Чувствую себя примитивным существом.

У задачи есть алгоритм решения.

Здесь, под задачей подразумевалось жизненные задачи. Например - сделать суждение. Или суждения сами собой автоматически выскакивают по алгоритму учебника?  

формалисты влезают в диалектику с примитивными противоречиями, и упорно не понимают. Они остались в 18 веке, но сохранились, как реликт.

"Примитивные противоречия", как Вы выразились, сохранились в Элементарной диалектической логике.

Две группы законов рассуждения диалектической логики:

Группа 1 (законы традиционной формальной логики - ТФЛ).

- Закон абстрактного тождества;
- Закон запрещенного противоречия;
- Закон исключения третьего.
- Закон двойного отрицания.

Группа 2 (законы элементарной диалектической логики - ЭДЛ).

- Закон конкретного тождества;
- Закон разрешенного противоречия;
- Закон включения третьего.
- Закон отрицания отрицания.

В совместном рассуждении участники диалога должны избегать "примитивных противоречий" в своих высказываниях и противоречить друг другу в отстаивании своих позиций.

--

mp_gratchev, 6 Ноябрь, 2023 - 14:48, ссылка

Взаимно отрицать друг друга могут только суждения . Поэтому нужно так честно и сказать : противоречие это отношение взаимно противоположных суждений отрицающих друг друга . Тогда все станет на свои места и не надо будет  Фридриха тень наводить  на плетень 

Грачев Михаил Петрович.

ФЛ и ДЛ отвлекаются от содержания высказываний. Будь они о событиях в прошлом или будущем. Форма и только форма.

Хорошо, зайдем с другого боку.

Обозначенная тема должна включать в себя все стороны ДЛ. Одна из них – это утилитарность ДЛ.

Покажите на конкретном примере как работает ДЛ в установлении истины. Ведь примеров демонстрации ФЛ – пруд пруди, а вот с ДЛ – напряженка, или я не прав?

Беда не в том, что простыня. А в том, что простыня не структурирована. Альтернативная рекомендация: нужна более доходчивая подача материала.

Простите, не учел Ваш уровень разумного мышления, который затрагивает только «онтологию ↔ гносеологию». То есть, в принципе не осознаете предмет со стороны нейрологии. Выше я Вам об этом проговаривал (, ссылка).

К стати, этим спекулятивно пользуется kroopkin говоря в ссылка :

В итоге получается, что различение феномен-ноумен не очень-то актуально, т.к. не привносит ничего, кроме путаницы и бессмыслицы. Актуальное различение в МойМире - явление-галлюцинация (о знаке "вычленки" можно забыть). Галлюники - это то, что человеку неважно…”.

Да ничего страшного. Постараюсь популярно привести пример Сфинкса. Например, заяц неплохо по отдельности работает правым и левым полушарием мозга. Конь имеет ближе посаженные глаза, но по-прежнему очень плохо видит прямо перед собой. У собак развито обоняние, замещающее функцию восприятия поведения объектов расположенных под носом. И т.д., и т.п. Мозг человека имеет поперечные «лимбические» связи с рептильным комплексом воспроизводящие качественно осознаваемые состояния представлений (эмоциональных ощущений) и лобные работающие на единение левого (логического) полушария с правым (образным) позволяющим работать с логизмами. Секрет не удачного прочтения текста моего комментария находится в неумении пользоваться ноуменальными и феноменальными представлениями в их связном единстве. Не в синтезном, а в связном, что у Гегеля было ярко выражено, так говорил Маркс. Попробуйте увидеть текст комментария целостно [Е-О-В], текуче [Е-О ⇠⇡ понятия╳категории ⇣⇢ О-В], в продвижении всеединого осознания едино-сущностного [۞] предметного проговаривания. Пора, как диалектику, пытавшемуся  проговаривать о содержании противоречия учиться у Ленина, Маркса, Гегеля:

«…логика должна исходить из объективной диалектики процес­сов реального мира и приводить мышление в соответ­ствие с ними. А это значит, что наши понятия, сужде­ния и т. д. «должны быть также обтесаны, обломаны, гибки, подвижны, релятивны, взаимосвязаны, едины в противоположностях...» (В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, с. 131)

Сосуществование двух взаимно-противоречащих сторон, их борьба и их слияние в новую категорию составляют сущность диалектического движения. Тот, кто ставит себе задачу устранения дурной стороны, уже одним этим сразу кладет конец диалектическому движению.” — Маркс К. Нищета философии. – Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т, 4, с. 136

«Противоречие – вот, что на самом деле движет миром, и смешно говорить, что противоречие нельзя мыслить … Все где-либо существующее есть некое конкретное и, следовательно, внутри самого себя различное и противоположное» (Г. В.Ф. Гегель Соч. т.1 М.- Л., 1930 с. 206) 

Вижу что пока-что не впрок Вам их наставления.       С уважением Сергей Семёнов.  

