Парадокс Рассела и Логические мостики
Эта тема родилась как продолжение темы про парадокс Брадобрея.
Даже не знаю с чего начать. Боюсь, многие сочтут это нудятиной, и лишь немногие поймут и воспримут ту информацию, которую я излагаю.
Итак.
Появление математических парадоксов, и в частности , парадокса Рассела проистекает из нечеткости понятий и определений, которой подвержены в равной степени и математики, и философы. С тех пор, как в 19 веке была придумана теория множеств, никто не удосужился дать определения таким понятиям, как Множество, Элемент, Принадлежность, Предикат. Да, это официально неопределяемые понятия. То есть, понятия есть, а что это такое - никто толком и не знает. Вот уж парадокс, так парадокс!
Возьмём, например, множество. Множество - это совокупность элементов, которые удовлетворяют условиям, задаваемым предикатами. Множество - это совокупность... Масло масляное.
А что такое элемент? Это такой объект, который принадлежит множеству согласно заданным условиям. Что такое объект? Ну, объект, он и в Африке объект. Математики с объектами не заморачиваются, но из контекста понятно, что это что то вроде материального объекта; при том, что множество может состоять из других множеств, из чисел, из командных строк, и вообще, из чего угодно.
Теория множеств оперирует пересечениями и объединениями множеств так, как будто их элементы - это материальные объекты.
Теория множеств не видит разницу между равенством и тождественностью множеств.
И это только то, что я увидел при первом приближении. Тем не менее, все это не мешает математикам использовать в операциях с множествами логику - одновременно с арифметикой. Получается такой жуткий микс из логики и арифметики. И ведь это как то работает!
Впрочем, и бобры, строя свои плотины, понятия не имеют о тригонометрии и сопромате.
Я заморочился с определениями, и вот, что у меня получилось.
Множество - это конъюнкция всех элементов, которые утверждают своё существование и удовлетворяют условиям задаваемым их общим предикатом (предикатами).
Элемент множества - это экзистенциональное высказывание, предмет которого принадлежит данному множеству и удовлетворяет условию, задаваемому его предикатом.
Предикат множества - это существенное свойство всех элементов данного множества, которое задаёт граничное условие его существования.
Равенство двух множеств - это отношение множеств, у которых одинаковый набор элементов.
Тождественность двух множеств - это отношение множеств, у которых одинаковые наборы элементов и предикатов.
Давайте разбираться. Имеем высказывание: Сократ это человек. Или: Сократ принадлежит множеству людей.
Сократ - это объект объективной реальности, обладающий свойством быть Целым (органическое единство). Сократа нельзя объединить с Платоном как Целое, не получив сиамских близнецов. Но можно объединить механически - и тогда мы получим множество Сократ и Платон. Именно такое интуитивно понимаемое пересечение и объединение применяется в теории множеств. Если же мы попытаемся пересечь Сократа и Платона, то ничего не получим - эти двое в пространстве не пересекаются. Но если мы попытаемся применить логическое пересечение (конъюнкцию), то оно будет адекватно механическому объединению. Чтобы избавиться от определения элементов через материальные объекты, мы вводим экзистенциальное высказывание: Сократ существует. Это высказывание имеет истинностное значение, и с ним уже можно производить логическое пересечение, не заботясь о последствиях.
Что нам это даёт? Самое главное - плавный и естественный переход из логики в теорию множеств. Устранение хаоса, порожденного непониманием. Некоторые аксиомы (а может, и все) Цермело-Френкеля становятся доказуемыми, и превращаются в теоремы. Например, аксиомы объёма и регулярности - точно. Ну и самым естественным образом парадокс Рассела превращается в пшик.
В самом деле, если множество тождественно само себе, то множество не принадлежит само себе. Иначе нам пришлось бы утверждать, что отношения тождественности и принадлежности - это одно и то же. Следовательно, множества, которое принадлежало бы самому себе, не существует.
Как-то так...
