Четыре непонятности (моего личного недогоняния).

1. В теме А.Болдачева "Истинность, аксиомы и доказательства теорем"  лишь немного уделяется вопросу о том нужно ли обосновывать (пусть даже в самом общем виде) введение в логическую систему именно такой, а не иной аксиомы (аксиом). То есть, на каких основаниях введены именно такие аксиомы? Ещё точнее - надо ли определять цель с которой формулируются аксиомы?

Проблема обоснования математики - проблема «с бородой», ей более ста лет.  Но проблему старательно обходят многие философы,  математики и любители Философии.
Кто с проблемой обоснования математики  еще не сталкивался рекомендую сначала для критического осмысления  А.К. Сухотин «Философия математики» и С.К.Черепанов «Обоснование математики: новый взгляд на проблему».
С подходом С.К.Черпанова не согласен, но направление мысли верное: