Итак, над процедурой установления смысла висит виртуальная надстройка, опции которой доступны для переключения :

• ПМД = { выключить >|< включить }
• Вывод = { дедуктивный >|< индуктивный }

  Для совместимости дальнейших рассуждений с геометрическим образом "ортогонального пространства смыслов" вместо "ПМД" подставлю лучше "Некоммутативность" (как было показано выше, на содержании рассуждений это никоим образом не скажется, поскольку в обоих случаях подразумевается собственный, независимый от граничных условий смысл того "пространства" на которое указывают оба термина). Тогда "координатной осью", или "ортом" этого пространства будет сама дихотомия как единое целое, обладающая свойством "некоммутативности направления" (согласно ПМД первым всегда появляется тезис как менее информационно-ёмкий и как следствие более доступный для понимания, а потом уже ему противопоставляется антитезис, который всегда сложнее, поскольку его семантику наследуют более трудноопределимые объекты), при том что ортогональным будет способ взаимного расположения дихотомий, которому свойственна коммутативность порядка вылезания ортов из тождественного для всех них начала координат семантического пространства (то есть ПМД применительно к сопоставлению дихотомий между собой находится в "выключенном" состоянии, поскольку представление об "ортогональности актуально-бесконечномерного пространства" не даёт никакой информации о порядке появления смыслов как координатных осей этого пространства). Переключение "триггера ПМД" в состояние "включено" влечёт за собой инверсию "актуально-бесконечного" количества орто-смыслов ортогонально-семантического пространства на "строго нулевое" число его измерений - то есть фактически оно превращается в точку, из которой по мере осуществления фрактальной свёртки-развёртки (назову её для краткости "вёрткой") семантические инварианты начнут вылазить по очереди. В принципе, ничего не мешает считать первыми двумя из них полученные на нулевом шаге вёртки две дихотомии, определяющие само семантическое пространство, ведь нулевой шаг представляет из себя ни что иное, как развёртку этого пространства до "актуально-бесконечно-мерного" (выключить ПМД) с последующей его свёрткой до "строго нулевого числа измерений" (включить ПМД). Приходится ловить себя на мысли о том что это не две разные опции, а одна и та же - то есть создаётся такое впечатление, что к четырём вышеперечисленным дихотомиям, "одинаково исходным и самоприменимым", я просто добавил ещё одну. Но не факт, надо будет потом раскопать эту мысль поподробней. Что же касается двух результирующих дихотомий, то ввиду их принадлежности к общей категории { сходств >|< различий } можно их все разместить на одной координатной оси - таким вот образом :

• Различение = { тождество ; единство >|< ортогональность ; противопоставленность }

  Порядок размещения дихотомических аспектов здесь можно считать предопределённым (свойство некоммутативности остаётся для них в силе, как и для тезисов дихотомии) : от краёв к середине - то есть к вертикальной палочке, указывающей на то что данный семантический инвариант как "ось" цепляется на "начало координат" семантического пространства. Как следствие, к нему добавляются две новые "засечки", разделяющие весь диапазон дискретных результатов различения на четыре смысловых оттенка. Предполагается что этих градаций семантической шкалы может быть и больше, а в пределе сколько угодно, в связи с чем возникает необходимость отличать "ди-хотомический" способ определения семантического инварианта от "мульти-хотомического", за которым я ранее закрепил термин "векторный" (если количество градаций на шкале неопределено и смысловой диапазон полагается непрерывным, то это будет означать выход за рамки граничных условий логики, оперирующей исключительно дискретной семантикой для обеспечения воспроизводимости текста в умозрении без информационных потерь). Тогда семантический инвариант в векторном представлении можно ассоциировать с ортом, начало которого зафиксировано в состоянии тезиса а указывающая на антитезис стрелочка этого вектора "свободно варьирует" в зависимости от количества промежуточных градаций семантической шкалы ; в дихотомическом же представлении его можно ассоциировать с координатной осью, тезис и антитезис которой разбросаны по разные стороны от начала координат. Впрочем, "разбросанными по разные стороны" они будут и в случае с мультихотомической разбивкой, а "вектором" или "ортом" дихотомию есть смысл называть тогда, когда количество смысловых градаций вообще говоря неопределено и по умолчанию фиксируются только два крайних положения шкалы, запечатлённые в тезисе с антитезисом.  Так, "вектор всёйности-абстрактности", полученный на первом шаге вёртки, можно отразить на мультихотомической шкале, закрепив его за одной "координатной осью" :

