Тут представлен небольшой фрагмент из давней книжечки Г.П.Мельникова "Азбука математической логики", которая вышла массовым тиражом в издательстве "Знание" в тысяча девятьсот (страшно подумать) шестьдесят седьмом году и с тех пор является у меня настольной, не сходящей с "пьедестала".

По-моему, в этом отрывке хорошо расставлены акценты на те особенности в подходе к самой логике, которые, как мне кажется, с несколько излишним убеждением отстаивают на форуме некоторые официальные лица [не буду говорить кто именно, но это Болдачев].

О «ПРОИЗВОЛЬНОСТИ» ЛОГИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ

Объективные причины возникновения тезиса о произвольности логических отношений и исходных математических понятий

[...] В книгах по математической логике постоянно подчеркивается, что основные понятия и определения этой науки выбраны совершенно произвольно. Для создания логических теорий нужно освободить «логику от цепей, в которых ее держит обычное мышление». Под влиянием подобных утверждений У. Росс Эшби, например, рассматривая конкретную логическую задачу в кибернетике, говорит о последней, что и она «не ограничена свойствами, обнаруживаемыми в земной материи, и не выводит свои законы из них».

Едва ли стоит доказывать, что научный сотрудник, работающий в области конкретных естественных или общественных наук, или инженер, привыкший видеть за любыми формальными выкладками технического расчета конкретные свойства и отношения физических устройств и узлов, не может не почувствовать протеста против науки, в которой всё произвольно и не отражает законов реального мира. Поэтому «абсолютная» абстрактность символической логики — одно из серьезных препятствий для распространения математической логики за пределами математики и вычислительной техники.

Нетрудно заметить, что представление о произвольности аксиом логики есть не что иное, как распространение на логику подобного взгляда, сформулированного впервые для математических абстракций. [ ... ] Каковы же причины возникновения такого взгляда? А эти причины весьма серьезны. Чтобы их понять, придется снова рассмотреть некоторые моменты в развитии математики и логики. Речь будет идти о том, как изменялись представления об истинности математических теорий.

Как известно, арифметика, геометрия, а позже алгебра явились обобщением тех приёмов, которые были найдены людьми в практике счёта и обмера физических объектов. На этой стадии единственным критерием правильности математического рассуждения или соотношения была его применимость к решению практических задач. Однако как только были выделены и условно обозначены определенными символами наиболее важные свойства и количественные взаимосвязи между физическими объектами, т.е. после того, как была построена структурная модель этих объектов, — уже из новых комбинаций конструктов, из анализа модели, а не оригинала, чисто математически могли быть получены сведения о новых комбинациях свойств объектов; и лишь после этого обнаруживались сами реальные объекты с соответствующими комбинациями свойств.

Таким образом, математика уже на ранней стадии развития имела определенную способность опережать человеческую практику, предсказывать наличие новых отношений объектов действительности. Так, до появления понятия начала координат было предсказано наличие отрицательных чисел, до появления векторного анализа было введено мнимое число и т. д. Пока практика не доказывала применимость новых математических понятий, они оставались мнимыми, чисто теоретическими, произвольными, иррациональными, трансцендентными.

Однако следует заметить, что здравый смысл математиков всегда заставлял их искать интерпретации новым математическим понятиям и теориям. И лишь в силу обстоятельств, когда математика настолько обогнала практику, что многие чисто физические интерпретации стали почти невозможными, математики вынуждены были удовлетвориться тем, что истолковывали, например, новые алгебраические отношения в образах геометрии, геометрические — в понятиях алгебры и т. п. Особенно богатым источником интерпретаций была теория множеств, теория чисел. Так как между числами возможно громадное количество различных типов отношений, то среди них нередко удается найти и такие, которые подобны отношениям, найденным новыми математическими теориями.

Однако в конце XIX — начале XX века и этот источник интерпретаций в основном истощился, особенно когда благодаря использованию математической логики основания математики были значительно уточнены, повысилась строгость математических доказательств и новые разделы математики начали развиваться еще более бурно. При этом отметим, что анализ оснований математики с помощью математической логики требовал уверенности в непротиворечивости тех аксиом, на которых основана сама логика; в этом смысле четкой границы между логикой и математикой и их методами не оставалось, так что вопрос об истинности математических понятий был одновременно и вопросом об истинности аксиом логики.

Развитие теоретической математики без достаточно убедительных интерпретаций привело к тому, что часть математиков выдвинула своеобразный научный протест против такого положения. Эти математики отстаивали следующий взгляд: то, что представлено с помощью математических теорий, должно быть истинным, приемлемым, понятным хотя бы с точки зрения интуиции, иначе теория не имеет права на существование. Под влиянием критики со стороны «интуиционистов» еще тщательнее были проверены некоторые положения в обосновании математических теорий. В то же время отказаться от большого числа математических результатов только потому, что их никак не удавалось истолковать физически, большинство математиков не согласилось. Это, конечно, естественно, иначе понадобилось бы умышленно задерживать развитие теоретической математики. Однако как же можно доказать, что новые математические теории справедливы, если нет их интерпретации?

