Привожу ещё один фрагмент из "Азбуки математической логики" Геннадия Прокопьевича Мельникова, который тогда ещё не был доктором и членом РАН, а был только к.т.н. Эта книга издана в 1967, М. "Знание". Получается, что ей ровно 40 лет... Ой, боже мой! Не верю! 50 лет назад!

ЛОГИКА И МАТЕМАТИКА

СУЩНОСТЬ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ

Взгляд на математику как на науку о структурном моделировании изучаемых сложных объектов позволяет увидеть достаточно ясно связь и различия между отдельными отраслями математики и отношение этих отраслей к математической логике. Для примера мы остановимся на сущности некоторых из разделов математики.

Теория множеств

Теория множеств — один из наиболее близких к математической логике разделов математики. В частности, рассмотренная нами алгебра Буля полностью интерпретируется в терминах «множеств» и их отношений. Можно сказать даже, что теория множеств — это просто один из этапов очевидного обобщения математической логики. В этом нетрудно убедиться. Записывая формулы алгебры логики, мы прочитывали их как краткую формулировку следующей ситуации: если такой-то перечень условий имеет место, то результат тоже имеет место. Но эту же запись можно прочитать иначе: из всего множества фактов наличия таких-то и таких-то условий те факты, которые соответствуют заданным комбинациям условий, приводят к таким-то результатам; следовательно, и факты наличия результатов тоже образуют определенное множество, связанное с множеством воздействий.

Например, если мы имеем дело с черным ящиком, внутренняя схема которого соответствует операции логического произведения, то множество желаемых результатов (например, загораний лампочки) явится «подмножеством», получающимся в результате взаимодействия множеств исходных условий (нажатий на верхнюю и нижнюю кнопки). Графически такие отношения между множествами принято изображать в виде пересекающихся кругов в прямоугольнике: точки прямоугольника — это «универсальное множество», т. е. в нашем случае множество фактов любых нажиманий на любое место черного ящика. Круг В — множество фактов нажимания на верхнюю кнопку, круг Н — на нижнюю. Тогда подмножество фактов зажигания лампочки (подмножество Л) — это те точки, которые входят и в В, и в Н, то есть находятся в месте перекрытия, пересечения кругов В и Н (рис. 12,а).

Легко понять, что логическая сумма представится на рис. 12,б, где подмножество результата Л входит или в В, или в Н, или в область, принадлежащую им обоим (это подмножество результата зачернено).

Отношение антиэквивалентности изображено на рис. 12,е. На нём мы видим область результата, где есть только В, но нет Н, или есть только Н, но нет В.

Отношение импликации даёт область результата везде, кроме случая, когда В есть, а Н нет (рис. 12 г).

Подобным образом можно интерпретировать все 16 типов парных логических отношений, существующих в алгебре Буля. Кроме того, и такие разделы математической логики, как теория предикатов, выходящая за пределы нашей «Азбуки», но полностью включающая в себя аппарат Булевой алгебры, также одновременно является разделом теории множеств. Правда, если классическая математическая логика тяготеет к интерпретации своих функций в форме истинностных высказываний и нередко называется теорией высказываний или теорией предложений, то классическая теория множеств подразумевает под элементами множества в первую очередь различные числа, а под отношениями между множествами — отношения между классами чисел. Однако в настоящее время эти исторически сложившиеся, но в принципе довольно случайные границы между теорией множеств и математической логикой стираются. Например, после того как теория множеств стала использоваться для описания лингвистических объектов, в качестве элементов множеств фигурируют уже не числа или классы чисел, а слова, синтаксические конструкции, предложения и их классы, типы высказываний, т. е. именно те объекты, которые так характерны для классической математической логики.

Такое стирание границ нас не должно удивлять, так как мы рассматриваем математическую логику лишь как раздел математики, моделирующий в исследуемых объектах отношения между дискретными элементами. А поскольку и при классификации чисел, и при классификации слов и предложений в языке, и при анализе цепочки рассуждений, и при конструировании релейной схемы в телефонии мы имеем дело со сложными объектами, дискретные элементы которых находятся в дискретных отношениях, образуют дискретные структуры, то для структурного моделирования этих объектов могут использоваться одни и те же конструкты.

