Сделайте мне биекцию, plz !
На ФШ уже немного рассматривалась подобная тема. Здесь я её немного переформулировал. Итак...
...Пройдёмся по "неверным" стопам Г.Галилея.
Взглянем на такую "необычную" последовательность как натуральные наши, сами понимаете, числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26… и т.д.
[Можно продолжать и дальше, но боюсь, что буду лимитирован местом на моём жёстком диске.]
Жирным шрифтом выделены числа, которые представляют собой квадраты других чисел. В данном случае 1,2,3,4 и пять (на этот раз, без важного дополнения о том, что «…вышел зайчик погулять»)
Однако, охотник таки выбегает... и неожиданно замечает, что:
а) в этой последовательности натуральных чисел количество квадратов и неквадратов (что, собственно, и составляет всё записанное в последовательности) явно больше, чем одних лишь квадратов, которые выделены жирным.
Впрочем, чтобы это заметить можно и не быть опытным охотником. Для этого достаточно иметь зрение косоглазого зайца, Но опытного охотника мы не будем сразу списывать со счетов. Он отложил ружьё, уселся на пенёк и вспомнил, что:
б) любое натуральное число можно возвести в квадрат, и, ясен пень (на который он уселся в раздуминах), для каждого точного квадрата есть свой квадратный корень.
Из этого следует, что количество квадратов столько же, сколько натуральных чисел, ведь каждое число можно возвести в квадрат, а из каждого квадрата можно извлечь квадратный корень, чтобы получить первоначальное число. Это значит, что между числами натурального ряда и их квадратами существует взаимно-однозначное соответствие. [Нормальный человек может не понять, что взаимно-однозначное соответствие тут означает, что каждому элементу множества натуральных чисел соответствует ровно один элемент множества квадратов и наоборот. Для таких непонятливых у математиков есть всё разъясняющий термин - биекция.]
И вот, восседающий на пеньке охотник, ловко оперируя с этой биекцией (вместо ружья) тихо произносит (чтоб админ не услышал): Бля-а-а-а! А как же наше а) ! Мы же только что с зайцем постановили, что квадратов и неквадратов (взятых вместе) явно больше, чем одних только квадратов!
И тут к пеньку подходит Кантор и говорит: ты же пень-пнём! Погляди, мощности-то у множеств - равны! Доказано-с!
Вот у меня и возникает вопрос к всё понимающим математикам. Объясните, plz, где ошибка вот в таком моём рассуждении:
Глядя на приведённую выше последовательность первых 26 натуральных чисел, видно, что неквадратов намного больше, чем квадратов. Ну, бывает... Но ещё больше впечатляет, что чем больше чисел в такой последовательности мы будем рассматривать, тем значительней будет разрыв в количестве квадратов и неквадратов. Если сначала (на первом десятке) неквадратов было где-то в два раз больше, чем квадратов, то на втором десятке их было уже в четыре раза больше.
И такая закономерность – прогрессивный отрыв в количестве неквадратов по сравнению с количеством квадратов – нарастает, как снежный ком. Страшно даже подумать во сколько раз количество неквадратов перегонит количество квадратов на подступах к бесконечности.
Итак, как я понимаю, не только зайцу, но и математику ясно, что гениальный Кантор доказал, что этот лавинообразный процесс пойдёт в конце концов на спад, и превратится в обратный – количество квадратов начнёт брать верх над неквадратами и закончится всё это мирной ничьей. Мощности этих множеств уравняются... А то ещё (не дай бог) эта закономерность по процессу всё большего уравнения мощностей не остановится и колиичество квадратов начнёт... превышать количество неквадратов... и того больше - количество квадратов настолько обнаглеет, что со временем будет превышать количество всех натуральных чисел. Закономерность ведь может оказаться (перекрестясь)... неустранимой. :)
Финальный вопрос: о какой закономерности идёт речь? Какая такая закономерность начнёт снижать волюнтаристски завышенную охотником роль неквадратов в сравнении с квадратами в последовательности натуральных чисел? Когда (на каком этапе) тенденция к снижению количества неквадратов по отношению к квадратам начнёт себя проявлять? О каких диапазонах чисел у Кантора идёт речь? Хочу туда – в светлое будущее!!! Но с прививкой (имеется в виду вовремя введённая логиками ФШ биекция в мою задницу)!
- Vadim Sakovich
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
plz, ошибки вижу две:
Вы взяли такой образ бесконечности - как какой-то стены, до которой надо дойти. Дошел - а там бесконечность! Откуда Вы взяли такой образ, неясно. До потенциальной бесконечности никогда не дойдешь. Будешь идти и идти, и никогда не дойдешь. Умрешь на полпути, дойдя до Памира или берегов Тихого океана. Даже если воскреснешь, как Христос, и снова пойдешь, то всё равно не дойдешь. Вот такая она дурная, по Гегелю.
Кантор такого не доказывал (или приведите ссылку на доказательство). Он доказал, что эти две потенциально-бесконечные дурности, взятые в качестве актуально-бесконечных, суть одно и тоже, поскольку мощности у них одинаковые (равные омеге или алефу). А прикладывать к этим алефам образные представления конечного мира быссмысленно. И все дела.
Эттт, по-вашему, в моём воображении бесконечность начинается с какой-то границы - со стены??? Оказывается это у меня, а не у Кантора, бесконечность начинается... вдруг - с бухты-барахты??? Собственно, ведь именно для того, чтобы вы так меня не поняли, я и взял из разных там слов русского языка выражение - где-то на подступах к бесконечности. Попробуйте сказать точнее о том начале бесконечности, о котором мы ничего путного сказать не можем. Я выбрал мягкое - "где-то на подступах".
Вообще-то, с древних времён бесконечность примерно так и интерпретировали: к любому - самому большому числу - мы всегда можем прибавить единицу. И всё. ТЧК. На этом рассуждения о бесконечности (то есть - о неведомом) заканчиваются.
Погодите! Вы ведь, цитируя, обрезали начало моего утверждения. У меня было так: "...как я понимаю, не только зайцу, но и математику ясно, что гениальный Кантор доказал, что этот лавинообразный процесс пойдёт в конце концов на спад, и превратится в обратный – количество квадратов начнёт брать верх над неквадратами и закончится всё это мирной ничьей."
Другими словами, я привёл сверхнаивное предположение о том, что именно такое моё предположение (на самом деле - абсолютную очевидность) Кантору следовало бы доказательно опровергнуть, прежде, чем утверждать "очевидности" при манипулировании бесконечностями (в которых он, ясен пень, съел не одну собаку).
Но меня совсем не смущает Кантор. Он приступил к математическим "доказательствам" бесонечностей как верующий метафизик - от сердца. Ему надо было подвести строгую базу под всесильностью бога на просторах БЕСКРАЙНЕГО мироздания. Именно поэтому он сопровождал все свои изыскания активной перепиской с Ватиканом. Как я понимаю, ему нужен был одобрямс (ну, всё почти так же, как и и при Брежневе, когда никакая научная публикация не появлялась в свет, если в списке литературы не было ссылки на марксистско-ленинское учение или, на худой конец, отсылки к материалам съезда партии).
Итак, мы не будем запрещать Кантору верить в бога и в бесконечность. На здоровье! Но почему всех заставляют быть верным этому верованию. Иначе не светит тебе высшего образования.
Я ничему Вас не заставляю. Мыслите, как считаете нужным, и будьте самим собой.
Вы снова оборвали при цитировании самое главное: ...не светит высшего образования.
То есть, у вас просто не примут экзамен, если вы не согласны с самой основой теории множест - с биекцией.
Собственно, я ведь не испрашивал разрешения на свободу мыслить. Я просил найти ошибку в моём рассуждении. Так вот, я и не понял - вы взялись за гуж?
Это означает всего лишь: не примут экзамен. Не более.
Я добросовестно откликнулся на просьбу и нашел. См. выше (ссылка).
Вы действительно не поняли. Повторяю обобщенно еще раз.
Ошибка в том, что Вы ставите в один ряд мысле-образ о бесконечности и чистую мысле-мысль о бесконечности. Этого делать нельзя, они из разных мыслепотоков, они не стыкуются. Попытка искусственной состыковки в уме образа и мысли и приводит к обозначенным Вами парадоксам и ошибкам.
Заметьте, в открытой мною теме я использовал слово "бесконечность" лишь один раз, причём, с припиской: мне страшно даже подумать об этом.
И вот вы все свои возражения строите именно на том, что я неправильно мыслю бесконечность. Конечно, очень приятно, что вы так ловко читаете мои мысли о бесконечности. Но было бы вдвойне приятно, если бы вы так же ловко читали мой текст, где о бесконечности ещё речь не шла.
Ещё раз. Процитируйте меня (любимого) и для начала хотя бы просто подчеркните в цитате ошибку. Мне хотя будет над чем призадуматься. Ну, а насчёт разъяснения подчёркнутого... вообще - отдельное спасибо будет!
У вас же была уже такая тема, насколько я помню. Разве там ничего так и не прояснилось? Мне помнится, было бурное довольно обсуждение. Или вас привлекает сам процесс биекции?
Я хотел бы в этом обсуждении акцентировать внимание на (цитата):
Конкретнее у меня там сказано дальше. Если сокращённо, то вопрос такой: обязан ли был Кантор (: и преступная группа математиков, включая Гильберта :) сначала опровергнуть эту совершеннейшую очевидность (в цитате), прежде чем провозглашать в качестве всеобщего математического закона совершеннейшую неочевидность Кантора, из которой вытекает, что часть вполне может быть равна целому.
Ведь если всё человечество под частью понимает нечто меньшее, чем целое, то это равносильно призыву: давайте с этой минуты будем под верхом понимать низ. Мало того, в самой математике - везде, где в рассуждениях говорилось о части как о нечто меньшем, чем целое, да, так все эти рассуждения надо пересмотреть, ведь они с определённого момента перестали быть верными. Например, обычная дробь (1/3, 1/5...) рассматривалась как часть от единицы, а теперь... Ведь дроби, типа, 9/2 или 3/3 как раз и назывались неправильными дробями. Отныне (после признания канторовского подхода) у нас правильные дроби получаются не совсем правильными (потому что у них не бывало раньше, чтобы часть равнялась целому), а неправильные - стали как раз "высший сорт".
Ещё раз. Отныне, если мы хотим использовать по возможности точные рассуждения (как у эталонных наших математиков), то мы не имеем право поодарзумевать, что часть меньше целого. Она может вполне быть равной целому. А вам (по секрету) скажу, что часть будет равна (именно равна) целому в бесконечном числе случаев! А часть меньше целого будет (держитесь за стул) в конечном числе случаев (: т.к. это справедливо лишь для конечных множеств, которых, как известно, меньше, чем бесконечных :)
И всё это (повторяю в десятый раз) совершенно очевидно и не вызывает вопросов у нормальных людей. И тогда вполне закономерно спросить себя - бежать ли к психиатру сейчас, или подождать до понедельника.
Да, вы мыслите неправильно..это самое.
Какую? Вы приписали свои толкования(не мысли, заметьте,они сугубо интимные у вас) отношения чисел и их квадратов Кантору, что уже ошибка..а так всё верно, где не остановись на числовой прямой, квадратов меньше, чем чисел возводимых в квадрат. Только к бесконечности это никак не относится. На ней(как на некотором конечном числе) в принципе нельзя остановиться, по определению. Если вы это не понимаете, то это ваша личная проблема, увы..
Кантор ввёл понятие биекции в качестве одного из основополагающих понятий своей теории множеств. Именно в этом смысле я и рассматриваю в качестве наглядного примера множество натуральных чисел и множество квадратов. Эти множества (согласно Кантору) имеют между собой взаимно-однозначное соотвествие: каждому элементу одного множества можно сопоставить один элемент в другом множестве, и наоборот. [Так как каждое (то есть, любое) число можно возвести в квадрат, а из каждого такого квадрата извлечь квадратный корень] Это всё согласно Кантору.
Итак, вы заявляете, что: где не остановись [в последовательности натуральных чисел], квадратов будет меньше чисел возводимых в квадрат [которых можно возвести в квадрат].
Иными словами вы говорите, что какое бы большое число в последовательности натуральных чисел мы бы ни взяли (то есть - любой элемент такого упорядоченного множества), всё равно количество квадратов будет меньше. То есть, с этим вы согласны.
Однако, именно по Кантору биекция - это когда любому (каждому, всем без исключения...) элементу одного множества соответствует один элемент в другом множестве и наоборот. И ИМЕННО понятие биекция введена Кантором для сравнения бесконечных множеств.
Таким образом Кантору можно говорить о любом элементе множества, подразумевая под этим и бесконечные множеств, а мне использовать ЭТО ЖЕ слово (любой, каждый...), говоря о ТЕХ ЖЕ САМЫХ множествах, - нельзя? Это в каком же смысле нельзя? Что позволено Юпитеру, не позволено быку?
Значит, всем квадратам будет соответствовать их корень (4-2, 9-3, 16-4), только одно множество будет (1, 4, 9, 16...), а другое (1, 2, 3, 4, 5, 6...) И каждому элементу множества квадратов будет соответствовать один элемент множества целых чисел, а каждому элементу целых чисел будет соответствовать свой квадрат. А то, что количество элементов в множествах будет РАВНЫМ, никто нигде не говорил. Или? :)
И так еще раз:
И где тут про то, что общее количество целых чисел, должно быть РАВНО общему количеству квадратов?
На всякий случай напомню, что сейчас речь идёт о, так сказать, официальной теории множеств, а именно - о самых её первоначалах, о базисе, который разработал Кантор. Итак...
То, что каждому элементу... и т.д. и наоборот... - это и называется биекцией. Далее цитирую Википедию: "Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными".
Теперь смотрим, на всякий случай, в ту же Википедию на понятие "равномощность", т.е. "мощность множества". Читаем там пункт 1: "Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность)." (подчёркнуто мною).
В связи с тем что каждое натуральное число (а мы как раз и рассматриваем последовательность - множество натуральных чисел) можно возвести в квадрат, а извлекая квадратный корени из каждого такого квадрата, получить изначальное число, то это и есть взаимно-однозначное соответствие между всеми числами (ведь каждое из них имеет квадрат) и их квадратами, то есть - биекция. Теперь осталось лишь взглянуть на приведенные выше цитаты из Википедии, в частности, подчёркнутое мною.
Отсюда, собственно, и абсолютно всем понятный вывод ("абсолютный" - это от нашего стола - вашему, который привык закусывать Логос Абсолютом)... вывод о том, что количество квадратов столько же сколько... квадратов и неквадратов вместе (т.е. всех чисел). Или иначе - часть от целого равна целому. Только не надо тут прикидываться, что вы это не понимаете. Ваше дело маленькое - шприц вам в руки и извольте сделать мне правильную биекцию [перед выпиской направления меня в психбольницу.]
Вы, дядко, одной рукой подчеркиваете, а другой легосенько так зачеркиваете. Я с вами сесть за карточный стол не рискнул бы :)))
Там же написано: "конечного множества"
Но Вики и есть Вики, на всякий случай они воткнули "(в том числе бесконечных)". Поэтому надо смотреть и другие источники, а там уже внятно говорится:
То есть, если множества конечны, то чтобы быть биективными, они должны быть с равным числом элементов, а для бесконечных множеств, достаточно, чтобы соблюдалось условие биекции 1:1
Итак, каждому целому числу (сколько бы их ни было) будет соответствовать квадрат из множества квадратов. А коль это будет работать и в обратную сторону, то и множества получаются равномощными. При этом, нет разницы и в количестве элементов, когда конец ряда - это бесконечность. Как вы думаете, насколько одна бесконечность отличается от другой? :)
А с практической стороны - это очень интересная задача. Если взять множество понятий и множество обьектов с одной стороны, и множество слов и множество значений-понятий - с другой. {обьект} - {понятие} - {слово}
С одной стороны, эти множества должны быть биективными, чтобы мы могли опознавать предметы и понимать слова, а с другой стороны, совершенно ясно, что слов на разных языках гораздо больше, чем понятий в голове человека, равно как и обьектов мира (больших и малых) намного больше, чем количество наших понятий.