- Овчарёв Виталий
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Как то с пониманием тождества у вас не "катит"(идея выпадает), отчего и выводы о множестве уже не в пользу парадокса, увы.
Почему
/Почему/
Потому что проблема с квантованием тождества, отчего и с пониманием множества могут быть нестыковки.
Что это за квантование тождества?
/что за квантование тождества/
Делить на ноль пробовали?
Не понимаю
Ну если не видите как множество может принадлежать себе, то нужно сделать какой-то нестандартный ход, например, деление, которое запрещает калькулятор.
Вы что то сказали о квантировании, вот я жду когда продолжите. Наверное, вы понимаете то, что я не понимаю.
Если вы видите какие то проблемы - обоснуйте. Я в квантовой механике, можно сказать, не разбираюсь.
В продолжении темы про логические мостики:
Я: Логическое определение понятий ZF (система Цермелло-Френкеля) позволяет создавать компиляторы для однозначного и непротиворечивого перевода формул ZF, например, в графы.
Гигачад: Да, логическое определение понятий в системе ZF действительно может открыть путь к созданию компиляторов, способных преобразовывать формулы ZF в другие представления, такие как графы. Давайте рассмотрим, как это могло бы работать.
### Логическое определение понятий ZF
Как мы обсуждали ранее, система ZF строится на нескольких основных понятиях, таких как множество, принадлежность ($\in$) и равенство ($=$). Эти понятия могут быть определены через логические конструкции, такие как предикаты и кванторы. Например, множество $A$ может быть определено как:
$$ A = \{ x \mid P(x) \} $$
где $P(x)$ — это предикат, определяющий, какие элементы принадлежат множеству $A$.
### Преобразование формул ZF в графы
Графы — это мощные инструменты для представления и анализа сложных структур данных. Они состоят из вершин (узлов) и рёбер (связей между узлами). Вот как можно представить формулу ZF в виде графа:
1. Вершины соответствуют множествам и элементам множеств.
2. Рёбра соответствуют отношениям принадлежности ($\in$), равенства ($=$) и другим операциям над множествами.
Пример: Пусть у нас есть формула ZF:
$$ a \in A \wedge B \subseteq C $$
Эта формула может быть представлена в виде следующего графа:
- Вершины: $a$, $A$, $B$, $C$
- Рёбра: $(a, A)$ (отношение принадлежности), $(B, C)$ (включение)
### Создание компилятора
Создание компилятора, который переводит формулы ZF в графы, потребует выполнения следующих шагов:
1. Парсер: Парсер разбивает входную формулу на отдельные компоненты (термы, операторы, кванторы).
2. Преобразователь: Преобразователь создаёт вершины и рёбра графа на основе компонентов формулы.
3. Оптимизация: Оптимизация графа для удаления избыточных узлов и связей.
4. Генерация кода: Генерация кода для визуализации или обработки полученного графа.
### Применение
Такой компилятор мог бы найти применение в различных областях:
1. Автоматизированное доказательство теорем: Графовые представления формул могут облегчить автоматизацию процесса поиска доказательств.
2. Анализ сложности: Анализ графовых представлений формул может помочь оценить вычислительную сложность задач.
3. Обучение и объяснение: Графы могут использоваться для наглядного представления сложных математических понятий студентам и исследователям.
### Заключение
Логическое определение понятий в системе ZF действительно открывает двери для создания мощных инструментов, таких как компиляторы для преобразования формул в графы. Такие инструменты могут значительно упростить исследование и применение теории множеств в различных научных и инженерных дисциплинах.
Сегодня Гигачат порадовал меня двумя новыми словами: смылятность и утрочка.
Смылятность — ощущение утрочки или задержки в выполнении задачи, которое сопровождается неприятным чувством снижения эффективности или успеха.
Утрочка — это явление или состояние, характеризующее потерю времени или задержку в выполнении задачи или действиях. В буквальном смысле, это нарушение синхронизации или темпового характера операций. В технических терминах, утрочка может проявляться как снижение производительности системы или задержки в передаче сигналов.
