Систематизация и связи

Термины: 

время

НЕ-субстанциональный подход к определению физической сущности понятия "время".
Новый взгляд на старые уравнения.{{авторский}}
автор: Пименов Валерий Владимирович, специалист по теории систем автоматического управления;
принимал участие в разработке системы управления для МИГ-29
и некоторых других систем управления; в настоящее время сотрудник РОСКОСМОСа.
e-mail: pvv@federalspace.ru
Предисловие.
Автор придерживается "НЕ-субстанциональной" концепции объяснения физической сущности понятия "время". Это означает, что автор утверждает, что никакого "времени", как самостоятельной физической сущности НЕТ. А чему-же тогда соответствует это понятие? Ответ прост, очевиден и совсем не нов. Одним из первых более-менее внятный ответ дал еще Тит Лукреций (99 - 55 гг. до н.э.) :
Также и времени НЕТ самого по себе, но предметы
Сами ведут к ощущенью того, что в веках совершалось...
И неизбежно признать, что никем ощущаться не может
Время само по себе, вне ДВИЖЕНИЯ тел и покоя.
Достаточно внятный ответ дал Авиценна (Ибн Сина) (990 - 1037 гг. н.э.).
Пространство, время и ДВИЖЕНИЕ - неразделимы... С той или иной степенью внятности на него отвечали Лаплас, Декарт и Мах.
Из наших современников наиболее убедительные формулировки я обнаружил у профессора философии Лолаева Т.П. :
http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/lolayev_prostranstv-vrem_structura.htm
Остаётся только гадать, почему, при всей очевидности ответа, - до сих пор господствуют те или иные "мистические" варианты определения физической сущности "времени". Не-тривиальное объяснение этого "феномена" скорее всего в том, что ВСЕ макро-процессы базируются (состоят из) ОДИНАКОВЫХ микро-процессов, темп которых УСРЕДНЯЕТСЯ по огромному числу "экземпляров". И в этом смысле подсознательно полагают, что у всех макро-процессов ОДИН "источник" (базис, эталон, мера) "темпа". Вот почему люди обычно склонны считать "время" - "глобальным" и почти никогда НЕ идентифицируют его с конкретными локальными процессами.
Даже те, кто обычно соглашается, что "время" это "что-то связанное с изменениями" - очень часто не могут сделать последний шаг и СОВСЕМ отказаться от "времени" как физической сущности. "Всеобщность взаимодействий" и "единая структурность" дают подсознательное ощущение, что есть что-то "заставляющее всё это синхронно изменяться".
Я даже не могу настаивать, что Минковский со своим единственным универсальным "проявляющим процессом" был не прав. Если где-то там "на дне колодца структурности" лежит ОДИН И ТОТ-ЖЕ БАЗОВЫЙ ПРОЦЕСС, участвующий ВО ВСЕХ процессах ВСЕХ элементарных частиц и ВСЕГДА идущий С ОДНОЙ И ТОЙ-ЖЕ СКОРОСТЬЮ - то тогда Минковский "может спать спокойно" (извините за кощунство). Т.е. это означало-бы, что "абсолютное время" - "как-бы есть".
К счастью, такой "немыслимой неизменностью" ни один реальный процесс скорее всего НЕ обладает. Атомные часы подвержены влиянию гравитации и скорости перемещения - что уж говорить про другие "эталоны" (ну, разьве что, про какие-нибудь "планкионные часы" :O)

Во втором разделе я попытаюсь как-то объяснить причины, по которым эта проблема обычно "затуманивается" (смотрите абзац о подходе Минковского). Видимо причина ещё и в нечётком разграничении математической МОДЕЛИ и соответствующей ей РЕАЛЬНОСТИ, в представлении что "время" математических моделей это "и есть реальное время", - а отсюда и попытки "изменить знак времени на противоположный" и тому подобные попытки "пожить внутри математической модели". Если говорить о соотношении математической модели и реальности, то нужно обязательно упомянуть и о проблеме "локального последовательно-процедурного подхода" для реализации корректных моделей. Пожалуй первым эту проблему явно сформулировал Стивен Вольфрам ("реальность напоминает совокупность клеточных автоматов с одинаковой программой и ограниченных только связями с ближайшими 3-мя клетками, дальнодействие запрещено.") - об этом тоже во 2-м разделе. Там же приводятся некоторые соображения Карло Ровелли о "порождении пространства-времени само(взаимо)действующими процессами квантования гравитационного поля". Хорошо уже то, что этот известный физик уже НЕ настаивает, что кривое пространство-время существует "само по себе" - а "локально-порождается" ПРОЦЕССАМИ, происходящими при квантовании гравитации.

