробномерности (думаю что названия соответствующих разделов Вам здесь не понадобятся), ну а такую гадость как "мнимая пространственная метрика" я ещё не пытался себе представить. В промежутках своего развития теория разбавляется "кривыми линиями и поверхностями", "сферической системой координат" и прочими антитезисами прямолинейности, и аналогичную тенденцию можно проследить в развитии представлений о числе на примере, скажем, тригонометрии как антитезиса "прямолинейным элементарным функциям" (ну или как они там называются - в диапазоне между постоянной и логарифмической) в противовес "циклическим".
На этом вопрос об определимости геометрического пространства я полагаю исчерпанным. Это вдогонку к Вашему здесь : Один, 27 Октябрь, 2018 - 16:08
Добавлю
А это и есть априорный контекст.
boldachev, 27 Октябрь, 2018 - 11:16, ссылка
Все замечательно, вот только пункт 7 какой-то непонятный и пункт 12 тоже.
Сколько в геометрии говорят о точках на поверхности, и это значит граница на линии, но линию для дальнейших рассуждений можно убрать и оставить одну точку - дырка от бублика какая-то. В общем, я пошутил про то, что все замечательно.
Вы берете пространство в качестве исходного понятия. А исходное понятие - это, стало быть, неопределимое понятие? Просто, по ходу дела, я ведь тоже беру его в качестве исходного. Только в понятии пространства я, кажется, кое что мыслю. Мы же приписываем этому пространству какие-то признаки: однородность, непрерывность, трехмерность. Пространство - это трехмерная протяженность. И вот я выбираю в качестве меры точку. А вы, прибавляя к пространству понятие "граница" (тоже ведь какая-то протяженность :) ), образуете понятие поверхности.
Я готов предложить такой вариант (только как вариант). Пусть точка - это граница. Единицей протяженности будет минимальная удаленность (хороший термин) между двумя границами. Прямая - это линия бесконечной длины. Линия одномерна. Далее мы прибавляем второе измерение и говорим о двумерных объектах, затем трехмерных.
Дмитрий, 27 Октябрь, 2018 - 13:42, ссылка
Любая дефиниция формулируется текстом на исходном (принятом в аудитории) языке*.
Дефиниция по пп.7 у boldachev-а сформурирована по классической схеме типо: род-вид-отличие.
Сформулированна однозначно. Что именно вы в ней не поняли?
А с чего вы решили, де у boldachev-а что-то в контексте иначе? Читаем
Ну неск. др. словами -- а замысел тот же**
* язык - это не только набор слов-терминов, но и набор правил, определяющий и очерёдность употребления слов в тексте и безусловную связь текста с некоторыми априорными знаниями аудитории, знаниями контекста, - если угодно.
** я не буду тут акцентировать смысл на том, что пространства могут быть и мерностями, отличными от 3-х, вплоть до мерностей дробных, отрицательных, мнимых итд
Эта вспомогательная, чисто математическая абстракция, называемая нами - пространство - может иметь любые вспомогательные и нужные нам же для наших дальнейших действий признаки-атрибуты-свойства.
Вы всё стараетесь выйти на единицу размерности протяжённости? Я сегодня тоже над этим думал. В итоге пришёл к тому, что точки должны быть трёх видов: линейные, плоскостные и объёмные.) А ещё между ними нужно некое количественное соответствие. Типа того, что одна объёмная точка содержит в себе столько-то плоских, а те в свою очередь содержат в себе столько-то линейных.) В общем, в итоге понял, что абсурд получается.(
Так что, как не крути, точка всегда одна, и размер у неё один, а размерностей у неё столько, сколько нужно в данном конкретном случае.
Юрий Павлович и..., 27 Октябрь, 2018 - 15:31, ссылка
Когда мы говорим за геометрию (ту ли иную) мы забываем о неразрывной связке [геометрия ⇔ алгебра], забываем о том, что геометрия -- это визуализация алгебры.
Всё то, что можно с помощью инструментов типо цыркуль и линейка в геометрии - всё это можно отобразить и в алгебре набором правил ея.
И уже из отсюда получаем:
решением уравнения X³=0 будут 3-и одинаковых корня (согласно тому, что решением уравнения 3-ей степени всегда 3-и корня).
Следовательно -- пересечение графиком функции X³ оси 0Х будет в 3-х неразличимых точках.
Неразличимо, значит они все три сливаются в одну? Но при этом их всё равно три? Если да, то как это можно понять? В смысле, одна точка вмещает в себя ещё две точки?
Юрий Павлович и..., 27 Октябрь, 2018 - 16:25, ссылка
Это следует понимать в контексте того что связка [геометрия ⇔ алгебра] и однозначна и неразрывна и учитывать алгебраическое правило
не мною придуманное
Когда они уже научатся отличать глагол "зрить глазом" от глагола "зрить умом"
Смотрите: у вас ведь не возникает мыслей, что и линия должна быть плоскостной и объемной, а почему же точка обязана? :)
Тут все дело в измерениях. Ведь пространство - это протяженность по всем направлениям, так сказать. В общем случае пространство n-мерно.