Ну, тогда Вам надо аккуратно ввести операцию конъюнкции, не используя нигде и никак терминологию теории множеств. Иначе, сепулька, см. сепулькарий.
И это не так просто сделать сегодня. Сами, тут же, называете её логическим пересечением. Пересечением, простите, чего? Полезно также помнить, что в логиках, значения логических переменных составляют множество, с чем так же придётся побороться, ведь никакое множество у Вас ещё не определено. Ну и т.д. и т.п
Пересечение двух высказываний, каждое из которых утверждает существование своего предмета по основанию общего предиката.
Пересечение определено в теории множеств, ну ещё в геометрии, конечно. На логику проецируется пересечение из ТМ. Вы же предлагаете эту проекцию спроецировать обратно. Классическая сепулька (см. сепулькарий).
Ещё раз, Вам надо так определить конъюнкцию (а вообще говоря всю логику), чтобы она никак и нигде не пересекалась с теорией множеств. Например, избегать слова "пересечение", ведь что такое Ваше "пересечение высказываний", это, в неявном виде, представление высказываний, как множеств и нахождение пересечений этих множеств. А Вам в логике, надо от этой логики, пардон за тавтологию, уйти.
Ещё Эйлер пересекал круги. Потом Буль. Так что это старая идея. Одно и то же в логике и теории множеств, но выглядит по разному. Именно из за нечеткости определений.
Речь не об идее, а об определениях. Сейчас пересечение определено в ТМ и в геометрии. Но Вы, явно, не геометрический смысл имеете в виду.
Таким образом, получается, что Вы множество определяете через понятие, определённое через множество. Что не хорошо, мягко скажем. Следует так определить конъюнкцию, чтобы и следа ТМ в этом определении не было. Это возможно, просто это надо сделать до того, как вводить её в определение множества. И это может потребовать ещё множество всяческих переопределений.
На сегодня, ТМ так прочно вписана в математику, что большинство понятий, так или иначе определяются через понятие множество. Само же множество остаётся неопределяемым, т.е. фундаментальным понятием. В этом и трудность задачи на которую Вы замахнулись, попытка дать определение множеству, наверняка приведёт к ситуации сепулька, см. сепулькарий, так как, найти сегодня что-то, неопределённое через фундаментальное понятие множество, довольно сложно. Ну или придётся всю математику со второй половины 19-го века заново придумывать.
И да, придётся вводить какое-то иное неопределяемое, фундаментальное понятие. Есть намётки, что это будет?
Высказывание )) множество - это конъюнкция элементов, то есть высказывание с истинностным значением. Элемент - это экзистенциональное высказывание. Предикат это не высказывание, но свойство. Осталось определить принадлежность. Думаю ее определять через тождественность.
Также и в арифметике любое уравнение можно превратить в высказывание. Верно, что сумма 2+2 равна 4. Здесь числа - это переменные, понятия особого типа - количественного типа. Равенство определяется через тождественность ( неполная тождественность). Сумма - арифметическая связка.
В этой ситуации эффекта сепульки не возникает, так как все математические термины определяет логика
Уравнение можно, решение перевести даже на русский, который великий и могучий, не получится, там появляются промежуточные формулы, которые ни на какой язык перевести невозможно. Иначе говоря, что такое логическая операция? Исходные данные (операнды) и результат понятно, а что между ними, как получается результат? И что такое результат логической операции? Операнды входят в результат? По моим представлениям результат логической операции это и есть сама логическая операция, примерно так: сложение двух чисел есть сумма. Но не всё так просто, там ещё где-то есть предноль, бесконечность, забесконечность и предельный переход. В общем есть над чем задуматься, что-то подобное уже проделал математик Б.М. Шуранов:
Список подмножеств: логическое строение
В частности предноль и забесконечность это его термины, но это самая малость из множества новых терминов, которые ему пришлось вводить, например, "анерегия", и тому подобные.