Есть ещё самостоятельная проблема "времени" как "движителя изменений". В самом деле, если "времени как движителя изменений" нет - то что тогда "заставляет всё это изменяться"? На сегодняшний день автор в качестве единственного серьёзного "кандидата в движители" видит только ОБОБЩЁННУЮ ИНЕРЦИЮ. Не только механическую. Просто пока нет общепринятого термина, обозначающего "стремление к сохранению текущего состояния" по ВСЕМ параметрам взаимодействий (этими взаимодействиями и обусловленное). В теории систем такое поведение называют "мерой устойчивости системы к внешним возмущениям". Любой "микро-объект" тоже является "системой", в которой есть внутренние обратные связи ("само-действие") и внешние обратные связи (взаимодействия) - и в этом смысле для него тоже существует некая "мера устойчивости". Находясь практически постоянно в "переходном процессе", микро-объекты "стремятся" перейти в наиболее устойчивое состояние в данных условиях само-и-взаимо-действий. То есть "внутренний движитель" - это "естественный" ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС в любой системе, идущий потому что система обладает "инерцией возврата к устойчивому состоянию" (обратите внимание что здесь речь не о механической инерции, а как раз об "обобщённой инерции"). Завершение ВСЕХ переходных процессов и будет "термодинамической смертью" вселенной. Но физики обычно теорию систем не вспоминают и количественную характеристику того-же "всеобщего переходного процесса" формулируют как принцип "наименьшего действия" (Гамильтону было простительно - в его времена "теории систем" не было). Это вариационный (интегральный) принцип, утверждающий, что среди всех возможных вариантов протекания процесса (на отрезке между любыми двумя состояниями) природа выбирает такой, для которого "интеграл действия" будет минимальным. Размерность "действия" = [Энергия]x[время] это площадь под кривой графика избыточной кинетической энергии. То есть из состояния с большей избыточной кинетической энергией система возвращается в устойчивое состояние более "быстрым темпом" (кривая круче идёт вниз), чем из состояния с небольшой избыточной кинетической энергией - так, что площади обоих кривых одинаковые. При этом переходный процесс может быть как ассимптотическим, так и колебательным - площадь берётся по абсолютной величине. Поскольку всей структуры исследуемой системы гамильтониан "не знает", то он минимизирует интеграл по времени от некоего Лиагранжиана ("свободная энергия", избыток кинетической энергии над потенциальной). Причём время "не варьируется", что можно понимать как рассмотрение "между двумя фиксированными состояниями системы". Разумеется этот принцип (Гамильтона) в каком-то смысле "шире" чем понятие "мера устойчивости системы в переходном процессе", но для меня второе "более конструктивно", так как предполагает, что есть СИСТЕМА, обладающая определённой СТРУКТУРОЙ, внутренними ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ и известными ВНЕШНИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ. И тогда все характеристики переходных процессов "естественным образом" выводятся из этих характеристик системы. Никакой мистики. А главное не нужно пытаться определить характеристики системы по графику ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА. В теории систем уже давно применяют более удобные методы - спектральную характеристику (Фурье-отображение графика переходного процесса на единичный скачок) или отображение Лапласа (в более сложных случаях).
Поскольку в современной физике поиски Лагранжианов для различных микро-систем являются "чашей Грааля" - автор собирается посвятить этому отдельную статью. А здесь мы ограничимся "наглой" констатацией, что рассмотрение с точки зрения "показателей устойчивости системы" практически эквивалентно "Эрлангенской программе". А иногда и более результативно...

Философские категории в математических уравнениях "обычно не используют" - поэтому надо пытаться найти новые (или пере-осмыслить старые) "математические формализмы", в которых ЯВНО использован "принцип локально-процедурной причинности" (Вольфрама) и принцип независимого влияния локальных базисных процессов на скорость не-взаимодействующих "надстроек" (для краткости "принцип локального времени") . Кроме самого Стивена Вольфрама, в явном виде корректный "формализм" автору обнаружить почти не удалось (может кто-то подскажет ссылки на работы(?)). Попытки нащупать новые математические формализмы или, хотя-бы дать физическую интерпретацию существующим - собраны в главе 3.

---

Раздел 1. Попытка построения иерархии философских определений
(только в контексте проблемы "времени")
(Если вас интересует только физика - этот раздел можно пропустить)
(но лучше всё-таки хотя-бы "пробежать", особенно примечания к определениям)

ИЗМЕНЕНИЕ - фундаментальное свойство материи, синоним "движения вообще", необходимый атрибут существования.
"Время" определяется как "мера изменений". Другой вариант - "скорость изменений", но при этом возникают трудности с выбором "базового" процесса, скорость которого должна быть принята за "нормировочную единицу". Но это всё-равно придётся делать при попытках практического применения нового смысла "времени". Об этом - в следующем разделе.

ПРОЦЕСС - выделенное "подмножество" изменений. Процесс можно понимать как "локализованное изменение", снабжённое "атрибутами" (параметрами). Т.е. изменение, уже наделённое "качествами", свойствами. Сразу возникает вопрос, а не является-ли такое "выделение подмножества" субъективным? Оставим этот вопрос для профессиональных философов, а сами пока утешимся тем, что любое выделение каких-либо "частей материи" - всегда в той или иной степени субъективно. Есть и другое подозрение: а не "протащили" ли мы здесь уже какие-либо "инвариантные свойства" под видом "атрибутов изменения"? См. ниже определение Свойства - и решайте сами (я ответа не знаю :O)

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ - взаимо-влияние Процессов. Нужно стараться "уйти" от попыток "внедрения субъекта", выбирающего какой процесс "внутренний" а какой "внешний". Взаимодействующие процессы всего-лишь "обмениваются атрибутами" или даже формируют ОБЩИЙ АТРИБУТ. Т.е. взаимодействие это всегда "частичное объединение" по "взаимо-зависимым" атрибутам. Хочу подчеркнуть, что это РЕАЛЬНОЕ формирование "общего атрибута", а значит РЕАЛЬНОЕ "объединение".
Отдельно надо-бы обсудить "принцип всеобщности взаимодействий". В некоторых статьях этот принцип "проскакивал", но невнятно. Вообще-то это скорее философский принцип, утверждающий что можно проследить взаимо-влияния ЛЮБЫХ процессов в "категорийно-атрибутивном" смысле. Проще говоря это скорее утверждение о "всеобщей структурности" материи, когда любая реальная сущность потенциально(?) содержит любую другую (вверх по иерархии, "вниз" по размерам). Хотя я встречал трактовку этого принципа (всеобщности взаимодействий) и как утверждение о БУКВАЛЬНОМ влиянии "чего угодно на всё остальное". Если не забывать о "мере" (в философском смысле) - то это тоже не шутка - ведь материя ЕДИНА и в этом смысле связь "всего со всем" тоже должна быть "буквальна". Но практически большинством влияний обычно пренебрегают. И, вероятно, правильно делают...
Как вы может быть догадываетесь, я специально разделил "просто Процесс" и "Процесс включающий Взаимодействие" - чтобы выделить случай, когда Процесс "наблюдается". Для многих процессов "наблюдение" (Взаимодействие) приводит к катастрофическим последствиям. Но если для уровня Квантовой Механики это "нормально", то для уровня Классической Механики это "исключительный случай" (разрушение структуры или связей). Но при таком подходе отличия "не принципиальные" - то есть "внешний наблюдатель" это всего-лишь один из вариантов Взаимодействия.

СВОЙСТВО - один из "атрибутов" Процесса или один из общих параметров какого-либо Взаимодействия. Имеет отношение скорее к подмножеству частных моделей мира, чем к его реальной картине. Но по отношению к некоторым Свойствам уже достигнут общий консенсус, что они "реальные", т.е. на самом деле существуют и не зависят от "способа восприятия" - а значит должны быть одинаковыми независимо от варианта взаимодействия, в котором они проявляются.

КАЧЕСТВО - ИНВАРИАНТНЫЙ атрибут Процесса или Взаимодействия. Это те самые "устойчивые Свойства", о которых упомянуто выше. Инвариантность здесь не абсолютная, а только в пределах "подобных Процессов".
Собственно с помощью одинаковых Качеств и устанавливается "подобие" процессов или даже их "одинаковость". Инвариантные проявления реально (не субъективно) наделены "количественной Мерой". Но мы не можем a-priori знать это "собственное значение". Мы можем получить только "опосредованную" (во внешнем взаимодействии) величину. Но Эйнштейн прав только в том, что любая характеристика процесса должна быть "измерена в каком-либо взаимодействии" и в этом смысле "относительна". Но это НЕ означает, что "собственного значения" не существует "в принципе". Многие "собственные значения" достаточно часто проявляют себя как "внутренние параметры" в ДРУГИХ (другого типа) взаимодействиях (в которых они участвуют только "косвенно"). Но это справедливо только для инвариантных свойств (таких как "постоянная тонкой структуры" и т.п.). Отдельно можно обсудить различия между "внешним" и "внутренним" Взаимодействиями. При ИЗМЕРЕНИИ параметра осуществляется "внешнее" Взаимодействие, в общем случае влияющее на измеряемый параметр. А при "внутреннем" Взаимодействии (когда "базисные" процессы являются "неотъемлемой" частью исследуемого процесса) - параметр будет иметь "собственное значение". Иногда "внутренние взаимодействия" называют "самодействием". Но это уже вопрос о том, можно ли из любой Системы выделить подсистему, так, чтобы при этом Система не "перестала существовать"? Например, "выделение" электрона из атома очень существенно влияет на большинство свойств атома в "химических" взаимодействиях, но почти не меняет его свойств в "ядерных" взаимодействиях. Я специально взял пример, когда выделение подсистемы может расцениваться "неоднозначно", чтобы показать, что понятие "подсистема" достаточно условно, но и не "произвольно". То есть в физической реальности "системы" и "подсистемы" всё-таки реально существуют, но они всегда "чуть-чуть субъективны", так же как и определение Объекта (Системы).

СОСТОЯНИЕ - в контексте данной иерархии это "состояние процесса" а не "состояние объекта". И относится оно не к "изменению вообще", а уже к процессу, то есть к "атрибутированному" изменению. Хотя традиционно оно мыслится как "состояние объекта" - а это неправильно (см. Объект).
Всем, получившим "классическое" математическое образование, может прийти в голову идея, что математический аппарат, позволяющий обойтись без времени как независимой переменной - это "метрические преобразования пространства состояний". Можно было-бы даже как-то "аксиоматизировать" такие "пространства" и определить "группы движений" в них. Тогда время в "традиционном" смысле трактовалось-бы как требование "однородности" таких пространств. Но я НЕ СОВЕТУЮ сразу "бросаться" применять классический аппарат "метризуемых пространств" и с "состояниями" в качестве "векторов". Во-первых Гильберт это уже практически проделал (более 100 лет назад) (но у него все состояния уже существуют СРАЗУ - то есть нарушается принцип "процедурной порождаемости" (смотрите ниже) - а значит его пространство состояний всё-равно абстрактное). Другие сontra-соображения следующие: "Предшествующие" и тем более "будущие" состояния - НЕ СУЩЕСТВУЮТ "сами по себе", независимо от ТЕКУЩЕГО процесса, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО порождающего "текущие активные состояния". Далее это будет называться принципом локально-процедурной причинности состояний. Разумеется, если процесс "сугубо периодический", то ВСЕ его состояния (и прошедшие и даже будущие) вроде-бы "уже существуют". Но это "субъективное полагание сущего", а проще говоря - это наша "модельная экстраполяция" не имеющая отношения к РЕАЛЬНОМУ, "сейчас происходящему" процессу! Даже если это не-диссипативные колебания какого-то маятника и МЫ(!) знаем ЛЮБОЕ его состояние - сам маятник их "ещё не знает"! Именно здесь скрывался парадокс "обращения времени процессов". Мы "расписывали" ВСЕ состояния системы в виде "уравнений для всех моментов времени" (для всех возможных состояний) - и почему-то считали, что эти состояния "уже существуют". Дальнейший ход рассуждений очевиден. Т.е. в этих "метрических пространствах состояний" придется определять ещё и такую характеристику состояния как "активно". Но "по-хорошему" все "пассивные" состояния лучше каждый раз "порождать заново", чем считать "латентно-сущими". В обоих случаях это "метрическое" (Гильбертово) пространство состояний получается весьма "экзотическим" - впрочем, возможно кто-то из серьёзных математиков подскажет, что такой фомализм уже кем-то "объявлен"? (Чего только там, на этом "складе", нет!) :O)
Есть ещё одна небольшая тонкость, связанная с функционированием систем "с памятью". То есть, существуют системы, в которых текущее состояние вроде-бы определяется не только предыдущим, но и некоей "пред-историей". В основном я имею в виду системы с обратными связями, когда система как-бы сравнивает текущее состояние с функцией от предыдущего и реагирует на рассогласование (стремится его минимизировать). Где-то рядом лежит физический смысл минимизации Гамильтониана действия (но об этом будет другая статья). Но при этом "будущих" состояний всё-равно ЕЩЁ НЕТ! Более подробно эта проблема (соотношение между реальной Системой и её Моделью, требование "процедурности" Модели, запрет на "перескакивание" через Состояния) - будет рассмотрена в третьем разделе.

ОБЪЕКТ или СИСТЕМА - группа Процессов, имеющая общий ("обобщающий") набор количественно определенных Качеств. То есть это не "произвольно выбираемая" группа процессов, а реально объединенная какими-либо инвариантными внутренними взаимодействиями (связями).
В большинстве случаев Система включает в себя некую "группу взаимодействий", имеющую какую-либо СИММЕТРИЮ. Объекты практически всегда имеют какую-либо симметрию внутренних взаимодействий (связей). Чаще всего они центрально-симметричны и имеют центрально-симметричные "нелинейности на границах". Можно даже попытаться выдвинуть более сильное предположение - объекты отличаются от "не-объектов" наличием какой-либо симметрии. И "границей" объекта является область где эта симметрия (внутренних связей) нарушается. Впрочем, специалисты по ТТТ это знают лучше меня.

