Математическое доказательство как иносказание
Отметим, что оба этих текста относятся к категории "формально-логических" :
1. Подходим к светофору.2. Смотрим на сигнал светофора.3. Он должен быть зеленым (это условие).4. Если условие выполняется, мы переходим дорогу.4.1 Если нет – ждем, пока загорится зеленый.4.2 Переходим дорогу.5. Конец алгоритма.
Требуется доказать, что среди трёхзначных чисел нет числа, делящегося одновременно на 7, 11 и 13. Школьник младших классов, знакомый лишь с делением, может справиться с этой задачей, перебрав и испробовав все 900 трёхзначных чисел. Школьник старших классов знает (точнее - должен знать), что среди натуральных чисел выделяются простые числа и что простым называется всякое такое натуральное число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, делится только на единицу и на само себя. Так что числа 7, 11 и 13 - простые. А ежели школьник ещё более образован, то он знает, что число, делящееся на каждое из нескольких простых чисел, обязано делиться и на их произведение. Произведение 7*11*13 равно 1001. Но никакое трёхзначное число не может делиться на 1001.
Вопрос : в чём между ними принципиальная разница ? Ответ : первый текст называется "формализованным алгоритмом", второй "формализованным доказательством", а принципиальность разницы между ними состоит в том, что суждения первого в отличии от суждений второго индифферентны к истинностным оценкам - то есть над первым текстом в отличии от второго не нужно думать, и как следствие не нужно понимать смысл составляющих его утверждений, а вместо этого тупо их выполнять - в этом смысле можно даже сказать что "думать над ними вредно". Если этой принципиальной разницы не замечать, то и не будет принципиальной возможности корректно формулировать свои суждения о формальной логике. Если же её учитывать, то станет очевидной связь между названием этой темы и остальным текстом : смысл любого утверждения есть мета-форма ("ино-сказание") - в отличии от той формы ("прямо-сказания"), в которую облечены описания действий алгоритма.
Вывод : если мешать в одну кучу прикладную и теоретическую части ФЛ, то это может лишь привести к пополнению моей коллекции семантических каламбуров, выданных нагора ввиду неразличения определений терминов "алгоритм" и "рассуждения".
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Пользуясь случаем, подкреплю эту тему сопутствующим экспериментальным материалом. Человек создаёт тему с посылом "дедуктивный метод как самый строгий и самый логичный способ установления истинности утверждений", при этом всю свою аргументацию выстраивает на примерах, в которых начисто отсутствуют рассуждения, и как следствие к которым в принципе неприменимы истинностные оценки. То есть для разрешения возникшего в этой дискуссии спора достаточно отличать "предписание выполнить действие без осмысления оного" как элемент алгоритма от "суждения, требующего истинностной оценки, и как следствие осмысления заключённого в этом суждении действия" как элемента доказательства исходного утверждения (оно же "замыкающее эстафету передачи истинности", оно же "обрамляющее текст доказательства с двух сторон" - выбор интерпретации это уже вопрос выбора формы, никоим образом на содержании не сказывающейся).
Ошибка довольно распространённая, поэтому не могу удержаться от комментариев. То что автор темы о дедуктивном методе называет "логическими рассуждениями" (или рассуждения как таковые его не интересуют в граничных условиях логики - я так и не понял до конца его позицию) в действительности являются ни чем иным как "предписаниями выполнить действия, абстрагируясь от рассуждений" :
В принципе, можно условно считать "подтверждением истинности" успешное выполнение каждого действия этого по сути алгоритма, но это не избавляет от возможности и необходимости идентифицируя текст на предмет его принадлежности к "логическим рассуждениям" дать однозначный ответ на вопрос о том, нужно над ним рас-суждать или нет - то есть связывать логически эти действия между собой или с выполнением каждого из них тут же о нём забывать, не фиксируя заключённого в нём смысла.
Таким образом я идентифицирую допущенную в рассуждениях ошибку именно как логическую - то есть такую, которая необходимо следует из уже имеющихся фактов.
Преобразовать этот алгоритм в последовательность предназначенных для осмысления рассуждений можно лишь в том случае, если дать определение термину, выступающее аксиомой в доказательстве от противного :
Другого способа нет.
Дмитрий, я так и не понял Ваш ли это "алгоритм", но это вовсе не алгоритм для жизни, это - чушь.
1.Как близко к светофору вы намерены подойти, чтобы куда-то посмотреть?
2. На какой именно светофор вы смотрите: для пешеходов, для автомобилей, и в какую сторону направленный?