Но границы нашего мира - это границы сети наших понятий. То, чего мы не понимаем, мы не замечаем и не запоминаем. Так что, с одной стороны биекция есть, а с другой стороны, поскольку множества бесконечные, то, как в вашем примере, остается множество целых чисел, которые не получаются из квадрата меньшего числа, также остается и множество обьектов мира и слов, которым нет правильных понятий.
Уффф!
Они написали именно то, что лежит в основе теории множества Кантора. Мощность множества введена им ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ множеств в качестве обобщения с понятием количество элементов для конечного множества. Потому что даже у верующего в абсолютный Абсолют Кантора язык не хочет произнести количество элементов у бесконечности. Если есть у неё, проклятой количество, то какая же она, нафиг, бесконечность.
Отсюда есть пошла ТИПИЧНАЯ ДЛЯ МЕТАФИЗИКИ форма мышления, а именно: мы сейчас (под столом из рукава) вынем очередное понятие (новое), на которое навесим всех собак. А что - имеем право, ведь до нас на понятие мощность в математике никто не покушался же! Ну, а с мощностью мы уже имеем право делать что хотим! А хотим мы всегда одно и то же - описывать новое понятие в очередных трёхтомниках. Что. собственно и делалось. Там на понятие мощность, как на ёлку, Кантор начал навешивать новые игрушки (каждая из которых требовала своего трёхтомника). Первая - алеф-нуль. Она же - первая буква в еврейском алфавите. Во-первых, кто не согласен - тот антисемит. Во-вторых, алеф-нуль - это самое первое и главное - это мощность натуральных чисел.
Теперь вопрос на засыпку. Как назвать самые базисные БЕСКОНЕЧНЫЕ множества (например, множество натуральных чисел)??? Ну, сами подумайте своим метафизическим умом. У нас есть бесконечное множество натуральных чисел, оно бесконечно, потому что не имеет конца, т.е. какое число бы вы ни назвали - к нему можно добавить единицу. Ну, нет конца!!! Что делать? Правильно!!! Его надо назвать... счётным. Кто б сомневался, но метафизику это очевидно. Да и ладно! Но в дурдоме-то сидеть не ему, а мне, которого даже на первый курс университета не пустят.
Итак, в Википедии речь идёт всё-таки о мощности бесконечныхмножеств как расширения понятий о конечных. И там чётко сказано: Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
Таких противоречивостей могу привести много.
Но самое интересное, другое. Ведь в моём примере (в топике), когда мы рассматриваем любой, наперёд заданный элемент последовательности натуральных чисел, мы всё время обнаруживаем, что количество квадратов и неквадратов (вместе) всегда больше, чем одних только квадратов. Причём, чем большее число мы берём, тем пргрессивней эта разница.
И вдруг... обнаруживается, что "эх, ребята, всё не так, всё не так ребята!" То есть где-то, когда-то, почему-то, согласно какого-то (неизвестного никому) свойства... всё это (нарастание разницы в количествах) перестаёт действовать и даже наоборот - начинает идти вспять, приходя к уравниловке. Ведь там - в бесконечности - они (квадраты и неквадраты в сумме) уравняются с квадратами.
Таким образом, у Кантора получается, что натуральный ряд НЕ ПЕРЕХОДИТ в бесконечность, а у него бесконечность вдруг возникает!!! Неизвестно с какого момента и по какому принципу!
Когда опомнились (математики-метафизики) то они поступили просто - как поступали метафизики всех последних двух тысяч лет: они запретили само понятие - возникновение! А чего там с ним церемониться! В цугундер его, бля! И сейчас в математике ничего не возникает, а сразу дано. На вопрос - откуда появилось, ответ: не твоего, бля, ума дело! И при этом указательный палей идёт вверх возле щеки. (А губы шепчут: абсолют-с).
Так вот, откуда это у Болдачева это жестоковыйное "дано" и "не смей шастать"! (помните, что там у украинских пограничников было написано вместо "добро пожаловать"?)
А вы говорите "абсолют". Мы метафизики по сравнению с математиками овечки бледные :))
Предельный переход от конечного к бесконечному есть переход от обыденно-наглядного( считаем на пальцах) к умозрительно-интуитивному пониманию. Пальцев и воображения не хватит, чтобы представить в конечно-конкретном виде бесконечное.
Сначала надо понять, что эти множества бесконечны! Для любых чисел сравниваем уже не по порядку рассмотрения, а сразу для всех!
Тут большинство здравомыслящих товарищей и ломается..как бывшему программисту, можно посоветовать оппоненту рассмотреть аналогию параллельного и последовательного интерфейса. И бесконечного запаса времени на передачу. В итоге все данные по одному и по другому интерфейсу неизбежно будут переданы, скорость передачи не имеет значения.
ZVS, с Вашей точкой зрения полностью согласен. Товарищи путаются, потому что пытаются Мысль (актуальную бесконечность) представить (вообразить) в чувственном Образе (потенциально шагающей бесконечности). А мысль (особенно математическая) образом не всегда представляется. Ну как представить риманову поверхность или корень квадратный из минус единицы (число i)? Никак. Их надо только понимать мыслью. Да еще путаются в математике, поскольку каждому квадрату, соответствует не один, а два корня, например, 4 имеет корнями +2 и минус 2.
Натуральные числа не имеют отрицательной шкалы.
Вот! Спокус рассматривает ряд, начинающийся с 1 и продолжающийся до бесконечности... Она что, имеет начало?!)) И конца у неё нет... Задача, как представить бесконечное, не имеющее начала и конца. Ткнуть пальцем в любую точку и начать отсчёт, например, с условием, что рядом стоящие числа отличаются на 1. Значит, за 1 последуют 2, 3... А до 1 - -1,-2,-3... и т.д. Начнём считать "квадраты" в положительной части ряда и отрицательной. В первой посчитали, а во второй? Отрицательное число, скажем, -4 можно назвать квадратом числа -2? Вопрос не простой, философский, его Энгельс решал... как то выкрутился.))
Итак, уткнулись в дихотомию: квадраты чисел - не-квадраты чисел, положительные числа - не-положительные числа. Там и там непересекающиеся, исключающие друг друга части: А или не-А. Исключающие третье...
Что скажете, Сергей Алексеевич?
Есть ещё много разных бесконечностей: бесконечность рациональных чисел, действительных, геометрических точек на отрезке, и т.д. Там свои проблемы. В этой теме речь идёт о самом базисе теории множеств - о натуральных числах. Поэтому просьба не загромождать тему посторонними бесконечностями. Открывайте свою!
Это не принципиально. У Кантора есть ещё более парадоксальные вещи, которые связаны с бесконечностью на отрезке. То есть ограниченном с двух концов. Опять же, это отдельная тема.
Что касается той бесконечности, о которой вы говорите, что она начинается с 1 и продолжается до бесконечности, то я тут выше (в ответе Андрееву) подчеркнул, что самое главное в этом деле именно то, что у Кантора & К не определено даже приближенно, даже и намёка нет, нет принципа, закона, тенденции, нет даже предположения... о том, как натуральный ряд ПЕРЕХОДИТ в бесконечный. То есть - когда начинают действовать (применяться) введённые им положения теории множеств, например, биекция.
В этом смысле у канторовской бесконечности нет... именно что - начала. А вот то, что нет конца - это заложено в самом слове бесконечность. Другими словами, если у Аристотеля потенциальная бесконечность само собой разумеющееся понятие (можно всегда к числу прибавить единицу) и он - Аристотель - туда не лезет, т.к. там человеку нечего делать, а гаданием на картах он не занимался, то у кантора - наоборот. Его актуальная бесконечность возникает вдруг и сейчас, с бухты барахты, неизвестно когда, где и почему. То есть, полный аналог церковных канонов. А если у соседа другие каноны, то война идёт между канонами - какой из них больше богу угоден. Ну, а... действительно, какой из них больше угоден богу, лучше всего знают канонисты. Уж, если они в бесконечности сильны, то мысли бога они читают как мы букварь.
Либо последовательность чисел, в которой следующее больше на 1, чем предыдущее, либо квадраты чисел, корни которых составляют ту же последовательность.
Например, число 4 в ряду. Если это квадрат числа 2, надо его убрать, оставить на его месте 2, неквадрат. И так далее. Но числовая последовательность нарушится... из неё исчезнут квадраты чисел (!). Поступим наоборот, оставим все квадраты, а не квадраты выбросим. Извлечём квадратные корни, получим тот же последовательный ряд чисел.
Если нам рыжие девушки не нравятся, мы их не ставим в ряд других. Откуда в ряду чисел появились квадраты? Нравятся только рыжие..., откуда в ряду появились не квадраты?
Класс, множество составляются по единому для всех элементов признаку.
Если в последовательном ряду чисел есть закономерность появления следующего квадрата среди неквадратов, то это относится уже к свойствам данного ряда. Я такую искать не стал бы. Не математик.
Возможно я ошибаюсь, но Вам, Вадим Владимирович, необходимо указать хотя бы оду пару целых чисел (квадрат/неквадрат). Ну примерно как это делается в диагональном методе Кантора. Например, начать можно так: существует такое х, квадрат которого не есть натуральное число. И потом несколько томов доказательств. Когда хотя бы одну небиекционую пару отыщите, за ней потянутся другие, так глядишь дело и пойдёт в гору... Помните анекдот про йогов, которые прыгали без парашюта с высоты 1000м? Сначала с одного метра, потом с 10-ти, ...
А что ж там её отыскивать-то - наливаешь, и пьёшь!
Итак, мы имеем: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 - множество из 26-ти элементов. И все они (до одного) - натуральные числа. Есть возражения?
Возражений нет! Идём дальше. Это множество можно представить из двух подмножеств - квадраты и неквадраты. Изобразим их:
{1, 4, 9, 16, 25} и {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26}
Есть ли между ними взаимно-однозначное соответствие? Нет. То есть, биекция отсутствует. Неквадратов тут намного больше, чем квадратов Возражение есть? Возражений нет.
Ясен пень, что если взять не 26 первых натуральных чисел, а, например, тысячу, то разница в размерах двух таких [под]множеств была бы не "на", а "в" разы больше. То есть, чем больше элементов натурального ряда мы рассматриваем, тем возрастание различий в размерах будет не просто увеличиваться, а увеличиваться прогрессивно.
Однако, согласно Канту, такая икебана (с возрастанием различия в размерах) должна когда-то, где-то, согласно какого-то закона, или даже по приказу волшебной палочки... пойти на убыль, чтобы возникла наконец биекция (туды её в качель).
Собственно, в этом только и состоит вопрос темы: дайте хоть намёк на какое-то основание, на какой-то довод, из-за которого процесс когда-нибудь пойдёт вспять и наступит долгожданная биекция.
Другими словами, я могу до конца своей жизни приводить примеры всё большего и большего ОТСТУПЛЕНИЯ от биекции, увеличивая количество рассматриваемых натуральных чисел. И ни одна математическая падла на меня не обратит внимание. А Кантор просто декларировал: "быть биекции!" без всяких на то оснований, не приведя ни одного... не не о примерах даже речь, а не приведя ни одной возможности того, как биекция возникнет... И вот перед ним все упали на колени и бьются головой о землю.
Причём, я не утрирую. Именно в этой части канторовской теории множеств (самой базисной её части) никаких противоречий математики не фиксируют. Противоречия засекли в более развёрнутой части его теории множеств. О ней сейчас мы не говорим.
Нет, так дело не пойдёт! Вы пальцем ткните. Вы же посылаете, мол сам сгоняй, посмотри, там на бесконечности должно быть ахренючее расхождение.
Ну так вежливо послать и Кантор мог, типа вот множество:
{1, 4, 9, 16, 25, ..., n, n+1, ...}.
И вот множество:
{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26..., n, n+1, ...}.
Они счетные, типа сосчитать можешь? Да! Вот и ходи лесом, не морочь голову.
В этом примере я готов показать отсутствие биекции для любого заданного вам значения n. Попробуем?
В свою очередь от вас (и от вашего собутыльника Кантора) требуется ЛИШЬ НАМЕКНУТЬ на тенденцию - когда процесс со всё большим n и соответствующим разрывом в количестве квадратов и неквадратов пойдёт на убыль. Вы на это можете только ответить: Христом Богом клянусь! Хотел бы я посмотреть вам в глаза, когда такой довод высказал бы я в суде, после нанесения вам побоев: вы бы демонстрировали синяки и видеозапись, а я бы крестился и уповал на Бога, что этого не было.
Нам с Кантором ваши тенденции "с разрывом количества" ни каким боком, сами придумали сами разъёживайтесь! Качественный скачок был? Был, один единственный - множества упорядочены по возрастанию до бесконечности? Другие были? Нет! А на нет и разговор окончен. Заслуга кантора в другом, он доказал, что множество действительных чисел не счетное. А про то, как скрытый процент запихать в аннуитетный кредит, Вам любой банкир расскажет. Про мордобой разговор отдельный. Кто там кого "дустом" травит, и "трубит по БиБиСи"?...
То есть, значится, всё дело в упорядоченности множеств. Вот она - главная помеха в достижении биекции!!! И главное, эта сука Кантор промолчал о такой палке в колёса его теории. Итак, на упорядоченных множествах вся эта теория множеств работать отказывается. Понял! Иду сать.
Нет, всё дело в том, что кроме как в упорядоченность до бесконечности, Вы никуда пальцем не ткнули, то ли не хотите, то ли не можете. То же мне блин открыли чудо, только и можете на каждом шагу (перед тостом) доливать клиенту палёный спирт в чистое пиво.
Всё что не по теме буду чистить. Так что - спасайся, кто может. Срок - 24 часа.
Немного повторения (ликбез)
Теперь о множествах. Множество N вложено во множество Z, которое вложено в свою очередь во множество Q, а то во множество R.
Теперь о биекции квадратов натуральных чисел.
Устанавливаем однозначное соответствие:
Множество А: 1,2,3,4,5...n+1...
Множество Б: 1,4,9,16, 25.... (n+1)*(N+1)...
Биекция? Согласно определения биекция. Равномощные? каждому элементу множества А соответствует элемент множества Б.
Согласно определения Биекцией к А будут следующие множества:
Множество С: 2,3,4,5...(n+1)+1...
Множество Д: 3,6,9,12,15...(n+1)*3....
Биекция натуральных чисел? Да. При сложении и умножении всегда получаются натуральные числа.
А в случае обратных операций? Вычитания (алгебраического сложения с отрицательным числом), деления и извлечения степенного корня.
В этих случаях мы однозначно выходим за пределы множества натуральных чисел и вынуждены вводить отрицательные, дробные, иррациональные числа.
В приведенной биекции квадратичная зависимость элементов одного множества от элементов другого.
Только волюнтаристская
Роль квадрантов и неквадрантов одинакова, а вот разность между количеством неквадрантов и квадрантов при стремлении множеств к бесконечности, так же будет стремиться к бесконечности.
Когда (на каком этапе) тенденция к снижению количества неквадратов по отношению к квадратам начнёт себя проявлять?
Никогда.
О бесконечностях. (В данном случае. А у Кантора? Не читал, не знаю
)
Но множества равномощные по определению биекции.
Ошибка в том, что вы незаконно переносите понятия "больше" с конечных на бесконечные множества, для которых оно изначально не определено.
Неправильно говорить, что всех натуральных чисел больше чем только квадратов. Понятие "больше" пока не определено. Корректное утверждение состоит в том, что квадраты представляют собой собственное подмножество всех натуральных чисел.