• Вектор всеобщности = { ничто ; абстрактное >|< конкретное ; всё }

  На втором шаге индуктивной вёркти получено уже восемь градаций семантической шкалы :

• Математика = { точка ; прямая ; пространство ; геометрия >|< алгебра ; время ; окружность ; число }

  Дедуктивным методом граничные условия всё той же математики выводятся путём последовательного дихотомирования "всего в собственном смысле" :

• Путь = "Всё/абстракции/научные/теоретические/непротиворечивые/формализованные/математические"

  Последовательно дихотомируются при этом тезисы следующих тезисно-антитезисных пар :

• Всё = { абстрактное >|< конкретное }
• Абстракции = { научные >|< гуманитарные }
• Наука = { теоретическая >|< прикладная }
• Теория = { непротиворечивая >|< полная }
• Непротиворечивость = { формальная >|< содержательная }
• ФЛ = { теоретическая (математика) >|< прикладная (информатика) }

  Таким образом, математика как теоретическая часть ФЛ обнаруживается на пятом шаге дедукции, если нулевым считать "все абстракции", и она же разворачивается за четыре шага индукции, если первым шагом при продвижении "от краёв к середине" считать образование дихотомии { точка >|< число }, а последним дихотомию { геометрия >|< алгебра }, которая и является полученным в процессе индуктивной вёртки результатом :

• Математика = { прикладная (геометрия) >|< теоретическая (алгебра) }

  То есть при всём при том, что дедуктивное направление развёртки противоположно индуктивному направлению свёртки, в обоих случаях речь идёт о получении ссылки на одну и ту же директорию "Математика". Есть тут правда один нюанс - при индуктивном способе получения пути теоретическая и прикладная части математики меняются в дихотомии местами, причём это отражается на интерпретации содержательной нагрузки тезисов, поскольку правый аспект дихотомии с точки зрения информационных затрат на определение наследуемых от него объектов всегда ёмче левого. В контексте развития математики правильной следует считать индуктивную форму записи, в которой геометрия как "наука о точках" выступает тезисом по отношению к алгебре как "наука о числах". Поскольку зависимость порядка расположения тезисов в дихотомии от способа получения ссылки на закреплённые за ней граничные условия является довольно ключевым моментом, здесь я расписал его более подробно.

  Пока пожалуй хватит.

  С индуктивной развёрткой этот номер уже не проходит, поскольку там нечего дифференцировать по некому критерию, а как бы наоборот - нужно найти такой тезис, который будет удовлетворять заданному критерию, причём не абы какой, а тот который фигурирует в этом списке первым - если "тезисом №0" считать сам заданный критерий, от которого наследуются любые информационные объекты, категориальную принадлежность которых данный критерий определяет. То есть задача индуктивной развёртки сводится к выбору из всего этого "актуально-бесконечного множества информационных объектов" именно первого и никакого иного путём применения ПМД - что предполагает наличие принципиальной возможности это сделать, и соответственно обеспечить воспроизводимость в умозрении полученного результата. На первых двух шагах индуктивной развёртки это делается так :

...не будет лишним обеспечить совместимость этого шага с предыдущим, показав что результаты последнего - это не просто пара абстракций, а система уравнений, которая решается рекурсивно (итерационно, фрактально), давая на выходе какие-то пошаговые результаты. Спираль из двух элементов может быть только вырожденной, и подходящим по случаю геометрическим образом здесь может послужить "стрелочка туда <=> стрелочка обратно". Чтобы привести эти соображения в соответствующую форму, принимаю "всё" в качестве критерия категориальной принадлежности, и применяю к нему формулировку фрактального принципа :

• первым в списке тезисов, обладающих свойством "всеобщности", появляется абстрактное (антитезис - конкретное)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "абстрактности", появляется ничто (антитезис - всё)

  Как видно, на втором антитезисе этот круг замыкается - начал со "всего", им же и закончил. Но ко второму тезису и к первому антитезису этот принцип ничего не мешает применять и дальше, например так :

• первым в списке тезисов, обладающих свойством "ничтойности", появляется точка (антитезис - число)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "точечности", появляется прямая (антитезис - окружность)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "прямости", появляется пространство (антитезис - время)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "пространственности", появляется геометрия (антитезис - алгебра)

  Семантика антитезисов вычисляется уже напрямую, поскольку определение тезиса подразумевает что критерий противопоставления известен. Таким образом, последовательность действий здесь инвертируется по отношению к "методу половинного деления", и в этом смысле индукцию можно назвать "дихотомированием наоборот".