---

Раздел 2. Если "времени" нет - то что есть?
Итак, "время" это мера изменений, или мера скорости процессов. Если эта "мера" - одна на всех (одинаковая для всех процессов) - то тогда какая разница используем мы понятие "абсолютное время" или у каждого процесса СВОЯ МЕРА (свой "нормировочный базис"), но ВСЕ БАЗИСЫ ОДИНАКОВЫЕ?
Не будем долго "ходить кругами" - и перейдем сразу к рассмотрению (поиску) "нормировочных базисов" для "меры скорости изменения процессов".
Например, у нас есть два экземпляра лазерных часов. Предположим что на нижнем структурном уровне всех часов находятся СТРОГО ОДИНАКОВЫЕ физические ПРОЦЕССЫ (одинаковые атомы, в одинаковых энергетических состояниях и т.п.). Тогда ВСЕ процессы, которые будут происходить "на этом базисе" - будут иметь ОДИНАКОВЫЕ скорости (в смысле одинаковые для одинаковых процессов. Разные процессы будут, естественно, иметь разные скорости, т.к. на скорость процесса влияет не только "базис", но и "надстройка"). Пока речь идёт только о процессах в самих часах. Но если "внутри" интересующего нас процесса - ТЕ ЖЕ "базисные процессы", что и в часах - тогда очевидно, что мы можем использовать ВНЕШНИЕ часы для измерения скорости интересующего нас процесса. Базисные процессы в часах при этом играют роль "координатного нормированного базиса" (примерно в том же смысле, какой "базису" придается в "векторных пространствах").
То есть осталось понять - годится-ли наш "базис" (процессы в часах) в качестве УНИВЕРСАЛЬНОЙ меры скорости ВСЕХ процессов? Или всё-таки "бывают исключения"?
По этому поводу очень уместно будет вспомнить трактовку понятия "время" у Минковского. При построении своих "метрических пространств" он ввел "плоскость мирового проявляющего процесса", которая "бежит" со скоростью света от ЛЮБОГО "начала координат".
Сначала я хотел покритиковать Минковского за то, что такой "проявляющий процесс" ТОЛЬКО ОДИН, но потом понял, что имеется в виду БЕСКОНЕЧНОЕ число ОДИНАКОВЫХ "проявляющих процессов". В том смысле, что КАЖДАЯ точка метрического пространства ПОСТОЯННО (т.к. пространство НЕ квантованное) "испускает" новую сферическую "волну проявляющего процесса". То что это "математика а не физика" очевидно хотя-бы потому, что в реальной вселенной МНОГО качественно различных базовых процессов. Но это ещё НЕ означает, что Минковский был "совсем не прав". В математике (да и в физике) считается нормальным строить модели только по СУЩЕСТВЕННЫМ параметрам (процессам). Т.е. можно за него "заступиться" и сказать, что его метрические пространства - это модель реальности, в которой для рассмотрения "псевдо-временных" закономерностей ДОСТАТОЧНО использовать ТОЛЬКО ОДИН "нормировочный базисный процесс". И всё будет "выглядеть" так-же как "на самом деле"(?).
"Неприятность" (для Минковского) в том, что в его модели "выброшены" ВСЕ процессы кроме "псевдо-времени". И получается что в его "метрических пространствах" присутствует ТОЛЬКО ОДИН "базисный" процесс, которой при этом является "мерой для самого себя". На первый (и на второй) взгляд такая ситуация выглядит "нереальной" - непонятно можно-ли что-то "измерить" (скорость процессов, как меру "времени"), если у нас нет никаких "отношений" (взаимодействий как условия "измерений"). Да и что ему "проявлять", если там больше ничего кроме "точек в пространстве" нет? Опять в оправдание можно было-бы двинуть аргумент, что "это у нас модель такая - частично-реальная". Но что-то мне не верится, что удалив ВСЮ материю, за исключением некоего предельно абстрактного "проявляющего процесса" - можно построить сколько-нибудь "работающую" модель.
Но кроме этих, есть и более принципиальные возражения. Не против конкретной модели Минковского с использованием "метрических отношений" непонятно чего, но ВООБЩЕ против попыток представить некоторые математические МОДЕЛИ как "хорошее приближение к реальности". Некоторые дополнительные соображения по этому поводу смотрите в третьем разделе.

Раз уж мы начали "убирать время" из моделей, попытаемся обсудить какие модели "точнее" отражают реальность. Если "времени" нет, то реальность состоит из континнума "локальных сейчас" (состояний). Мне достаточно сложно было "усвоить", что все "текущие локальные состояния" совсем НЕ ОБЯЗАНЫ изменяться СИНХРОННО. То есть никакой ЕДИНОЙ "трехмерной проявляющей плоскости" - НЕ ТРЕБУЕТСЯ. И не требуется "единого глобально-синхронизирующего процесса". Вполне достаточно того, что все системы (локальные процессы) ВЗАИМОДЕЙСТВУЮТ. И все локальные переходы из одного состояния в другое обуславливаются ЛОКАЛЬНЫМ итогом внутренних "тенденций" и внешних воздействий (взаимодействий). И самое главное. Локальная система НЕ ПОМНИТ предыдущих состояний (за исключением обратных связей и инерции). И уж тем более НЕ ЗНАЕТ будущих состояний (кроме тех, которые обусловлены инерцией). Единственная "лазейка" для предыдущих состояний про-взаимодействовать с текущим - это какие-либо ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ - как само-действие с задержкой (в частности и как "эхо-воздействие" в случае образования "стоячих волн"). В этом смысле я совершенно согласен со Стивеном Вольфрамом (Stephen Wolfram) www.wolframscience.com. Он утверждает, что все происходит как последовательность локальных взаимодействий распространяющихся "от клетки к клетке", от одного дискретного "нода" к другому (он считает что структура пространства дискретна). А по поводу "порождения" состояний он говорит:
Should we really imagine that the complete spacetime history of the universe somehow always exists, and that as time progresses, we are merely exploring different parts of it? Or should we instead think that the universe--more like systems such as cellular automata--explicitly evolves in time, so that at each moment a new state of the universe is in effect created, and the old one is lost?
И по поводу "симметричного подхода" к пространству и "времени", а также по поводу ОТЛИЧИЙ между МОДЕЛЬЮ и РЕАЛЬНОСТЬЮ, он говорит:
But I very much doubt that any such obvious symmetry between space and time exists in the fundamental rules for our universe. I suspect that for many purposes the history of the universe can in fact be represented by a certain kind of spacetime network. But the way this network is formed in effect treats space and time rather differently... And in particular--just as in a system like a cellular automaton--the network can be built up incrementally by starting with certain initial conditions and then applying appropriate underlying rules over and over again.

