сами напросились)

1.7 Группа унитарной симметрии SU(3)

    Познакомимся теперь с более сложной группой Ли - с группой 3-мерных унитарных унимодулярных матриц  SU(3), сыгравшей и играющей в современной физике элементарных частиц совершенно замечательную роль. Эта группа уже 8-параметрическая. (Действительно, произвольная комплексная  матрица 3 × 3 зависит от 18 вещественных параметров, условие унитарности уменьшает их число вдвое, а условие унимодулярности убирает еще один параметр.)
    Переход к 8-параметрической группе SU(3) можно сделать непосредственно от 3-параметрической группы SU(2),  заменив 2-мерные унитарные унимодулярные матрицы U на 3-мерные, а к соответствующей алгебре -   заменив матрицы Паули σk, k = 1, 2, 3 на матрицы Гелл-Манна λα, α = 1,..., 8:

                 
                
                  
                 

(1.52)

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

 ,

где f123 = 1, f147 =1/2, f156 = -1/2, f246 =1/2, f257 =1/2, f346 =1/2, f367=-1/2, f458=, f678 =

    (Подобным образом, набравшись терпения, можно построить представление алгебры размерности n для любой унитарной группы SU(n) при конечном n. ) Эти матрицы реализуют 3-мерное представление алгебры группы SU(3) с базисными спинорами

q1 = ,            q2 = ,             q3 = .

(1.53)

    Представление размерности 8 задается матрицами 8×8 в линейном пространстве, натянутом на базисные спиноры

                                    

                                  

(1.54)

Но подобно тому, как в SU(2)  любой 3-вектор можно записать в виде бесшпуровой матрицы 2×2, любой 8-вектор в SU(3) X = (x1,..., x8) можно задать в виде матрицы 3x3 :

.

(1.55)

В левом верхнем углу мы сразу видим предыдущее выражение (1.32) из SU(2).
    Прямое произведение двух спиноров qα и qβ можно разложить в точности также, как и в случае SU(2) (но теперь α, β = 1, 2, 3) симметризуя и антисимметризуя по индексам:

(1.56)

Симметричный тензор 2-го ранга имеет размерность и для n = 3, что видно из матричного представления:

(1.57)

 

и здесь учтено, что T{ik} =T{ki}Tik (ik, i, k = 1, 2, 3). Антисимметричный тензор 2-го ранга имеет размерность и для n = 3 , что также видно из матричного представления:

(1.58)

 

и мы учли, что T[ik] = -T[ki]tik (ik, i, k = 1, 2, 3) и T[11] = T[22] =T[33] = 0.
    Через размерности разложение можно записать как

n × n = n(n+1)/2|SS + n(n-1)/2|AA,

или для n = 3 . Рассмотрим в качестве примера произведение спинора qα и ему сопряженного спинора qβ, чьи базисные вектора представимы как три строки (1  0  0), (0  1  0) и (0  0  1). И здесь разложение на сумму НП достигается вычитанием шпура (напомним, что матрицы Гелл-Манна бесшпуровые)

(1.59)

где - бесшпуровый тензор размерности dV =(n2 - 1), соответствующий присоединенному (иногда говорят "векторному") представлению  группы SU(3), имеющий при n = 3 размерность 8; I - единичная матрица, соответствующая единичному (или скалярному) НП. Через размерности это запишется как   или для n = 3 .
    Приведем еще один пример довольно сложного разложения, используемого, в частности, в вычислениях глюонных поправок к электрослабым взаимодействиям. Это разложение симметризованного произведения токов , в сумму НП:

где NSS - бесшпуровый тензор 4-го ранга, симметричный по двум верхним и двум нижним индексам, размерности NSS = [n2(n + 1)2/4 - n2]:

(1.61)

NAA - бесшпуровый тензор 4-го ранга, антисимметричный по двум верхним и двум нижним индексам, размерности NAA = [n2(n - 1)2/4 - n2] (n > 4, так как при n = 3 это НП сводится к октету, уже имеющемуся в разложении)

(1.62)

два тензора 2-го ранга присоединенного представления размерности NSA = (n2 - 1), симметричный:

(1.63)

и антисимметричный

(1.64)

и скалярное представление

(1.65)

НП смешанной симметрии, описываемые тензорами 4-го ранга и размерности = [n2(n2 - 1)/4 - n2 + 1], входящие в разложение произведения токов, имеют вид

(1.66)

(1.67)