Для конечных множеств собственное подмножество содержит меньше элементов чем все множество. "Часть меньше целого" - одна из аксиом Евклида. Для бесконечных множеств это не так просто потому, что понятия меньше и больше для них не определены.
Прежде чем говорить о бесконечных множествах, не плохо было бы разобраться в конечных. С бесконечными человечество разбиралось две тысячи лет и при этом умнейшие люди наговорили кучу глупостей. Поэтому, начнем с конечных.
Как мы сравниваем два конечных множества?
Есть два способа 1) посчитать. 2) сопоставить. Помните как в фильме ""Добро пожаловать или посторонним вход воспрещен" вожатая пытается понять, все ли дети вылезли из речки? Сначала он их пересчитывает. А когда у нее не получается, просит всех встать рядом со своими тапочками. Так она понимает, что пар тапочек на одну больше чем детей, а значит одного ребенка не хватает.
На самом деле это один способ. Посчитать - значит сопоставить, соотнести с последовательностью натуральных чисел. Вот оно - взаимно-однозначное соответствие. Даже вожатая пионерского лагеря знает, что это такое... для конечных множеств.
Для конечных множество невозможно установить взаимно-однозначное соответствие между собственным подмножеством и всем множеством. Для конечных множеств часть меньше целого. Для бесконечных множеств это не так. Между любым бесконечным подмножеством множества натуральных чисел и всем множеством натуральных чисел существует взаимно-однозначное соответствие.
Поэтому для бесконечных множеств понятие "больше" раскалывается. Подмножество - это одно, а отсутствие взаимно-однозначного соответствия - другое.
Правильно говорить, что эти бесконечные множества равномощны. Т.е. имеют одинаковое, хоть и бесконечное, количество элементов, т.к. для каждого натурального числа из первого множества найдётся квадрат этого числа во втором множестве и наоборот.
Строго говоря, с учетом правки.
Ну, зачеркнутое Вами - это ж для бытового понимания )))
В качестве бытового понимания, нормально. Но у вас одно бытовое понимание, а у автора темы - другое. Он просил написать, в чем его ошибка. Я написал, что в его бытовом понимании.
Ну, из двух разных пониманий истинным может быть только одно )))
А из двух разных бытовых пониманий?
А это как повезёт )))
Из Википедии. Статья мощность множества. Пункт 1. :
1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность, равномощны).
Википедия - это не источник знаний. Это только первая справка. Короче, Википедия - не аргумент.
.
ПростаЯ, 29 Август, 2019 - 12:44, ссылка
Взаимно-однозначное соответствие между иррациональными и трансцендентными действительными числами
План такой:
Шаг 1. Устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между между иррациональными и всеми действительными числами
Шаг 2. Устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между всеми действительными числами и трансцендентными действительными числами.
Тем самым задача будет решена
Изначальные предпосылки.
1. Все действительные числа разбиваются на иррациональные и рациональные
2. Все действительные числа разбиваются на трансцендентные и алгебраические
3. Множество рациональных чисел счетно.
4. Множество алгебраических чисел счетно.
Ход доказательства.
(1) Докажем что счетное множество равномощно сумме двух счетных множеств. Т.е. что между счетным множеством и объединением двух непересекающихся счетных множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Доказательство. Пусть А, В1, и В2 - счетные множества. Это значит, что элементы этих множеств можно перенумеровать натуральными числами. Элементам с нечетным номером из множества А будем ставить в соответствие последовательные элементы из множества В1 (т.е. 2n-1-му элементу из А - n-ый элемент из В1), а элементам с четными номерами из А - элементы из В2 (т.е. 2n-му элменту из А - n-ый элемент из В).
Таким образом, взаимно-однозначное соответствие установлено.
(2) Докажем, что множество действительных чисел Д за вычетом любого счетного подмножества С сохраняет свою мощность. Т.е. между "усеченным" и полным множеством действительным чисел можно установить взаимное-однозначное соответствие.
Доказательство: Разобьем множество действительных чисел Д на три подмножества: C - заданное счетное подмножество, С' - любое счетное подмножество в оставшейся части Д (Д-С), О = Д-С-С' - то, что осталось.
Если кто-то сомневается, что в Д-С можно выделить счетное подмножество, то это легко. Возьмем любо элемент Д-С, например x. И рассмотрим такие числа, как x+1, x+2, ... В нашем случае они образуют счетное подмножество Д-С.
Продолжим. Элементам С' из Д-С ставим в соответствие элементы С+С' из Д, на основании (1). Оставшиеся элементы Д-С и Д одни и те же. Это Д-С-С'. Они ставятся в соответствие сами себе. Тем самым, искомое соответствие получено.
(3) Используем результат (2) в шаге 1 и 2. Задача решена.
Уффф... Кажется, я поняла ваше доказательство ))) И оно мне кажется верным ))) Короче, я вам верю! ))) Я верю, что множества иррациональных и трансцендентных действительных чисел равномощны )))
ЗЫ. Супер! )))
Грубая схема такая:
С - некоторое счетное множество
Р - множество рациональных чисел
А - множество действительных алгебраических чисел
И - множество иррациональных чисел
Т - множество действительных трансцендентных чисел
Д - множество всех действительных чисел
= - равная мощность (наличие взаимно-однозначного соответствия)
Учитывая, что
С = Р + С
С = А + С
Получаем
И = С + (И - С) = Р + С + (И - С) = Р + И = Д = А + Т = А + С + (Т - С) = С + (Т - С) = Т
Ага. Метаграмму вы получили . За 4 шага превратили И в Д, а за следующие четыре шага - Д в Т.
Вики говорит, что сделать из мухи слона тоже можно за 8 шагов, вот так:
МУХА-МУЛА-КУЛА-КИЛА-КИЛТ-КИОТ-КЛОТ-КЛОН-СЛОН.
ЗЫ. Шутк...
Не зря дедушка Кантор придумал диагональный метод. До сих пор ничего лучше нет и вряд ли будет для доказательства счётности или несчётности бесконечных множеств.
Вот только непонятно, что вы доказали? Несчётность(континуальность) и тех и других установлена.И брать одно за другим числа из этих множеств, последовательно и устанавливать соответствие всё равно не получится, как, например, в множестве рациональных чисел. Произвольно брать и складывать в соответствие? Можно, но смысл отсутствует.
Дело в том, что несчетность и "континуальность" не одно и то же. Во-первых, суoествуют более мощные множества, чем континуум - гиперконтинуум. Во-вторых, ничто не мешает существованию промежуточных между счетными и континуумом. Поэтому, если множество иррациональных и трансцендентных несчетны, из этого еще не следует, что они равномощны. Вот их равномощность я и доказывал.
Ага. А ещё они равномощны множеству вещественных чисел, как и множеству их(вещественных) же на отрезке (0,1).. Кто то успел раньше вас..
Разумеется, все это доказано 100 лет назад. Вы не в курсе: меня просили привести доказательство - я привел.
Да. Спасибо )))
Вы действуете согласно определению понятия биекци в математике. На это я возражаю в том смысле. что биекция не вызывает никаких вопросов при рассмотрении конечных множеств. Но если она (биекция) используется при обращении к бесконечным множествам, то сразу возникают недоразумения. Недоразумения - в довольно точном смысле этого слова, если его рассматривать по составляющим.
Наглядный пример в вашем шаге 1. Понятие всех (в выражении "всех действительных чисел") входит в противоречие с понятием бесконечность. Какая может быть, к чёрту, бесконечность, если мы спокойно заявляем о всех её членах? Ведь именно всех и нет. На то она и бесконечность.
В случае с бесконечным множеством слово "все" (члены множества) подразумевает бесконечно большое (НЕопределённое) число. В случае с конечным множеством слово "все" (члены множества) подразумевает конечное (определённое, конкретное) число.
Таким образом, в рамках понятия биекция одно и то же слово "все" подразумевает как определённое, так и неопределённое. Аристотель, значиццца, отдыхает со своим законом тождества. Однако, тут раскрываются широкие двери для науки! Если разрешается нарушать закон тождества (закон рассуждений), то можно объяснить вообще всё, что, собственно, и делает Кантор, у которого, например, часть может быть равна целому [и пусть. мол, эти суки-плебеи повесятся из-за того что выдумали эти слова НЕ в таком понимании, как гений математики.]
Итак, с понятиями определённый и неопределённый мы разобрались. В церкви св.Кантора постановили считать это одним и тем же. А как быть с понятием "...подразумевает бесконечно большое (НЕопределённое) число..." ? Тут ведь имеется в виду количество. Причём, понятие количество прикладывается (как грелка к животу) к понятию бесконечность. Продолжайте дальше. Интересно будет узнать о количестве элементов бесконечного множества. Ведь оно неопределено не потому что мы такие бяки (не хотим раскрыть правду о количестве), а потому что бесконечность не имеет количества. Иначе его надо было бы назвать конечным. Итак, количество - это не грелка. Его нельзя применить к бесконечному. Но можно переопределить само это слово количество и быстренько приложить к животу, а в следующем же предложении (когда речь пойдёт о конечных множествах) быстро переопределить это слово и опять приложить к животу. В промежутка между прикладываниями надо не забывать каждый раз отдавать приказ Аристотелю, шоб застрелился, гад!
Ну, это вы глупость ляпнули. В понятии биекции ваще нет слова "все".
Там есть слово "каждому", что равносильно "всем".
А бесконечное НЕ равносильно конечному.
Не врубился в начало предложения. Что означает "А"? К чему из предыдущего оно отнсится? Это, типа - "зато"?
Это типа "все" для бесконечного множества НЕ равносильно "все" для конечного множества. Теперь врУбитесь?
Так ведь именно это я и утверждаю, когда говорю, что слово "каждому [элементу]" в определении понятия биекция [которое - определение - ОДНО для конечных и бесконечных множест]... да, так вот в это слово каждому вкладываются различные значения в рамках одного и того же высказывания, что и является нарушением закона тождества Аристотеля.
Мало того, не просто разные значения подразумеваются, а не указано что именно подразумевается под каждым элементом для бесконечного множества [для конечного - ясно и без пояснений]. Таким образом мы имеем, с одной стороны - ясное значение, а с другой - другое, но не объяснённое. А само определение биекции - одно... на всех (мы за ценой не постоим).
Теперь врубились?
Нет. Это ваш домысел.
Вкладываются, значит, не различные значения слова? А как же вы перед этим сами гворили, что "все" для бесконечного множества НЕ равносильно "все" для конечного множества.
Ведь все элементы множества это и есть каждый элемент множества.
Именно так. "Все" - это общее количество членов множества, т.е. мощность множества. Мощностью бесконечного множества является бесконечное число. Мощностью конечного - число конечное. Бесконечное число НЕравносильно конечному.
Теперь надо объяснить что означает общее количество членов бесконечного множества. Вы взяли синоним слова "все" и решили, что тем самым объяснили понятие все для бесконечного множества. С таким же успехом можно было попытаться вместо все написать all и добавить в скобках - см. англо-русский словарь. На всякий случай - "каждый" по-английски "each" (но это не спасательный круг для понимания).
И даже более - два разных конечных числа не равносильны между собой. А уж что означает бесконечное число я даже не спрашиваю. Достаточно того факта, что "оно" точно отличается от любого конечного. Отсюда и вопрос - как может ОДНО определение биекции быть логичным и для конечных и для бесконечных множеств, если заложенное в определение понятие (каждому) имеют разный смысл (правильнее - значение) для конечных и бесконечных множеств.
??? Ну сколько уже можно объяснять вам это??? У меня уже нет ни сил, ни терпения, ни слов.
Оспидя... Ну тогда согласно вашей логике, определение биекции НЕ логично и для конечных множеств, т.к. мощность у различных конечных множеств - разная. М???
За те же самые деньги вы могли дать ссылочку. Или повторить.
Для конечных множеств никаких вопросов нет. Мало того, для них нахер не нужно слово мощность. Они вполне обходятся словом количество элементов. И понятие биекция, и существующее определение биекции для них не вызывает вопросов. Но ведь одно и то же определение нам пытаются втюхивать как для конечных, так и для бесконечных множеств. В то время как слова в определении: и слово количество, и слово каждому, и слово все - имеют разный смысл для этих двух типов множеств. Так я и прошу - или крестик снимите, или трусы наденьте.
Вот кстати, как дать ссылочку на автора и его сообщение? Хде эта опция, никак НЕ найду. И вообще, хто разработал такую бестолковую и неудобную структуру и функционал форума? ))) Руки бы ему поотрывать )))
В чём разность смыслов? И в конечном множестве слово количество означает количество, и в бесконечном. И в конечном множестве слово каждый означает каждый, и в бесконечном. И в конечном множестве слово все означает все, и в бесконечном. По-вашему, в бесконечном множестве слово количество означает НЕ количество, а что-то другое? Что именно?
"все" для бесконечного множества НЕ равносильно "все" для конечного множества, ибо ЗНАЧЕНИЕ "все" для бесконечного множества равно бесконечному числу, а для конечного - конечному числу.
Жаль только, что не существует какого-нибудь мало-мальски приличного бесконечного числа. Эх, если бы существовало! Правда, тогда не было бы и бесконечности. А то, какая же это нафиг бесконечность, если у неё есть (даже захудалое) бесконечное число.
Бесконечное число НЕ имеет конкретного значения, в отличие от чисел конечных.
И при этом разницы в смылах нет:
То есть у одного и того же слова есть конкретное значение или нет - смыл один и тот же? Другими словами, в рамках одного высказывания мы можем подразумевать под "все" и что-то конкретное, и что-то неконкретное. Это именно то, что называется нарушением закона тождества. Вы попали в самую точку.
Нет. Вы всегда должны подразумевать под "все" - общее количество.
Подразумеваю именно так. Но у бесконечного множества общее количество отсутствует, а у конечного - присутствует. Отсюда поздравляю вас со вторым попаданием в десятку. В рамках одного контекста вы приказываете отсутствие и присутствие понимать как одно и то же. Аристотель аплодирует ещё одному удачному примеру нарушения закона тождества. Даёшь третий пример!!! Бог троицу любит!
Нет. У бесконечного множества общее количество равно бесконечному числу. Отсутствие общего количества выражается числом 0. Общее количество, равное 0, характерно для пустого множества.
У бесконечного множества общее количество элементов отсутствует, так как его нельзя определить ничем конкретным. А уж как ОБОЗНАЧИТЬ нечто неопределённое (которое определить невозможно) - это второстепенно. Перевёрнутая на 90 градусов восьмёрка НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ количество, а лишь ОБОЗНАЧАЕТ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ этого количества (числа).
Эх, если бы (размечтался) можно было бы определить нечто неизвестное путём выдумывания красивого символа для его обозначения... Наука бы уже остановилась, а художников-рисовальшиков расплодилось бы, как муравьёв.
"У бесконечного множества общее количество элементов отсутствует"
НЕверно. "Отсутствует" - значит, равно нулю. У бесконечного множества общее кол-во элементов больше нуля
Для бесконечного множества отсутствует само понятие - количество. Отсюда и отсутствие понятия все элементы и каждый элемент. Если бы к бесконечному множеству можно было бы присобачить понятие количество, то оно стало бы конечным (с каким-то количеством). А если мы пытаемся сказать, что бесконечное множество всё же имеет некое количество элементов, но просто это другое понятие (количество), которое отлично от понятия количество для конечных множеств, то вступает в силу закон тождества: одно и то же слово имеющее разные значения не может фигурировать в одном контексте с двумя этими значениями одновременно. Аналогично и слова каждое, и все. Так вот в определении биекции одно ключевое слово (каждому) - общее и для конечных и бесконечных множест. А словосочетание каждому [элементу] не может иметь одно и то же значение для этих двух типов множеств. Получается, что шли дожди и два студента - один в пальто, а другой в университет.
"Для бесконечного множества отсутствует само понятие - количество. Отсюда и отсутствие понятия все элементы и каждый элемент."