К своему удивлению я обнаружил рассуждения "в том-же направлении" у весьма известного физика-теоретика (почти "классика") Карло Ровелли (Carlo Rovelli). Я говорю о его работе по "Самовоздействующей квантовой гравитации" (Loop Quantum Gravitation): http://community.federalspace.ru/Docs/Carlo_Rovelli_book.pdf (pdf, 5 Мб)
Но Rovelli не идет сразу к пониманию времени как "мере скорости процессов". Для начала он утверждает, что пространство-время "порождается" процессами квантования в квантовой теории поля. Перед тем как перейти к попыткам введения новых "формализмов" Rovelli утверждает, что современная QFT (Квантовая Теория Поля) делает ошибку, рассматривая свои процессы "НА ФОНЕ пространственно-временной составляющей поля" (которая определяет пространственные положения и причинность). С другой стороны, САМИ QFT-ПРОЦЕССЫ (частицы) определяют "структуры"(?) на квантовых расстояниях. Rovelli объясняет что такой "полевой дуализм" и есть источник противоречий (ОТО и QFT) и его устранение ("сведение" пространственно-временной составляющей поля к результатам квантовых операций над частицами) - приведет к объединению обоих теорий. Главной задачей его построений Ровелли назвал построение формализма квантовой теории поля, свободного от "статичного фона пространства-времени" (и вообще от "поля" в отсутствии процессов). А для этого, считает Ровелли, нужно "освободиться от традиционного понимания пространства-времени". И основным математическим формализмом теперь (по его мнению) должно стать Гильбертово пространство СОСТОЯНИЙ (операторы относящиеся к измерению транзитивных амплитуд вероятностей для физических свойств). Новая теория Ровелли (Loop Quantum Gravitation, LQG) базируется на "неканонической алгебре", в основе которой "голономии гравитационных связей" . Голономии (кольца Вильсона) - матрицы параллельных перемещений по замкнутым кривым. Утверждается что голономии очень близко связаны с понятием меры (gauge) и вообще с теорией измерений Фарадея. Кстати тот-же Фарадей был и "родителем" теории поля. И он же утверждал, что "значимые" (relevant) переменные НЕ указывают на происходящее в точке - а скорее должны характеризовать ОТНОШЕНИЯ между точками. Математическое выражение этой идеи - "голономии измерительного потенциала вдоль линии". В LQG голономии становятся квантовыми операторами, создающими "кольцевые состояния" (физический смысл - в следующих абзацах).

Вообще-то Ровелли совсем не "пионер" в такого рода исследованиях. Гораздо раньше свою "сеточную теорию пространства" предложили Янг и Миллс (Yang-Mills). В их теории кольцевые состояния имеют конечные нормы (не размазаны по всему пространству). А некоторое конечное число комбинаций кольцевых состояний (называемое "спинорная сеть" (spin network) (хотя я так и не понял причём здесь "спины", наверно для объяснения квантованности состояний)) образуют вполне определенный ортонормальный базис в Гильбертовом пространстве (состояний). Если совсем просто - допустимые состояния (частиц) определяются конечным набором комбинаций "спинорных полей"(?), окружающих частицу. Но эти "спинорные поля" НЕ являются независимыми - они, в свою очередь являются результатом некоей "процедуры измерений"(?) (я это перевожу для себя как "результатом воздействия окружающих частиц(?)). И Миллс и Ровелли - оба "чистые математики" и особенно не утруждают себя объяснениями "физического смысла". Им кажется что достаточно сказать "голономии измерительного потенциала" - и все сразу всё поймут (за них). Ну ладно, спасибо хотя-бы за то, что избавили нас от "пустого и кривого пространства-времени".
Впрочем, если предположить, что эти "поля" - это определённые состояния "физического вакуума" (реальной среды!), то всё вроде-бы становится на свои места. Частица и физический вакуум в ближайших от неё окрестностях СОСТАВЛЯЮТ ЕДИНОЕ ЦЕЛОЕ. Частица, при своих квантовых переходах (процессах) "порождает" в вакууме быстро затухающую "сеточно-кольцевую волну" (пространство у Янга-Миллса тоже квантованное). А эта окружающая волна, в свою очередь, влияет на то в какое следующее состояние может перейти частица. То есть в каком-то смысле эта спинорная волна и есть "инерция"(?).
Теперь я хочу вернуться немного назад и обсудить отличие "традиционных" математических моделей от подходов предложенных Ровелли-Янгом-Миллсом. По сути они "подчеркнули", что все математические модели претендующие на "приближение к реальности" должны подчиняться "принципу локальной причинности", то есть, в полном соответствии с идеями Стивена Вольфрама содержать "процедурно-порождаемые" состояния в каждом "ноде". А значит Гильбертовы пространства состояний, в которых состояния уже "а-priori существуют" - являются НЕКОРРЕКТНОЙ абстракцией.
С "метрическими пространствами" Минковского всё гораздо запутанней. Они настолько геометизированы (оторваны от реальности), что там вообще трудно что-либо опровергнуть. Практически бессмысленно критиковать их за "непроцедурность" состояний - хотя-бы потому что там и не используется понятие состояния. И то сказать, состояние чего? Математической точки? (Пространство "метрическое", а значит НЕ-физическое). Но, с другой стороны, там всё-таки есть ОДИН "процесс" (мировой проявляющий) - хотя не понятно что он "проявляет"? Координаты математических точек? У Ровелли хотя-бы есть ГРАВИТАЦИЯ, как свойство ЧАСТИЦ, взаимодействующих с "физическим вакуумом". Хотя это тоже очень сильная абстракция, т.к. гравитации практически НЕ НА ЧТО ВЛИЯТЬ, кроме "пространства и времени" - что она и вынуждена делать от полной безысходности :O)

