boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 14:29, ссылка

А что такое состоит из точек?

Вот что это значит: пространство - это совокупность точек и только точек. Ничем, кроме точек, пространство не является.

Вспомните пример с коробкой и кубиками: коробка может быть безразмерной (бесконечной), но кубики - нет.

Отрезок имеет конечную длину, и, следовательно, состоит из конечного числа точек. Прямая линия или луч бесконечны, поэтому содержат бесконечное число точек.

Если это не так, если, как вы и школьная геометрия утверждают, между любыми двумя точками всегда располагается бесконечное число точек, то отсюда-то и возникают парадоксы, которые вы, вопреки здравому смыслу, отказываетесь признавать.

Данный принцип неверный! Потому что он приводит к противоречиям.

Если мы пересечём секущей отрезок AB, чтобы зафиксировать точку, а затем попытаемся продвинуть секущую в следующую точку на отрезке, то сделать это будет принципиально невозможно, коль скоро следующей точки не существует. Ведь между следующей точкой и данной располагаются ещё немереная прорва промежуточных точек, так ведь? Значит, она не "следующая"? Да?

Вот здесь-то и кроются парадоксы типа "вращения окружности" или "принципа неопределённости Гейзенберга".

В ДФ ничего такого не возникает.

Когда я предложил считать точку как геометрический объект, который не имеет частей, то я этим лишь сказал, что у Евклида именно так вводится понятие точки. Он и последующие математики, которые добились сумасшедших результатов в деле моделирования и предсказания поведения реальных объектов в мире, неявно использовали именно такое изначальное понятие точки. Никто из них в практике применения математики не пытался подсчитывать "реальное" (в кавычках) количество точек на прямой или отрезке.

Но такой подход мешал ЛИШЬ ОДНОМУ - работе с бесконечностями, то есть - самому насущному практическому использованию математики. Это уже действительно обострение религиозного экстаза с битьём лбом по полу. И Кантор как раз и переписывался именно с Ватиканом при создании своей теории множеств, и именно у него проявились психические болезни, приведшие его в сумасшедший дом.

Все математики, которые осознавали, что понятие бесконечность является бесконечно непознаваемым, туда не лезли, а ограничивались лишь фиксацией, мол, дальше - там вон - уже бесконечность, туда, мол. соваться в ближайшее бесконечное время мы не будем, у нас, мол, и без этого хлопот предостаточно.

Вот и всё, что я хотел сказать. Математически оптимизировать расписание поездов мы можем сейчас (имея компьютеры) лишь о-о-очень приближенно, но вас зато выгонят с первого курса университета за то что вы вошли в аудиторию, не перекрестившись на икону бесконечности. Причём, вы, как философы, взяли на себя роль ВОХРов в этих университетах, подмечая даже то, кто из вошедших перекрестился  не справа налево, а наоборот (хотя сейчас за такое пренебрежение к бесконечности дают не очень большой срок).

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:03, ссылка

Это безобразие исходит из абсурдного посыла: протяженное состоит из непротяженных частей.

Разве это новость? Тысячи великих учёных были недовольны таким положением вещей, хотя ответа не нашли.

Я предложил другое решение: пространство - это только точки. Однако недопустимо утверждать, что между любыми двумя точками располагается ещё бесконечное множество промежуточных точек.

Стало быть, надо принять тезис, согласно которому существуют смежные точки, между которыми других точек нет. И тогда расстояние между данными двумя смежными точками будет являться метрикой пространства, т.е. наименьшей длиной, присущей пространству (нечто вроде кванта в физике).

Таким образом, протяжённость складывается не из размеров точек, а из расстояний между ними. Вот вам и решение проблемы. По крайней мере, один из вариантов.

boldachev, 21 Октябрь, 2018 - 16:03, ссылка

Так ведь это безобразие вы и предлагаете своими рисунками) 

Опять неправда. Я не виноват. Вернее, виноват не я. Рисунки мои, однако данному противоречию уже не одна тысяча лет.

Не то что бы ошибки, но некоторые замечания. 

boldachev, 20 Октябрь, 2018 - 15:33, ссылка

Следует говорить, что окружность катится по касательной к ней прямой, если для двух любых положений окружности на прямой расстояние между точками соприкосновения на прямой и между соответствующими точками на окружности равны (если расстояние на прямой больше длины окружности то совпадать должны расстояние между точками соприкосновения на окружности и остаток после вычитания из расстояния между точками на прямой полных длин окружностей). 

Это определение конечно можно еще оттачивать, но оно верное: берем любые два различающиеся положения окружности и касательной к ней прямой, то есть фиксируем точки их соприкосновения и измеряем расстояние между этими парами точек на прямой и на дуге. Если они равны (при вращении окружности меньше, чем на полный оборот), то значит окружность катилась по прямой между этими двумя положениями.

И обратите внимание, это именно определение, а не эмпирическое наблюдение, как у вас с засечками.

Ну вот и все. Согласно этому определению следует признать, что малая окружность не катилась по касательной к ней прямой  XX'.

Строго говоря Вы привели не определение качения, а признак, по которому можно сказать, что при некотором движении окружности относительно касательной было качение. Как уже упоминалось, здесь без верёвочки не обойтись, не говоря уже о том, что, как заметил ниже Сергей Борчиков (мой комментарий про деформации упругие и не очень и единичный спин благополучно удалён) возможны всякого рода деформации. При определении качения я бы всё же как то связал поступательное и вращательное движения. При качении эти два в общем случае независимых движения жестко связаны в точке соприкосновения, одно без другого немыслимо. В более общем случае не обязательно должно присутствовать поступательное движение центра окружности, это может быть так же вращательное движение, либо центр может быть вообще неподвижным. И далее:

Качением называется такое перемещение окружности по касательной к ней прямой, при котором в каждый момент времени скорость перемещения центра окружности относительно прямой равна линейной скорости движения точек окружности.