А протяженность вообще мыслится только как в одном каком-то направлении.
Линия - это длина (граница это или не граница), просто протяженность без ширины и высоты. Мы в данном случае как бы отвлекаемся от всех прочих измерений. Если у линии появится вдруг ширина, то это некий многоугольник получается с длиной такой-то и шириной. А потом еще добавим измерение высоты и тогда это какой-то параллелепипед получится. :)
А точка - мне удобнее взять ее за минимальную длину, хотя если следовать логике выше, то точка - это вообще безразмерная величина, т.е. ничто. Условная отметка в пространстве.
Вот-вот. Т.е. в итоге все пришли, хотя и разными путями, но к одному.
Все можно убрать)
Но задача стоит в определении: как нам однозначно отличить точку на поверхности от точки вне поверхности и при этом обойтись без представления, что поверхность состоит из точек. И определение тут вполне строгое: точка является точкой на поверхности, если она является точкой/границей линии, которая в свою очередь является границей области на этой поверхности. Под это определения подпадают только точки поверхности и ни одна точке вне поверхности.
А идя по вашему пути можно сказать что и саму поверхность можно убрать.
Схема предлагает отойти от практики тыкать карандашем или мелом в пространство, мол куда ни попадешь - везде точки. Точка - это граница на области поверхности, и чтобы не промахнуться в пространстве мимо поверхности, сначала надо задать линию, а на ней уже точку. (Понятно, что мы все равно будем тыкать, но значить в построениях это будет другое).
Это вопрос предметной области и аксиоматики. Насколько важно упоминание однородности и непрерывности пространства для геометрии? Я подумал и не придумал, в каких теоремах используются эти понятия. А если не используются, если ни на что не влияют, то зачем их вводить?
Трехмерность также нигде не фигурирует, как самостоятельное понятие. Эта трехмерность получается автоматом при делении пространства границами на области: раз разделили - получили поверхности, два разделили - линии, и три - точки. То есть вводить специально трехмерность в определение пространства не требуется.
Ну вот перед нами пространство и мы разделили его на две области, чем определили границу/поверхность. Где здесь протяженность? чего протяженность? У границы нет никакой толщины, ну и подавно нет никаких других размеров.
А "минимальная удаленность" это сколько? Ноль? Меньше вроде некуда.
А кривая линия не может быть бесконечной длины? Да еще надо объяснять, что такое бесконечность)
Это про что? Что вы обозначаете термином "мерность", какое понятие? Нельзя же просто так с потолка брать слова.
Говорим? А как строим? Как нам получить поверхность имея представление о линии?
Экзотическая схема. А вот как по старинке: дана, например, прямая и точка, не лежащая на данной прямой, и надо узнать кратчайшее расстояние от точки до прямой. Опускаем через точку перпендикуляр на данную прямую и получившийся отрезок и есть кратчайшее расстояние. А у вас надо оговаривать, что есть не одна прямая, а две, на одной из которых лежит исходная точка и что через эту границу проводится перпендикуляр. Ну, если вам так удобно - да ради бога.
А насколько важно упоминание границ? Насколько я знаю, термин "граница" (пространства, поверхности, линии) тоже не используется в аксиомах и теоремах. Используются только точки, прямые и проч.
С непрерывностью и однородностью - бог с ними, а вот с трехмерностью... Это как это - автоматом? Автоматом или не автоматом, но трехмерность все-таки подразумевается. Такое понятие в геометрии есть. Или объясните, чем планиметрия отличается от стереометрии.
Я понимаю, когда говорят о безразмерности точки, но безразмерность границы... Позвольте, у нее есть длина как минимум.
1 миллиметр, 1 нанометр, бесконечно малая - выбирайте что вашей душе угодно. Но не ноль, конечно.
Начинаются танцы с бубном? :)
Видимо, слово "трехмерность" вы слышите впервые. Просто так взять с потолка слово "пространство" можно, а "трехмерность" нельзя. Хорошо, а такие понятия как "длина", "высота" и "ширина" в геометрии, я надеюсь, еще используются? И вообще, чем пространство отличается от просто протяженности? Или для вас это совершенные синонимы?
Точно так же, как нам получить линию имея представление о безразмерной точке. Никак. У линии есть только длина и последовательность линий нам не дает ширины. Мы вводим второе измерение - ширину и получаем, например, квадрат, границей которого являются линии. Вводим третье измерение и получаем, например, куб, границами которого являются квадратные грани.
Конечно, я об этом думал. И отмечал уже выше, что конечно же, все будут тыкать в доску мелом и опускать перпендикуляр на прямую. Я ничуть не хочу запретить это делать. Проблема же не в том, какие слова мы произносим при доказательстве теоремы на доске перед классом. Решается же задача теоретического обоснования основ геометрии - как не впадая в ересь суммирования того, что не имеет размеров, ввести основные элементы геометрии.