Можно перевести, но никому не нужно. Есть язык арифметики, который это делает намного быстрее. Введение высказываний нужно не для того, чтобы решать арифметические задачки, а для создания универсального компилятора, который связывает все теории.
Овчарёв Виталий, 21 Ноябрь, 2024 - 08:57, ссылка
Тогда становится не понятно, по крайней мере мне, в чем принципиальная разница между "можно перевести" и "универсальный компилятор, который связывает все теории"?
Аналогичная ситуация, есть две операционные системы, Windows и Unix. Можно приложения, написанные под одну операционную систему, переписать под другую, можно даже одну операционную систему запускать в другой как приложение. В чем проблема-то? А проблема в железе! Windows написана/заточена под одну элементную базу, Unix под другую. Вопрос, что будем универсалить, хард, или софт? Отсюда следующий вопрос, в который непременно упрёмся: что такое логика, и к чему её прикладывать? Как мне кажется, именно это Вам и хотел сказать Илья Геннадьевич. Например, одно дело, если логика это правильные правила, и совсем другое, когда логика это законы мышления. В первом случае можно и правильные правила подправить, во втором не получится, закон он и в Африке закон!
Логика это про законы мышления. Этим законам подчиняется также математика, которая сама по себе продукт мышления. Сначала мышление и его законы, потом разные частные теории, которые нечётко и неопределённо (пока) соотносятся с законами мышления.
Так уж повелось, что стихийная логика предстоит строгой логике, начало которой положил Аристотель. И в математике тоже. Сначала пересчитываем пальцы, потом свои денежки, потом придумываем абстрактные уравнения и бухучет, а потом появляется теория множеств.
Чем докажете? Существует мнение, что мышление вообще алгоритмически не вычислимо. То есть у мышления нет никаких законов, абсолютная свобода. Иначе говоря, тот самый "хард" абсолютно универсальный, и ему абсолютно по барабану, какую операционную систему "курить". То же самое с субъектом и его мышлением, универсален субъект, чему научили, то и будет делать/думать, будь дискретная философия, фундаментальная математика, или информатика. Это подтверждается темами Андрея Ханова про ВИМы (высокоинтеллектуальными машинами), "живущими" в дискретной среде, и называющими себя алгоритмами.
Я бы по этому поводу сказал так: расслаивается мышление! Мышление мышлению рознь. Теперь не смогу найти тему, в которой к фактически такому же выводу пришел Александр Болдачев, звучало это примерно так: господа хорошие, необходимо придумать соответствующие термины, иначе у Вас мышление электрона, собаки Павлова и человека - это одно и то же!
Есть ещё один момент. Информатика не есть раздел математики, информатика "выпочковалась" в самостоятельную предметную область, для этого ей пришлось обессмыслить фундаментальную математику и занять её место, а в общем-то это наука о битах, то есть о знакоместе, то есть ни о чем, в отличии от той же арифметики, науки о числах.
О математике я уже высказался :) , немного добавлю про логику. Нет никакой логики вообще, есть конкретная логика, которая связана с логическим мышлением. Всё остальное это теории! В частности, как Вы и сказали, математическая логика ("также математика, которая сама по себе продукт мышления"), она же булева математика. По моим соображениям нужно говорить не о "стихийной логике", а о теориях, истинных, непротиворечивых, противоречивых и ложных, то есть вообще отстойных, типа античеловечного 4-го Рейха.
Я не хочу это здесь обсуждать. Скажу только, что есть правильное мышление, и есть неправильное. Правильное мышление прокладывает путь к истине. Ну а неправильное... Логика - наука о правильном мышлении
Овчарёв Виталий, 21 Ноябрь, 2024 - 13:25, ссылка
ЭДЛ М.П. Грачева на том и держится: есть (существуют) два мышления, моё и неправильное :)...