Например, когда [не]существенно отражать наличие отношений между совокупностью объектов, то конструктом для моделирования такой ситуации служит понятие множества.

Теория графов

Итак, использование одного и того же конструкта, одного и того же принципа моделирования для отражения структурных особенностей самых различных, качественно не похожих сложных объектов, сложных систем, должно рассматриваться как многообразие областей применения, многообразие интерпретаций одного и того же раздела математики.

Но если мы имеем специфику в способе моделирования, то, применяя различные конструкты даже к одному и тому же объекту, мы должны считать, что имеем дело с различными разделами математики. Теория графов и математическая логика соотносятся между собой прежде всего как два способа, два принципа моделирования структуры практически одних и тех же сложных объектов: систем с конечным числом элементов, связанных между собой дискретными связями. Специфика конструктов, используемых в теории графов, заключается в том, что структура исследуемых систем представляется в ней в виде так называемых графов — нарисованных на плоскости схем, точки которых изображают элементы системы, а линии, соединяющие эти точки, — связи или отношения между элементами. Элементы, как правило, рассматриваются на нулевом ярусе, т. е. либо присутствуют (изображаются), либо отсутствуют (стираются с чертежа), тогда как, рассматривая основные логические отношения, мы чаще всего предполагали, что элементы не исчезают, а лишь изменяют свое состояние, т. е. считали их объектами ненулевого яруса. В то же время, наоборот, в логических примерах мы не акцентировали внимания на вопросе о том, направлено отношение от элемента А к Б или от Б к А, или оно возможно в обе стороны, тогда как при построении графов эта особенность связей в моделируемых системах рассматривается как одна из важнейших. Однако все эти особенности не принципиальны, при необходимости они могут переводиться, при помощи определенных правил, с символики математической логики на символику графов и наоборот. Но есть ряд задач, специфичных только для теории графов. Например, задача выбора такого способа проведения линий связей между элементами на графе (называемыми вершинами графа), при котором число точек пересечения этих линий было бы минимальным.

На первый взгляд может показаться, что подобная задача хороша как головоломка, но практически является примером схоластики сугубо теоретической дисциплины. Это явное заблуждение. Чтобы убедиться в этом, вспомним наш разговор о соответствии модели «духу» оригинала. Одну и ту же структурную модель можно использовать для отражения структурных особенностей самых различных систем. Но максимальная польза от такого моделирования будет лишь в том случае, когда существует соответствие способа моделирования природе моделируемого объекта.

Графы представляют собой структурные модели, изображаемые на плоскости. Но существует немало сложных объектов, связи и отношения между которыми также ограничены одной плоскостью. Например, дорожные связи между населенными пунктами, мосты между островами и т. п. И вот тут чисто «схоластические» задачи теории графов превращаются в жизненно важные задачи человеческой практики. Например, бывает нежелательно иметь пересечения шоссейных дорог вне населенных пунктов. Еще менее желательны такие пересечения для железнодорожных путей. А совсем недавно, не более 15 лет назад, в промышленной электронике теоремы теории графов стали абсолютно необходимыми при разработке так называемых печатных радиосхем. Электрические соединения между элементами этих схем, т. е. между радиодеталями, делаются в виде электропроводящих полосок, нанесенных на поверхность изолятора, к которому прикреплены радиодетали. Совершенно очевидно, что пересечение этих линий соединения абсолютно недопустимо, так как приведет к электрическим замыканиям в схеме прибора. Таким образом, когда специфика используемой структурной модели максимально соответствует природе оригинала, оказывается возможным отразить и исследовать на модели максимум свойств оригинала и тем самым глубже изучить его сущность.