3. Знаете ли Вы, что по новым правилам в некоторых случаях водители вправе на красном светофоре поворачивать направо, если там нет помех, например пешеходов? И если вы будете лететь как пуля, не обращая внимания на реальную дорожную обстановку,... одним непуганным философом на дороге станет меньше. Мне приходится ездить и по некрупным городкам тоже, и не устаю удивляться огромному фронту работ перед водителями, дабы передавить всех тех непуганных идиотов, которые выскакивают на зебру, не глядя по сторонам, в надвинутом капюшоне да ещё с наушниками на ушах.
4. А если светофор сломался? А если мигает, и вы не успеете перейти дорогу?
Ни один алгоритм не может подменить отсутствующую обратную связь и мозги, не зашоренные алгоритмом.
Ни одно доказательство не имеет отношения к жизни, все это - математическое блудословие, о чём вам Болдачёв указывал как-то.
Извините, Леонид, но Вы бредите. В дискуссиях с Вами я уже наверное не один десяток раз говорил Вам ровно то же самое - то есть фактически Вы пытаетесь спорить о том, в чём полностью со мной согласны. Отсюда просьба : перед тем как что-то мне писать, приведите пожалуйста в порядок собственные мысли. Я могу конечно Вам в этом в очередной раз посодействовать, но предпочёл бы чтобы Вы сами могли отличать по контексту теоретическую часть науки от прикладной. Иначе так и будете нести этот бред (а главное крутить его у себя в голове) - о вреде информационных технологий, подменяющих нам реальность, научной недобросовестности программистов, обманывающих человечество жонглированием отвлечёнными от жизни абстракциями, ну и прочие перлы выдавать один другого краше. Просто запомните, что ни одна абстракция по определению не может быть дана в опыте, и тогда нам не придётся на каждом шагу спотыкаться из-за того что Вы постоянно путаетесь в вопросах, сложность ответов на которые не превышает уровень школьной программы.
Ещё и на Болдачёва сослались, который надёжно зарекомендовал себя в моих глазах как человек полуграмотный. Нашли с кого пример брать - он тоже полюбляет раздувать проблему из тех вопросов в которых у нас прослеживается полное единомыслие, и не замечать за собой таких ошибок, которые не каждый школьник умудриться допускать в своих суждениях.
Дмитрий, вы забавны мне своей своеобычностью. Просить вас привести пример хоть чего-то доказанного об объективной реальности я не буду. Много раз предпринимал такие попытки, чего ж в 31 раз убеждаться, что вы это вы сделать не в состоянии!?
Используя вашу терминологию и ваш менторский тон, сообщаю, в реальности всё намного богаче любой вашей абстракции, а любая ваша абстракция - персонально ваш бред. Запомните это! И сколько бы в горячечном бреду ни пытались что-то во что-то преобразовать, уясните, вы преобразуете один бред в другой, доказываете один бред другим. Вы нашатырь почаще нюхайте, авось и сможете отличать свой полубред в момент его вдыхания от вашего обычного состояния полного бреда.
Дык а я о чём - вместо того чтобы один раз запомнить мой ответ на столь интересующий Вас вопрос ("не могу потому что полностью с Вами согласен в том что такого примера в природе не существует"), Вы тридцать раз мне его задаёте, полностью игнорируя мой исчерпывающий и недвусмысленный на него ответ. Мне, соответственно, остаётся лишь в очередной предложить Вам не этого делать, апеллируя к тому что задавать его не было смысла даже во 2-й раз, не то что в 31-й.
То есть Вы приписываете мне неадекватности собственного восприятия, хотя в действительности я не более чем стремлюсь отвечать на Ваши вопросы исчерпывающе. Не помню такого случая, чтобы Ваши возражения на мои посты нельзя было свести к утверждению "не согласен с мнением которое полностью разделяю". Я конечно не исключаю такого варианта, что в чём-то мы можем расходиться во взглядах, просто Вы ещё не дали повода для предположения о том, что такие расхождения у нас имеют место быть. Если Вы испытываете такую настойчивую потребность спорить со мной о том в чём мы сходимся во мнениях, то даже мой "менторский тон" не поможет Вас убедить в бессмысленности этого занятия.