  Название этой темы говорит о том, что в граничных условиях логики как дисциплины я не вижу какой-либо целесообразности в разотождествлении значений терминов "истинность" и "смысл" - по той простой причине, что для того чтобы убедиться в истинности любого суждения необходимо понять его смысл. В контексте полной воспроизводимости смыслов все три категории логических абстракций - строгие определения терминов, составленные из терминов формулировки аксиом, и полученные на основании аксиом формулировки теорем - все они являются одинаково истинными и предназначенными для идентичного понимания всеми логиками. Многих наверное смущает моя неразборчивость в предмете своих интересов, которую я постоянно путаю с математикой, и честно говоря я сам затруднялся определить тот критерий, на основании которого можно было бы провести такое разграничение. Как оказалось этот ларчик открывался просто, и определить эту разницу можно на основании следующего определения :

• Логика = { информатика >|< математика }
• Смысл = { нет >|< есть }

  Дихотомия, согласно её определению, может рассматриваться в двух принципиальных ракурсах : убираем/ставим галочку на соответствующей опции, или же берём эту опцию целиком, заимствуя информацию от обоих дихотомических аспектов. Классическое представление о логике ограничивается только первым случаем, и не учитывает того варианта, что от бита как от информационного кванта можно унаследовать свойство его бинарности, после чего скрестить его с математическим критерием истинности. В результате получим бит, который в отличии от айтишного наделён смыслом, исходя из предпосылки о том, что любому суждению "это-так" можно противопоставить по смыслу суждение "это-наоборот", и это в равной степени относится к терминам, которые будучи определёнными могут противопоставляться другим терминам по выбранному дихотомическому критерию. Так можно получать новые предопределённые смыслы из уже существующих, не привязываясь к критерию их истинности и расширяя спектр доступных для использования в логических рассуждениях абстракций. Например, открыв переместительный закон сложения можно сразу, не глядя, вынести термин "коммутативность" из граничных условий математики как науки о точках и числах, зафиксировав его собственный (независимый от контекста применения) смысл, и сопроводив его соответствующим антитезисом :

• Коммутативность = { да >|< нет }
• Порядок = { индифферентность >|< чувствительность }

  Таким образом можно получить контекстно-независимое определение терминов, которое ещё неизвестно как можно применить, но если в дальнейшем таковой повод возникнет, то всегда известно как это сделать. Аналогичным образом можно вынести из математики ноль с бесконечностью, определив "общий случай  { ничтойности >|< всёйности }", выступающий по отношению к { нулю >|< бесконечности } в роли наследуемого. То же самое можно сделать с пространством, едва о нём узнав, поскольку первое представление мы получаем об ортогональном пространстве, и можем не глядя противопоставить ему не-ортогональное, подобрав соответствующий критерий противопоставления по смыслу - например так :

• Координатная ось = { прямая >|< окружность }
• Координатная система = { декартовая >|< сферическая }

  Здесь главное отличать, что не математика делается из определённых посредством дихотомий абстракций, а наоборот - они выносятся за рамки предопределённых математикой граничных условий, чтобы потом использоваться для образования новых абстракций, лишённых свойств { точечности >|< численности }, но оттого не менее воспроизводимых в умозрении. Так, с помощью этих фишек можно проследить последовательную сборку математики, за четыре шага восстанавливающую её до целого индуктивным методом :

• первым в списке тезисов, обладающих свойством "ничтойности", появляется точка (антитезис - число)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "точечности", появляется прямая (антитезис - окружность)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "прямости", появляется пространство (антитезис - время)
• первым в списке тезисов, обладающих свойством "пространственности", появляется геометрия (антитезис - алгебра)

axby1, 29 Октябрь, 2018 - 06:12, ссылка

  Я исхожу в своих представлениях из того, что сия последовательность действий вполне воспроизводима в умозрении - что даёт возможность логически определить предметную область математики путём восстановления исходной дихотомии { точка >|< число } в собственный денотат { точечности >|< численности }, и как следствие возможность идентификации математических абстракций на предмет их принадлежности соответствующим граничным условиям. Тогда все полученные в математике и лишённые свойства { точечности >|< численности } дихотомии можно из неё вынести и продолжить процесс смыслообразования за её пределами.