Однако ясно, что и в тех случаях, когда отношения между элементами сложного объекта не имеют ничего общего со связью элементов в границах единой плоскости, представление структуры объекта в образе графов может быть очень полезным. Например, оно отличается несравненно большей наглядностью, чем цепочки символов алгебры логики. Поэтому в терминах теории графов решаются многие задачи «классической» математической логики, в связи с чем в теории графов существуют, например, такие понятия, как «Булев квадрат», «Булев куб» и т. д.

Достаточно очевидно, что использование методов дискретного моделирования в любой конкретной научной области предполагает знакомство и с основами теории графов.

Теория чисел

Теория чисел — один из разделов структурного моделирования объектов, в котором чисто дискретное моделирование занимает большое место.

Поэтому желательно выявить точки соприкосновения теории чисел с математической логикой.

Сначала зададим себе такой общий вопрос: какой тип отношений, среди самых разнообразных типов отношений между элементами сложных объектов реальной действительности, наиболее универсален, наиболее часто встречается и наиболее часто интересует нас на практике? Таким отношением является отношение соседствования. Например, соседствование чисто пространственное: стул стоит возле стола, одно дерево растет возле другого, два человека идут рядом и т. д. Совершенно ясно, что группа более тесно соседствующих элементов выделяется как некоторое, хотя бы временное и малоустойчивое единство, т. е. представляет собой сложный объект, систему. В ней уже проявляются определенные отношения между элементами, т. е. структура. Для описания структурных свойств таких систем нужна структурная модель — конструкт. Самой элементарной, самой грубой структурной характеристикой подобных систем является оценка её «объема», «дискретного размера» — без детализации конкретной сети отношений между элементами системы. Наиболее простым методом такой оценки служит перестановка элементов системы таким образом, чтобы вместо любого соседствования эти элементы находились в последовательном соседствовании, т. е. были как бы выстроены один за другим. Такой тип отношений называется следованием. Совершенно ясно, что для моделирования отношения следования можно воспользоваться любым сложным объектом, элементы которого следуют друг за другом в пространстве или во времени.

Примером пространственной физической модели для отражения отношения следования могут служить пальцы на руке, бусинки на нитке, разложенные в ряд спички или камушки. Но это могут быть и вызубренные наизусть в определенном порядке звуковые сигналы, например обычные или специальные слова. Вот такой последовательной цепочкой специальных слов и являются звуковые знаки «один, два, три, четыре» и т. д. На письме эти сложные знаки заменяются упрощенными графическими знаками, называемыми цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д., но сущность модели от этого не меняется. Когда мы встречаемся с любым реальным или воображаемым сложным объектом, для которого в конкретном случае достаточно указать лишь такую грубую структурную характеристику, как факт соседствования его элементов по пространственному или любому другому интересующему нас признаку, то мы прибегаем к нашей модели следования. Мысленно или фактически мы сопоставляем элементы описываемого сложного объекта с элементами нашей модели, в порядке их следования. Когда все элементы описываемого объекта сопоставлены взаимно однозначным образом с элементами модели, то имя последнего элемента модели, например слово «пять», служит грубой характеристикой структуры оригинала; мы говорим, что в этом оригинале, в этом сложном объекте, пять элементов. Такая процедура простейшего структурного моделирования сложных объектов и представляет собой сущность процесса счета.

Структурная модель, элементы которой находятся в отношении следования, а каждый элемент имеет свое собственное имя, представляет собой важнейшее понятие математики — натуральный ряд чисел. Это — еще один конструкт математики.