---

Раздел 3. "Кто виноват и что делать".
(попытка наметить программу пере-осмысления некоторых фомализмов)
В одной из интернет-конференций, после того как мне удалось убедить, что "время" в математических уравнениях нужно как-минимум "пере-осмыслить", один из участников конференции (из Магаданской области) с сибирской прямотой "рубанул": ну тогда нужно выбросить время из ВСЕХ уравнений и посмотреть "что будет" (:O) Может они там, в "солнечном" Магадане, так и делают, но мы попробуем "не горячится". Тем более, что "просто выбросить" нельзя - надо предложить "эквивалентную замену".
Так как отличия в функционировании локальных "базисов меры изменений" может проявиться только при существенно отличающихся базовых взаимодействиях (разная гравитация, разная скорость движения в физическом вакууме и т.д.) - то надо прежде всего искать уравнения, в которых эти "базисные взаимодействия" во-первых присутствуют в явном виде (уравнения движений, уравнения гравитационных взаимодействий), а во-вторых записаны для систем, которые могут находится в СУЩЕСТВЕННО РАЗНЫХ "базисных условиях". Например для описания процессов на поверхности Земли все эти "тонкости" можно НЕ УЧИТЫВАТЬ. И тогда смело пользоваться старыми уравнениями. Но при объяснении "парадокса близнецов", например, не только Ньютоново "абсолютное время" не подходит, но и "относительно-измеренное время" является некорректной математической абстракцией. Дело ведь не в том, как будут "выглядеть" процессы жизнедеятельности одного брата с точки зрения другого. Проблема в том, зависят-ли на самом деле локально-базисные процессы летящего брата от самого ФАКТА движения. Если факт ВЛИЯНИЯ движения "как такового" как-то может быть УСТАНОВЛЕН то тем самым и будет установлен факт зависимости от перемещения в физическом вакууме - скорости ВСЕХ процессов, в которые включены одинаковые локально-базисные процессы (что и в замедлившихся атомных часах, например). Пока не очень важно как мы это установили. Например, мы просто пролетели рядом с неподвижными часами или вообще использовали какой-то "нелокальный" процесс вроде эффекта Допплера. Понятно, что сейчас мы "мимоходом" нарушаем принцип Галлилея, но ведь эффект Допплера (по которому измеряется скорость движения самолётов) - его тоже "регулярно нарушает" - так что предположим, что эта технология установления факта движения тоже НЕЛОКАЛЬНА (как и эффект Допплера). Итак, мы установили, что в движущейся в физическом вакууме системе некоторые процессы идут не так как в покоящейся. Означает-ли это что мы нашли "средство от старости" :O)? Вряд-ли "более подвижному" брату удастся СДЕЛАТЬ БОЛЬШЕ за то-же время, особенно если ВСЕ процессы в его движущейся системе тоже замедлились. Или, всё-таки, НЕ ВСЕ локально-базисные процессы "завязаны" на физический вакуум и есть такие, скорость которых не зависит от скорости движения? Это требует дополнительных экспериментов. Вот вам и "предсказательная сила" новой гипотезы. Правда не хватает одной малости - указать какие КОНКРЕТНО локально-базисные процессы НЕ ЗАВИСЯТ ОТ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ (?). Когда у меня появятся идеи - сообщу :O)

Ну ладно, из одной модели время "выбросили" :O), поищем другие. Но сначала ещё раз сформулируем общий подход. "Правильными" являются только те уравнения, которые "напрямую" используют принцип локально-процедурной причинности и принцип "локального времени" (локальных мер скоростей изменения). В этом смысле такие "абстракции" как Метрические пространства могут быть "корректными" математическими моделями, но НЕ отражать каких-либо "частично-реальных" (:O) процессов. Потому-что "движения" в таких пространствах (параллельные переносы, вращения и т.п.) уже окончательно оторваны от материального носителя и не могут пройти "проверку на соответствие реальности". Если нет "базисных локальных процессов" (гравитация, инерция, электро-магнетизм и далее вглубь структур) - то НЕТ и "времени", а значит все эти "вращения" НЕ являются результатом какого-либо ФИЗИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ. Я понимаю, что эти рассуждения вряд-ли убедят кого-то из математиков (между прочим автор сам специалист по теории систем) - но автор надеется убедить хотя-бы физиков :o)
Математиков могу "утешить" тем, что какие-то "совсем абстрактные" модели могут давать ТОТ ЖЕ РЕЗУЛЬТАТ, что и физический эксперимент. Только ИССЛЕДОВАНИЕ РЕАЛЬНОСТИ это "не облегчает", т.к. в таких случаях очень быстро предполагают, что "так оно и есть" ВО ВСЕХ ДЕТАЛЯХ - и вот тогда и начинаются "искренние заблуждения".
Вот в этом месте как-раз уместно обсудить соотношение между реальным процессом и его "отображением". Я специально не написал "математической моделью", потому-что понятие "отображение" гораздо шире. Бывают и "отображения", которые реализуются и без математики :o) - например нелинейное оптическое отражение и такие более сложные "отображающе-моделирующие" системы как мозг. Физическая модель обычно "функционирующая", в том смысле что это "самостоятельная реальность"(?), в которой ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕ ЖЕ, что и в "исходной реальности". Однако для таких "физических отображений" как мозг уже существует интересная проблема возникновения модели "независимой от материального носителя"(?). К счастью этим свойством обладает не сам мозг, как совокупность нервных клеток и импульсов, а только его вторичное "само-отражение". То есть второе (вторичное?) отображение уже может быть "абстракцией". Юмор в том, что мозг в основном и использует "вторичное отображение", однако нас не покидает ощущение, что какие-то процессы происходят "именно так". В мои планы совсем не входило начинать обсуждение "основного вопроса философии" - поэтому предположим что в каком-то смысле мозг всё-таки ухитряется построить модели, выдающие "практически" правильный результат - и перейдём к поискам физического смысла в конкретных математических моделях.

Вначале о физическом смысле преобразования (отображения!) Фурье. Объявляется, что с его помощью ПОЧТИ ЛЮБУЮ функцию можно с почти любой точностью интерпретировать как СУПЕРПОЗИЦИЮ СИНУСОИД. Я "почти уверен", что преобразование Фурье может оказаться не просто "математическим трюком", а быть вполне "физически осмысленным" сведением любых физических процессов к "аналогичным синусоидальным суперпозициям". Т.е. в том смысле, что "на самом деле все так и просходит" (!). Например, если ВСЕ частицы являются "солитонами" (устойчивыми суперпозициями каких-то периодических процессов(?)) - то тогда понятно, что практически ЛЮБОЙ реальный физический процесс может быть представлен как "обратное преобразование Фурье". То есть один СООТВЕТСТВУЮЩИЙ РЕАЛЬНОСТИ формализм у нас уже есть.
Перейдем к его представлению в "мнимых координатах". Казалось-бы "махровая абстракция". Но попробуем найти для неё (комплексной плоскости) какое-то оправдание. Самое простое - это оправдать применение комплексной плоскости как способа "увеличения размерности" исследуемого процесса - и тем самым ПРИБЛИЗИТЬ ЕГО К РЕАЛЬНОМУ (который на самом деле имеет БОЛЬШЕ независимых параметров, чем АБСТРАКЦИЯ "метрического пространства".