Кстати, по поводу перпендикуляра, который опускается из точки: как ни крути при всех построениях (которые начинаются постановкой точки) на доске после доказательства теорем не остается ни одной точки, через которую не проведена линия. То есть после завершения построений все точки оказываются именно и только на линиях, то есть должны трактоваться как границы (даже центр окружности, если он нужен в построениях ставится на радиусе или диаметре, а если болтается как в проруби один, то значит и не нужен в построении).
Ну что вы) Надо ж различать одно дело ввести понятие (граница) и с его помощью дать определения основных элементов геометрии, а другое, просто для красного словца упомянуть однородность и потом ни разу не сослаться не нее.
Мы же рассуждаем о конкретных схемах вывода: в моей схеме граница занимает центрально место, а непрерывность не понадобилась. Так зачем мне ее поминать? Ведь не стоит задача упоминать все, что мы знаем о пространстве. Если в вашей схеме вывода понадобится использовать "непрерывность" - смело вводите ее в определение пространства.
Тут же та же история: если бы, скажем, для утверждения, что поверхность является границей областей пространства, нельзя было бы обойтись без уточнения, что именно трехмерного пространства, то обязательно бы ввел бы эту трехмерность в описание пространства. Но обошелся.
Делим пространство на две области границей-плоскостью, где здесь длина? Между чем и чем будем измерять длину?
Но мы же с вами не на кухне и не борщ обсуждаем.
Вот так и с "парадоксом" Аристотеля: ну зачем определять, что такое качение, развертка, без скольжения - ведь не в первый раз эти слова слышим.
Это геометрия - аксиоматическая теория. А не философия, где можно рассуждать о том, что только где-то слышал.
И опять повторяю: это аксиоматическая теория, и при первом упоминании термина "пространства" я долго оговаривал, что таки да, оно взято с потолка, поскольку так положено и допустимо, что исходные понятия не определяются. Но вы-то этого не сделали, а просто так вставили по ходу неизвестный термин.
Используются. Но там где у фигуры есть "длина", "высота" и "ширина". И для того, чтобы ввести эти габариты совсем не надо ссылаться на трехмерность пространства. Вы, видя перед собой прямоугольный параллелепипед, не станете делать логическое заключение: поскольку пространство трехмерно, то три отрезка исходящих из одной вершины назовем "длина", "высота" и "ширина" - вы их просто назовете, потому, что их просто три, а не четыре.
Не понял вопрос. Протяженность - это протяженность чего-то, расстояние между точками, а пространство это то, в чем дана эта протяженность, в чем даны эти точки. Как можно спутать эти понятия?
Прямо магия какая-то) Вводим измерение и ... получаем квадрат. Брюки превращаются, брюки превращаются...
Хорошо, хорошо... Только на костре меня не жгите. "Ересь суммирования"... :))
Я понимаю. Я просто хотел сказать, что в понятии пространства мыслится что-то определенное, что это понятие можно проанализировать и получить более общее понятие протяженности, например. Не знаю как вы, а я в понятии пространства мыслю протяженность. Сказать "пространство есть нечто протяженное" для меня как масло масленое. Разве бывает непротяженное пространство? (геометрическое пространство имеется в виду) Пространство - это протяженность плюс еще что-то, что и делает эту протяженность пространством. Это что-то - трехмерность. Ну по моим понятиям так, как по вашим - не знаю, но я ничего не навязываю.
Вы так и не ответили, чем планиметрия отличается от стереометрии? Чем пространство отличается от поверхности? Можно просто сказать: пространство трехмерно, а поверхность двумерна, но не будем все усложнять. Просто скажем, что вопрос бессмысленный и отвечать на него не надо. :)
Между точками на линии на границе-плоскости. :) Или граница-плоскость у нас безразмерна, как точка?
А это исходные понятия (высота, длина...). Они исходные не потому, что я так захотел, а потому, что они не поддаются дальнейшему анализу. Ну как я вам определю, что такое протяженность? Что такое длина, ширина, высота? Всему же должен быть предел. Если вы не понимаете, что такое трехмерность, так я вам и не объясню никогда, как бы не старался.
А если бы этих отрезков было пять? Мне тогда еще два измерения вводить? Пространство трехмерно и все, что находится в пространстве, имеет длину, ширину, и высоту - неважно сколько там отрезков исходит из вершины многогранника.
Протяженность данная в пространстве. Круто.
Эта удивительная магия называется "абстракция" или "абстрагирование". Я этой магией давно увлекаюсь. Потом объясню.
Но мы же не статью для толкового словаря пишем, а ищем минимально достаточное основание для начала логических построений.
Пространство - это исходное неопределяемое в геометрии, но интуитивно понимаемое как то, в чем происходят геометрические построения, понятие. А поверхность - это граница между двумя областями пространства. Мне не потребовалось упоминать мерность.