Теория чисел, как абстрактная дисциплина, сосредоточивает всё свое внимание на самой структурной модели отношения следования, на натуральном ряде чисел. Если представить себе, что эта модель воплощена физически в нить с нанизанными на нее бусинками, то можно сказать, что специалист по теории чисел занят исключительно изучением свойств такого ожерелья, установлением того, какие структуры можно образовать из него, если длина ожерелья может быть любой. Например, если задана определенная длина ожерелья (т. е. количество бусинок), то можно ли его сложить такими звеньями, чтобы в каждом было, скажем, по пять бусинок (т. е. как сформулировать правило делимости на 5). Каждая из таких длин (т. е. каждое число) может быть охарактеризована тем, какие структуры, выраженные в количественных же терминах, из нее можно построить. Таким образом выявляются классы чисел и отношения между этими классами. Наиболее известные классы чисел — четные и нечетные, т. е. способные разбиваться на звенья по две «бусинки» и не способные. Если образовывать звенья по три бусинки, то некоторые длины ожерелий не будут иметь остатка, а те, которые его имеют, в свою очередь распадутся на два класса: те, у которых в остатке 2, и те, у которых в остатке 1. Все числа, имеющие одинаковые остатки при делении на определённое число, называются сравнимыми по модулю, равному этому числу. Например, все нечетные числа сравнимы между собой по модулю 2. Теория сравнений — один из важных разделов теории чисел, позволяет устанавливать отношения между классами чисел, и поэтому теория чисел органически переплетается как с теорией множеств, так и, следовательно, с математической логикой.

Но в то же время теория чисел, не ограничиваясь структурами из конечного числа элементов, допускает расчленение каждой «бусинки» на более мелкие доли и т. п., и поэтому структуры, рассматриваемые с помощью «ожерелья» из натурального ряда чисел, моделируют свойства таких систем, которые не могут моделироваться средствами математической логики. Анализ таких структур входит в компетенцию количественной математики, однако сама теория чисел демонстрирует тот факт, что нет никакой принципиальной резкой границы между математической логикой и математикой количественных отношений.

Некоторые аспекты теории информации и семиотики

Ни теория информации, ни семиотика как наука о знаках и их значениях не имеют прямого отношения ни к математике, ни к логике. Однако мы затронем некоторые важные проблемы, связанные с понятием знака и информации, так как для изложения сущности этих понятий удается воспользоваться теми представлениями, которые лежат в основе наших определений сущности математической логики.

Сначала остановимся на таких вопросах, как кодирование, код, кодирующее устройство.

Предположим, что изменения состояния определенной системы (например, изменения структуры связей между её элементами) приводят к тому, что состояния некоторых элементов другой системы тоже изменяются. Пусть эти элементы представляют собой «входы» черного ящика. Тогда мы можем считать, что входные элементы черного ящика испытывают воздействие. Если черный ящик имеет и выходные элементы, функционально связанные с входными, то воздействия на входные элементы приводят к изменению состояния выходных элементов. Предположим, что внутренняя структура черного ящика такова, что каждой комбинации состояний входных элементов соответствует однозначно комбинация состояний выходных элементов, хотя внешне эти комбинации различны (например, представлены на различном количестве элементов). Составив протокол наблюдений за таким черным ящиком, мы сможем сформулировать закон связи между входными и выходными комбинациями состояний. Вот этот закон и представляет собой код черного ящика, если мы его используем как кодирующее устройство. Чередование входных комбинаций состояний — это входной кодируемый текст, поступающий на кодирующее устройство, а последовательность выходных комбинаций — это выходной, закодированный текст устройства или кодовая посылка.

Следовательно, кодируемый текст относится к кодовой посылке как структурный оригинал к структурной модели, как аргумент к функции, как операнд к образу, как воздействие к результату, как состояние входного элемента функциональной цепи к состоянию ее выходного элемента. Таким образом, все это многообразие терминов отражает одну и ту же сущность, рассматриваемую в различных аспектах. Точно так же код — это то же самое, что функциональная зависимость или оператор, или среднее звено функциональной цепи, или структура связи между состояниями элементов, испытывающих воздействие, и состояниями элементов, проявляющих результат, или внутренность черного ящика, или функтор.

Мы уже сказали, что состояния входных элементов черного ящика изменяются под воздействием изменения состояний некоторой системы (для нас пока неважно, естественным образом или с помощью разумного посредника достигается согласование между изменениями структуры системы и изменениями комбинаций состояний входа черного ящика). Следовательно, наблюдая кодовые посылки, мы можем иметь представление об изменениях в структуре исходной системы, если знаем код устройства. Поэтому выходной текст, т. е. кодовые посылки, — это тоже структурная модель исходной системы.