Ну, если бы понятие "каждый" для бесконечного множества отсутствовало бы, то отсутствовало бы и для биекции в бесконечном множестве.
А не наоборот ли: если отсутствует понятие каждый для бесконечного множества, то в определении биекции (для бесконечного множества) это слово использовать нельзя. А чтобы было можно, надо просто БЕЗ ПРОТИВОРЕЧИЙ объяснить что означает каждый [элемент] для бесконечного множества. Если это означает все [элементы], то это будет означать, что для бесконечного числа элементов мы можем говорить о всех элементах, и тогда такое понимание "все" ничем не отличается от "все" во множестве с конечным числом элементов.
"если отсутствует понятие каждый для бесконечного множества"
НЕ отсутствует.
Оно действительно присутствует, т.е. не отсутствует. А поэтому повторяю ТО ЖЕ САМОЕ (из предыдущего своего сообщения), на что вы не соизволили ответить:
А чтобы было можно [использовать П_О_Н_Я_Т_И_Е "каждый"], надо просто БЕЗ ПРОТИВОРЕЧИЙ объяснить что означает каждый [элемент] для бесконечного множества. Если это означает все [элементы], то это будет означать, что для бесконечного числа элементов мы можем говорить о всех элементах, и тогда такое понимание "все" ничем не отличается от "все" во множестве с конечным числом элементов.
Да, понимание "все" для бесконечного множества ничем НЕ отличается от понимания "все" для конечного. Значение "все" для обоих множеств равно числу - бесконечному для бесконечного множества и конечному для конечного множества.
Итог дискуссии прошёл под лозунгом: "Даёшь бесконечное количество уже сегодня!"
ПростоЙ народ сразу же выдал на-гора ответ: "Бесконечное количество принадлежит бесконечности!" (я-то - дурак - думал, что принадлежит пролетариату, а оно - вона как!)
При этом подразумевается, что это - хранимое как эталон бесконечное число - никому не позволяется пачкать своими грязными руками, а доступ к нему открыт только избранным, не всяким там простым, а простым с большой буквой "Я" в конце (правда, не в бесконечном конце)... все остальные, наконец, идут на конец.
Вы не правы. На самом деле противоречие в ВАШЕМ смысле возникает гораздо раньше - когда я произношу фразу "действительное число", потому что "действительное число" подразумевает ВСЕ знаки после запятой бесконечной десятичной дроби.
А это уже тесно переплетается с "количеством" на отрезке.
Ведь по-настоящему чистый математик и глазом не моргнёт, когда говорит, что прямая (или отрезок) предстваляют собой бесконечное множество точек. И кто бы спорил! Однако точка, по мнению ТОГО ЖЕ математика, это именно то, что не имеет размеров. И вот это множество, не имеющее размеров, образуют отрезок, который как раз и характеризуется тем, что размер имеет. Логика зашкаливает.
Вы путаете логику с представлением обывателя.
Когда я говорю, что логика зашкаливает, то глядя лишь на слово "зашкаливает" уже исключает путаницу. Потому что этим показывается, что речь идёт имено об обыденном понимании слова логика. Так что у меня противоречия нет.
Правильнее сказать: об обыденном НЕпонимании.
Вы хотите сказать, что мне неподвластно понимание слова логика даже в обыденном его понимании?
Я хочу сказать, что понимание и обыденное представление - это разные вещи. А уж что вам ближе, сами решайте.
Великая мысль.
Как я понимаю, она вам понадобилась уже ВТОРОЙ раз вместо объяснения понятие каждому элементу в определении биекции (применительно к бесконечным множествам). Или, что аналогично, к понятию все элементы и опять же применительно к бесконечным множествам.
Ох и любите вы, Вадим Владимирович, «бодаться» с адептами разных религий (сект).))
Но вопрос о логике, в том числе обыденной, по-моему, интересный.
Все мы в своих размышлениях опираемся на какую-то логику, и творческие личности тут тоже не исключение. Правда, у них, творцов, особенно у гуманитариев, как я заметил, логика легко выгибается в дугу и не только может сама себя укусить за хвост, но и сама себя пересечь. Лобачевский отдыхает и нервно курит в сторонке.))
Кроме того, эти творческие личности, по-моему, творчески переосмыслили женскую логику. У них тоже сначала есть «правильный» ответ, а потом они начинают строить «логическое» обоснование. И если традиционная (обыденная, формальная?) логика в этом им помочь не может, то тем хуже для неё. Ведь у них в запасе всегда найдётся своя логика и построенная на ней "теория", которую "простым смертным" ни за что не понять.))
Но в этом плане зато достаточно легко по-моему определить, исходя из каких представлений городил свои конструкции, например, Кантор. Судя по тому, что он поначалу везде выводил равномощность, то в основании его представлений, скорее всего, лежала банальная уверенность в том, что есть только один бесконечный континуум, и как только речь идёт о чём-то бесконечном, то это есть в итоге «подключение» к этому самому континууму и его «мощности». А дальше все «доказательства» - не более чем «ритуальные пляски», которые, например, вам тут буквально «на коленке» городят ваши оппоненты.))
Правда, потом появились разные мощности, т.е. появились у него как бы разные бесконечности, которые к тому же можно ещё и сравнивать. Но это уже «раскол» единого континуума, что по-моему хорошо коррелирует с расколом сознания у шизофреников. Не зря же Кантор закончил свою жизнь в психбольнице.))
Ну, не только Кантор. Вот маленькая цита из моей книжечки, где я заодно разбираю несколько парадоксов:
[
“Метафизического” математика Гёделя больше всего беспокоила чистота математики в рамках… “мироздания”. Он умер в клинике, где лечился от параноидального психоза. Становится грустновато от невольно возникающего вопроса: метафизические подходы – это причина или всё же следствие таких душевных состояний?
]
Меня смущает в данной теме (в топике) казалось бы элементарнейший вопрос - финальный: о какой закономерности идёт речь? Какая такая закономерность начнёт снижать волюнтаристски завышенную охотником роль неквадратов в сравнении с квадратами в последовательности натуральных чисел? Когда (на каком этапе) тенденция к снижению количества неквадратов по отношению к квадратам начнёт себя проявлять? О каких диапазонах чисел у Кантора идёт речь?
Мне странно, что я такой вопрос (или такого типа вопрос) нигде не мог отыскать. Но ведь он же напрашивается! Может вы где встречали? Собственно, слова "смущает" и "странно" - это цветочки моего психического состояния, так как подсознание всё время шепчет: этого не может быть! В смысле - не может быть, чтобы никто подобный вопрос не задавал. Ведь чтобы его задать достаточно иметь образование на уровне восьми классов.
С удовольствием перечитал эту вашу работу, в том числе приложение с парадоксами.
Видимо, вам нужно и к этому парадоксу с теми же инструментами подходить. Но боюсь, что математиков такой подход не устроит.)
Не помню, встречал или не встречал.
Думаю, что человек со средним, да и высшим образованием, встретившись с утверждениями, что "часть" равномощна "целому", да ещё в неких специальных терминах, просто решит, что это не доступно его пониманию, а так как люди не сильно любят демонстрировать другим свои умственные недостатки, то просто сделает вид, что ему тоже всё понятно. Я ведь тоже проходил (видимо, мимо)) все эти "фокусы" Кантора и Ко, но тогда у меня никаких вопросов не возникло, т.к. привык доверять преподавателям, да и зачем технарю глубоко вникать в эти вопросы? Тем более, что на парадоксах нам тогда никто внимание не акцентировал.
Общее замечание.
Заметьте, в открытой теме я говорю просто о последовательности (не о множествах). О множествах я заикнулся специально в квадратных скобках. Вы апеллируете к аксиомам понятия множеств. То есть к тому, что как раз является непонятным. Этот метод беспроигрышный. Вы всегда будете в танке. Ведь Кантор and K всегда могут сказать: "вы считаете это издевательством над здравым смыслом? ОК! Мы это якобы издевательство обозначим как аксиому. А против аксиомы нет приёма, как и против лома."
Теперь по сути.
1. Можем ли мы, говоря о последовательность натуральных чисел, сказать, что каждому числу в последовательности соответствует квадрат этого числа? Если не можем, то почему?
2. Можем ли мы сказать, что между числами и их квадратами есть взаимно-однозначное соответствие (термин, который был известен задолго до Кантора)?
3. В последовательности первых n чисел, например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26… количество неквадратов превосходит количество квадратов. И самое главное - с увеличением n тот разрыв прогрессирует.
Теперь вопрос, та главная моя непонятка, на которую я хотел бы получить ответ. Цитирую из топика с незначительными изменениями:
...такая закономерность – прогрессивный отрыв в количестве неквадратов по сравнению с количеством квадратов – нарастает, как снежный ком. Страшно даже подумать во сколько раз количество неквадратов перегонит количество квадратов на "подступах к бесконечности".
Итак, как я понимаю, гениальный Кантор доказал, что этот лавинообразный процесс пойдёт в конце концов на спад, и превратится в обратный – количество квадратов начнёт брать верх над неквадратами и закончится всё это мирной ничьей. Мощности этих множеств уравняются... А то ещё (не дай бог) эта закономерность по процессу всё большего уравнения мощностей не остановится и колиичество квадратов начнёт... превышать количество неквадратов... и того больше - количество квадратов настолько обнаглеет, что со временем будет превышать количество всех натуральных чисел. Закономерность ведь может оказаться (перекрестясь)... неустранимой. :)
Финальный вопрос: о какой закономерности идёт речь? Какая такая закономерность начнёт снижать количество неквадратов в сравнении с квадратами в последовательности натуральных чисел? Когда (на каком этапе) тенденция к снижению количества неквадратов по отношению к квадратам начнёт себя проявлять?
Не нравятся нам множества - нихай будут последовательности. Это ничего не меняет. Последовательность даже сложнее чем множество. И аксиомы теории множеств здесь совершенно не причем. Я их даже не упомянул. Но не суть.
Я уже указал вам вашу главную ошибку. И здесь ничего не изменилось. Все ваши рассуждения о прогрессивном отрыве, о лавинообразном процессе, о необходимости обратного процесса относятся только к конечным последовательностям и не имеют никакого отношения к бесконечным последовательностям. Вот и все.
Ну не нравится вам бесконечность. Что я могу сделать? Это и есть ваша личная заморочка.
Так ведь я точно так же могу сказать - бесконечные множества (которые НИКАК НЕ МОГУТ ВОНИКНУТЬ даже в уме, то есть - их возникновение невозможно даже вообразить) являются вашей заморочкой... по сравнению с моей, где всё вполне воображаемо, это заморочка таки в квадрате. Образуем последовательность: вы - это заморочка; я - это у вас заморочка; вы - это у вас; я - это у вас... Вот она - истинная бесконечность! Заметьте, не я её начал.
Уж кто-кто, а вам ясно как огурец. что там творится в бесконечности и где и когда она начинается. То есть, получается, что она НИГДЕ, НИКОГДА не начинается, а сразу существует - без возникновения. Именно это и была ГЛАВНАЯ ПОБУДИТЕЛЬНАЯ причина у Кантора как религиозного человека. Именно поэтому он вёл активную переписку о своей теории множеств с Ватиканом, пытаясь обосновать творение Бога - подвести "научную" основу под это, основу бесконечной всемугощества Бога и его творений.
И вот, в 21-веке, ТАКУЮ бесконечность заложили в аксимы. То есть в то, что рекомендуют признать в качестве очевидности. Или иначе - самое непостижимое, что только мы можем в мире назвать непостижимым, решили назвать... очевидным. И вот эти люди действительно заперещают другим ковыряться в носу, поднося им под нос очевидные аксиомы о том, что понятия больше больше не существует. Кстати, почему не пересматривается вся - ВСЯ, бля, та математика, где используют понятие больше? Ведь оно незаконно. Я уже не говорю о той очевидности для математиков, которые из двух шаров делают четыре шара - того же объёма. Ну, что ж... бывает, говорят математики, не будем же мы отказываться от аксиом из-за этой чепухи. Короче, десятиминутное битьё головой об пол у безумных верующих смотрится совершенно нормальным в сравнении религиозными математиками.
Пусть так. Но если бесконечности нет и не может быть, то какой смысл рассуждать о том, как она устроена? А вы ведь именно об этом и рассуждаете. В этом и состоит (в третий раз пишу) ваша главная ошибка: вы законы конечного применяете к бесконечному, существование которого, к тому же, отрицаете. Это даже не заморочка, а замороченная заморочка.
Тут даже слово "быть" смотрится странным. Поэтому я и не говорю, что её не может быть, а говорю лишь о том, что бесконечность невозможно помыслить, представить себе.
Всё с точностью до наоборот! Вся суть моей темы направлена на то, что о бесконечности именно что невозможно серьёзно говорить!!! В смысле - нормальному человеку. А у математиков это, как будто воды попить.
Опять всё до наоборот. Я именно смеюсь над тем, что к бесконечности применяют какие-либо законы (высосанные из религиозного пальца, который у математиков ВСЕГДА у виска и всегда направлен вверх).
Но всё же. В чём незаконность моего главного вопроса о том, КАКИМ ОБРАЗОМ может ОЧЕВИДНАЯ закономерность прогрессивного увеличения количества неквадратов в сравнении с квадратами, приообрести обратный эффект, чтобы мощности уравнялись.
Ведь из теории Кантора получается, что в данном случае чем глобальнее неравенство, чем сильнее прогрессирует это неравенство, тем ближе мы приближаемся к истинности, а именно - к равенству мощностей. Это же ведь точно по Оуэролу: мир - это война, правда - это ложь, и т.д.
Но даже если принять такое понимание равенства (как по мне - то абсурдное), то будучи последовательным, надо (повторяю) всю - ВСЮ, бля (мать вашу... и т.д.) математику пересмотреть! Ведь там в тысячах высказываниях речь идёт о равенстве в БОЛЕЕ-МЕНЕЕ нормальном понимании этого слова. Пусть даже не стопроцентного, но не с точностью же до наоборот: чем больше неравенство, тем сильнее оно стремится к равенству.
P.S. И чтоб не бегатть за бутылкой второй раз - ещё один вопрос о теории множеств. Из теории вытекает, что в каждом множестве содержится пустое множество. ОК. Но также говорится и подчёркивается, что пустое множество только одно. Каким образом одно может содержаться во всех?
И тем не менее вы говорите
И далее
Не вижу смысл разбираться во втором, если не разобрались в первом
Конечно же, я могу ошибаться, когда пытаюсь что-то сказать о математическе. На то есть всевидящее математическое око, напоминающее глаз в масонском треугольнике. Это как раз тот надзор, о котором я говорил, что он никому не позволит ковыряться в носу.
Но всё же... В данном случае я не вижу у себя грубых ошибок. Возможно вы не учли целостность сказанного. Цитирую себя по полной:
Итак, я говорил о несчастной последовательности из первых 26 чисел. И что же я там успел нахимичить такого, что дальше образует ступор, после которого вся математическая жизнь останавливается?
Если вы серьезно будете говорить только о конечных последовательностях натуральных числе, то весь ваш разоблачительный пафос уйдет в песок и ограничится фразой, что бесконечных последовательностей не существует. Что-то в таком роде (сокращаю):
Фрагмент темы "Сделайте мне биекцию, plz !" от непризнающего бесконечность
Взглянем на такую "необычную" последовательность как натуральные числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26
[Можно взять последовательность подлиннее, например до миллиона или миллиарда, но боюсь, что буду лимитирован местом на моём жёстком диске.]
Жирным шрифтом выделены числа, которые представляют собой квадраты других чисел. В данном случае 1,2,3,4 и 5.
Заметим, что:
а) в этой последовательности натуральных чисел (и любой другой ограниченной последовательности подряд идущих натуральных чисел) количество квадратов и неквадратов (что, собственно, и составляет всё записанное в последовательности) явно больше, чем одних лишь квадратов, которые выделены жирным.