Ну если она граница, то какие у нее могут быть размеры? Толщина? И точек на ней никаких нет, пока кто-то не станет, что-то строить из линий.
Высота и длина прекрасно определяются после введения понятия отрезка.
Я прекрасно понимаю, что такое трехмерность. Но мне она не нужна для ввода геометрических понятий. Эта самая трехмерность скорее вывод из геометрии, чем ее теоретический (!) базис: вижу, что для фиксации относительного положения точек достаточно тех значений (расстояний до трех осей) и делаю вывод о трехмерности. Но не наоборот.
Протяженность пути, протяженные предметы... Протяженность - это синоним размера, расстояния. И эти самые протяженности/размеры/расстояния мы измеряем именно между точками, данными в пространстве. А вы как-то иначе используете слово "протяженность"? Объясните. Приведите статью из словаря, которая соответствует вашему пониманию этого слова.
Да, я понимаю. Но тут как-то больше про построения геометрических фигур.
Да. Я считаю, что это минимально достаточное основание для логических построений - понятия протяженности, длины, высоты и проч. Я не знаю, почему вы так против размерности. Наверное, надо напомнить, что геометрия - это все-таки математическая наука, где рассматриваются количественно-качественные отношения между протяженными объектами.
А мне потребовалось. И мой вариант ответа мне нравится куда больше.
Ну если она плоскость, то, наверное, как и у любой плоскости у нее есть длина и ширина.
Дайте определения высоты, длины и ширины.
А может, наоборот?
Предметы в пространстве протяжены и следовательно, пространство протяжено. А может, наоборот? Пространство протяжено и поэтому все, что дано в пространстве, протяжено? Я от общего делаю вывод к частному, а вы от частного заключаете к общему.
От плоских фигур в объемные, да?
Да я не против. Берите размерность и протяженность, а также длину и высоту за базовые понятия и стройте свой вывод. Я лишь отмечаю, что мне эта самая размерность не понадобилась. Вот и все.
Да. Ну если только вам так больше нравится) Всегда считалось, что плоскость, как и прямая не имеют размеров.
Я думаю, тема себя исчерпала. Спасибо.
Вот тут уж магия и волшебство: прямая не имеет размер, а отрезок, отложенный на прямой, имеет! :)
Скажем, на прямой я отложил отрезок в 1 см. Какой размер имеет прямая?
Начинаем танцы с бубном!
Ага. Докажем что у вашего оппонента пальцев(рук, ног) нет, как и всего прочего. Спросим, из скольких пальцев он состоит.. Когда не понимают или делают вид, что не понимают разницу между РазмеРностью(измеримостью) как таковой, и конечной,конкретной мерой, лучше пойти в управдомы(администраторы), там это без надобности.
Думаю, что речь надо вести не о размерах, а о мерности.
Т.е. пространство, плоскость, прямая и точка - это просто инструменты геометрии, несущие (отражающие) мерность при операциях абстрагирования. В смысле, они и есть мерность. Другого смысла у них, как инструментов, наверное, и нет. Пространство - это просто трёхмерность, плоскость - двумерность, прямая - одномерность, а точка - нульмерность.
А что тут думать? Просто надо читать:
Прямую можно продолжать бесконечно долго - это, кажется, один из постулатов. Почему же просто не сказать, что длина прямой бесконечна? Из страха к бесконечности?
Геометрия - это одна сплошная абстракция. Все эти прямые, плоскости, треугольники и т.д. имеют только одно единственное качество - протяженность. В физике уже можно говорить о телесности, непроницаемости, силе, скорости и т.д. И когда я представляю себе колесо, катящееся по опоре, на ум приходит механика этого катящегося колеса, а не геометрия.
Парадокс с колесом Аристотеля касается механики. Его всю жизнь рассматривали в механике, впервые он рассмотрен Аристотелем в работе "Механика", откуда вдруг понадобилась геометрическая трактовка? Может, еще и арифметически как-то объяснить попытаться? :)
Нет, страх тут, по-моему, не при чём.
Я имел в виду то, что мы привыкли забывать, что имеем дело с инструментами. Поэтому, да, хочется сказать, что линия - носитель одномерности. Вроде логично, но если вспомнить, что реальную кривую можно описать только как трёхмерный объект, то сразу возникают некоторые сомнения. Кстати, поверхность посчитать носителем двумерности уже сложнее, хотя топология этим с успехом занимается. Но мы ведь про геометрию.
В общем, по-моему, прямые и плоскости - инструменты, на которые мы что-то там проецируем, если нет возможности представить предмет в 3Д-виде. А возможность такая появилась не так давно.
Тут важно что называл механикой Аристотель и что сейчас называется механикой. Труд "Механика" я не смог обнаружить на русском языке. На английском (издание 1903 г) с множеством сносок и комментариев переводчика я не обнаружил ничего такого, что напоминало бы механику в современном смысле. Мало того, и рисунок тоже напоминает колесо только своей круглой формой.