Мы можем сказать, что эта модель дает нам сведения о структуре системы, или, что то же самое, содержит информацию об этой системе. Что же такое тогда информация? Не существует пока исчерпывающих определений этого понятия. Но если пользоваться нашими терминами, то оно определится следующим образом: информация — это совокупность свойств некоторого объекта, моделирующая свойства определенного оригинала. Как мы отмечали, наиболее универсален способ моделирования свойств систем с помощью отражения их структуры на большем или меньшем числе ярусов. Поэтому обычно информацию понимают более узко: это совокупность структурных свойств некоторого объекта, моделирующая определенные структурные свойства оригинала. Объект, определенные структурные характеристики которого моделируют структуру оригинала, служит при этом носителем информации. Соответствие между информацией и структурой оригинала может достигаться различным образом, в том числе и через целую цепь кодирующих устройств. Только если известны коды всех этих устройств, становится возможным выявить содержание информации, декодировать текст, т. е. восстановить ту форму структурной модели оригинала, которая наиболее близка структуре самого оригинала по степени, соответствия между элементами и отношениями в оригинале и модели.

Определенный минимальный отрезок кодированного, текста, который еще может быть сопоставлен после декодирования с конкретной структурной характеристикой оригинала (например, с элементом или отношением), наиболее естественно связать с понятием знака. Значением знака является та структурная характеристика оригинала, которую он моделирует, Следовательно, знак может не изменять своего значения, если он переводится в различную субстанцию.

Язык — это кодирующее устройство, оригиналом которого служит модель внешнего мира, представленная сознанием, а выход кодирующего устройства несёт информацию в структуре произносимых звуковых знаков.

Таким образом, мы видим, что семиотика и теория информации, как и математическая логика и математика вообще,— одно из проявлений искусственного или естественного (биологического) структурного моделирования систем, и поэтому не удивительно, что все эти науки постоянно находят различные точки соприкосновения.

ПОЧЕМУ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ НАЗЫВАЮТ ЛОГИКОЙ

Существующие взгляды на сущность математики и математической логики

Теперь остановимся на том, почему математическая логика, применяемая отнюдь не только к анализу высказываний и изучающая, таким образом, чаще всего (особенно в последнее время) не законы мышления, а самые разнообразные сети взаимодействий и связей, называется тем не менее логикой? Кроме того, поскольку эта логика имеет эпитет «математическая», то поневоле необходимо разобраться и в том, каковы взаимоотношения между логикой и математикой.

В нашей литературе математика обычно определяется как наука о количественных соотношениях и пространственных формах объектов реального мира. При этом даже сравнительно молодые отрасли математики, например, топология, тоже подводятся под это определение, так как утверждается, что в данном случае мы имеем дело с особыми формами пространственных отношений.

Однако в определении сущности математической или символической логики мнения ученых гораздо разнообразнее и нередко просто противоречат друг другу. Например, в одних случаях математическая логика определяется как более высокая ступень формальной логики, использующая символику, аналогичную математической и поэтому очень часто математическую логику называют символической. В других утверждается, что математическая логика предназначена исключительно для проверки полноты и непротиворечивости исходных положений математики и в этом смысле является разделом математики. Представители такого понимания с наибольшим основанием чаще и называют её математической логикой. Некоторые же ученые считают вообще логику одной из наиболее общих наук, отраслью которой является математика.

После того, как математическая логика получила чисто техническое приложение, ее стали называть технической логикой, причем сам факт такого приложения даже для специалистов нередко представляется чем-то неожиданным, не принять который невозможно лишь потому, что он — факт. Иногда же этому факту дается такое надуманное объяснение: логика находит применение в технике потому, что и в технике используются те слова, которые используются в логике.