Именно в это время получила распространение концепция М.Паша, Г.Кантора и Д.Гильберта, считавших, что математика в принципе «свободна», она не нуждается ни в каких чувственных интерпретациях, «её понятия связаны только требованиями быть непротиворечивыми и соответствовать понятиям, введённым ранее посредством точных определений», причём сами исходные понятия выбираются «совершенно произвольно». Все эти представления в равной мере относились и к логике, так что постоянно встречающиеся в книгах по математической логике утверждения о произвольности ее основных понятий есть не что иное, как отражение концепции Гильберта. Очевидно также, что если логические связи произвольны, то они не могут не противоречить причинно-следственным и другим объективным связям и отношениям элементов реального мира, отражающим законы природы.

Степень произвольности выбора исходных математических понятий

Как же отнестись к изложенной концепции?

Ведь она действительно дала для развития математики несравненно больше, чем точка зрения интуиционистов. Она доказала, что и без физической интерпретации математика и логика способны создавать новые теории и что действительно новые теории нередко создавались именно за счёт того, что их авторы брали в основу другую систему постулатов и аксиом. [Достаточно вспомнить геометрию Лобачевского.]

Однако если последовательно стоять на этой точке зрения, то неясным становится обратное положение: почему многое в математике имеет всё-таки физическую интерпретацию? Удивительно тогда и то, что с развитием науки и техники сугубо «произвольные» формальные теории вдруг оказываются приложимыми к новым объектам. Так, в частности, случилось с математической логикой. Или, например, почти все законы теории чисел оказались такими, что они точно соответствуют описанию работы устройств, состоящих из многих пересчётных схем, и т. д.

Всё это становится понятным, если учесть, что на самом деле произвольность в выборе аксиом при создании математических теорий мало чем отличается от произвольности диспетчера нажать ту или иную комбинацию кнопок во время формирования железнодорожных поездов: в конечном счёте эта произвольность не выходит за рамки того, что задано физическим наличием определенного количества железнодорожных путей, на которые можно послать вагон или поезд. В математике в широком смысле это соответствует определенному набору найденных человечеством и отраженных (в исходных математических конст­руктах) свойств и отношений объектов материального мира. Поэтому любая математическая теория имеет единственную ценность: способность отражать те или иные (количественные и качественные) стороны действительности, предсказывать их существование. И в этом смысле представителям естественных и социальных наук или инженерам безусловно ближе всего точка зрения Лобачевского, Римана, Эрмита, которые не сомневались, что рано или поздно практика подтвердит правильность тех математических построений, которые пока что кажутся совершенно абстрактными.

Вредные последствия концепции произвольности

Так должно ли быть подвергнуто сомнению утверждение, что формулы математической логики совершенно условны и не отражают объективных связей и отношений? Несомненно. Это мнение об «условности» — печальное недоразумение, которое в настоящее время уже начало приносить чисто практический вред. Например, лингвисты, понявшие полезность использования точных методов в языкознании и освоившие необходимый логико-математический аппарат для описания дискретных отношений в структуре сложных лингвистических объектов, восприняли, вместе с плодотворными математическими идеями, и философские заблуждения.

У теоретиков структурализма мы находим уже известные нам утверждения, что теория «сама по себе не зависит от опыта» и является «чисто дедуктивной системой», и что «первый фактор», который её характеризует — это «произвольность теории» (там же), (всё как у математиков!), и что «с научной точки зрения вселенная состоит не из предметов или даже «материи», а только из функций, устанавливаемых между предметами, предметы же в свою очередь рассматриваются как точки пересечения функций» (это уже как у физиков, поверивших философам математики!). Таким образом, не понимая различия между системой, которой является язык, и ее структурной моделью (обеспечивающей максимум эффективности при исследовании этой системы), отождествив модель с оригиналом и приписав оригиналу те свойства, которые присущи модели лишь в силу её принципиальной ограниченности при отражении особенностей оригинала, наиболее прямолинейные структуралисты в основу своего учения положили тезис: «язык есть форма, а не субстанция». [Спокус: Напомню, что понятие субстанция у Мельникова определяется как такая материя, которая адаптирована в системе.]

«Существенным для языковой единицы является не материал, из которого она построена, а исключительно множество противопоставлений, в которые она входит».