И опять "парадокс" растворяется: скорость движения центра двух окружностей всегда совпадала, а линейные скорости точек на окружностях, очевидно, нет, значит если одна окружность катилась по касательной, то вторая определенно не катилась. Даже не нужно упоминать развертки и измерять расстояния.

 Если говорить о скорости, то в данном случае необходимо говорить о скорости движения точек на круге, а не абстрактной точки под названием "центр окружности", а так же не забывать о том, что скорость величина векторная, как и ускорение (вот тут и ускорение плавно вписывается в физическую картину мира).

Еще раз повторю, весь сыр бор с этим  парадоксом стал возможен только вследствие отсутствия строго определения понятия "качение", как только оно появилось, и даже целых два - геометрическое и физическое - то "парадокс" растворился.

По моему всё же парадокс исключительно физический. Если же ограничиться геометрией, то и в самом деле достаточно строгого определения качения твёрдого тела. Правда здесь не плохо было бы привести определение твёрдого тела, при котором, как мне кажется, всплывёт понятие геометрических размеров, а за ним и понятие меры.

а понимание движения. Геометрия лишь средство его отображения.  

Ну так поймите и геометрически отобразите.

Или предлагаете остановиться на решении "так ведь на глаз видно"?

Браво!

Для "тех кто понимает" - слово "касательная" (как линия, расположенная в плоскости окружности и имеющая с ней одну  общую точку) существенно упрощает описание ситуации, типо:

условное качение окружности по   касательной приводит к условному  скольжению по своей касательной  любой другой концентрической окружности

Тем не менее, в постановке парадокса на протяжении веков, никто не возмущался тем, что нет строгого определения слова (даже не понятия, не термина)... слова катится.

Это сильный аргумент) Никто не возмущался - вот именно поэтому мы этот "парадокс" еще обсуждаем.

так как было вполне интуитивно понятно

Это "интуитивно понятно" и легло в основу "парадокса" - если дать точное определение качения, то есть заменить "интуитивно понятно" на "по определению", то парадокс растворяется.

Отсюда и нарушение закона тождества

Нет здесь никакого нарушения закона тождества. Он же про подмену понятий. А где здесь это? 

*

Выше была  лирика. А теперь по существу.

на слово касательная к окружности

Хорошо, спасибо. Давайте попробуем:

Следует говорить, что окружность катится по касательной к ней прямой, если для двух любых положений окружности на прямой расстояние между точками соприкосновения на прямой и между соответствующими точками на окружности равны (если расстояние на прямой больше длины окружности то совпадать должны расстояние между точками соприкосновения на окружности и остаток после вычитания из расстояния между точками на прямой полных длин окружностей). 

Это определение конечно можно еще оттачивать, но оно верное: берем любые два различающиеся положения окружности и касательной к ней прямой, то есть фиксируем точки их соприкосновения и измеряем расстояние между этими парами точек на прямой и на дуге. Если они равны (при вращении окружности меньше, чем на полный оборот), то значит окружность катилась по прямой между этими двумя положениями.

И обратите внимание, это именно определение, а не эмпирическое наблюдение, как у вас с засечками.

Ну вот и все. Согласно этому определению следует признать, что малая окружность не катилась по касательной к ней прямой  XX'.

*

Выше было геометрическое разрешение парадокса. А теперь напомню физическое разрешение этого "парадокса", которое я привел в первом своем комментарии, но вы его просто проигнорировали:

boldachev, 17 Октябрь, 2018 - 15:44, ссылка

Для разгадки "парадокса" надо просто сформулировать, что такое развертка при качении, поскольку именно ссылка на эту самую развертку является ключевым моментом: "длина развёрнутой от такого оборота окружности". Очевидно, что главным условием получения точной развертки является совпадение (в любой момент времени) скорости движения центра окружности и линейной скорости движения точек окружности, что по сути означает, что не должно быть проскальзывания окружности по поверхности - только тогда пройденный путь за один оборот будет равен длине окружности.

Смотрим на нашу картинку: если по условию в качестве YY' мы имеем развертку большой окружности, то следовательно скорость движения центра окружности совпадала с линейной скоростью точек большой окружности.

Ну и, тадам, разгадка "парадокса": линейная скоростью движения точек малой окружности не совпадает со скоростью движения ее центра, поскольку меньше скорости движения точек большой окружности (одинаковая угловая скорость, но меньше радиус), а следовательно расстояние XX' не является разверткой.

Все предельно просто. Надо было только расшифровать заветное слово "развертка".

Давайте переведу его на язык качения (но уже не геометрический, а кинематический).

Качением называется такое перемещение окружности по касательной к ней прямой, при котором в каждый момент времени скорость перемещения центра окружности относительно прямой равна линейной скорости движения точек окружности [относительно ее центра UPD 22.10, 14:00] .

И опять "парадокс" растворяется: скорость движения центра двух окружностей всегда совпадала, а линейные скорости точек на окружностях, очевидно, нет, значит если одна окружность катилась по касательной, то вторая определенно не катилась. Даже не нужно упоминать развертки и измерять расстояния.

*

Еще раз повторю, весь сыр бор с этим  парадоксом стал возможен только вследствие отсутствия строго определения понятия "качение", как только оно появилось, и даже целых два - геометрическое и физическое - то "парадокс" растворился.