Почему заново? А до этого что с ней не так было?

"Не так" - это то, что формальные логики не видят в традиционном изложении "диалектической логики" самого предмета логики.

Но и с традиционной формальной логикой "не всё так".

Васильев: "Все современное движение в логике есть восстание против Аристотеля, медленно, шаг за шагом идет это восстание то в одном пункте, то в другом. Трудно предсказывать будущее"

»

Изначально проблема диалектической логики была поставлена как создание Логики с большой буквы.

Заново - это рассмотреть диалектическую логику в собственном смысле слова "логика".

У автора нет иллюзии, что удалось раскрыть тему ЭДЛ.

--

mp_gratchev, 17 Июнь, 2024 - 21:33, ссылка

По моей схеме, предикат предыдущего собеседника становится логическим субъектом ответной реплики.

В противном случае, связь высказываний в диалоге нарушается, что приводит к недопониманию друг друга субъектов с клюшками.

пока не понял в чём смысл вашей логики, пока лишь пытаюсь привить вам культуру терминологии, но записывать свою гипотезу вам своими терминами. мне будет достаточно понять, что вы имеете в виду. пока понял не всё

у вас много общего с логикой, но есть разночтения значентия терминов. у вас они свои

расследуем шаг за шагом, ещё долго, но первые шаги обнадёживают

матрица ли. матрица аристотеля - алгебраическое описание геометрического пространства размерности 7/2 - это пространство сочетаний 2 элементов из 8. это граф, но форма матрицы ли более проста и легко представляема, куб

матрица описывает все события выпадания игрального кубика. все события шахматной, карточной, любой игры, все сочетания кварков в субатомные частицы, все сочетания азотистых оснований днк в аминокислоты, таблица менделеева - та же матрица

Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером n × n обозначается S U ( n ) .

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы U ( n ) , состоящей из всех унитарных матриц n × n :

SU ⁡ ( n ) ⊂ U ⁡ ( n ) ⊂ GL ⁡ ( n , C ) .

Группа S U ( n ) имеет ( n 2 − 1 ) параметр, так как матрица n × n содержит n 2 чисел, но одно из них не является независимым и определяется из условия равенства определителя единице. Соответственно, количество генераторов тоже равно ( n 2 − 1 ) .

Генераторы

SU(2)

Для группы S U ( 2 ) генераторы известны как матрицы Паули:

σ 1 = ( 0 1 1 0 ) σ 2 = ( 0 − i i 0 ) σ 3 = ( 1 0 0 − 1 )

SU(3)

Аналогом матриц Паули для S U ( 3 ) служат матрицы Гелл-Манна:

λ 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ) λ 2 = ( 0 − i 0 i 0 0 0 0 0 ) λ 3 = ( 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 )
λ 4 = ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) λ 5 = ( 0 0 − i 0 0 0 i 0 0 ) λ 6 = ( 0 0 0 0 0 1 0 1 0 )
λ 7 = ( 0 0 0 0 0 − i 0 i 0 ) λ 8 = 1 3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 )

Генераторы для S U ( 3 ) определяются как T с использованием соотношения:

T a = λ a 2 .

Они подчиняются следующим соотношениям:

• [ T a , T b ] = i ∑ c = 1 8 f a b c T c , где f  — структурная константа, значения которой равны:

f 123 = 1 ,

f 147 = f 165 = f 246 = f 257 = f 345 = f 376 = 1 2 ,

f 458 = f 678 = 3 2 ;

• tr ⁡ ( T a ) = 0 .