Больше того, в самом тексте Аристотель оперирует словом circle (в переводе на ангилийский), а в слово "колесо" (weel) встречается только в алфавитном указателе, где даются ссылки на соответствующие страницы книги. Но на этих соответсвующих страницах нет слова weel, а есть слово circle.
Я так понял, что это просто такое прозвище парадокса. Возможно из-за того, чтобы не было исторической путаницы, т.к. есть крылатое выражение "Круги Архимеда", то в данном случае решили назвать это "Колесо Аристотеля".
Так вот. Окончательный, сногсшибательный, бьющий по голове вывод в этом парадоксе звучит как: длина окружности (circle) большого круга равна длине окружности маленького.
И вы, как я понял, прочтя этот вывод, сразу бросились со всех ног в... механику. Почему не в химию? :) Ведь это чисто геометрический вывод, ну прямо-таки на уровне начальной евклидовой геометрии за шестой класс. А ещё... тот факт, что триста лет назад дали объяснение этому парадоксу при помощи "скольжения" тоже должно настараживать. Ведь мы смотрим на окружности, длины которых вполне могут отличаться в десять раз, а скольжение при самом обычном, более менее равномерном качении колеса, внесёт свою поправку на 10% - 15%. То есть, шутка насчёт "искать в химии" не такая уж и утрированная.
Ещё было бы хорошо, если бы вы обнаружили ошибку в моём или Болдачева объяснениях парадокса в теме "Второй раз в круге первом".
А все ли мы границы рассмотрели? Просто что-то вспомнилось, что есть 6 степеней свободы. Да это из механики, но тут ведь парадокс вроде как с вращением связан, а мы что-то про вращение забыли. Соответственно, забыли про такие точки, как центр окружности, центр сферы, а также про такие линии, как например оси вращения. Они у нас границами чего являются? Или эти точки и линии - нечто инструментально-вспомогательное, к границам отношения не имеющее?
Не забыл. Просто остановился пока на этом.
Точка центра окружности - это граница областей (отрезков, радиусов) диаметров, которые они отсекают друг на друге. Но тут еще надо сами диаметры определить. Надо еще подумать.
Наверное, надо плясать от замкнутых областей. На поверхности или лучше сразу рассматривать плоскость (коль уж мы ее определили), так вот на плоскости могут быть открытие области и замкнутые. Замкнутая область ограничена линией, на которой отрезок (ограниченная область линии) образуется одной точкой. (Про круг буду дальше думать).
Да, но геометрия - вроде как застывшие формы. Видимо, движение тут рассмотрено как бы в неком законченном цикле. И всё-таки, по-моему, оно, движение, там как бы предполагается. Отсюда и центры и оси. Вот только достаточно ли внутри геометрии инструментов, чтобы решать парадоксы, подобные тому, что здесь рассматривают?
Движения, в смысле изменения во времени, в геометрии нет. А вот всякие отображения, смещения, повороты - есть. Но они не во времени.
Но я сам не особо хочу вникать в глубокие тонкости - моего любопытства обычно хватает на только на принципиальное решение. А оно вроде как состоялось - удалось описать основные элементы без привлечения гипотезы, что они строятся из точек, которые не имеют размера.
Что же здесь понимать, если не определено, то можно запихать туда всё что угодно, хоть протяженность, хоть идентификатор, хоть границу. Мне понятно ваше объяснение парадокса, но откуда у Вас на XX' сыпятся точки? Из пространства! Окружность малого диаметра это смеситель, на выходе отрезок XX', в которой насыпались точки, часть через вращательное движение (меньшая, всего десять), часть (большая, целых девяносто) через поступательное.
Я же предлагаю точко-пространство. Есть точка, значит есть и пространство. Если точка это граница, то у точки должно быть две стороны. На подобии гениальной глупости имеем: пространство это точка изнутри.
Точка, по ходу, даже не граница (если у границы должна быть размерность). Точка - это метка, флажок, который мы ставим там, где нам надо.
Это все абстракции и условности. Давайте без всяких точек: допустим, что длины малой и большой окружностей и длина отрезка ОО' соразмерны. Возьмем некоторый отрезок z, который целое число раз укладывается в длины окружностей и OO'. В длину большой окружности и в отрезок YY' он укладывается 100 раз, стало быть, длина большой окружности и YY' равны. А в длину малой окружности он укладывается 10 раз, однако при развертке мы получаем XX' равный YY'. Как такое получилось? Дело в том, что вращение малой окружности зависит от вращения большой. И когда большая окружность поворачивается на 10 отрезков z, малая окружность поворачивается всего на один z. Понимаете? :) Так же когда большая окружность поворачивается на десять z, она проходит поступательно десять z и малая окружность проходит поступательно десять z. Стало быть, когда малая окружность проходит десять z, она поворачивается на одну z.
