Земля рассматривается как точка, средоточие массы. Шарик падает с соответствующим ускорением свободного падения в направлении к точке (центру Земли). Такой же шарик, летящий по тоннелю с противоположного полюса - копия полёта первого. Головорушко прав, шарик в центре (умозрительно) подвергнется разрушению, как в чёрной дыре.  Пролёт шарика сквозь Землю невозможем.  

Предупреждаю! Всё почищу!

Пока никто не попытался хотя бы прямо ответить на вопрос о поведении шарика. Об объяснениях поведения вообще речи не было.

Исключение - vlopuhin. Он нагородил горы херни, но хотя бы высказал своё виденье краткой фразой: шарик будет двигаться к центру Земли и там остановится. Хотел спросить у него за счёт чего он так решил, но побоялся, за вторую гору херни на разные отвлечённые темы.

Итак, ждите удалений.

Чрезвычайно удивлен отсутствием на форуме людей, знакомых с физикой. Не в том смысле, что ее видели, а в том, что с ней здоровались. Я не физик, но когда-то изучал и кое-что еще помню. Объясняю поведение шарика. 

Для начала нужно уяснить, что мысленные эксперименты проводятся для того, чтобы избавиться от мешающих пониманию сложностей и сосредоточиться на сути явления. В реальности будут несколько отличающиеся условия, а в задаче условия идеальны.

Шарик будет падать в "туннель Саковича", движимый силой гравитации, то есть притяжением Земли. Земля огромна и в данном случае не сводится в материальную точку, как обычно принято в школьной физике. Но в точку можно свести результирующую силы притяжения. Итак, сила притяжения Земли, действующая на шарик, направлена из центра Земли.

Огромность Земли в этой задаче определяет то, что внутри ее сила гравитации, действующая на шарик, будет непрерывно изменяться по мере движения шарика. То есть в любой момент времени Землю необходимо рассматривать как состоящую из двух частей, разделенных плоскостью, проходящей через шарик и перпендикулярной направлению движения. Каждая часть Земли притягивает шарик в свою сторону. Причем одна часть непрерывно уменьшается, а другая так же непрерывно растет. Или, сводя Землю к материальной точке, необходимо представлять себе зависимость массы, притягивающей шарик, от расстояния между центрами масс. Когда шарик находится в центре Земли, результирующая сил гравитации будет равна нулю.

Этими двумя частями Земли, находящимися по обе стороны шарика, в данной задаче можно пренебречь, так как нас не интересуют скорости движения, а только направление. Для понимания всей совокупности движения шарика в тоннеле достаточно рассмотреть его движение на двух участках:

1) от поверхности Земли до ее центра и

2) от центра до поверхности. 

В начальный момент времени скорость шарика равна нулю, поскольку мы его держим. Сила притяжения, действующая из центра масс Земли максимальна. Шарик обладает потенциальной энергией, обусловленной притяжением Земли, она максимальна. Кинетическая энергия равна нулю.

После отпускания шарика в свободное падение он начинает ускоренное движение. Здесь можно обратить внимание, что движение будет не равноускоренное, которое обычно рассматривают в школе, а просто ускоренное, потому что ускорение свободного падения будет уменьшаться вплоть до достижения центра Земли, где оно станет равным нулю. Поскольку ускорение, пусть и уменьшающееся, происходит вплоть до центра Земли, то и скорость шарика непрерывно увеличивается, просто разным темпом (говоря физическим языком, с разным ускорением). Ускорение станет равным нулю потому, что результирующая сил гравитации станет равной нулю. Обратите внимание: гравитация не исчезнет, исчезнет ее результирующая и шарик окажется на один момент в невесомости.

По мере продвижения шарика по тоннелю его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и в центре Земли вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую. В центре Земли потенциальная энергия будет равна нулю, поскольку равнодействующая сил притяжения Земли будет равна нулю. Кинетическая энергия будет максимальна, поскольку скорость в этой точке максимальна. Прошу обратить внимание на выделенную фразу, поскольку некоторые почему-то считают, что шарик в центре Земли может остановиться.

Ни одно материальное тело не может остановиться мгновенно, в том числе и наш шарик. В любом случае требуется какое-то время. Даже если на пути стоит свинцовая стена, она будет деформирована, или деформирован будет шарик, а если подходить совсем строго, то деформации будет подвергнута и стена и шарик. Деформация должна отнять какое-то время, пока действуют силы упругости. В нашем случае никакой стены на пути шарика нет. И он продолжает движение.

Продолжим следить за шариком. Итак, он на максимальной скорости проносится мимо центра Земли и в этой точке направление сил гравитации изменится на противоположное, потому что та часть Земли, которая останется позади шарика, станет массивней и по мере движения ее массивность будет увеличиваться, пока шарик не достигнет поверхности, где она станет максимальной. Эта растущая массивность будет создавать гравитационное притяжение, которое будет замедлять движение шарика. Движение шарика (не забыли? - идеального) остановится аккурат на поверхности с другой стороны Земли, где вся кинетическая энергия перейдет снова в потенциальную. Здесь уже скорость будет равна нулю, а притяжение, действующее из центра Земли, максимально. Вот это действующее притяжение заставит шарик снова ринуться в преисподнюю и вся картина повторится и будет повторяться до тех пор, пока наши идеальные условия не будут нарушены.

Хочу отметить, что эта задача очень интересна с философской точки зрения, поскольку наглядно показывает неуничтожимость энергии и переход движения из потенциальной формы, когда движения собственно нет, но силы максимальны, в кинетическую, когда равнодействующая сил равна нулю, но движение максимально. 

С интересом наблюдал за развернутой дискуссией!

Детский сад!

А попробуйте мысленно изменить условия эксперимента. Бросайте не шарик, а прыгайте сами. Что вы будете чувствовать?

Мое мнение: Постоянную невесомость. Как вы будете двигаться? До центра шара с ускорением, от центра до поверхности с другой стороны - с замедлением, на поверхности остановка (в случае отсутствия трения о воздух или стены) и обратное падение.

В гипотетическом случае вечные колебания туда и обратно. Если все же есть трение, колебания затухающие с полной остановкой в центре шара в состоянии полной невесомости. Никаких раздирающих со всех сторон сил не почувствуете потому, что они действуют на каждый атом вашего тела одновременно и никак не влияют на протекающие внутри вас процессы.

Интересный вопрос задала ПростаЯ. А что будет в случае сферы (полого шара)?

Здесь механизм несколько иной. В данном случае действие гравитации с боков компенсируют друг друга, как и в шаре, а вот противоположная масса находится гораздо дальше чем та, через которую вы изначально проходите.

А так как сила гравитационного взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами, сила воздействия противоположного сегмента сферы значительно слабее той , которую вы только что преодолели.

Поскольку суммарная сила тяготения с приближением к центру ослабевает, то на определенном внутреннем радиусе (радиус внутренней поверхности сферы) притяжение ближайшей внутренней поверхности будет сильнее, чем удаленной, т.е. на внутренней поверхности можно будет стоять.

Сила притяжения будет, как минимум в два раза слабее чем полное притяжения шара, но тем не менее в центр сферы вы не упадете. А если ещё прибавить центробежную силу вращения сферы...