  В общем кажется я начинаю понимать суть претензий ко мне со стороны коллег-оппонентов : они полагают будто логическую абстракцию невозможно определить вне логической системы в которой она получена, тогда как я не вижу в этом никакой проблемы, и считаю что абстракцию можно определить через противопоставление по смыслу той которой уже дано определение, и в результате получить новую путём абстрагирования от граничных условий, её породивших - так что она сама становится порождающей новые граничные условия путём сочетания с другими полученными аналогичным образом. И это при том, что представляя из себя атомарные смыслы эти абстракции наиболее доступны для понимания, а логиками игнорируются на основании каких-то идеологических предрассудков.

  Вроде определил ту предметную область, на которой специализируюсь. Ну или мне так субъективно кажется.

  Вынесу сюда один пост из другой темы, содержащий пояснения к формулировке "последовательная сборка математики, за четыре шага восстанавливающая её до целого индуктивным методом".

  Начинаю я об этом думать отсюда :

http://philosophystorm.ru/printsip-fraktalnoi-razvertki

  Точка остаётся тождественной самой себе (то есть предопределённой) на протяжении всей геометрии как "науки о точках" ; в то время как определение числа, наоборот - уточняется по мере развития алгебры как "науки о числах".

  Следующим шагом прихожу к такому выводу (думаю что промежуточные рассуждения Вам здесь не понадобятся) : пространство определимо в геометрии ровно настолько, насколько определимо в алгебре число - то есть где-то в бесконечно-далёкой перспективе развития математики. Так далеко я заходить не буду, а сделаю наоборот - опишу несколько первых итераций в сторону дефинируемости этих фундаментальных математических абстракций.

  Прежде всего числа можно сравнивать, получая в качестве результата ответ на вопрос "кто слева а кто справа" расположен на числовой оси - отсюда натуральный ряд. Как только мы узнаём о сложении и вычитании, наши представления о числах расширяются до "целых" ; об умножении и делении - до "рациональных" ; о степенях и логарифмах - до "действительных". Там по дороге попадаются интересные случаи вроде "нуля в знаменателе" и "корня из минуса", но расписывать весь процесс развёртки алгебры до текущего её состояния в мои планы не входило - так, сопровождаю исходный тезис картинками, пытаясь показать что с геометрией  происходит по сути та же фигня : первое представление о пространстве мы получаем из числа "ноль" в показателе пространственной размерности, потом идёт прямая (алгебраическим аналогом которой выступает координатная ось), потом ортогональное пространство, потом случаи нарушения этой ортогональности, потом случаи пространственной дробномерности (думаю что названия соответствующих разделов Вам здесь не понадобятся), ну а такую гадость как "мнимая пространственная метрика" я ещё не пытался себе представить. В промежутках своего развития теория разбавляется "кривыми линиями и поверхностями", "сферической системой координат" и прочими антитезисами прямолинейности, и аналогичную тенденцию можно проследить в развитии представлений о числе на примере, скажем, тригонометрии как антитезиса "прямолинейным элементарным функциям" (ну или как они там называются - в диапазоне между постоянной и логарифмической) в противовес "циклическим".

  На этом вопрос об определимости геометрического пространства я полагаю исчерпанным.

axby1, 12 Ноябрь, 2018 - 08:14, ссылка

Только обращает на себя внимание, что должен быть какой то самый первый факт, который из других не выводится. Он то откуда берется?

  В логике нет таких фактов, и как следствие нет такого вопроса.

...

  Казалось бы - что может быть "изначальнее" такой абстракции как "ничто" ? Ан нет - вполне себе определима через другие термины, которые ничего не мешает определять и дальше, пока эта "змея" на начнёт "кусать себя за хвост" - так что некоторые значения терминов придётся определять через самих себя. Только никаких противоречий здесь не возникает ввиду избыточности всей этой информации, поскольку значение термина уже уставлено исходным определением.