[SU(3)]При n = 3[SU(4)]при n = 4[SU(5)]при n = 5[SU(6)]при n = 6

2.1 Восьмеричный путь. Массовые формулы в  SU(3)

    Вернемся к барионам 1/2+ и мезонам 0-. Как мы помним, их набралось как раз по 8 штук: 8 барионов -  изодублеты нуклона (протон и нейтрон) и каскадных гиперонов Ξ, изотриплет Σ-гиперонов и изосинглет Λ, и 8 мезонов - изотриплет π, два изодублета странных K-мезонов и изосинглет η. Попробуем написать   барионы B(1/2+) в виде 8-вектора действительных полей B = (B1,..., B8) = (, N4, N5, B6, B7, B8), где = (B1,B2,B3) = (Σ1,Σ2,Σ3).Тогда базисный вектор представления размерности 8 запишется в матричной форме следующим образом: 

.

(2.1)

В левом верхнем углу мы сразу видим предыдущее выражение (16) из теории изотопической группы SU(2). Аналогичным образом псевдоскалярные мезоны запишутся в виде 3×3 матрицы как

(2.2)

Итак, классификация оказалась удачной: вместо 16 отдельно взятых частиц у нас теперь всего два унитарных мультиплета. Каковы ее следствия? Важнейшим явилось получение массовыхе формул, i.e., впервые удалось связать между собой массы различных элементарных частиц с одинаковым  спином.

2.1.1 Массовые формулы для октета псевдоскалярных мезонов

    Массовый член в лагранжиане для псевдоскалярного мезона, описываемого волновой функцией Р , имеет вид, квадратичный по массе (с тем, чтобы уравнение Лагранжа-Эйлера для полного лагранжиана свободного точечного мезона приводило к уравнению Клейна-Гордона, где масса мезона входит квадратично)

,

(2.3)

а для октета таких мезонов с вырожденными массами:

(2.4)

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование), тогда как =140 МэВ, mK = 490 МэВ, = 548 МэВ. Гелл-Манн предложил отказаться от принципа, что лагранжиан должен быть скаляром по группе симметрии сильных взаимодействий, в данном случае по группе SU(3), и ввести нарушение симметрии, но таким образом, чтобы сохранялся изотопический спин и странность (или гиперзаряд Y = S + B, где B -барионный заряд, для мезонов равный нулю). Для этого член, нарушающий симметрию, должен иметь нулевые значения изоспина и гиперзаряда. Гелл-Манн предложил простое решение - массовый член должен преобразовываться как компонента 33 октета, выделенного из прямого произведения двух октетов, в которые входят эти мезоны. Сначала в произведении двух октетов, входящих в лагранжиан, надо выделить октет. Естественно свернуть произведение по верхнему и нижнему индексам или и вычесть шпур с тем, чтобы образовать правильные октеты

,                 

(2.5)

, (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Компоненты 33 этих октетов M33 и N33  и послужат искомыми членами, нарушающими симметрию массовой части лагранжиана LmP Следует только учесть, что в октете мезонов содержатся и частицы, и античастицы. Поэтому для того, чтобы массы частиц и античастиц оказались одинаковыми, оба нарушающих массовых члена должны входить с одинаковыми коэффициентами. В итоге можно записать массовый член лагранжиана в виде

.

(2.6)

Собирая коэффициенты при одинаковых билинейных комбинациях псевдоскалярных полей, получим:

                          

(2.7)

откуда немедленно следует соотношение

          4·0.245 = 3·0.30 + 0.02 (ГэВ)2.

(2.8)

Согласие получилось впечатляющее, учитывая прозрачность заложенных предположений и простоту формализма.

2.1.2 Массовые формулы для октета барионов JP = 1/2+ 

   Массовый член бариона B с JP = 1/2+ в лагранжиане линеен по массе (с тем, чтобы уравнение Лагранжа-Эйлера для полного лагранжиана свободного точечного бариона приводило к  уравнению Дирака, где масса бариона входит линейно).

(2.9)

Для октета барионов с вырожденными массами соответствующая часть   лагранжиана имеет вид

(2.10)

Но реальные массы вовсе не вырождены: mN = 940, mΣ = 1192, mΛ =1115,  mΞ =1320 (в  МэВ).
    Гелл-Манн и здесь предложил ввести нарушение масс, нарушив определенным образом симметрию лагранжиана:

.