б) любое натуральное число можно возвести в квадрат, и, ясен пень, для каждого точного квадрата есть свой квадратный корень.
Из этого НЕ следует, что количество квадратов столько же, сколько натуральных чисел, поскольку мы всякий раз имеем дело лишь с ограниченной последовательностью натуральных чисел, а бесконечность не признаем. Следовательно, сколько ВСЕГО натуральных чисел и сколько ВСЕГО квадратов - вопросы бессмысленные и заведомо не имеют ответа.
И тут подходит Кантор и говорит: ни хрена! Есть таки бесконечность! И там все шиворот-навыворот. Ну не смешно ли?
Вот у меня и возникает вопрос к всё понимающим математикам. Объясните, plz, где ошибка вот в таком моём рассуждении:
Глядя на приведённую выше последовательность первых 26 натуральных чисел, видно, что неквадратов намного больше, чем квадратов. Более того, что чем больше чисел в такой последовательности мы будем рассматривать, тем значительней будет разрыв в количестве квадратов и неквадратов. Если сначала (на первом десятке) неквадратов было где-то в два раз больше, чем квадратов, то на втором десятке их было уже в четыре раза больше.
И такая закономерность – прогрессивный отрыв в количестве неквадратов по сравнению с количеством квадратов – нарастает, как снежный ком. Страшно даже подумать во сколько раз количество неквадратов перегонит количество квадратов, когда последовательность будет длиной в миллион, триллион, гугол или гуголплекc.
А бесконечности нет, поэтому и говорить о ней не будем.
Главное, на что я акцентирую внимание - это не сама бесконечность, а стремление к бесконечности (как, например, в матанализе стремление к бесконечно малой величине). И вот это стремление, то есть невероятный, и к тому же всё возрастающий разрыв в количествах (чуть ли не бесконечная разница в количестве... во всяком случае - стремящаяся к бесконечности) должен каким-то образом привести нас к бесконечности, где... вместо этой (чуть ли не бесконечной разницы) гсподствует ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ тенденция - уравнивание. Вопрос остаётся в силе - согласно какому закону такое возможно. [Более корректный вопрос должен был бы звучать так: с какого бодуна?! Неужто, потому что Кантора одобрил Ватикан?]
Если бесконечности нет, то нет и стремления к бесконечности, а есть только постоянное увеличение.
Если бесконечности нет, то весь матанализ - шулерство. Теория множества и возникла из стремления логически обосновать матанализ.
Есть бесконечность вы не признаете, что стремление к бесконечно-малой величине - бессмысленная фраза.
И так далее, и тому подобное. Вы постоянно говорите о бесконечности и тем самым постоянно противоречите сами себе. В этом ваша ГЛАВНАЯ ОШИБКА
Я говорю не об актуальной беконечности, а об потенциальной. Потенциальная - это, грубо говоря, то, что к любому наперёд заданному числу можно прибавить единицу и получить следующее число.
Для того, чтобы понять это, не нужно использовать слово бесконечность, а вы в своих рассуждениях просто не можете (или не хотите) избавиться от него. А если избавитесь, вся интрига испарится. Я об этом уже писал.
Почему же это различным математическим академикам и профессорам можно использовать слово бесконечность, подразумевая под этим именно потенциальную бесконечность (и больше того - отвергающих - актуальную), а мне - нельзя, мол, недорос, умом не вышел!
Вы можете использовать любое слово, только вы должны сами понимать и объяснить другим, что вы имеете в виду.
Что такое потенциальная бесконечность?
Потенциальная бесконечность, как я уже сказал, грубо говоря - это когда к любому наперёд заданному [натуральному] числу можно прибавить единицу и образовать очередное число.И вот так можно беспрерывно продолжать делать, но! Но это не значит, что предполагается существование бесконечных чисел, как объектов математики, с которыми можно было бы работать, не издеваясь над здравым смыслом.
Вот такое моё определеение после 10-минутного размышления.
Т.е. потенциальной бесконечностью вы называете некий ПРОЦЕСС (образования чисел)?
Ключевым понятием потенциальной бесконечности является невозможность узнать о ПРЕДЕЛЕ. А то что сейчас речь идёт о числах, так это просто из=за того, что тема задана о числах.
Точно такая же потенциальная бесконечность относится, напрмер, к понятию прямая (в евклидовской геометрии), которая не имеет предела. И поэтому она не может рассматриваться (без введения соответствующих оговорок) в качестве объекта. Из-за того, что объект - это нечто целостное (с воображаемыми границами, пусть даже и предполагаемыми).
Ну если вы НЕ можете рассматривать - зачем рассматриваете? Пусть рассматривают те, кто может.
Так я и не рассматриваю, а только указываю на возникающие противоречия у тех, кто рассматривает. Кроме того... впрочем, повторю то, что уже сказал ниже в этой теме:
Вся проблема заключается в том, что Кантор рассматривает БЕСКОНЕЧНЫЕ множества "здесь и сейчас". Они у него не образуются как результат каких-либо умозаключений, а ВДРУГ начинают существовать.
Потом всё это "вдруг" Гильберт возвёл в качестве математической ОСНОВЫ, заявив, что математики имеют право рассматривать математический объекты именно как существующие здесь и сейчас даже если невозможно помыслить процесс их возникновения. Главное (по убеждению Гильберта) чтобы это "здесь и сейчас" не противоречило текущему комплексу аксиом.
P.S. Маленькая деталька. Текущий комплекс аксиом как раз и разработан для обеспечения концепции "здесь и сейчас" :) .
Так пусть рассматривающие сами за себя скажут, возникают у них противоречия или нет. Вам-то почём знать обо всём этом, если вы НЕ рассматриваете? Как можно рассуждать о том, что НЕ рассматриваешь...
Есть куча известных противоречий в "теории бесконечночти" - таких, узнав о которых, автор должен был бы "застрелиться". Впрочем, некоторые авторы не далеко ушли от "застрелиться" - они сходили с ума и заканчивали свою жизнь в психатрической лечебнице (тот же самый Кантор, например).
Вы не указали ни одного.
Это становится уже интересным. То есть, открытая мною тема по-вашему не имеет никакого отношения к противоречиям? На это я опять же могу ответить - имеет. Естественно, ожидая ваше возражение со словами: "не имеет". И таким образом мы начнём образование новой бесконечной цепочки вразумительных ответов.
На всякий случай процитирую из Википедии, статья "Бесконечность", раздел "В математике. Теория чисел". Цитата:
Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляет парадокс Галилея: каждому числу может быть сопоставлен его квадрат, то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чисел [Бурбаки, 1963, с.39].
Именно этот парадокс Галилея и обсуждается в этой теме. Это типичный логический парадокс возникающий, когда при рассуждении выявляется противоречие. И на это вы говорите, что я не привёл ни одного примера.
Экскурсовод в зоопарке: смотрите - это верблюд. Зритель: нет такого животного!
Вы не понимаете чем парадокс отличается от противоречия? Печально. Чем ссылаться на Википедию, возможно там и правда много противоречий, приведите хоть одно противоречие в теории бесконечности.
Откройте Википедию на странице "Парадокс", раздел "парадоксы в логике". Читаем: Логический парадокс — противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.
Я не призываю вас становиться на колени перед Википедией. С ней можно тысячу раз не соглашаться, но нельзя не соглашаться с тем, что изложенное там является как минимум одним из бытующих в научном мире мнений. А у вас получается, что вроде как я всё это выдумываю.
Эта открытая мною тема как раз и говорит о логическом противоречии, которое возникает как только мы переходим из конечного множества в бесконечное, пусть даже самое изначальное бесконечное - в счётное.
Вы не выдумываете. Вы просто не в курсе. И это печально.
Что в открытой вами теме много противоречий, я как раз не сомневаюсь. А также в противоречии между вами и Кантором. В чем противоречие в теории бесконечности?
Одной какой-то теории бесконечности нет. Тем более нет общепризнанной. Не говоря уже о доказанной.
Однако теория множеств не только предусматривает бесконечность, но и построена в основном на том, что она существует сама по себе. В таком подходе возникают много противоречий (см. статью "Бесконечность" в Википедии).
Одно из которых (повторяю) я привёл, открыв эту тему по парадоксу Галилея. Этот парадокс и вознкающее противоречие связанное с парадоксом - общепризнано. На это вы заявляете: а я не признаю это в качестве противоречия. То есть, процесс опять становится бесконечным: это противоречие; нет, это не противоречие; это противоречие; нет, да; нет... Мой ответ - имеете конституционное право не признавать. Тем более, в рамках свободы религиозных верований. Ведь у вас (с Кантором) выходит, что часть это не обязательно меньше целого, а понятие больше - это не то больше, что подразумевалось человечеством (до Кантора), и т.д. Собственно, ведь и в тот факт, что внутри земного шара есть ещё один шар - большего размера, тоже никому верить не запрещается. Спорным является лишь то, что эти верующие хотят за эту веру получать зарпалату.
Вам азбуку что-ли объяснять? Противоречие в теории означает что из данной теории вытекают в качестве следствий два противоположных утверждения: А и не-А. Покажите эти два противоположных утверждения наконец.
С одной стороны доказывается, что число квадратов и неквадратов (всех натуральных чисел) больше, чем число только лишь квадратов, а с другой стороны - доказывается, что одинаково. Образуется противоречие: не может быть одновременно и больше, и одинаково.
Это не правда. Можно доказать, что неквадратов больше в любой конечной последовательности натуральных чисел. А такую бессмыслицу, как "число квадратов и неквадратов (всех натуральных чисел)" оставьте при себе, так как такого ЧИСЛА просто не существует.
Это вы мне? Или Галилею?
Я согласен, что такого числа не существует. Но совершенно аналогично можно сказать и о биекции, где каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого. На это я вашими же словами говорю: оставьте это при себе, говоря о каждом. Каждого (то есть всех) - не существует.
Это я вам
Вы, разумеется, можете сказать все что угодно.
Если рассматривать квадраты как подмножество всех чисел, то его мощность будет меньше, чем у множества всех чисел. Но если рассматривать квадраты как отдельное множество, то его мощность будет равна мощности множества всех чисел, ибо имеет место взаимное соответствие.
Вы опять немножечко запутались. Множество натуральных чисел, множество квадратов, множество простых чисел и даже множество рациональных чисел (обыкновенных дробей) - все это примеры счетно-бесконечных множеств и все они имеют одну и туже мощность. Более того, ЛЮБОЕ бесконечное подмножество натуральных чисел имеет ту же мощность. И между всеми этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Из широко известных только множество действительных чисел, т.е. бесконечных десятичных дробей - как периодических так и непериодических - имеет бОльшую мощность чем множество натуральных чисел.
Я не запутался. Я "знаю" о разных мощностях. Читал. Поэтому пока разговор касался о самых изначальных бесконечностях (маломощных), т.е. счётных множествах. И даже тут есть парадоксы связанные с множеством порядковых чисел. То есть таких бесконечных множеств, проще которых уже не бывает.
Это я не вам отвечал
И тем не менее мощности некоторых бесконечных множеств можно сравнивать, что вы и сделали вот здесь:
____________________
Да? Соберите в бесконечное подмножество натуральных чисел только простые натуральные числа и сравните мощность этого подмножества с мощностью множества всех натуральных чисел. М?
Согласно теории множеств указанные вами мощности считаются одинаковыми. [Если предположить, что простых чисел - бесконечно]
Верно. У обоих множеств мощность является числом бесконечным, потому и говорят о равной мощности.
Это конечно весьма смелое предположение, особенно если учесть, что боле 2000 лет назад его доказал Евклид, причем в вашем излюбленном смысле, в смысле потенциальной бесконечности, т.е. что не существует последнего простого числа.
Евклид не лез в бесконечность. Всё, что он мог о ней сказать - это то, что к любому числу можно прибавить единицу и получить очередное. И так - неограниченное число раз, безгранично, беспредельно, бесконечно. Но никакого доказательства существования бесконечности никто ещё не представил. Это умозрение называется допущением. Если мы допустим, что есть всё-таки какая-то граница, то это будет такое же по силе допущение, как и безграничность... и даже сильнее, потому что границы мы ощущаем намного лучше, чем безграничное. Границы мы представить можем миллионы раз в своей практической жизни, а с безграничным мы на практике не сталкиваемся.
Есть предположение, что материя существует вечно, т.е. длительность существования материи равна бесконечности.
Я тоже думаю, что материя существует вечно. Но я же говорил о нашем умозрении в практическом смысле, в жизненном. Так вот, с границами мы сталкиваемся намного чаще, чем с бесграничным. Не знаю как у вас, но мне, например, приходилось сталкиваться с ограниченным количеством денег.
Но если с безграничным мы таки сталкиваемся - значит, оно безграничное- бесконечное существует, м?
Ну вот, например, мы нередко сталкиваемся (с мебелью и друг с другом) в комнатах своих квартир. А ведь длина диагонали наших комнат равна в большинстве своём иррациональному числу, которое, как известно, имеет бесконечное количество знаков после запятой.
Не ломитесь в открытую дверь. Все что доказал Евклид, это что, что за любым простым числом есть очередное простое число. И так - неограниченное число раз, безгранично, беспредельно, бесконечно.
Легко. Все натуральные числа - все простые числа: 1 - 2, 2 -3, 3 - 5. 4 - 7, 5 - 11, 6 - 13, ... n - n-ое по счету простое число (можно написать алгоритм, который будет вычислять n-ое по счету простое число) ...
Но здесь у вас одному и тому же натуральному числу 5 соответствует сразу два простых числа - 3 и 11. Это уже НЕ однозначное, а двузначное соответствие, м???
А что вы скажете о мощностях множеств трансцендентных и иррациональных чисел?
Мощность множества иррациональных и трансцендентных больше мощности натуральных и рациональных.
Правда, нужно было бы побольше узнать что такое больше. :)
Не-не-не, я не о совместной мощности спрашивала. Сравните мощность множества трансцендентных чисел с мощностью множества иррациональных чисел.
А я не о совместной и ответил, а о каждой в отдельности.
А я просила сравнить мощность множества трансцендентных чисел НЕ с мощностью множества рациональных чисел, а с мощностью множества иррациональных чисел. М???
__________________
И, возвращаясь к вашему:
имею следующее возражение:
Но здесь у вас одному и тому же натуральному числу 5 соответствует сразу два простых числа - 3 и 11. Это уже НЕ однозначное, а двузначное соответствие, м???
(1) Трансцендентных столько же, сколько иррациональных
(2) Натуральному 5 соответствует простое 11, а натуральному 2 соответствует простое 3. Все однозначно.
Т.е. мощности этих двух множеств равны? Чем докажете? ))) Взаимно-однозначное соответствие в студию! )))
Еще раз. У вас 3-5 и 5-11, откуда следует, что 5 - {3,11}
Сходу не смогу.
Не следует. Вы сопоставляете два множества. У вас одна пятерка из одного множества, а другая из второго. Правильное сопоставление {3,5} - {5,11}
Нет. Это вы сопоставляете два отдельных множества. А я сопоставляю множество (натуральных чисел) и подмножество (простых чисел) внутри этого множества, где элемент подмножества является элементом всего множества. В этом случае возникает НЕоднозначное соответствие у некоторых чисел. Понимаете, о чём я? ))) Ну, я пытаюсь объяснить парадокс Галилея ))) На бытовом уровне )))
Скажу по-другому. Каждому натуральному число n однозначно соответствует n-ое по порядку простое число, и наоборот - каждому простому числу однозначно соответствует его порядковый номер. Это и есть взаимно-однозначное соответствие.
Точно! )))
Придумал, но долго объяснять.
А вы запишите без объяснений )))
Колонка очень узкая. Я в конце темы напишу... Попозже
Прежде чем давать решение. Вас какие трансцендентные числа интересуют - действительные или комплексные?