SU(4)

Эрмитовы матрицы генераторы для S U ( 4 ) , аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:

λ 1 = ( 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) λ 2 = ( 0 − i 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) λ 3 = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
λ 4 = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) λ 5 = ( 0 0 − i 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 ) λ 6 = ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )
λ 7 = ( 0 0 0 0 0 0 − i 0 0 i 0 0 0 0 0 0 ) λ 8 = 1 3 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 ) λ 9 = ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 )
λ 10 = ( 0 0 0 − i 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 ) λ 11 = ( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ) λ 12 = ( 0 0 0 0 0 0 0 − i 0 0 0 0 0 i 0 0 )
λ 13 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ) λ 14 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − i 0 0 i 0 ) λ 15 = 1 6 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 3 )

Эти матрицы удовлетворяют выражению для следа:

T r ( λ k 2 ) = 2 ; k = 1..15

и тождеству Якоби:

[ [ λ l , λ k ] , λ j ] + [ [ λ k , λ j ] , λ l ] + [ [ λ j , λ l ] , λ k ] = 0 ; j < k < l ; j , k , l = 1..15

При этом коммутатор вычисляется как:

[ λ j , λ k ] = 2 i ∑ m f j k l λ l

Таблица структурных констант f j k l

f 1 , 2 , 3 = 1

f 1 , 4 , 7 = f 2 , 4 , 6 = f 2 , 5 , 7 = f 3 , 4 , 5 = f 1 , 9 , 12 = f 2 , 9 , 11 = f 2 , 10 , 12 = f 3 , 9 , 10 = f 4 , 9 , 14 = f 5 , 10 , 14 = f 6 , 11 , 14 = f 7 , 11 , 13 = f 7 , 12 , 14 = 1 2

f 1 , 5 , 6 = f 3 , 6 , 7 = f 1 , 10 , 11 = f 3 , 11 , 12 = f 4 , 10 , 13 = f 6 , 12 , 13 = − 1 2

f 4 , 5 , 8 = f 6 , 7 , 8 = f 8 , 9 , 10 = f 8 , 11 , 12 = f 9 , 10 , 15 = f 11 , 12 , 15 = f 13 , 14 , 15 = 3 2

f 8 , 13 , 14 = − 3 2

Литература

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics (англ.). — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN 0-471-88741-2.
• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
• Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.

Ссылки

• Physics 558 — Lecture 1, Winter 2003

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Различные физические системы, такие как кристаллы или атом водорода, обладают симметриями, которые можно смоделировать группами симметрии, таким образом находя важные применения теории групп и тесно связанной с ней теории представлений в физике и химии.

Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века[1] стала полная классификация простых конечных групп — результат совместных усилий многих математиков, занимающий более 10 тыс. печатных страниц, основной массив которых опубликован с 1960 по 1980 годы.

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659). В 1740 году Сондерсон[англ.] заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения шестой степени, а Ле Сёр (1748) и Варинг (с 1762 по 1782 годы) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 годы нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что

1. всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот,
2. всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы.

Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.[2] Изучаемый ими предмет был популяризован Серре, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions) стал классикой, и Ойгеном Нетто (1882 год). Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 году Вальтером фон Диком[3].

В 1884 году Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами[англ.]; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди[англ.], Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 годами) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Краткое описание теории

Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.

Определение. Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения[4], которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам:

• Замкнутость группы относительно операции умножения. Для любых двух элементов группы их произведение является членом той же группы:

1 )       ∀ A , B ∈ G :       ∃ C ∈ G       A ⋅ B = C ;

• Ассоциативность операции умножения. Порядок выполнения умножения несущественен:

2 )       ∀ A , B , C ∈ G :       A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C ;

• Существование единичного элемента. В группе существует некоторый элемент E, произведение которого с любым элементом A группы даёт тот же самый элемент A:

3 )       ∃ E ∈ G :       ∀ A ∈ G A ⋅ E = E ⋅ A = A ;

• Существование обратного элемента. Для любого элемента A группы существует такой элемент A−1, что их произведение даёт единичный элемент E:

4 )       ∀ A ∈ G :       ∃ A − 1 ∈ G :       A ⋅ A − 1 = A − 1 ⋅ A = E .

Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Для абелевой группы

∀ A , B ∈ G :       A ⋅ B = B ⋅ A .

Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми:

∃ A , B ∈ G :       A ⋅ B ≠ B ⋅ A .

Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.

Ниже приведён пример таблицы умножения (таблицы Кэли) для группы состоящей из четырёх элементов: (1, −1, i, −i) в которой операцией является обычное арифметическое умножение:

1−1i−i11−1i−i−1−11−iiii−i−11−i−ii1−1

Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и −i являются обратными друг для друга.

Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.

Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной, или группой Ли[источник не указан 412 дней]. Также говорят, что группа Ли — это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.

Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств[5]. Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп — фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Группа ( G , ⋅ ) называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: G = ⟨ a ⟩ .