Совершенно очевидно, что при таком представлении о математической или символической логике научный работник или инженер, еще не убедившийся в её пользе на практике, не может быть заранее уверен в целесообразности её применения, и, следовательно, изучения. Особенно, если он придаст серьезное значение утверждению, постоянно подчеркиваемому в книгах по математической логике, что логические отношения принципиально, в силу полной их произвольности, не могут отражать причинно-следственные связи между явлениями, тогда как сложные научные объекты и технические устройства — это прежде всего цепи протекающих во времени воздействий и реакций, цепи совершенно определенных причин и соответствующих им следствий.

Однако только что отмеченные недостатки логики являются следствием неправильного понимания сущности как логики, так и самой математики.

Более точная формулировка сущности математики даёт возможность примирить перечисленные противоречия во взглядах на математическую логику, понять своеобразие исторического развития и взаимосвязей логики и математики и благодаря этому выявить причины недоразумений, на начальном этапе мешающих оценке того, насколько целесообразно всё более широкое внедрение логики в научную и техническую практику.

Математическая логика как естественный и необходимый этап развития математики

Как же следует понимать сущность математики? В данной работе постоянно подчеркивалась мысль, что правильнее рассматривать математику как науку не только о количественных отношениях и пространственных формах объектов реального мира, но и вообще как науку о структурном моделировании объектов реального мира, если элементы этих объектов и отношения между элементами поддаются строгому определению (т. е. позволяют найти достаточно надежный индикатор для выявления элементов и отношений в исследуемых системах). С этой точки зрения «высшая математика» является безусловно математикой, однако не исчерпывает всех возможностей этой науки. В частности, математический анализ не рассматривает качественных дискретных отношений между объектами, хотя и такие отношения могут быть однозначно определены, строго сформулированы. Например, нередко вопрос о наличии или отсутствии заданного признака у объекта решается совершенно однозначно.

Если приведенное определение математики в основном верно, то из него следует, что на некотором этапе развития математики возможность расширения области ее применения на качественные дискретные отношения должна была стать очевидной; после этого могли появиться первые попытки усовершенствования формального аппарата математики, (т. е. техники структурного моделирования систем), с целью обеспечения его применимости для моделирования новых отношений. Действительно, такой этап наступил около 300 лет назад. Один из создателей математического анализа, интегрального и дифференциального исчисления — Г. В. Лейбниц первый понял однобокость, неполноту математики, если ее объектом являются только количественные отношения и пространственные формы. Он начал создавать новую методику исчисления, включающую рассмотрение и таких систем, элементы которых имеют структуру качественных строго формулируемых дискретных отношений. Лейбниц рассматривал, например, такие отношения, как симметричность, подобие, истинность, ложность и т. д., и разрабатывал такой символический язык для записи этих отношений, что «химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает, не смогут быть записаны его знаками». Это по существу и было началом разработки математической (символической) логики как раздела дискретной математики, специализированного для изучения неколичественных и конечных (по числу возможных состояний элементов) отношений.

Однако Лейбниц слишком рано понял это. Современники не были еще подготовлены к восприятию гениальных идей Лейбница, и его работы были надолго забыты.

Лишь в середине прошлого века математик Джордж Буль снова нащупал неразработанность одной из сторон математики и, ликвидируя этот пробел, заложил основы математической логики в виде так называемой алгебры логики или алгебры Буля. Используя достижения математики, накопленные почти за 200 лет после работ Лейбница, Буль, естественно, придал математической логике более законченный и совершенный вид. Однако делал он это несравненно менее осознанно, чем Лейбниц, и исходил не из общего понимания сущности математики, а лишь из удивительной аналогии между теми цепочками символов, которые рассматриваются в алгебре, и теми последовательностями высказываний, которые исследуются в формальной логике Аристотеля. Создав алгебру логики, Буль пришел к выводу: причина отмеченной аналогии заключается в том, что количественная математика является частью логики. Ясно, что это была переоценка значения логики, хотя в какой-то мере она приводила к более широкому пониманию математики, чем просто как науки о количественных отношениях.