Поскольку развертка получается тогда, когда за одну единицу оборота окружности, она проходит единицу поступательно, то отрезок XX' не равен длине малой окружности.
Заметьте, что я не употребил здесь никаких терминов: ни качение, ни скольжение, ни касательные, ни точки. И все-таки это механика, потому что описывается движение: вся суть парадокса в этом отношении поступательного и вращательного движения точек окружности. Без различения этих двух типов движения здесь ничего нельзя понять.
Да, я это заметил.
Круг можно переместить в любую точку на плоскости в любое положение, для этого сначала нужно сдвинуть, потом повернуть. Проблема с поступательно-вращательным движением возникает при любом вращении: чем дальше от центра, тем больше линейная скорость при одинаковой угловой.
Но при чем здесь закон тождества, к которому так усердно клонит автор темы?
Закон тождества здесь, действительно, ни при чем.
Чем парадокс отличается от софизма, знаете?
Если в ходе некоторого логического рассуждения мы получаем противоречивые выводы, то тут возможно только два варианта: либо ошибка допущена в самом рассуждении (и можно показать, что любая логическая ошибка сводится к нарушению закона тождества) и тогда это софизм, либо ошибка в посылках, на которых строится рассуждение и тогда это парадокс.
Колесо Аристотеля - это не софизм, а парадокс. Рассуждая строго логически, мы приходим к противоречивому выводу. Стало быть, какая-то посылка в рассуждениях неверна. Эта посылка: всякая окружность в ходе полного своего оборота всегда откладывает на касательной отрезок равный длине этой окружности.
Возражение: не всегда - малая окружность в данном случае не может отложить свою длину на касательной, потому что... и т.д.
Да, но что значит какая то исходная посылка не верна? Если минимальное количество посылок две, то при исключенном третьем при противоречии на выходе получится не парадокс, а констатация факта. Грубо говоря рассуждение на основе этих двух посылок можно смело отправлять в корзину вместе с посылками. Что мы и наблюдаем в природе: да пофиг америкосам все договоры по всем РСМД, в любой подходящий момент можно выйти из любого договора. Это значит, что исходные посылки могли по дороге к коммунизму скиснуть. А это в свою очередь означает, что логика здесь ни причем, или, другими словами, закон тождества это о другом, и он здесь действительно ни при чем.
vlopuhin, 29 Октябрь, 2018 - 05:48
Добавлю немного глупости к Вашей гениальности :
То есть дефинировать точку можно с равным успехом как левым (внутрь) так и правым (наружу) столбцом - как ни крути, а по д`Аламберу единица выходит.
То есть идеальная поверхность согласно ПМД это сфера с радиусом, равным единице?! Где то у доктора физико-химических наук Ким Сен Гука есть доказательство, хоть и не строгое (типа два мало, а четыре много) трёхмерности традиционного представления пространства. В самом деле, во-первых, любое уравнение любого количества переменных это всегда поверхность в трёхмерном пространстве, во-вторых, для задания любого направления в трёхмерном пространстве (например, при ориентировании антенны) достаточно двух моторчиков, а два это в ПДСК всегда плоскость (двухмерная поверхность). В любой точке двухмерной поверхности можно поставить два ортогональных вектора (обычная поверхность двухсторонняя). Но в математике существуют такие объекты, как односторонние поверхности (например, луч, лист Мёбиуса, бутылка Клейна). Тут уже моих мозгов не хватает, это уже что то из области исключенного второго, что то в роде "жопа есть, а слова нет", что то из разряда "делать бизнес, не отрывая от стула пятую точку".
Где Вы там увидели единицу ? Радиус либо нулевой, как и положено точке, либо бесконечный - что не "распирает" её до бесконечных размеров потому что ей просто некуда разворачиваться при нулевом количестве измерений. То есть я просто дополнил Ваш пример (нулевой радиус скольугодномерной сферы) инвертированным случаем. А единица ни о чём не говорит кроме того что точка одна - д`Аламбера это я так, "для красного словца" приплёл.
Это отдельная тема, которую я связываю с образованием стоячих волн в среде, пребывающей в состоянии непрерывного, повсеместного и взаимообусловленного движения - короче, "чистой воды топология". Здесь об этом подробнее :
Размер точки (радиус) насколько я понимаю здесь вообще ни при чем. По этому единица это в смысле есть, и не более того.
Да, именно так - указание на то что она "есть" и не более того (эт чтоб случайно не перепутать точку с "ничтом в собственном смысле"). Вообще говоря, по умолчанию её конечно лучше наделять как нулевым размером, так и нулевой мерностью. Ваша интерпретация ("изнутри наружу") удобна для перехода от точки к пространству - то есть для выражения той мысли, что потенциально она может развернуться куда и во что угодно. Как можно применить в рассуждениях "инвертированную версию", ассоциированную с продвижением "внутрь точки", я пока не задумывался - просто предположил что при случае такая абстракция может пригодиться.