То есть во всех случаях, когда какой-либо автор настаивает, что его проблемы имеют замечательное решение в "пространстве бОльших размерностей" - он на самом деле таким образом пытается преодолеть ограничения "буквального" применения ОДНОМОДАЛЬНОЙ Ньютоновской математики. Особенно бессмысленно применение "континнуальной" логики "исчисления бесконечно малых" на ГРАНИЦАХ МЕРЫ исследуемых физических систем. Проще говоря, не надо с настойчивостью маньяка считать электрон "материальной точкой", применяя при этом для его описания мат.аппарат с безумным количеством "дополнительных измерений". Надо честно сказать себе, что электрон СТРУКТУРЕН - и переходить к его СУБ-структуре и МНОГОМОДАЛЬНЫМ уравнениям (по типу уравнений Максвелла - хотя они всего-лишь ДВУХ-модальные - а какой прогресс :O)
Если кратко, то моё основное возражение против использования "комплексных пространств" состоит в том, что они являются "костылями" в тех ситуациях, когда ОДНОМОДАЛЬНЫЕ математические абстракции вместе с Ньютоновским "исчислением бесконечно малых" - ЗАВОДЯТ В ПОЛНЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ТУПИК.

Эйнштейн вышел из этого тупика искривив ПУСТОЕ(!) "пространство" - то есть, мало того, что предложил НЕ-МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ объяснение, но оно было ещё и НЕ-ФИЗИЧЕСКИМ - то есть "абстрактно-математическим".
"Юмор" в том, что с формально-математических позиций такое "искривление пространства" приводило к БОЛЕЕ ПРАВИЛЬНЫМ результатам, чем "АБСОЛЮТНАЯ" Ньютоновская математика "бесконечно малых", к тому-же трактуемая БУКВАЛЬНО (без учёта КАЧЕСТВЕННЫХ изменений при приближениях к ГРАНИЦАМ МЕРЫ - то есть как ОДНОМОДАЛЬНАЯ математика).
Примерно так-же, как выход в "комплексные пространства" давал возможность получить хоть сколько-нибудь правильный результат в условиях ОГРАНИЧЕНИЙ, накладываемых ОДНОМОДАЛЬНОЙ математикой "бесконечно-малых" (при рассмотрении электро-магнитных явлений и т.п.).

Но использование "дополнительных мнимых пространств" - это временные костыли от которых ПОРА ОСВОБОДИТЬСЯ!..

О других вариантах использования ОТОБРАЖЕНИЙ в математической физике.
В современных математических исследованиях (с целью их последующего применения в физике) иногда встречаются попытки проделать следующий "фокус": сначала для какой-нибудь известной функциональной зависимости (чаще всего из области ядерной физики) выполняется ЕЩЁ ОДНО ОТОБРАЖЕНИЕ ("бессмысленно-математическое") в некое "пространство с большей размерностью"; потом для этого отображения ищется "подходящая геометрическая аналогия" (с использованием терминологии типа "эллипсоид в n-мерном пространстве", "группа автоморфизмов" и т.п.); и, наконец, выяснив "автоморфное (топологическое) подобие" - пытаются сделать какие-то выводы об ИСХОДНОЙ зависимости. Большинство итоговых выводов при этом настолько тривиальны, что, на мой взгляд, могли-бы быть получены и БЕЗ всего этого "математического безумия". А сама "процедура" напоминает мне попытки понять о чем человек думает в настоящий момент путем "внимательного разглядывания" динамических конфигураций его энцефалограмм. Поскольку я сам этим тоже занимался (исследованиями мозга по электрической активности) - могу заверить, что без реального знания УСТРОЙСТВА (принципов построения СИСТЕМЫ, назначения отдельных элементов, структуры взаимодействия частей) - это всё бесполезная трата времени. Про мозг я вспомнил не случайно. Это ведь тоже "модель ОТОБРАЖЕНИЯ". И без знания ФИЗИЧЕСКОГО СМЫСЛА (внутренней структуры) отображения никакого "топологического смысла" получить скорее всего не удастся. Конечно можно исследовать мозг как "чёрный ящик". И по отношению к мозгу как заведомо РЕАЛЬНОМУ устройству ОТОБРАЖЕНИЯ этот метод оправдан, т.е. все его отбражения являются "внутренней реальностью" реального физического объекта. Хотя здесь уже есть "ограничение на степень реальности", так как практически любое отображение, даже выполненное реальным физическим объектом, обладающим реальной "функцией отображения", - в итоге дает нечто "ограниченно реальное"(?), особенно в тех случаях, когда отображение имеет возможность функционировать в условиях практически полной ИЗОЛЯЦИИ от источника отображения. То есть ОТОБРАЖЕНИЕ может иметь качества (свойства, функции), которые проявляются ТОЛЬКО внутри самого отображения. Я старался сформулировать "частичный ОТРЫВ ОТ РЕАЛЬНОСТИ" для ЛЮБОГО ОТОБРАЖЕНИЯ, а не только для такого сложного как мозг. Получилось, что отбражение может не только "обрезать" отображаемое, но ещё и ДОБАВИТЬ НОВЫЕ свойства(?). Соображение достаточно "нетривиальное" и видимо требует дальнейшего обсуждения. Однако, примеров такого "расширения реальности при отображениях" В МАТЕМАТИКЕ - достаточно много. Под эту категорию попадают практически все отображения "в комплексные пространства" (с увеличением размерности). Запутанность этой проблемы в том, что рассмотренное выше комплексное преобразование Фурье иногда даёт "более правильную" систему, чем "оригинал". И это может создать впечатление что ЛЮБОЕ отображение тоже "более правильное" чем "убогий оригинал". Самое забавное, что большинство "математических физиков" именно так и считает. Последовательность рассуждений у них примерно такая: если мы вывели "оригинал" из "безупречных" МАТЕМАТИЧЕСКИХ аксиом и применяем к ним математически-корректные преобразования (отображение) - то результат ТОЖЕ является "корректным". А поскольку никаких других "критериев истинности" они применять не привыкли - у большинства крепнет убеждение, что "где-то там" на самом деле все эти "пространства отображений" на самом деле существуют - просто мы до них "ещё не добрались" (не изобрели соответствующей "машины" (такой как "машина времени" и т.п.)). Я понимаю, что среди математических физиков есть и такие, у кого "по понедельникам" возникает смутное желание "вернуться к реальности" - но через час прибегает какой-нибудь "чистый" математик и предлагает "поробовать ещё один интересный вариант отображения" - и реальность опять забыта до следующего понедельника...