Какие же логические построения рассматривались в алгебре Буля? Это были лишь те высказывания, о которых можно было утверждать, что они либо истинны, либо ложны. Если же высказывание не могло быть отнесено ни к одному из этих взаимно исключающих видов, оно, как и в логике Аристотеля, просто не рассматривалось. Следовательно, из всех возможных высказываний отбирались только те, которые поддаются строгой дискретной качественной оценке с конечным числом «баллов» («истинно-ложно»).

Вскоре было обнаружено, что математическая логика в форме алгебры Буля имеет непосредственное прикладное значение при проверке правильности большого класса выводов из исходных посылок в различных и прежде всего математических теориях. В связи с этим дальнейшие усилия последователей Буля были направлены на то, чтобы усовершенствовать символическую логику как орудие анализа оснований математики, как средство проверки того, насколько непротиворечиво выбраны исходные определения математических понятий и насколько последовательно сделаны дальнейшие выводы из этих исходных определений и понятий. Потребностями анализа оснований математики и стимулировалось в течение многих десятилетий совершенствование символической логики. Вопрос же о ее соотношении с математикой вне этой области применения не интересовал ученых, и символическая логика получила одно из наиболее распространенных своих названий — математическая логика.

Почему математическая логика тяготеет к собственно логике

Как же объяснить, что эта новая научная дисциплина ассоциируется с понятием логики, которое и фигурирует постоянно в ее названиях? На этот вопрос можно ответить, если исходить из представления о математике, как науке о моделировании структур объектов реального мира. Какие из простейших неколичественных, строго определяемых дискретных отношений могут быть в первую очередь обнаружены? Ясно, что это двузначные отношения, позволяющие оценивать рассматриваемые объекты с точки зрения заданного качества по принципу да/нет. Где можно обнаружить достаточно большое количество объектов подобного рода, чтобы рассматривать эти дискретные объекты во взаимосвязях, анализировать их структуру?

На первых порах наиболее доступными дискретными качественными объектами могли быть только высказывания в формальной логике Аристотеля, из которой уже заранее были исключены все предложения, на вопрос об истинности которых нельзя ответить ни да, ни нет. Именно этот самый подходящий источник дискретных объектов и обнаружил Буль, и поэтому новую науку он связал с именем логики. Поэтому же длительное время в новой «логике» рассматривались только парные дискретные отношения; при этом понятие истинности/ложности используется до сих пор как универсальное понятие символической логики, хотя нередко рассматриваемые объекты имеют такую природу, что применение к ним понятия истинности бессмысленно и используется лишь чисто условно. (Как мы видели, из буквализации понятия истинности/ложности возникают псевдопарадоксы логики).

Разработка формального аппарата символической логики могла протекать наиболее успешно лишь в том случае, если рассматриваемые логические построения содержали максимальную концентрацию высказываний, строго подчиняющихся критерию истинности/ложности. В какой области знаний в этом отношении имеются наиболее благоприятные условия? Достаточно очевидно, что в математике, в её высказываниях, определениях и системе доказательств символическая логика имела наиболее вероятную возможность найти и вскоре нашла такую область применения, где её методы могли быть проверены максимально эффективно. Со своей стороны, сама математика того времени особенно сильно нуждалась в средствах анализа правильности своих построений; поэтому символическая логика уже перестала быть «чистой» наукой, она превратилась в важную прикладную, хотя и сугубо теоретическую, дисциплину.

Это сужение понимания задач и сущности математической логики еще больше закрепило за ней связь с понятием логики как науки о законах мышления, хотя ясно, что точнее ее можно было бы назвать математикой конечных дискретных качественных отношений, моделирующей структуры, или наукой о дискретном моделировании систем с конечным числом состояний. И сейчас символическую логику, как уже отмечалось, чаще всего определяют лишь как науку, изучающую основания математики. Но только исходя из более широкого понимания математической логики как науки о любых неколичественных, строго определенных конечных дискретных отношениях объектов реального мира, можно было бы предсказать её применимость и к нелогическим объектам.