Сосредоточив всё внимание на структуре отношений языковых единиц и абстрагировавшись от их субстанции, представители структурной лингвистики, безусловно, содействовали и содействуют прогрессу своей науки тем, что разрабатывают методы структурного моделирования лингвистических явлений и объектов, без чего, как уже было сказано, невозможно объективное описание оригинала, уточнение и выявление многих закономерностей, зависящих от особенностей структуры рассматриваемых ярусов [системы]. Но без учета свойств субстанции структурная лингвистика, отождествляющая структуру с системой, принципиально неспособна увязать в единую системную картину и сведения о структуре различных ярусов, и динамику языка с его статикой. Не случайно наиболее последовательные структуралисты убеждены, что система может быть только статической, и поэтому истинным языкознанием считают лишь изучение статики языка. Выявляя структуру того или иного яруса, они не имеют возможности ответить, почему эта структура именно такова, поскольку предполагается, что «субстанция никак не определяет правил «лингвистической игры»; эти последние логически независимы от субстрата, в котором они реализуются».

На самом же деле, в такой системе, как язык, где непрерывно происходит стихийный «естественный отбор» языковых средств, т. е. процесс самоорганизации, на каждом ярусе вырабатывается оптимальное динамическое равновесие между субстантными возможностями и структурой, наиболее подходящей для этой субстанции, причем структура и субстанция каждого яруса влияет на все остальные ярусы.

Когда структурная лингвистика будет исходить не из отождествления, а из правильного противопоставления структуры и субстанции, когда она признает равновеликость обоих начал, т.е. структуры и субстанции в реальной системе, лишь тогда до конца проявится вся научная плодотворность структурного моделирования языковых явлений и объектов. Но тем самым структурная лингвистика прекратит свое существование, так как фактически превратится в системную лингвистику. И многие лингвисты, убеждённые в том, что они являются последовательными структуралистами, уже пытаются внести в теорию структурной лингвистики такие «уточнения» и «поправки», которые ускоряют процесс становления новой, системной лингвистики.

Рассмотрим для примера ещё одну науку, естественному развитию которой мешают заимствованные заблуждения относительно сущности математики, ее произвольности и независимости от реального мира. В настоящее время все острее чувствуется потребность в специалистах нового типа: универсалах, способных легко вникать в сущность сложных систем, воплощенных в самую различную субстанцию, или, наоборот, способных создавать сложные системы по заданным свойствам. Вот что говорит по этому поводу известный кибернетик У. Р. Эшби: «Здесь мы, очевидно, вторгаемся в пределы так называемой "общей теории систем", относительно которой мне всегда было неясно, имеет ли она дело с физическими системами, и поэтому связана условиями реального мира, или с математическими системами, единственное требование к которым заключается в их внутренней непротиворечивости».

[...] Совершенно ясно, что общая теория систем должна максимально использовать математику как средство структурного моделирования исследуемых систем на всех доступных ярусах. Ясно и то, что в основе общей теории систем, применимой к анализу систем различной субстанции, должна лежать методика выявления взаимодействия структуры с субстанцией в реальных системах. Лишь при этом структурное моделирование может быть наиболее эффективным. Однако У. Р. Эшби, находясь под влиянием идей, идущих от философов математики, приходит к выводу, что при создании общей теории систем «нужно исключить из рассмотрения два не относящихся к делу фактора. Первым из них является «материальность» — идея о том, что машина должна быть сделана из реальных материалов... Точно так же не относится к делу любая ссылка на энергию»...

Не имея правильного противопоставления системы её структуре и структурной модели, Эшби, по существу, предлагает строить общую теорию систем как теорию исключительно структурную, не понимая, что при этом в лучшем случае будут разработаны некоторые новые разделы науки о структурном моделировании, т. е. математики, а общая теория систем так и не будет создана.

Не был бы прав и оппонент Эшби, который предложил бы в общей теории систем исследовать лишь вопросы воплощения различных сложных конструкций в реальную субстанцию, так как такое направление непременно выродилось бы в одну из инженерных дисциплин, наиболее близкую к технологии.

Общая теория систем должна, по-видимому, разрабатывать методику правильной оценки существенности тех или иных сторон во взаимосвязях элементов сложных реальных систем с учётом практических требований в конкретных ситуациях функционирования этих систем. Эта теория должна научить людей видеть как то общее, что есть в структурах систем различной субстанции, так и то общее, что определяется универсальными закономерностями взаимодействия структуры системы с её субстанцией. Лишь при этом условии возможно правильное абстрагирование от того, что несущественно на уровне наблюдения за системой и что допускает идеализацию при замене рассмотрения системы анализом или синтезом её структурной модели на уровне математических конструктов. При этом сами конструкты теряют свою таинственную математическую абстрактность, «не доступную обычному здравому смыслу», и благодаря этому становятся еще более могучим орудием познания такой сложной системы, какой является внешняя действительность во всех её технических, биологических, космических, социальных проявлениях.