Честно говоря, так и не понял, в чём вы увидели парадокс? Ну, видимо, тупой.
Да, заблокируйте своё колесо и тащите его с той же скоростью волоком. Можете даже на боку. И парадокс ваш сразу пропадёт. Ведь все точки колеса, о чудо!, пройдут то же самое расстояние, что и в первом случае, т.е. равное расстоянию, пройденному осью колеса.))
Различие между протаскиванием и качением будет в том, что при качении окружность большого круга разворачивает свою длину на касательную (выпрямляется) за один полный поворот. И тогда выходит, что и малая окружность выпрямляется за тот же поворот на параллельной касательной. И они оказываются одинаковой длины. Если перетаскивать, то этого не происходит, т.к. вы никого не удивите длиной окружности сделанной из "резинки" :) .
Нет, мой пример показывает, что никакого парадокса нет. Все точки колеса проходят вдоль плоскости движения одинаковое расстояние, что показывает и ваша схема.
Все эти вопросы, помнится мне, мы рассматривали в политехе, изучая машины и механизмы. Название предметов уже не помню. Может быть "кинематика", но не факт. Там были и схемы движения, даже отдельных точек, в том числе довольно сложные.
А здесь, по-моему, нужно рассматривать движение конкретной точки относительно опоры колеса, т.е. плоскости земли. И это движение будет, видимо, двусоставное: точки по окружности вокруг центра и смещение центра вдоль опоры (плоскости земли). В итоге для каждой конкретной точки получим, если возьмём целый цикл оборота вокруг центра вращения колеса, по-моему, некий эллипс, вытянутый вдоль оси движения в сторону движения. Чем меньше радиус у окружности, по которой движется эта конкретная точка по окружности вокруг центра (оси) колеса, тем более сплюснут будет эллипс, а у самой точки центра (оси) колеса будет максимальный эллипс траектории движения, т.е. прямая линия. А длина этой прямой будет кратна количеству оборотов колеса и длине его "обода", т.е. максимального радиуса, по которому колесо и катится по опоре (земле). Все остальные точки колеса на любом расстоянии от центра пройдут вдоль опоры (земли) тоже самое расстояние, что и точка центра колеса.
Ну, и где тут парадокс?
Вы имели в виду, конечно же не эллипс, а циклоиду (это такая дуга-"арка" над касательной, по которой катится колесо).
Однако, в парадоксе главным является то, что большая окружность "откладывает" себя на касательной. Полный поворот соответствует "откладыванию" полной длины этой окружности. И тогда сразу хочется спросить - а что происходит с малой окружностью и её касательной ЗА ТОТ ЖЕ САМЫЙ поворот? Ведь она просто нарисована внутри большого круга. Почему ей мы запрещаем за ТОТ ЖЕ полный поворот отложить свою длину окружности? В парадоксе именно об этом и говорится: она (:маленькая, беззащитная:) за ТОТ ЖЕ поворот откладывает свою длину (:перед полным поворотом, мол, все равны - конституцию извольте соблюдать:). И получается, что отложенная на касательной длина маленькой (:но гордой:) окружности равна длине большой (:олигархической:).
Нет, я как раз имел в виду эллипсы, построенные вокруг прямой, по которой катится центр колеса, и которая (прямая) - просто максимально сплющенный эллипс. А минимально сплющенный, т.е. окружность - это полная(за один цикл) траектория движения точек "обода" колеса.
Так это я вам и описал в предыдущем сообщении.
А в первом своём сообщении я вам специально показал, что траектория любых точек колеса вдоль касательной будет одинаковой даже если колесо просто волочить. А вращение колеса в этом плане ничего не меняет, а только путает "неокрепшие души". Не верите, сравните результаты при качении и без него.
Ответьте мне на два вопроса, но не по перетаскиванию, а по качению.
1. Является ли YY' на касательной к большому кругу развёрткой его окружности за один его поворот?
2. Является ли XX' на касательной к малому кругу развёрткой его окружности за один его оборот?
Если да - то парадокс, т.к. длины разных окружностей получаются равными. Если нет, то надо объяснить почему случай 1 - да, а случай 2 - нет. Впрочем, может быть вы и на 1 имеете свой ответ - нет.
Итак имеем четыре варианта ответа
Нет-Нет, Нет-Да, Да-Нет, Да-Да. Выбирайте! Тут на любой вкус!
Нет, второе не является развёрткой окружности, а является проекцией сложного движения точки этой окружности, к окружности имеющей второстепенное отношение.