В завершение рассуждений о поисках физического смысла в ОТОБРАЖЕНИЯХ, приведу пожалуй самое "крамольное" соображение. Есть "догадка", что в ОТО тоже было произведено "отображение с увеличением размерности" - потом сделаны попытки формулировать какие-то выводы относительно "оригинала" методом "топологических аналогий". Но всё не так просто. Мы ведь уже убедились, что некоторые отображения могут быть "ближе к реальности", чем "строго математический" оригинал. А значит само по себе "увеличение размерности при отображении" ещё НЕ является доказательством "ухода от реальности"...
Но есть и другие "косвенные" доказательства, что ОТО это всё-таки "абстрактное отображение". Для меня самым убедительным является соображение, что ИНЕРЦИЯ в ОТО это "нечто нематериальное", объясняемое "геометрией пространства-времени". У меня противоположное убеждение - ИНЕРЦИЯ это проявление ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ на наиболее БАЗОВОМ уровне иерархии ПРОЦЕССОВ. Скорее всего на уровне взаимодействия частиц с "физическим вакуумом" (например "спинорные поля" Янга-Миллса). Только на этом уровне можно как-то объяснить ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ инертной и гравитационной масс - за счёт "одинаковой структуры взаимодействия". Отличия инертности от гравитации, тем не менее, можно "уловить". Реальное тело, имеющее более-менее значительное количество "элементарных частиц", падая под действием гравитации НЕ ДЕФОРМИРУЕТСЯ. А под действием точно такой-же ВНЕШНЕЙ силы (но НЕ поля) - будет ДЕФОРМИРОВАТЬСЯ. Так что "эквивалентность" соблюдается только для абстракции под названием "материальная точка".
Если уж мы упомянули об ИНЕРЦИИ как о "наиболее фундаментальном" явлении, хочется повторить формулировку инерции из ПЕРВОГО (!) закона Ньютона, данную самим Ньютоном: perseverare in statu quo ("упорство в сохранении состояния"). То есть не только "пассивное" сохранение состояния, но и "воспрепятствование" попыткам его изменения. И следующая цитата оттуда-же:
"Врождённая сила МАТЕРИИ есть присущая ей способность СОПРОТИВЛЕНИЯ, по которой всякое .. тело ... удерживает своё СОСТОЯНИЕ ..." У ИНЕРЦИИ есть и "обратная сторона": "МАТЕРИАЛЬНОЕ тело (в отличие от геометрического) может (механически) ВОЗДЕЙСТВОВАТЬ на другие тела (ВЗАИМОДЕЙСТВОВАТЬ с ними), ПОТОМУ что обладает МАССОЙ. То есть ИНЕРТНАЯ масса - есть МЕРА КОЛИЧЕСТВА МАТЕРИИ (вещества)". Это соображения Лейбница, а не Ньютона, но их взгляды в этом месте удивительным образом совпадают (правда Ньютон приписал инертную массу телу "самому по себе", не в контексте его взаимодействия с другими). Хотя почти по всем остальным пунктам они расходятся... Дальше я не буду "напрягаться" сам, а просто приведу цитату из Б.Г.Кузнецова:
"Масса придаёт телу его отличие от МЕСТА, от ПРОСТРАНСТВА, от пустоты. Она является МЕРОЙ ... МАТЕРИАЛЬНОГО бытия (отличного от геометрических свойств). Она позволяет ОТЛИЧАТЬ тело от окружающей среды, индивидуализировать тело ... гарантирует себетождественность тела. Если считать МАССУ связанной с ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ, то она НЕ МОЖЕТ БЫТЬ свойственна ИЗОЛИРОВАННОМУ телу (единственному во всей Вселенной). Она придаёт смысл не только пространственной локализации ... но и СУЩЕСТВОВАНИЮ тела, требующему в такой концепции ТЕЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ." А значит НЕЛЬЗЯ "назначить" ИНЕРЦИЮ "геометрическим свойством пространства", НЕ наделяя это "пространство" МАТЕРИАЛЬНЫМИ свойствами и способностью ВЗАИМОДЕЙСТВОВАТЬ. То есть "пространство-время" в ОТО это и есть "физический вакуум" - и ТОЛЬКО на этом пути можно искать какой-то ФИЗИЧЕСКИЙ смысл в этом "отображении".

---

Всё еще впереди...
Вероятно читатель, у которого хватило терпения добраться до этого места, ожидает сейчас от меня каких-то "инструкций по возвращению к реальности". Ну тогда вы невнимательно читали - ищите в предыдущем тексте абзацы с упоминанием о принципе "локальной причинности" и принципе "локального времени". А в какие конкретно МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМЫ они будут "упакованы" - попробуйте спросить у меня лет через пять. А лучше через десять...
Сейчас мне кажется, что аппарат "решётчатых функций" движется куда-то в правильном направлении. Примерно туда-же была "направлена" работа Янга-Миллса по "сеточной теории пространства" (которая была практически "проигнорирована"). Да и от некоторых отображений не стоит совсем отказываться. Я уже показал, что Фурье-отображение может быть "святее папы римского" - не менее интересными могут оказаться и какие-то варианты дискретных отображений (по Лапласу и не по нему). И, безусловно (особенно для меня, как для специалиста по теории систем), в будущем всё большее значени будут преобретать "процедурные модели", которые сейчас в основном означают "компьютерные программы", но с развитием моделирования "как такового" - это будет означать "функционирующая модель"...

Пименов В.В.
март 2005