Говорят, что группа G действует на множестве M , если задан гомоморфизм Φ : G → S ( M ) из группы G в группу S ( M ) всех перестановок множества M . Для краткости ( Φ ( g ) ) ( m ) часто записывают как g m или g . m .

Примеры групп

• Простейшей группой является группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элемента 1. Элемент 1 является единичным элементом группы и обратным самому себе:

111

• Следующий простой пример — группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элементов (1, −1). Элемент 1 является единичным элементом группы, оба элемента группы обратны самим себе:

1−111-1-1-11

• Группой относительно обычной арифметической операции умножения является множество, состоящее из четырёх элементов (1, −1, i, -i). Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и -i являются обратными друг для друга.

1−1i-i11-1i-i-1-11-iiii-i-11-i-ii1-1

• Группой является два поворота пространства на 0° и 180° вокруг одной оси, если произведением двух поворотов считать их последовательное выполнение. Эта группа обычно обозначается C2. Она изоморфна (то есть тождественна) приведённой выше группе с элементами 1 и −1. Поворот на угол 0°, поскольку он является тождественным, обозначен в таблице буквой E.

C2ER180EER180R180R180E

• Группу вместе с тождественным преобразованием E образует операция инверсии I, которая меняет направление каждого вектора на обратное. Групповой операцией является последовательное выполнение двух инверсий. Эта группа обычно обозначается S2. Она изоморфна приведённой выше группе C2.

S2EIEEIIIE

• По аналогии с группой C2 можно построить группу C3, состоящую из поворотов плоскости на углы 0°, 120° и 240°. Можно сказать, что группа C3 является группой поворотов, переводящих правильный треугольник сам в себя.

Элементы группы C3

C3ER120R240EER120R240R120R120R240ER240R240ER120

• Если к группе C3 прибавить отражения треугольника относительно трёх его осей симметрии (R1, R2, R3), то мы получим полную группу операций, которая переводит треугольник сам в себя. Эта группа называется D3.

Элементы группы D3

D3ER120R240R1R2R3EER120R240R1R2R3R120R120R240ER2R3R1R240R240ER120R3R1R2R1R1R3R2ER240R120R2R2R1R3R120ER240R3R3R2R1R240R120E

• Совокупность всех вращений относительно одной оси образуют непрерывную группу, называемую R2. Её элементы обозначим символами R(a), где a — угол поворота, находящийся в пределах 0 ≤ a < 360°. Для этой группы таблица умножения бесконечна, поэтому группа описывается общей формулой

R ( a ) ⋅ R ( b ) = R ( a + b   |   mod   360 ∘ ) .

Поскольку результат двух последовательных поворотов вокруг одной оси не зависит от порядка поворотов, группа R2 является коммутативной. Обратный элемент в группе определяется формулой

R − 1 ( a ) = R ( 360 ∘ − a ) .

• Группа R3 представляет собой группу всевозможных вращений трёхмерного пространства относительно осей, проходящих через одну точку. Эта группа является группой симметрии сферы. Каждый элемент группы R(α,β,a) задаётся тремя параметрами: α и β — эйлеровы углы, задающие положение оси, a — угол поворота.

• Группа Sn или симметрическая группа порядка n — это совокупность n! всевозможных перестановок n элементов. Перестановку удобно обозначать символом

P = ( 1 2 3 … n p 1 p 2 p 3 … p n ) ,

указывающим, что элемент n при перестановке заменяется на элемент pn. Обратным элементом для элемента P будет элемент

P − 1 = ( p 1 p 2 p 3 … p n 1 2 3 … n ) .

Интересно, что группа S3 изоморфна группе D3, так как последняя содержит всевозможные преобразования, переводящие треугольник сам в себя, а преобразование треугольника можно задать различными перестановками трёх его вершин:

E = ( 1 2 3 1 2 3 ) ;     R 120 = ( 1 2 3 3 1 2 ) ;   R 240 = ( 1 2 3 2 3 1 ) ;

R 1 = ( 1 2 3 1 3 2 ) ;   R 2 = ( 1 2 3 3 2 1 ) ;       R 3 = ( 1 2 3 2 1 3 ) .

• Мультипликативная группа кольца вычетов G ( n ) (где n — натуральное число) - группа, образованная взаимно простыми с n вычетами ( Z n = Z / n Z ) по модулю n . Например, G ( 2 ) = { 1 } , G ( 3 ) ≈ Z 2 , G ( 4 ) ≈ Z 2 , G ( 5 ) ≈ Z 4 , G ( 6 ) ≈ Z 2 , G ( 7 ) ≈ Z 6 , G ( 8 ) ≈ Z 2 × Z 2 .