Ведь реально внутри цикла одного оборота колеса (окружности) каждая точка, кроме точки оси (центра) колеса (круга), в проекции на плоскость (линию) движения будет двигаться со скоростью, отличной от скорости этой центральной точки. В смысле за цикл, да, каждая точка сдвинется на одинаковое расстояние. Но внутри цикла точки "нижней полусферы" будут сначала отставать в скорости от центра колеса (окружности) в своём совместном движении в проекции на плоскость (линию) движения, а потом, перекатившись в "верхнюю полусферу" начнут обгонять по скорости центр колеса (окружности) в их совместном движении внутри проекции на плоскость (линию) движения. В первом случае, т.е. в нижней полусфере, собственно проекция дуги соответствующей окружности, на которой расположена эта точка, будет вычитаться из расстояния, которое проходит всё колесо вцелом, и совпадающее в случае качения с расстоянием, пройденным центром колеса, а в верхней полусфере, эта проекция дуги соответствующей окружности будет плюсоваться к расстоянию, пройденному за счёт сдвига колеса вцелом. В итоге, за весь цикл, эти арифметические действия просто обнуляются, и мы приходим к тому, что любая точка колеса за один цикл (оборот колеса) проходит вдоль оси качения одинаковое расстояние.
Ну, и где тут парадокс?
То есть все эти проекции с обгонами и запаздываниями относятся только к малому кругу, а большой двигается совсем по другим законам? Он - большой - знает своё дело и оставляет за собой развёртку окружности, а малый, являющийся ОДНИМ ЦЕЛЫМ с большим, "не догоняет" что надо делать? То есть, он - непослушный - не хочет слушаться старших дядь и развёртывать свою собственную окружность. Так?
Ну, и главное: в парадоксе рассматривается только геометрия. Скорости, ускорения и время - это из кинематики. А скольжение - из динамики. А надо расшифровать всё без физики.
Да, спасибо, правильное замечание. Ничем большой круг не лучше. К нему применима та же схема.
Понятно. Увы, я не геометр, так что дальше без меня.
Извиняюсь, что встрял.
Однако, вашего ума ПРЕдостаточно, чтобы покритиковать мою версию геометрического разрешения этого парадокса в теме Второй раз в круге первом.
Vadim Sakovich :
Нет, я возражаю конкретно Вам, и возможно ещё нескольким участникам ФШ, которые по-русски без словаря говорить не умеют, и как следствие не знают что все носители русского языка называют "процедурой установления истинности" ту процедуру, по итогу которой устанавливается истинность - как это ни странно может прозвучать для человека, который за долгое время пребывания на чужбине подзабыл родной язык.
Уважаемый axby. Я понимаю всю бессмысленность попытки вам что-то объяснить. Просто потому, что вы упрямы. А самое главное знаете мало слов и читаете только знакомые да еще интерпретируете их в каких-то неведомых для всех значениях.
Но поробую.
Да, именно так. Но таких процедур множество: следственный эксперимент, допрос с пристрастием, опрос населения, физический опыт, логический вывод, обращение к священным писаниям, к правилам дорожного движения или ГОСТам - это все процедуры установления истинности того или иного суждения.
Так вот в тех областях знания, в которой используется понятие "аксиома", а именно, в математике, логике, теоретической физике, существует только одна процедура установления истинности: логический вывод суждения из аксиом и определений по правилам установленным в теории, которой принадлежит это суждение. И коротко это процедура в этой области называется словом "логическое доказательство".
Да, конечно, и следственный эксперимент и ссылка на ПДД, также называют доказательством. Но доказать истинность суждения в теоретической системе - это не значить выбить признание у математика путем пыток или получить результат в ходе серии экспериментов (явных или мысленных). Доказать истинность суждения в математике - это только и исключительно логически вывести его из определений и аксиом (есть еще расчетные методы, но они не из теоретической области, то есть там нет аксиом). Других вариантов доказательства в логике, математике и теоретической физике нет и быть не может.
Если же вы берете некое суждение само по себе, вне конкретной теоретической системы, и доказываете его истинность с применением любых известных вам процедур установления истинности (мысленным экспериментом или опросом населения), то на здоровье - доказывайте. Но только помните, (1) что эти доказательства не имеют ни малейшего отношения истинности суждения внутри конкретной теоретической системы, (2) и что любое суждение взятое самостоятельно вне конкретной теоретической системы не может называться аксиомой. Аксиома - это роль суждения в конкретной теории. И суть этой роли заключается в недоказуемости истинности этого суждения в рамках этой системы. Эту теорию можно переформатировать - поменять местами аксиому и теорему, тогда это суждение уже будет доказуемо, но оно не будет аксиомой. И конечно, не обязано быть аксиомой в другой теории уж подавно вне теоретической системы вообще.
Вы должны понять, что взяв некое суждение, которое где-то, в какой-то конкретной тории играет роль аксиомы, само по себе и проводя какие-то процедуры установления его истинности вне той конкретной теории, вы занимаетесь чем угодно но только не доказательством аксиомы. Аксиомой это суждение считается только в конкретной теории, где оно по определению не доказуемо. А то, чего вы устанавливаете истинность аксиомой не является.
Итак:
Продолжать здесь будет оффтопом, поэтому перенёс ответ в более созвучную предмету нашей дискуссии тему - ссылка.