))) Давайте начнём с действительных )))
Готово. Здесь
Никаких противоречий вы так и не указали.
Никакой проблемы в этом нет
Неверно. Главное, чтобы аксиомы не противоречили друг другу.
Ничего подобного. Аксиомы разработаны чтобы эксплицировать предпосылки теории.
Поддерживаю ваш ответ о том, что никакой проблемы в этом нет. Раз вы начинаете "построение бесконечности", то рад способствовать этому, и потому отвечаю: в этом есть проблема.
Аксиомы не должны противоречить друг другу. Кто бы спорил? Однако это не отменяет известнейшее выражение Гильберта о понятии существования в математике: Если не противоречит, значит существует.
Собственно, именно это и является камнем преткновение во многих спорах между чистыми мвтематиками (Гильбертом, например) и "грязными" прикладниками, которые не могут понять каким образом математический объект может существовать, если он не может возникнуть даже в умах суперфантазёров.
Вы противоречите своему же ничего подобного. Ведь предпосылки как раз и заключались в построении чистой дедуктивной теории, для чего и разрабатывались аксиомы согласно широко известному обращению Гильберта к математикам в самом начале прошлого века. И с того времени как раз и начали разрабатываться ИМЕННО ТАКИЕ системы аксиом (чтобы всё остальное выводилось чисто дедуктивно): Рассела, Цермело-Френкеля и т.д.
Я ничего не начинаю
Пустые слова. Если есть проблема - укажите ее.
Я написал: "Ничего подобного. Аксиомы разработаны чтобы эксплицировать предпосылки теории". Где я этому противоречу?
Бред сивой кобылы. Вы понятия не имеет об аксиоматическом методе.
Отлично! Таким образом понимаемая потенциальная бесконечность прекрасно обходится без слова "бесконечность". Вам даже не надо его убирать. Выше я проделал это за вас. И там прекрасно видно, что вся интрига испарилась.
Если вы последовательно отстаиваете ваше определение потенциальной бесконечности, то бессмысленной становится фраза "стремление к бесконечности". Вместо нее "неограниченное увеличение".
При неограниченном увеличении последовательности натуральных чисел число квадратов в ней всегда меньше числа неквадратов.
Все. Никакой интриги. Кантор ИЗНАЧАЛЬНО неправ, какой смысл его обсуждать.
Фраза
также бессмысленна, т.к. у потенциальной бесконечности нет подступов.
PS. Кстати, может быть вы этого не знаете, но термин "биекция", или взаимно-однозначное соответствие, применим и к вполне прозаическим конечным множествам ил, если угодно, последовательностям.
Понимаемая мной потенциальная бесконечность предполагает В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ отсутствие предела. Именно этим она отличается от навязываемого вами конечного. В то время как актуальная бесконечность предполагает наличие неких математических бесконечных объектов, с которыми производятся действия. В этом смысле само слово объект УЖЕ противоречит понятию чего бы то нибыло, т.к. объект предполагает некую целостность, т.е. границы.
В открытой теме рассматривается потенциально бесконечная последовательность. И именно в этой ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ невозможно не только предположить, но и мысленно (в уме) представить ситуацию, когда эта потенция к прогрессивному увеличению разницы между квадратами и неквадратами начнёт уРАВНИваться. И поэтому само понятие РАВНОмощность становится противоречивым в смысле использования слова равно.
Вы уже дали определение потенциальной бесконечности и не надо его менять. А если хотите поменять, сначала дезавуируйте прежнее.
Я не навязывал вам конечного. Вы постоянно в ней находитесь. Вот ваши собственные слова:
Вот и успокоились бы на этом. Но нет. Заноза бесконечности видимо глубоко засела.
Все ваши рассуждения об актуальной бесконечности - простое сотрясение воздуха. Почему? Да потому, что согласно вашим собственным "о бесконечности именно что невозможно серьёзно говорить!!!".
Не правда. В этой теме рассматриваются различные все более и более длинные конечные последовательности. И ваши утверждения типа
лишнее тому подтверждение.
Вы запутались. Сначала вы говорили о конечных последовательностях, потом о потенциально бесконечных. Сначала просто о бесконечности, потом о потенциальной и актуальной бесконечности. Вы все время рветесь кого-то опровергать, а в результате опровергаете только самого себя. Вам давно пора закрыть эту тему и начать с чистого листа.
Зачем же мне отказываться от сказанного, если (как вы говорите) новым определением (а на самом деле не новым), я лишь подчёркиваю главную мысль в старом, а именно (цитирую себя): когда к любому наперёд заданному [натуральному] числу можно прибавить единицу и образовать очередное число. И вот так можно беспрерывно продолжать делать.
Совершенно не противоречит одно другому, а наоборот - обращает ваше внимание на фразу "и вот так можно беспрерывно продолжать делать", то есть, без предела. Именно эта беспредельность (как явление) и есть потенциальная бесконечность. Где пробой в логике?
В топике темы, после рассмотрения примера из 26 чисел, я как раз и перехожу к обусловленному моменту - к беспредельности образования этой последовательности с неизменной функциональной зависимостью - прогрессивного увеличения разницы между количествами.
И итоговый вопрос совершенно закономерен - когда, где и при каких обстоятенльствах эта закономерность станет обратной, приближаясь к чему-то ПРОТИВОПОЛОЖНОМУ - от увеличивающегося неравенства к хоть какому-то явлению, которое хоть как-то можно было бы ассоциировать с равенством.
Постоянно увеличивающийся (без границы, без предела, без конца) числовой ряд - это нормальный пример потенциальной бесконечности, который так и понимается большинством математиков.
Можете не отказываться. Даже наоборот. Вы можете в каждом следующем предложении опровергать сами себя и при этом ни от чего не отказываться. Поскольку все это, по вашим словам, не заслуживает серьезного разговора.
Где же я оповергаю сам себя?
Кратко: то у вас все последовательности конечны, то вдруг появляется потенциально- бесконечная. То вы смеетесь над любой бесконечностью, то, оказывается, что вы отвергаете только актуальную бесконечность.
Моя тема ПРЯМО-ТАКИ открывается словами о том, что мы сейчас пойдём по неверным стопам Галилея. [парафраз "по неверным стопам Паниковского"].
То что я изложил в переводе на современный русский - это диалог между персонажами Сальвиати и Симпличио из книги Г.Галилео, где он использовал понятие биекции (не употребив само слово - биекция).
Ещё раз. Потенциальная и актуальная бесконечность является уже давно общим местом - главным в споре между чистыми и прикладными математиками. И они именно так и называют эти два вида бесконечности. Говоря о потенциальной, её признают бесконечностью, но не рассматривают объекты в этой бесконечности, а просто констатируют ситуацию В актуальной же бесконечности зоркий взгляд чистых математиков "наблюдает" объекты, которые... и тут главный вопрос, которые есть нечто целое??? Или теперь под объектами надо понимать совсем другое?
У меня нигде не сказано о ВСЕХ последовательностях. И я не понимаю (объясните) почему нельзя начать с конечной последовательности, а потом её продолжить, и рассматривать как бесконечную (потенциально). Где крамола?
Но все последовательности, в которых вы сравниваете число квадратов и неквадратов - конечны.
Я рассматриваю последовательность не как с каким-то конечным (заданным) числом членов, а в процессе её увеличения - стремящейся к бесконечности, то есть - к не имеющей предела. При этом выявляется закономерность о всё большем, прогрессирующем разрыве в числе квадратов и неквадратов. И всё что я хочу - это узнать - когда это прекратится. В "настоящей" ли бесконечности? В истинной (божественной), на которую молился Кантор, а потом слышался лишь стук лбов о пол от других математиков? Можно иначе. Не когда, а почему это нарастание НЕРАВЕНСТВА должно перерасти в некое равенство?
Что за глупости? В каком еще процессе? Где он происходит? На Марсе? С какой скоростью? Она сама что ли растет?
Какая еще закономерность? Вся ваша закономерность сводится к банальному утверждению, что в одной конкретной последовательности именно таким образом расставленных натуральных чисел
1, 2. 3 ...
квадраты встречаются все реже и реже. Все. И ничего более. И из этого положения, как бы вы не тужились, РОВНО НИЧЕГО не следует, ни о "количестве" квадратов в этой последовательности, ни о "количестве" неквадратов, ни о том, чего из них "больше", а чего "меньше".
Да никогда! Не уже ли это не очевидно. Только из этого опять таки ничего не следует. И факт этот никого не опровергает.
Когда математики рассматривают деление отрезка на всё меньшие и меньшие части, то это разве не процесс? Или наоборот - увеличение числа членов последовательности? При чём тут Марс? Мы это делаем в уме. [: Првда, иногда не в своём уме. :]
Поправка. Не в одной конкретной последовательности, а в последовательности, которая увеличивается за счёт увеличения количества её членов... в которой члены следуют друг за другом по тому же самому правилу.
А каким же это образом Кантор приходит к выводу о некоем равенстве, если неравенство всё возрастает и возрастает, будь оно в конечной последовательности, или в любом месте, так называемой, бесконечности?
А это уже не важно, поскольку находится вне сферы вашего интереса. Важно, что ваша статья ничего не доказывает за исключением банальностей.
Вы совершенно правы! Ведь эта тема не для доказательства чего-либо (включая банальности), а просто задаёт вопрос, и на этом она заканчивается. Жаль, что вопрос остался неотвеченным.
Вы не понимаете что-либо. Это бывает со всеми. Вы задаёте вопрос. И это делают многие. Вы не понимаете ответов. Такое случается. На этом тема заканчивается..
P.S. Это успех, это победа. Они не смогли ничего вам объяснить.
Все верно. У двоечника во всем учитель виноват.
Прошу прощения, Вы не там ищите. Вы получили/образовали очередное число грубо говоря на бумажке. Откуда здесь взяться бесконечности? Попробуйте оперировать смыслами, или геометрической визуализацией, числовой прямой например, возможно так получится обнаружить бесконечность, хоть потенциальную, хоть актуальную (абстракции парами ходят). Примерно так:
Здесь актуальная бесконечность в всмысле замкнутая (зацикленная) на себя последовательность, можно ведь считать пока не надоест по кругу , или туда-сюда.
Ну т.е. ваша претензия к бесконечности и прочей математике в том, что она НЕ всем доступна для понимания? Но это нормально. Соображалка-то у людей разная...
Вы предлагаете пасть на колени перед мудрейшими математиками и признать, что не по сеньке шапка? Так как не понятны ОСНОВЫ ОСНОВ той математики, которая, так сказать "осовременилась". Как по мне - приобрела ВСЕ ГЛАВНЫЕ ЧЕРТЫ религии.
Это не верно, что современная математика приобрела черты религии. Она всегда имела эти черты. В Древнем Египте математикой владели только посвященные. Один из основателей современной математики Пифагор, живший более 2500 лет назад имел все черты религиозного деятеля, основал секту, в которой одна часть - акусматики - имели право только слушать, а другая - математики - имели право говорить.
В своей статье про Гегеля я пишу
Однако, когда обществу, правительству или бизнесу нужно решить действительно трудную задачу, людей именно этой секты привлекают в первую очередь и они доказывают приземленность своих концепций.
Я с вами согласен. Но вот я действительно не знаю (и признаю, что это вероятнее всего именно из-за незнания) в каких практических расчётах используется актуальная бесконечность, которая породила все эти системы аксиом Цермело-Френкеля и пр., опирающиеся на теорию множеств.
В теореме Пифагора используется актуальная бесконечность, а теорема Пифагора используется в инженерных расчетах.
Как же она там используется? Вы имеете в виду в доказательстве от Пифагора? Или вы намекаете на корень из двух?
Я намекаю на корень из двух
Так разве есть такие прикладные расчёты, где требуется больше шести-семи значащих цифр для достижения нужной точности. Ну, пусть даже десять. Или... от нашего стола - вашему пусть будет 12.
Ну значит, правильная формулировка теоремы Пифагора должна быть:
"Квадрат гипотенузы приблизительно равен сумме квадратов катетов с точностью до 7-го знака после запятой".
А формулировка Пифагора неверна. Чем бы вы не мерили сторону и диагональ квадрата - сантиметрами, миллиметрами, микронами... - квадрат диагонали НИКОГДА не будет равен сумме квадратов двух сторон. Можете начинать переписывать ваши инженерные учебники прямо сейчас.
Тю, мне лень, но можно привести пример, когда m/n будет не иррациональным, но иметь 20, 30 и больше знаков после запятой. Для практических расчётов любой сложности - это то же самое, что и корень из двух с "бесконечными" цифрами после запятой, так как всё равно будет округление до 6. Ну, до десяти. Ну, максимум до 12-ти знаков после запятой. И в этом смысле для практики до лампочки сколько цифр после запятой следует после 12-ти.
А разве математика требует, чтобы вы использовали всё бесконечное количество цифр после запятой?
Не требует. Но почему надо переписывать технические учебники? Практике не важна бесконечная точность корня из двух. Из всего этого бесконечного уточнения практики используют первые несколько цифр после запятой. Короче, вопрос о переписывании технической литературы из-за непризнания актуальной бесконечности не понятен.
НЕ надо.
Совершенно верно. Математика - это точность АБСОЛЮТНАЯ. На практике в АБСОЛЮТНОЙ точности нет необходимости.
С абсолютом - в церковь, plz.
Ещё раз. Для вас арифметический переместительный закон сложения - это абсолютная точность? Заметьте, я спрашиваю о такой простейшей вещице, которая прям-таки первая среди простейших. :)
Как для меня, то тут и близко абсолютом не пахнет.
Ууууууу, как всё запущено... С понятием многозначности слов языка НЕ знакомы?
??? МАМАДАРАГАЯ! Неужто и эта элементарщина вам НЕ по зубам?
Не пониимаю зачем вы со мной разговариваете, если предполагаете, что мне не по зубам понимание переместительного закона сложения. Хотя... я в ваших глазах, наверное. резко пойду вверх, если выскажу премудрую вещь - переместительный закон - это коммутативность! Думаю, что произнеся это научное слово вместо плебейского - переместительность, то ко мне сразу изменится отношение. Не?
Ну если бы вам этот закон был по зубам, то и претензий у вас к нему НЕ было бы. М???
Не.
Всё наоборот - если есть обоснованные претензии к закону, то закон (как минимум) был по зубам. Поэтому вся соль заключается в обосновании претензий. А ваши замечания смотрятся не замечаниями, а огрызаниями именно потому, что вы, не зная о каких обоснованиях идёт речь, уже делаете выводы.
Претензия у вас была к точности переместительного закона. Коню понятно, что претензия ваша пуста, какие бы обоснования вы ей ни дали.
Эттт точно! Ещё точнее: "Я Пастернака не читал, но осуждаю..."
Ну, мне достаточно ваших разглагольствований о бесконечности, чтобы понять, кто есть кто и что к чему.
...и о Гегеле. Я ещё раз повторяю. Он делает всё возможное, чтобы его НЕ ПОНЯЛИ. И это подтверждается максимальным количеством разногласий в попытках его понять. Итак, зачем делать назло человеку!!! Он хочет, чтобы его не поняли, иделает для этого максимум возможного, а толпа ему в пыку: а мы всё равно будем стараться понять!!!
Вот и здесь у Гегеля: "многое, главным образом из-за туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства только на том основании, что то, что получалось, всегда было заранее известно…"
Неужели вы однозначно поняли что он хотел сказать этим своим... "доказательство того, что заранее известно".
Но дело даже не в этом. В нашем разговоре ссылки на авторитеты в качестве аргумента в дискуссии не должны использоваться. Это правило хорошей дискуссии.
Я не ссылаюсь на авторитеты. Напротив. Я пишу, что вы со своим "не верю" в точности как Гёте и Гегель.