Смелое заявление! Наука отличается от философии тем, что у науки есть сущий (существующий) предмет, который она изучает. Что изучает логика? Мозг пациентов психиатрической больницы? Вспомните хотя бы, что математика это не наука в полном смысле этого слова, и уж тем более психология это не наука, а скорее лженаука, хотя я так не думаю :)...
А вот экономика в моём понимании это и есть самая натуральная лженаука, у которой нет не только сущего, но и абстрактного предмета изучения :)... Основанием экономики есть математическая статистика. А теперь задумайтесь, что такое "экономическая академия"? Я просто балдею от всех этих "игр ума".
И я не хочу превращать русскоязычный философский сайт в помойку!
Ну вот, хорошая иллюстрация к теме глубины проникновения ТМ в математику. Ведь что такое на сегодня натуральное число? Это множество.
0=∅
1={∅}
2={∅,{∅}}
и т.д.
Этот подход и позволяет использовать число для количественного счёта, берёте, к примеру, множество пальцев на своей руке и сопоставляете во взаимно однозначное соответствие множеству:
{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}}
которое и есть число 5.
Т.е. даже число, на сегодня, в математике, не фундаментальное понятие. В основу всего положено множество.
Само множество, в силу фундаментальности, становится неопределяемым понятием.
Вы замахнулись на то, чтобы сделать его определяемым, а значит, надо ввести новое фундаментальное, неопределяемое понятие. Потому что, иначе, рано или поздно, Вы столкнётесь с тем, что в Вашем определении множества будут понятия уже определённые через множество.
Т.е. Вам надо начинать не с попытки определить, что такое множество, а с указания на неопределяемое понятие, которое Вы положите в основу своей системы.
"Весь мир
насильнонасилья мы разрушим до основанья, а затем..." Иначе говоря, необходимо обессмыслить старое и на его место водрузить новое! О чем здесь речь? Об идеологии! Логика, которая про истинность, доказательство, обоснование и аргументацию отдыхает :(...В принципе так оно и есть, в основание кладётся неопределяемое понятие, затем строятся определения и аксиомы, которые доказывать не надо. Всё это называется аксиоматикой. Затем полученная теория проверяется практикой. Не лучше ли сразу в основание всех теорий заложить логику? По крайней мере сокращаем путь, поскольку на выходе получаем не абы какую теорию, а хотя бы непротиворечивую.
Точка мера положения и измерения.
Множество мера совокупности точек составляющих множество
Натуральное число это не множество. Вернее, множество как синглетон, с одним элементом. Потому что число - это переменная с числовым значением (количеством). И размножать его вот таким образом не выйдет. Можно сказать, что число 2 - это коробка, на которой написано: 2. И складывать в нее можно то, что количественно соответствует этому числу.
В вашем примере натуральные числа выражают значение мощности данного множества. Не более. Совершенно очевидно, что ноль - это не пустое множество.
Неопределяемое понятие - тождественность. Основная аксиома .
0=∅
1={∅}
2={∅,{∅}}
Функция приращения. Мощность пустого множества растет бесконечно, и каждый раз мы получаем новое множество. И при этом оно пустое.
Ну вот вы нашли ещё одну дырку в теории множеств. Поздравляю. В добавление к моей коллекции. Пустота не просто нетождественна сама себе, она при этом ещё и производна сама из себя )) и каждый раз Ничто производит другое Ничто. Все это прямо таки напрашивается для математического описания эманации демиургов в гностицизме. И это то самое порождение дурной бесконечности, которая появляется, если переводить Первопричину в мир Идеального
И ещё замечание. Математики так уверовали в теорию множеств, потому что в упор не замечают ее несовершенства. Ряды фон Неймана позволяют доказать, что 0=1. А если так, то теория множеств позволяет доказать всё. Вопрос: что согласно закона Дунса Скотта позволяет доказать всё, что угодно?