(2.11)

Отметим, что здесь возникает два члена с 33-компонентой, что связано с тем, что, в отличие от случая мезонов, m1m2. (В мезонный октет входят частицы и античастицы, а барионы и антибарионы образуют два разных октета.) Тогда для отдельных барионов получим:

p = B13,    n =  B23,     mp = mn = m0 + m1,    

                ,

        

             .

(2.12)

Отсюда немедленно следует знаменитая формула Гелл-Манна - Окубо:

2(mN + mΞ) = mΣ + 3mΛ           2(940 + 1320) = 1192 + 3·1115.

(2.13)

(Значения левой и правой частей даны в МэВ.) Согласие с опытом превосходно, что послужило стимулом к дальнейшему применению теории унитарных групп Ли в физике частиц.

2.1.3 Нонет векторных мезонов и массовые формулы

     Массовая формула для векторных мезонов та же, что и для псевдоскалярных мезонов (на унитарное пространство  не влияют спиновые индексы).
    Но векторных мезонов оказалось не 8, а 9, поэтому применим массовую формулу для мезонов, приняв заранее ее справедливость, для определения массы изоскалярного векторного мезона ω0, входящего в октет:

,

(2.14)

откуда = 930 МэВ. Но изоскалярного векторного мезона с такой массой нет. Есть ω0 с массой = 783 МэВ и φ с массой mφ= 1020 МэВ. Пришлось Окубо ввести нонет векторных мезонов в виде прямой суммы октета и синглета,  который мы, предвосхищая события, запишем в виде

,
,

(2.15)

где -суть cos, - угол идеального смешивания октетного и синглетного состояний с I = 0, S = 0.  Подчеркнем еще раз, что введение его было вызвано расхождением массовой формулы для векторных мезонов с экспериментом.
    "В настоящее время (1969 г.) нет серьезных теоретических причин относиться к V9 (к нонету-В.З.)  как к основной величине, никогда не выделяя из нее ω0 (у нас φ0 - В.З.) в виде SpV9 , так что замечание Окубо нужно рассматривать как забавное, но не очень глубокое наблюдение. (С. Газиорович,"Физика элементарных частиц", М., 1969).
    Мы увидим несколько дальше, что наблюдение Окубо не только забавное, но и чрезвычайно глубокое.

2.1.4 Декуплет барионных резонансов с  JP = 3/2+ и его массовые формулы

    К 1963 году были уже установлены девять барионных резонансов с JP = 3/2+: изоквартет (с I = 3/2) Δ(1232) → N + π; изотриплет Σ*(1385) → Λ + π; изодублет Ξ*(1520) → Ξ + π. А в SU(3) как раз есть представление размерности 10, аналог НП размерности 4 в изопространстве  SU(2) (с I = 3/2), который задается симметричным тензором 3-го ранга (что вкупе с симметричным тензором, описывающем  спиновое состояние с JP = 3/2+ приводит к симметричной волновой функции для частицы с полуцелым спином!!!). Не достает состояния со странностью -3, которое обозначим Ω-. Вместе с ним декуплет запишется в виде:

Массовая часть лагранжиана для декуплета резонансов , следуя гипотезе Гелл-Манна об октетном характере нарушения унитарной симметрии лагранжиана, запишется просто:

.

(2.16)

Действительно, из унитарных волновых функций декуплета барионных резонансови соответствующего антидекуплета  , благодаря симметрии по индексам, октет можно построить единственным образом, свернув волновые функции по двум индексам из трех. В результате получим

,       ,      ,      .

(2.17)

Такая формула для масс именуется эквидистантной. Она действительно выполняется с неплохой точностью, прочем шаг по массовой шкале составляет примерно 145 МэВ. Но тогда предсказываемое состояние со странностью -3  и массой (1530 + 145) = 1675 МэВ не может быть резонансом, поскольку самое легкое двухчастичное состояние со странностью -3 - это (Ξ(1320)K(490)) с массой 1810 МэВ! А значит, если оно существует, то должно быть частицей, стабильной по сильным взаимодействиям, и раcпадаться по слабому взаимодействию каскадным образом с потерей странности на единицу на каждом шаге.
    Это предсказание целиком покоится на октетном характере нарушения, вводимого в массовый член лагранжиана, описывающего декуплет барионных резонансов .
    Частица Ω- была найдена в 1964 году, ее масса  (1672.5 + 0,3) Мэв точно совпадала с предсказанием SU(3)!
    Это был триумф унитарной симметрии. В нее поверило большинство физиков.