Опять всё наоборот. Я всё время смеюсь именно над верой! И именно в религиозном понимании этой веры. Именно в абсолютную веру я не верю... в том числе и в абсолютную бесконечность. Я не должен доказывать, что её нет. Это вы должны доказать, что она есть. В любом виде, даже в воображении, в представлении, в фантазии, но... но должны показать как она ВОЗНИКАЕТ в уме. Именно это и есть самое главное "достижение" Гильберта, который провозгласил, что в математике не обязательно возникновение, а достаточно лишь провозглашения, типа пусть дано. И именно тут под пусть дано в экстремальных случаях (например при обосновании актуальной бесконечности)... так вот, в таких случаях под пусть дано понимается именно что дано Богом. А таким как я гильберты с канторами советуют посильнее биться головой об пол.
Мы ушли в сторону
Почему нет? Если шапка действительно не по Сеньке...
??? В любой конечной последовательности натуральных чисел квадратов ВСЕГДА будет меньше, чем неквадратов. Никакого спада и уж тем более обратки в конечной последовательности натуральных чисел НЕ будет никогда. Если Вам кажется, что спад возможен, то начиная с какого числа сие может произойти, по-Вашему, м???
Как говорил Остап Бендер, человека, у которого нет чувства юмора, я в детстве расстреливал. Из рогатки.
Присмотритесь к моему тексту (аналогичное есть - в топике). Ведь именно это ("пойдёт на спад") подразумевается в теории множеств у Кантора. Ведь в итоге это будут РАВНОмощные множества. То есть разрыв в количестве будет прогрессивно увеличиваться, но всё это "сооружение" (по Кантору) должно стремится к чему-то, что он называет РАВНО... Вот я и вопрошаю - согласно какой тенденции, согласно какому закону, по какому правилу и праву... всё увеличивающийся разрыв в количестве вдруг начнёт уменьшаться и дойдёт до "равно".
Но ведь это же цветочки! Мы же поглядели только на несчастные квадраты чисел. Но ТОЧНО ЭТО ЖЕ будет происходить, если мы возьмём не квадраты, а например, сотую степень. Уже десять в сотой - это где-то соизмеримо с количеством атомов в видимой нами Вселенной. При такой последовательности даже от второго её члена ум заходит за разум, если мы захотим представить себе сколько чисел находится между ближайшими "квадратами" (в смысле не в степени два, а в степени сто). Что говорить о числе десять в сотой, которое надо возвести в сотую степень. И тем не менее, математики настаивают, что и здесь совершенно нормально, что всё это перерастёт в равномощность двух множеств. А за попытку сказать, что в одном из двух множеств количество будет больше... то только лишь за произношение слова "больше" - моментально надо следовать на конюшню за шпицрутенами.
Ну, очевидно же, что спада НЕ будет. Значит, ваше подразумевание НЕверно. М???
ПростаЯ, буду лупить ремнём за простоту! :) [: Не путать с простатой. :]
Какое же это моё подразумевание, когда это канторовское, над которым я смеюсь. Ведь прогрессивное увеличение разрыва в количестве приводит к РАВНОмощности множеств (по Кантору). Получается, что чем ближе к бесконечности, тем прогрессивнее разрыв, но так как это всё равно будут счётные множества (по Кантору), то они все РАВНОмощны. Вот я вам и предложил пооперировать не с квадратами а с сотой степенью, где уже на первом десятке будет нечто за границей Вселенной. Но по Кантору это всё равно - РАВНО. Уж, что-что, а что там за границе Вселенной математики знают с абсолютной точностью. И ещё раз - даже сотая степень (то что условно считаем за границей Вселенной) - это капля в море по сравнению, например, с миллиардной степенью. Но и тут у Кантора всё ОК! Мощности множеств будут равны, ибо счётны, аминь! Действительно это ничем не отличается от стука головой об пол во время религиозного экстаза.
Больше заняться нечем?
Нет. Из факта "прогрессивного увеличения разрыва в количестве" равномощность множеств НЕ следует. Множества равномощны потому, что для КАЖДОГО числа из множества натуральных чисел найдётся соответствующий квадрат во множестве квадратов, а для КАЖДОГО числа из множества квадратов найдётся соответствующий квадратный корень из множества натуральных чисел - вот откуда равномощность.
Я возражаю против того, что прогрессивное увеличение неравенства в количестве элементов приводит к УМОЗАКЛЮЧЕНИЮ (путём введения биекции) к равенству мощностей, что так или иначе ассоциируется с равенством количеств. То есть, по идее должно получиться потенциальная бесконечность в НЕравентсве, а получается актуальная "бесконечность" равенства. [Взято в кавычки из-за нестрогости, метафоричности понятия]
Прогрессивное увеличение биекцию НЕ вводит. Между прогрессивным увеличением и биекцией связи нет.
Да, Кантор - молодец, умудрился по-моему доказать, что точка равномощна прямой, а прямая - плоскости и т.д.))
Но вас не одного волнуют эти парадоксы. Математиков тоже. Например:
«ТРАНСФИНИТНЫЙ РАЙ ГЕОРГА КАНТОРА:
БИБЛЕЙСКИЕ СЮЖЕТЫ НА ПОРОГЕ АПОКАЛИПСИСА»
АННОТАЦИЯ
Автор: А.А.Зенкин.
В данной статье анализируются некоторые эпистемологические дефекты логики
канторовского доказательства несчетности континуума с помощью диагонального метода
Кантора (ДМК), основанного на концепции актуальной бесконечности (АБ). В частности,
рассматриваются логические и психологические причины неприятия концепции АБ
такими выдающимися философами, логиками и математиками, как Аристотель, Евклид,
Лейбниц, Кант, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Вейль, Борель, Брауэр, и многими другими.
А.А.Зенкина я читал. Но ещё читал очень поучительную книгу (: ещё в прошлом веке :) известных авторов Блехман, Мышкис, Пановко о взаимодействии прикладной и чистой математики. Потом эта книга переиздавалась с чуть расширенным содержанием. Книга выдержана в академическом стиле, хотя в сносках иногда напоминает Ильфа и Петрова. :)
Описанный в топике парадокс был сформулирован Галилеем. Но я почему-то нигде не нашёл вопроса (и соответственно - ответа) к этому парадоксу, который у меня возник сразу по прочтению самого парадокса. То есть, вопрос о закономерности - с какого такого бодуна всё возрастающая разница между квадратами и неквадратами при увеличении количества членов ряда начнёт меняться в противоположную сторону.
Но ведь на самом деле этот галилеевский парадокс - мелкий писк, в сравнении с тем парадоксом, который вытекает из СОВРЕМЁННОЙ математической аксиоматики. Я имею в виду доказательство (на основе совремённых аксиом), что два шара можно разделить на такие части, что из них получится четыре, каждый из которых имеет тот же объём, что и первоначальные. [Острословы сразу сказали, что математикам можно не платить деньги. Они скинутся на два золотых шарика, а потом будут плодить их в неограниченном количестве: из двух - четыре, из четырёх - восемь, и т.д. И всё - золотые.]
Если бы я был математиком и автором этих аксиом, то я бы от стыда провалился бы сквозь землю. А математики ходят с гордой головой и похлопывают себя по груди со словами: "а я такой, а я упрямый, я Трюфальдино из Бергамо".
Вот эта: Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики (Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г.)?
Да, эта. Первое издание называлось "Прикладная матиематика: предмет, логика, особенности подходов." Те же авторы. Во втором издании список литературы "зашкаливает". Авторы - два доктора и член корр. Все известные математики (больше прикладники). Первое издание помню по молодости в доме. Его купил мой отец по рекомендации Митропольского - директора и-та математики, где отец делал свой доклад (даже два) насчёт применённого им метода решения сложного дифференциального уравнения. [: Из-за этого уравнения вся семья научилась засыпать под звук электрического арифмометра. :]
Нет. Там у отца была чисто инженерная проблема с расчётами. Он составил довольно сложное дифференциальное уравнение и пытался его решить. Ему "сосватали" Митропольского, который кроме как быть директором и-та математики, возглавлял в институте отдел связанный с дифуравнениями. В свою очередь Митропольский организовал моему отцу доклад в этом отделе.
Доклад показался довольно забавным. Отец в течении получаса ввёл математиков в курс инженерных особенностей и по ходу изобразил на доске то уравнение, над которым он уже пару месяцев бился, пытаясь его решить (в основном численными методами). И вот, ему оставалось до конца доклада 1-2 минуты, как кто-то из математиков подошёл к доске и переспросил что-то, указывая на формулу. Отец начал было ему отвечать, но в это время подошёл другой "зритель" и быстро уточнил для первого что имеется в виду. После этого подошёл к доске третий, и вступил в перепалку со вторым, изображая на доске какое-то уточнение.
Короче, через десять минут отец почувствовал себя совершенно лишним на этом "празднике жизни", так как на него уже никто внимания не обращал, а сформировались три группы сторонников того или иного подхода. И все они стояли у доски.
Отец такую ситуацию не ожидал, и подойдя к Митропольскому попросил извинение за то, что не сумел провести нормальное выступление. На это ему Митропольский сказал, что результат - более, чем нормален, так как они все очень заинтересовались путями решения уравнения.
Закончилось это всё через пару месяцев. Отцу удалось решить самому это уравнение путём использования комбинаций из разных численных методов. В итоге Митропольский созвал по этому поводу второе "собрание трудящихся", где отец доложил о результатах, а Митропольский обратился к своему отделу с упрёком насчёт того, что математики должны с уважением относиться к "инженерным" методам решения, так как пока математик ищет доказательство решения задачи, инженер эту задачу уже решил (пусть не на все случаи жизни, но для данной прикладной области уже можно применять).
Так что, в указаннай книге Блехмана, Мышкиса и Пановко - как раз по сути и описывается со всеми математическими "философскими" подробностями та концепция, с которой Митропольский обратился к своим математикам.
Из этой книги перескажу отрывочек, который в тему.
Два воздухоплавателя летели на воздушном шаре и их занесло куда-то. Они увидели внизу человека и крикнули ему: "Где мы?" Человек немного подумал и ответил им.
Воздухоплаватели решили, что он настоящий чистый математик. Это заключение они сделали по трём причинам: а) он ответил не сразу, а подумав; б) он ответил совершенно точно; в) из ответа невозможно извлечь никакой пользы.
Остаётся лишь добавить, что человек на их вопрос ответил: "Вы на воздушном шаре!"
Да, этот прикол я в книге уже прочитал.))
Ошибка ваша в том, что вы подсчитываете количество квадратов в ПОДМНОЖЕСТВЕ натуральных чисел. В подмножестве натуральных чисел квадратов всегда будет меньше, чем неквадратов, т.к. некоторые квадраты в рассматриваемое вами подмножество входить НЕ будут.
Например, когда вы рассматриваете подмножество натуральных чисел от 1 до 26, вы подсчитываете только те квадраты, которое в это подмножество входят, а те квадраты, которые в это подмножество НЕ входят, но натуральным числам этого подмножества соответствуют, вы в подсчёт НЕ берёте. Например, числу 7 из рассматриваемого вами подмножества соответствует квадрат - число 49. 49 в подмножество от 1 до 26 НЕ входит, поэтому вы его игнорируете, в подсчёт НЕ берёте, хотя во множество всех квадратов число 49 входит.
Это ваше рассуждение будет правильным, если вы замените слово "подмножество" на фразу "подмножество первых n натуральных чисел". Подмножество ВООБЩЕ может быть любым, в том числе и бесконечным.
Да? Ну тогда я добавлю только слово "конечное". Ведь любое конечное подмножество, НЕ обязательно ПЕРВЫХ n натуральных чисел, будет содержать квадратов меньше, чем неквадратов, да? Кроме подмножества {1,2,3,4} - здесь квадратов (1,4) столько же, сколько неквадратов (2,3) - по 2.
Это все равно неправильно. Конечное подмножество {4,9,16,25} содержит одни только квадраты.
Да-да, конечно. Квадратов меньше чем неквадратов в конечном подмножестве последовательно идущих натуральных чисел.
Так верно
Рассмотрел бы ситуацию так:
Берём наши натуральные числа:
2,3,4,5,6, и т.д.
Каждое число порождает бесконечный ряд квадратов
2 → 4, 16, 256, 65536.... ∞
3 → 9, 81, 6561, 43046721... ∞
4 пропускаем, оно уже квадрат
5 → 25, 625, 390625, 152587890625... ∞
....
Таким образом, каждый неквадрат, порождает бесконечный ряд квадратов, и мы добрались всего до числа 5, а квадратов уже на три бесконечности набрали.
Хватит ли этих бесконечностей, чтобы скомпенсировать бесконечный рост числа неквадратов? Вопрос открыт. Но судя по тому, что биекция таки устанавливается, видимо, хватает.
Дело в том, что уже число два так наплодоносило, что действительно - числу четыре там делать нечего. С числом три тоже много чего будет пересекаться, и т.д. А ведь любой число может быть в последовательности (множестве) только один раз.
Если Вы разделяете числа на квадраты и не квадраты и сравниваете их количественно,
то вот Вам подход, при котором число квадратов постоянно опережает число неквадратов.
Составляем два множества, одно натуральный ряд, который мы заполняем последовательным добавлением единички, второе множество квадратов на всей оси, которое мы заполняем по мере прибавления единички в первом, всеми соответствующими квадратами.
И видим, что второе множество, в любой момент, бесконечно больше любого подмножества в первом (в том числе и подмножества неквадратов) и наш натуральный ряд "догоняет" множество квадратов, только в моменты "поглощения" очередного квадрата. Но в следующий же момент, прибавления единички, число квадратов снова бесконечно возрастает. И только когда натуральный ряд поглотит бесконечное число квадратов, сам став бесконечным, только тогда, возможно, он начнёт догонять число квадратов, догонит его и установится биекция. Но возникает ровно та же проблема, что и в Вашем изначальном посте, только с точностью до наоборот, на каждое прибавление единички, кроме случая выпадения квадратного числа, число квадратов во множестве квадратов возрастает, причём бесконечно, что ещё хуже Вашего варианта, когда рост числа неквадратов, опережающий рост числа квадратов, при поступательном движении по ряду, был всё же конечен. Т.е. где бы Вы не остановили своё движение по натуральному ряду, квадратов во всём множестве квадратов, всегда с изрядным запасом (бесконечно) больше, чем всех членов натурального ряда накопленных к этому моменту и найти ту точку, откуда начнётся сближение количеств опять не получается.
Итак, мы образуем очередное число натурального ряда путём прибавления единички. Это число возводим в квадрат и образуем очередной член другого ряда - ряда квадратов.
И тут вдруг в нас просыпается некое видение, как вы говорите: "видим, что второе множество, в любой момент, бесконечно больше любого подмножества в первом (в том числе и подмножества неквадратов)..."
Вы случайно не перепутали видение с видением? Ведь всё вроде бы наоборот - после прибавления единички натуральный ряд по количеству членов становится на единицу больше ряда квадратов, так как мы ещё не "успели" этот очередной член возвести в квадрат. И только когда мы возведём его в квадрат и поместим в ряд квадратов, тогда эти ряды уравняются по числу членов.
Я же, как мне кажется, достаточно подробно расписал, как образуется ВСЁ множество квадратов. Если мы возьмём 2, его квадрат 4, но и каждое дальнейшее возведение в квадрат, даст нам очередной квадрат, и все-все-все эти квадраты будут производными от двойки, и не из какого другого НЕквадратного числа мы их не получим. Т.е. каждому неквадратному числу соответствует не только его собственный квадрат, но и весь последующий ряд квадратов (4-16-256-...). Т.е. мы берём очередной неквадрат, записываем его в натуральный ряд простым накоплением, а все квадраты к нему восходящие мы записываем во множество чисел-квадратов. Мы можем так сделать? Очевидно, что да. Кто нам может это запретить? Религия?