Если Ваша цель что-то выяснить конструктивное из отношений логики и математики, То отойдите подальше.структура доказательства везде одинакова. НО в математике СВЯЗЬ с действительностью редко берется во внимание , и вот это то и ключевой момент. Математики не системники и не рассматривают свои построения в системном ключе. Возьмите любое производство в нем можно найти многие процессы и описать их разными математическими ракурсами, И МОЖНО АЛГОРИТМОМ ПРОГРАММОЙ. Не рассматривайте математические спецификации, направления не держа главный вопрос как это связано с действительностью, фантазийная ли это тема , это если вы истинно хотите ФИЛОСОФСКИ подойти к математике и еще важный вопрос Как , почему вдруг некоторые математические построения могут описывать процессы в природе , как истинный следователь-исследователь -вы и найдете ответ, потому что в основе природы лежит метапрограмма. и язык математики от людей иногда описывает ее ЯЗЫК, ее математические функции и пока непоследовательно...
Нет, моя цель состоит в идентификации наиболее распространённых ошибок, которые ввиду своей тривиальности исключают возможность получения результатов совместного взаимодействие философов. Более конструктивной деятельности в этом направлении Вы на сегодняшний день предложить не сможете.
Да, и это лишь одна из тех тривиальных мыслей, непонимание которых приводит в дискуссиях к пустым растратам интеллектуальных ресурсов.
Я не найду к чему в Вашем утверждении придраться, если "редко" Вы замените на "не".
В контексте этой темы существенно то, что алгоритм в отличии от текста доказательства не содержит рассуждений, предназначенных для истинностных оценок. Проведение этого различения нивелирует разницу между тем что Вы назвали "математическим описанием" и "алгоритмом программы". Одно дело, скажем, дать определение квадратному уравнению и доказать теорему Виета, и совсем другое воспользоваться полученными результатами (не самим текстом доказательства) для отыскания корней конкретного уравнения по уже готовому алгоритму. Здесь, на ФШ, в дискуссиях мне постоянно приходится сталкиваться с тем что собеседник неспособен отличить текст доказательства как совокупность рассуждений от его результатов - той формулы, которая используется для получения других результатов путём выполнения алгоритма действий. Хорошо если Вы эти вещи различаете, но как правило эта принципиальная разница игнорируется, из-за чего дискуссия имеет свойство превращаться в бардак.
Согласен, куда ж без неё. Причём тексту этой программы ничего не мешает быть вполне компактным и определимым рациональными средствами, но в то же время вычисление этой мета-надстройки может быть весьма нетривиальной задачей и требовать довольно значительных временных затрат на приобретение и развитие научных знаний.
Если не пренебрегать критерием оценки "хорошего стиля программирования миров", то эта метапрограмма должна оптимальным образом совмещать в себе компактность с трудновычислимостью.
Вот, скажем, пример иносказания, который в доказательствах теорем вполне привычен и давно уже никого не удивляет :
Мысленно участвуя в эстафете передаче истинности человек в этом месте доказательства должен подтвердить - "да, действительно, школьник знает, а точнее должен знать, что...". Компьютер этого не поймёт - для этого ему нужна информация о конкретном школьнике, его оценки по математике, анкетные данные с его ответами на конкретные вопросы, которые он бы мог сверить с правильными ответами чтобы вернуть в данном случае "true". Можно конечно убрать оттуда школьника и заменить этот фрагмент рассуждений словосочетанием "как известно, ...", можно вообще считать избыточной информацию до троеточия - от необходимости подтверждения той мысли которую следует подставить вместо троеточия это не избавит. Как компьютер может это подтвердить ? :
Да никак - это может только сделать за него человек, написав соответствующую функцию. Сам компьютер "не догадается" её сгенерировать для подтверждения успешной передачи истинности в данном месте доказательства. Сделать это можно только поняв смысл словосочетания "простое число", после чего передать компьютеру не сам этот смысл, а составленный на основании его понимания алгоритм действий, над которыми уже думать не надо. Поэтому когда перед человеком встанет другая задача - скажем "объяснить" компьютеру что значит "простая пара чисел", сумма квадратов которых даёт квадрат третьего натурального числа, то придётся "объяснять" всё по новой, поскольку "собственный смысл простоты" в случае с алгоритмом идентификации простого числа будет утерян - то есть компьютер не может без помощи человека подставить его в граничные условия "соотношения сторон прямоугольного треугольника".
Проще говоря, выполнение алгоритма в отличии от процедуры установления истинности не может давать в качестве результата нового понимания, а только лишь реализовать уже существующее. Как следствие, алгоритмическая вычислимость чего угодно не может служить подтверждением истинности чего бы то ни было. Только наоборот - следовать из уже установленных путём логических рассуждений фактов.
Вынесу сюда пару доказательств математических теорем, которые я приводил в одном из обсуждений. Поскольку примеры является классическими, мне уже неоднократно приходилось их копипастить по разным поводам, поэтому из соображений экономии места вынесу их в отдельный пост :