  Таким образом, необходимость существования в логике "первого факта" - это миф. Впрочем, из отсутствия необходимости не следует отсутствие возможности выделить такую абстракцию, которая могла бы претендовать на роль "исходной", но и здесь существует ряд критериев, на основании которых можно было бы произвести подобный отбор

  То есть, при отсутствии насущной необходимости в определении абстракции, появляющейся в списке логических дефиниций "под номером ноль", можно выделить общую тенденцию развития логики в направлении "от простого сложному", и таким образом получить представление об элементарном - то есть о таких абстракциях, про которые можно сказать что они появляются там в числе первых. В пределе этой тенденции, задающей вектор продвижения в сторону элементарного, моё умозрение утыкается в следующую дихотомию :

• Коммутативность = { да >|< нет }

  Можно показать, что первичность её появления не зависит от того каким путём до неё добираться - дедуктивным или индуктивным. Индуктивный метод подразумевает её зарождение в граничных условиях математики как науки о числах, для которых по умолчанию предусмотрена операция сравнения, результат которой определяет два принципиальных случая :

• Тождество = { да >|< нет }

  При этом выражению "a=b" свойственна коммутативность, а выражениям "a>b" и "a<b" - наоборот. Дальнейшая цепочка причинно следственных связей разворачивается от исходной абстракции "число 0" следующим образом :

========================================

  Шаг №1 (натуральные - целые)

• Сумма = { тождество >|< нетождество }
• Сложение с = { нулём >|< ненулём }

  Антитезис - вычитание.

========================================

  Шаг №2 (целые - рациональные)

• Произведение = { сложение >|< вычитание }
• Умножение на = { единицу >|< минус единицу }

  Антитезис - деление.

========================================

  Шаг №3 (рациональные - действительные)

• Степень = { умножение >|< деление }
• Возвести в = { единицу >|< минус единицу }

  Антитезис - логарифм.

========================================

  Дальше этот стройный порядок ломается, так что последующую нумерацию шагов индуктивной развёртки предметной области математики можно считать условностью ввиду появления промежуточных вариантов и способов противопоставления выбранного тезиса, образующего с соответствующим антитезисом новое целое.

========================================

  Шаг №3.1 :

• Элементарные функции = { ациклические >|< тригонометрические }

  Шаг №3.2 :

• Составляющая числа = { действительная >|< мнимая }
• Умножить на корень из = { единицы >|< минус единицы }

  Шаг №X :

• Величина = { детерминированная >|< случайная }

========================================

  И вообще на { степени >|< логарифме } эта последовательность обрывается ввиду отсутствия насущной необходимости включать функции более высоких порядков обобщения в состав элементарных. В специальных разделах математики они конечно рассматриваются, но на практике не находят широкого применения - "иерархия иерархий" это конечно крутая абстракция, но по сути как и предыдущая говорит о том что "кучу вариантов перебирать придётся", в результате чего натыкаемся на ограничения вычислительных мощностей, позволяющих оперировать абстракциями этого уровня.

  Я это всё веду к тому, что в процессе индуктивной развёртки представлений о числах и способах их использования появляются дихотомии, для которых имеются готовые определения, из которых достаточно убрать термин "число", чтобы получить возможность оперировать полученными определениями за рамками предначертанных математикой граничных условий - чем я собственно и занимаюсь последние несколько лет :

axby1, 7 Ноябрь, 2018 - 21:36, ссылка

  Здесь главное отличать, что не математика делается из определённых посредством дихотомий абстракций, а наоборот - они выносятся за рамки предопределённых математикой граничных условий, чтобы потом использоваться для образования новых абстракций, лишённых свойств { точечности >|< численности }, но оттого не менее воспроизводимых в умозрении.

  Добавлено через полгода :

  /* Перечитал последний фрагмент и подумал что нет никаких оснований полагать в данном случае математику "первичной" - действительно, какая разница в какой последовательности об этом думать ? */

>> Определение процедуры передачи смысла от суждения к суждению

Замечательно! (на первое)
Теперь подавайте на второе свое фирменное блюдо - ПМД!

Что? ПМД нет?

Есть только ВСК (вывалить сразу кучей)?

--