И вот так, последовательно заполняем два множества, одно натуральный ряд, а второе множество всех квадратов. Ключевое слово - всех. Очевидно, что натуральному ряду тогда придётся бесконечно долго догонять число квадратов, и только где-то там, за границами достижимого, он, возможно, начнёт таки догонять число квадратов. И то, на первый взгляд, кажется, что это сделать невозможно.
Догоняет натуральный ряд множество квадратов, только в моменты, когда выпадает очередной квадрат, так как в этот момент количество членов натурального ряда увеличивается на единичку, а множество квадратов остаётся неизменным. И включив в себя бесконечное число квадратов, натуральный ряд приближается к бесконечности членов множества квадратов. И надо полагать, раз биекция таки устанавливается, в какой-то момент натуральный ряд догоняет число квадратов.
Так ведь главное в этой теме - это биекция, то есть когда каждому элементу одного множества соответствуе элемент другого и наоборот.
Образовать такое соответствие можно лишь попарно. А у вас получается, что взяв один элемент (из натурального ряда), ему вы ставите в соответствие целую кучу элементов: и непосредственный квадрат, и квадраты квадратов.
Главной затыкой, в деле установления биекции, насколько я понял, Вам виделся, явный недостаток квадратных чисел по сравнению с числами неквадратными. Я Вам показываю картину, в которой число квадратов в любой момент не то что больше числа неквадартов, а бесконечно больше. В любой момент, в котором мы остановим этот алгоритм, любому уже выпавшему числу из натурального ряда найдётся свой квадрат, а число "неиспользованных" квадратов, всё ещё будет бесконечно велико. И оно устремится к нулю, только при бесконечном росте натурального ряда, по мере того, как он будет поглощать в себя всё больше и больше квадратов квадратов и их квадратов...
Я не спорю с таким алгоритмом. Но это не алгоритм "получения" биекции (по Кантору). Вся проблема заключается в том, что Кантор рассматривает БЕСКОНЕЧНЫЕ множества "здесь и сейчас". Они у него не образуются как результат каких-либо умозаключений, а ВДРУГ начинают существовать.
Потом всё это "вдруг" Гильберт возвёл в качестве математической ОСНОВЫ, заявив, что математики имеют право рассматривать математический объекты именно как существующие здесь и сейчас даже если невозможно помыслить процесс их возникновения. Главное (по убеждению Гильберта) чтобы это "здесь и сейчас" не противоречило текущему комплексу аксиом.
P.S. Маленькая деталька. Текущий комплекс аксиом как раз и разработан для обеспечения концепции "здесь и сейчас" :) .
Вопрос, а 1 в начале ряда квадрат или не квадрат??))
Одно дело манипулировать числами, изыскивая их свойтва, другое - применять числа и их свойства к предметам. Числа - абстракция предметного количества. Следовательно, нужно дать предметное определение бесконечности, а затем подступаться к ней с числами...
Если в ряду метры (1234...), то имеем 4 метра, а не 4 квадратных метров. Нет в ряду квадратов чисел... Они образованы путём прибавления 1 к предыдущему числу. Возведение в квадрат не производилось...
Это претензия к Кантору.
Ну, если говорить о натуральном ряде, то там, по некоторым представлениям, ещё и ноль можно было бы поставить, но суть от этого не поменялась бы.
Под "квадратами" полагаются числа квадратный корень из которых натуральное число, "неквадраты", соответственно, все остальные. Эту дихотомию задал автор топика. Я ей лишь следую.
А я к нему и обращался... Он сам удивлён, как У Кантора число квадратов и неквадратов оказалось равным в бесконечном ряду? Я же толкую, что в последовательности чисел нет квадратов. Проблема высосана из пальца...
Интересно, Вадим Владимирович, наблюдать за обсуждением Вашей темы о биекции, в которой участники обсуждения, как мухи в паутине, всё больше запутываются в своём собственном понимании на базе диамата и МЛФ.
Мне кажется, что причина непонимания аналогична непониманию в парадоксе Рассела.
Действительно, сложно понять идеи терминов "вид", "род" и "бесконечность. О таких философских трудностях размышлял ещё Платон. Основания такого непонимания Вы и сами хорошо описали в своём неудачном фельетоне про диалог ""Парменид".
ЕС
В смысе - моего непонимания?
Если по вашим словам я это хорошо описал, то почему тогда это надо считать неудачным?
Странно, что вы называете это моё "творение" ("Парменидом по лосеведам") фельетоном. На форуме кто-то назвал это философским детективом. По-моему, это ближе "к телу".
Не принимайте очень серьёзно мои субъективные оценки Вашего творчества. Главное о чём я хотел сказать про Ваши рассуждения о биекции связано с пониманием идей рода и вида.
ЕС
Пояснить понятие биекция при помощи идей рода и вида? Мне кажется, что это будет по-настоящему метафизическое пояснение. Истинно метафизическое! То есть, пояснение сложного через ещё более сложное. В этом смысле вы совершенно правы, так как это будет как раз наглядный пример бесконечности... пояснений.
Извините, Вадим Владимирович, но Вы извратили мою мысль, поставили "телегу перед лошадью". Из философского понимания идей рода и вида можно понять биекцию, которая имеет смысл только для объектов одного вида. Математики абстрагируются от смысла термина множественное и называют его абстрактным "множеством", в которое включают "пустое множество", "единичное множество" и "бесконечное множество", а они не являются "множественностями" в идее этого слова. В таком понимании идеи вида раскрывается причина трудности понимания тех проблем о которых Вы пишете, ИМХО.
ЕС
Понял. Надо действовать наоборот. Сначала род и вид, а понятие множество - производное от этих двух понятий. Другими словами, вы предлагаете дать определение математическому понятию "множество", которое будет выплывать из понятий "род" и "вид".
Заметьте, в математике не существует строгого определения понятия "множество". Причём, не существует такого определения не только в строгом математическом смысле, но и просто - с точки зрения здравого смысла. Так как на множество пояснений (не путать с определениям) математиков понятия множество есть, как говорится, свой х.. с винтом.
Нет смысла, Вадим Владимирович, рассуждать о философии и математике с точки зрения обыденного смысла. Математическое множество является искусственным абстрактным математическим термином и наделено тем абстрактным смыслом, который ему придали математики в своём свободном творчестве, а значит и понять его можно только в совокупности математических идей, а не с точки зрения философии или обыденной жизни. Вы коснулись самих оснований математики, о которых имеет смысл рассуждать только математикам, другим это всегда будет непонятно и это нормально. Аналогичным образом можно рассуждать и про философию, о чём я написал в статье "О философии через семь лет".
ЕС
Мне не стыдно за свой "обыденный" (т.е. здравый) смысл. Я уже своё отстыдился. Особенно на фоне тех, кто считает здравый смысл ничтожным, плебейским в сравнение со своей собственной математической гениальностью. А таких - хоть пруд пруди.
Спасибо, понятно.
Е.Силаев
Копните глубже и увидите, что математическое множество может быть как искусственно, так и естественно, что позволяет говорить о наличии философии в математике.
Иначе вы будет второй, после axby1, кто будет кричать "философ да не войдёт!"(в очередь, господа, в очередь...).
Вадим
В математике вполне существует, а у математиков(не проникшихся в её глубины) может и не существовать(по логике математического обывателя(поверхностного взгляда) - не видно, значит нет).
Вы как раз натолкнулись на такого эталонного математического обывателя! Я к вашим услугам! Теперь остаётся самая малость - дать ссылочку на математическое строгое определение понятия множество.
Я ведь как обыватель прочёл не все книги по теории множеств (ещё две-три надо раздобыть и... чтоб назубок!). Однако почти в каждой книге с которой я сталкивался автор оговаривает, что-то, типа,.. понятие множество это такое, ну, в общем вы понимаете... ну, когда много лягушек, например.
Но опять же, это у меня - обывательского обывателя недоумение. А мне бы сразу к вам обратиться: Даёшь определение!!! Из самой математики!!! Не от математиков только - жалких обывателях!!!
Вадим
За подобную малость Сократа осудили, как бы он не ссылался оправдывая эту непонятную остальным малость, его строгости, увы, не смогли внять, т.к. не считали сие строгой убедительностью своим рассудком("нет больше вымыслов чудесных, рассудок всё опустошил"). Подобные рассудочные("нормальные"), видимо, тоже хотели сразу получить(нахаляву), стоя, как вы, с "протянутой рукой". А тут им чудо подсовывают, которое они своим рассудком так-сяк- и в итоге никак.
До определения путь не близкий(хоя бы и было то "под носом" у каждого(рядом)), но это, то что рядом, удивительно, а удивляться не привыкли не только в философии, но и в математике.
Бесконечность тоже удивляет(ещё как удивляет!). И совсем не зря Аристотель её разделял на потенциальную и актуальную, понимая необходимость их взаимообращения, подобного некоему действующему закономерному процессу "вечного возвращения"(о котором заикнулся, например, Ницше) своими противоположениями роста и уменьшения(центростремительного и центробежного аспектов).
Если у единства есть противоположности, то почему их не быть у множества?
Но в теме речь о двух множествах - квадратов и неквадратов натуральных чисел.
Разве не напрашивается вопрос в отношении возведённости чисел в каждом из этих двух множеств?
Если в одном число возведено в квадрат, то во что возведено число в другом множестве(неквадратов)?
Можно конечно ответить, мол, возведено в неквадрат. Но что сие значит, возвести в неквадрат? Или думаете, что раз одно возведено, то другое само собой никуда не возводится в своей кажущейся естественной последовательности(1,2,3,4,5....).
Ведь можно заметить, что есть "упорядоченная" последовательность(n+1) дающая ряд 1,2,3,4..., но есть и неупорядоченная(n+-/любое число, дающая различие рядов 1,4,8,2... , 7,4,9,3... ит.п отражающая различные условия итога счёта оперирующего имеющейся последовательностью натуральных чисел.
....
Из вашего рассуждения о Сократе вытекает замечательная закономерность. Если человек в своих высказывания несёт всякую х...ю, то его сразу надо ассоциировать не с пиздоболом, а именно с Сократом.
Аристотель признавал только потенциальную бесконечность. А актуальная витала в воздухе у Платона с неоплатонниками.
Более того, в парадоксе сравнивается множество всех натуральных чисел (квадратов и неквадратов) с множеством только лишь квадратов. И получают, что всех чисел столько же, сколько квадратов, так как каждому числу соответствует его квадрат (и наоборот). Это называется биекцией - фундамент, на котором воздвигается вся теория множеств и ВСЁ формальное описание современной математики. Это именно то, что озадачивает.
Далее вы пишите... Впочем, далее у вас выходит за рамки обговариваемого парадокса, заданного в теме.
Вадим
Это вы повторяете многих "слышащих звон, да не знающих откуда он" в отношении сказанного Аристотелем. Если бы он признавал только ПБ, то ограничился бы в "Физике" только одним смыслом бесконечного. Однако он явно говорил о двух смыслах, и что "когда при таком положении дела начинает казаться, что ни одно из решений неприемлемо, возникает нужда в третейском судье...".
Если бы Аристотель признавал только ПБ, то ему незачем было бы "огород городить" - упоминать о третейском судье, который и нужен чтобы решать вопрос когда бесконечное существует в одном смысле, а когда в другом.
....
Ну так и сейчас бесконечность потенциальна, когда рассматривается какое-то соотношение или сумма при стремлении аргумента? к бесконечности или к нулю.
Стремление в имеющейся потенции. Во как!
Как говорится, хорошую потенцию дай бог каждому.
Здесь такое дело, что количественность реальности объективна, так как вся реальность универсально структурирована как сочетание относительно локализованных и распределённых объектов (или в простоте объект - среда).
А вот счисление этой объективной количественности субъективно, можно счислять сверху вниз и наоборот, вообще как угодно, отсюда и заморочки.
Потёр мои посты! Сам же толковал о тупике. Тупик - ищи другие подходы. Подсказываю, надо обратиться к основе - философии. Нет, потёр... Надо разобраться с определениями конечное и бесконечное. Как конечное превратить в бесконечное, а бесконечное - в конечное, для начала. Ох, упёртый!
Во-первых, в последовательном ряду чисел нет квадратов. То что названо квадратом (например, число 4) можно с тем же успехом назвать корнем квадратным (например, из числа 16) Последовательность построена по определённому правилу, не предусматривающему возведение в квадрат или извлечение квадратного корня. Но тот же поспедовательный ряд можно получить как извлекая корни из соответствующих чисел, так и, в принципе, возводя в квадрат другие подходящие числа.
Во-вторых, бесконечное не имеет смысла исчислять, потому что оно лишено оконечностей, границ. Например, велосипедное колесо. Нет начала и нет конца.
В-третьих, бесконечное имеет системную форму связей составляющих объектов. Пётр Капица любил сказать, это система, а это - нет. А у Вас, Спокус, с пониманием системы пока туговато и даже чего попроще - философии, имеется в виду.
То есть, надо разобраться в том, что содержится в главном вопросе этой темы, который я сформулировал так (если кратко): какая такая закономерность (тенденция) заставит прогрессивно нарастающий разрыв в количествах [квадратов и неквадратов] повернуть вспять, и начать приближаться к уравниванию этих количеств.
Учитывая то, что сам парадокс сформулирован Галилеем, особенно забавно звучит ваш щелчок по его носу: "Во-первых, в последовательном ряду чисел нет квадратов..."
Тёр, тру, и тереть буду!
Майданутый...))) Что ли?
Нету! По определению n + 1
Уважаемый Вадим Владимирович!
Обратите внимание, что стремление к Вашему пониманию математической биекции естественным образом привело к стремлению понять идеальный термин "бесконечность" на основании понятного конечного математического множества.
Если предположить, как делают математики, что бесконечное множество является видом для множества, как рода, с таким видовым отличием как "бесконечность", то рассуждения, справедливые для другого вида множеств, а именно для конечных множеств, совершенно не обязательно будут справедливы и для бесконечных множеств и наоборот. О таком философском понимании и таких парадоксах понимания вида и рода писал Платон в диалоге "Парменид".
Идея бесконечного является основополагающей для всякого понимания, но не может быть изложена на основании практического, материалистического понимания из опыта и обобщений всего конечного воспринимаемого в мире.
Как говорили философы Древней Греции: - "Невидимое является в видимом!".
ЕС
Не пудрите человеку мозги...)) Лопухин, технарь, материалистически понимает бесконечное.
Или сущность кроется в явлении.
Так ведь это и вызываету меня недоумение. Заметьте - у меня. У других - всё ОК. Наглядный пример - определение понятия биекция в математике. Оно одно и то же как для конечных, так и для бесконечных множеств.
Не парьтесь мой заокеанский друг, ибо когда ещё Козьма Прутков открыл - нельзя объять необъятное.
Тему можно закрывать.
Вот это правильно!
Бесконечное - философская категория, характеризующая неисчерпаемость материи и движения...
Энгельс: "Форма всеобщности есть форма внутренней завершённости и тем самым бесконечности: она есть соединение многих конечных вещей в бесконечное. Форма проявле5ния бесконечного - конечное... Наглядно, вращение велосипедного колеса бесконечно, а путь колеса - конечен...
Форма всеобщности у Энгельса - это в диамате система связей взаимодействующих объектов . Материальное движение представляет собой аналитико-синтетический процесс, системообразование. Поскольку он бесконечен, постольку бесконечны его конечные прояления.
Что такое бесконечность для ряда чисел n+1? Это не числа сами по себе, а процесс n+1, который проявляется рядом конечных чисел. Поскольку процесс бесконечен, постольку никто не скажет сколько в ряду может быть чисел...
В этой веточке дискутантам даётся шанс связать высказанные мысли с математическим понятием биекция. Иначе сообщения будут преданы огню.
Хорошую биекцию дай бог каждому.
Откуда у Кантора равенство неквадратов и квадратов в бесконечном последовательном ряду чисел? От верблюда)). Постигайте.