Вы верно заметили, что в теории множеств все эти неопределяемые термины определить нельзя. Логика - единственное возможное основание для такого определения. Причем, это универсальное основание. Если логически давать определения для теории множеств, теории вероятностей, теории игр, графов и т д., возникает возможность однозначного перевода одних формул в другие. Математики обычно говорят - представим в виде графа, или граф в виде множества... Или: выразим... Все эти выражения и представления имеют интуитивную природу, а интуиция субъективна. Логика позволяет избавиться от всех этих представлений...
Вопрос из зала: А кто запретил?
Точка - это неопределяемое понятие в геометрии. Кто запретил? Например, так. Учитель берёт кусок мела, рисует на доске точку, и говорит: Ребята, то, что я нарисовал на доске, то есть то , что вы видите нарисованным, и есть точка! Все последующие действия с этим изображением мы будем называть действиями с точкой, например, мы из этой точки проведём тем же кусочком мела линию. Выбираем направление и проводим линию. Заметили? Есть точка, направление, линия. Всё! Нет ни весов, ни гирь, ни глины с шарами и прочих фантазий следов*...
Ещё раз, повторюсь, кто запретил? Вы различаете правило и закон? На каком основании? Если Вы не поняли, поясняю: это совершенный силлогизм Аристотеля, только наоборот.
Согласен, представления субъективны. Как насчет логики?
Как? Можете представить механизм, или алгоритм такого "избавления"? Есть множество представлений, одни из них хорошие, другие не очень. Первое, что приходит на ум - необходимо пометить представления! Как? М.П. Грачев для этого вводит субъектов высказываний, а Вы? Что такое идентификатор (ник участника дискуссии), и как он связан с представлением и именем субъекта представления? Элементарно я могу отказаться отвечать на Ваши вопросы, и никто не в силах заставить меня этого не делать. И, далее, я могу смело отказаться от того, что я говорил (изменить мои показания), и это тоже никто не в силах запретить.
_________________________________________________________
* если вы решили поговорить о следах, то вам придётся объяснить это явление природы, и как вы это собираетесь делать, минуя понятие память, или инертность мышления, я ума не приложу...
//Точка - это неопределяемое понятие в геометрии.//
Лопухин урод.
Точка: мера положения и измерения
я уже дал определение , но ты тупой крокодил этого не понимаешь.
Здесь ни о том речь, что невозможно дать определение, а о том, что Ваше определение, как говорят в народе, не годится ни в какую Гвардию!
А в общем и целом я Вас очень шибко ценю и уважаю. И где-то в глубине души даже люблю :)...
000, 21 Ноябрь, 2024 - 17:14, ссылка
Точка - это неопределяемое понятие в геометрии.
извиняйтесь перед ним немедленно и благодарите его за верный ответ
это координата точки, её свойство, а не она сама
наверное зрения? это снова координата точки, а не сама точка
точка в гильбертовой информационной геометрии - кубит, единство координат состояний
1=0000
2=1111
3=1122
4=2222
у бита всего два состояния 0 и 1
у кубита (4-бита: 0000) 16
у суперкубита (6-бита: 000 000) 64
у вентиля (12-бита: 000 000 000 000) 4096
и всё это точки гильбертова пространства,
просто абстрактная точка - вне контекста, какой контекст зададим, такая и модель связи абстрактных точек
точка в кибернетике: элемент квантового регистра, возрастающий ряд двоичных чисел, вершины куба:
+1=000
+2=001
+3=010
-4=011
+4=100
-3=101
-2=110
-1=111
Модель куба:
110 111
010 011
100 101
000 001
Как любой элемент геометрического куба описывается двумя точками, так любое слово (набор нулей и единиц) описывается чередованием точек информации (элементов квантового регистра).
Информация геометрична (представима геометрическими фигурами. И наоборот, геометрическая фигура и её элемент описывает условными точками
даже ИИ понял, а Вы то лучше ИИ. Или нет?
Что такое точка? Нет ее самой по себе, есть она в самое себе.
Кто запретил .. собрались математики на большом конгрессе, и решили: будет так. Чтобы не плодить новых противоречий.