К сожалению, это было ясно только Лейбницу. Когда в 1910 г. профессор Петербургского университета физик П. Эренфест написал, что релейные схемы, имевшие в то время уже большое значение в технике связи, также являются одной из разновидностей объектов, в которых достаточно строго можно выделить два дискретных качественных состояния, и, следовательно, системы таких объектов можно описывать с помощью аппарата математической логики, то на это замечание никто не обратил внимания; и вообще оно не было понято и забыто. И лишь в 1938 г. американский инженер К. Е. Шеннон использовал на практике алгебру Буля для анализа и расчета релейных схем. Позже стало известно, что за два года до этого такой же метод описания релейных схем применил в СССР инженер В. И. Шестаков, в Японии — инженер Накашима.

Таким образом, когда в человеческой практике получили большое распространение и значение технические объекты, вступающие в дискретные отношения, то рано или поздно была обнаружена, хотя и не до конца понята, применимость математической логики для формального описания сложных цепей, состоящих из этих объектов. Однако слишком узкое и буквальное понимание сущности математической логики до сих пор является причиной того, что даже специалисты, использующие её в совершенно «нелогических» целях, сами удивлены тем фактом, что логика почему-то оказывается способной отражать взаимосвязи между элементами объектов (например, между узлами сложных электрических и электронных схем). Если же исходить из предложенного выше определения математики, то факт внематематического и внелогического использования логики как одного из её разделов становится совершенно естественным. Очевидно при этом и то, что возможны и со временем будут всё более необходимы не только двузначные, но и многозначные логики, которые в настоящее время усиленно разрабатываются.

Однако не следует ли из того, что математическая логика как наука о дискретном структурном моделировании дискретных конечных систем, являясь по существу лишь разделом математики, призванной разрабатывать способы структурного моделирования максимально разнообразных систем, вообще поглощает логику, и собственно логика, т. е. наука о законах мышления, теряет свою самостоятельность? На этот вопрос следует ответить отрицательно. Объектом математической логики являются любые дискретные конечные системы, анализируемые с точки зрения их структуры. В этом смысле и структуры связей понятий в человеческом сознании тоже могут быть объектом математической логики, но лишь в качестве одного из объектов или одной из интерпретаций законов математической логики.

Каковы задачи собственно логики

Собственно же логика как наука о законах мышления — более конкретная наука. Её единственный объект — человеческое сознание и мышление, и не только те его стороны, которые связаны с процессами вывода дискретных решений, но и те, которые объясняют процесс «вызревания» этих решений, всевозможные вероятностные и эвристические процессы. В этом смысле логика — это не только наука о дискретном моделировании действительности в мозгу человека. Это логика, о которой давно уже говорят, но которая так мало ещё разработана — логика диалектическая. Она должна, конечно, использовать все средства, имеющиеся в распоряжении современной науки, и в первую очередь формальный аппарат математической «логики», поскольку в человеческой деятельности, когда нужно принять какое-либо определенное решение, человек старается воспользоваться максимально дискретной структурой связи между имеющимся и выводимым знанием. А поскольку, когда логика зародилась, такого математического аппарата в ее распоряжении еще не было, то логики для своих нужд вынуждены были начать его разрабатывать. Так стала развиваться формальная логика, обслуживая параллельно себя и подготавливая материал для самостоятельной отрасли математики. Причем это получалось естественно, так как понятие правильного мышления подразумевает не только правильность выводов из исходных посылок, но и правильность самих посылок; и аппарат формальной логики применялся не только к сознанию как модели действительности, но и непосредственно к самим системам действительности, хотя и косвенно, через их словесное выражение,

Таким образом, логика действительно является матерью математической логики. Это родство проявляется в том, что новый раздел математики продолжает носить имя своего родителя. Однако теперь уже недалеко время, когда границы между этими науками окончательно оформятся, а широкое использование дискретной конечной математики при решении чисто логических задач, связанных непосредственно с мышлением, не будет причиной диффузии логики в математику, как не превращается в математику современная контактно-релейная техника, которая до развития математической логики просто не была настоящей наукой.