Абелевы группы

Абелева группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа G абелева если a b = b a для любых двух элементов a , b ∈ G .

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком + . Абелевы группы являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца, поля и модули. Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа G = ⟨ a ⟩ . Действительно, для любых x = a n и y = a m верно, что

  x y = a m a n = a m + n = a n a m = y x .

  • В частности, целые числа Z образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов Z / n Z .
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
• Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n  — натуральное число, а x  — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой +, тогда n x можно определить как x + x + … + x ( n раз) и ( − n ) x = − ( n x ) .
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над кольцом главных идеалов Z ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.
• Множество гомоморфизмов Hom ⁡ ( G , H ) всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой. Действительно, пусть f , g : G → H  — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g , заданная как ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. Z m n изоморфно прямой сумме Z m и Z n тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямой суммы

Z k 1 ⊕ … ⊕ Z k u

двумя различными способами:

• Где числа k 1 , … , k u степени простых
• Где k 1 делит k 2 , которое делит k 3 , и так далее до k u .

Например, Z / 15 Z = Z 15 может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z / 15 Z = { 0 , 5 , 10 } ⊕ { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 } . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа C , в которой задан такой эндоморфизм d : C → C , что d 2 = 0 . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра ker d  — циклами, элементы образа I m d  — границами.

Гиперболические группы

Конечно-порождённая группа называется гиперболической, если она является гиперболической как метрическое пространство.

Более подробно, на конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

• Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, «сходство» свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.
• Группа PSL(2,Z) гиперболична.
• Конечная группа гиперболична.

• Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.
• Любая гиперболическая группа является конечно-представленной: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)
• Гиперболичность влечёт за собой (а, на самом деле, равносильна) линейному изопериметрическому неравенству: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov)

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Теория представлений

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться раздел, посвящённый теории представлений. Помогите Википедии, написав его. (22 декабря 2016)

Приложения теории групп

Существует большое количество приложений теории групп. Многие структуры общей алгебры могут быть рассмотрены как частные случаи групп, например, кольца могут быть рассмотрены как абелевы группы (относительно сложения) с введённой на них второй операцией — умножением. Поэтому группы лежат в основе большой части теории этих объектов.

Теория Галуа использует группы для описания симметрии корней многочлена. Основная теорема теории Галуа устанавливает связь между алгебраическими расширениями и теорией групп. Это даёт эффективный критерий разрешимости алгебраических уравнений в условиях соответствующих групп Галуа.

Насколько я понимаю, конкретика вот здесь:

Khanov, 17 Июнь, 2024 - 21:59, ссылка

mp_gratchev, 17 Июнь, 2024 - 21:33, ссылка

По моей схеме, предикат предыдущего собеседника становится логическим субъектом ответной реплики.

В противном случае, связь высказываний в диалоге нарушается, что приводит к недопониманию друг друга субъектов с клюшками.

пока не понял в чём смысл вашей логики, пока лишь пытаюсь привить вам культуру терминологии, но записывать свою гипотезу вам своими терминами. мне будет достаточно понять, что вы имеете в виду. пока понял не всё

у вас много общего с логикой, но есть разночтения значентия терминов. у вас они свои

То есть Вашу терминологию никто не сможет привести в порядок и формализовать кроме Вас (см. подчеркнутое). Например, я Вам неоднократно задавал вопрос, сколько должно быть участников в диалоге? Вы так и не ответили. Теперь вроде бы понятно, что их должно быть восемь, это самый оптимальный вариант. Теперь кто они по функционалу? Этот вопрос вроде бы разрешился, когда разбирали парадокс "Лжец", именно субъектов высказываний следует растождествить. Пока мне понятно, что одним из элементов должен быть дурак, в самом позитивном смысле: если есть возможность что-то сделать не так, дурак именно так и сделает. То есть "дурак" это в некотором смысле генератор идей.

Под формализацией, опять же насколько я понимаю, предполагается матричное исчисление. То есть необходимо вводить обозначения, ноли и единички. Например, если Вы вводите последовательность (вектор) {суждение, вопрос, оценка, императив}, то вопрос при такой формализации может быть представлен вектором {0,1,0,0}. Ну и далее в том же духе.