К этой теме я подбирался долго. Дело в том, что тут конь не валялся. И даже вопрос никто никогда не ставил: дать определения всем родам и видам отношений. Так что не судите строго.
Итак. Отношения. Отношения - это тип понятий, наряду с такими типами, как предметы, явления, свойства, субстанции, числа. Логика предикатов определяет отношения как двухместный предикат - то есть, такой предикат, в котором есть два предмета высказывания. Например: слон больше муравья. Здесь слон и муравей - два предмета высказывания, а отношение - их неравенство. Чтобы закруглить эту тему, добавлю, что есть ещё одноместные предикаты, то есть такие предикаты, в которых утверждается свойство какого-то предмета (Сократ смертен).
Переходим к классификации. Самое сильное из отношений, и самое главное - тождественность. А=А. А тождественно самому себе. В логике это неопределяемое понятие, хотя Лейбниц предлагает такое правило: понятия тождественны тогда и только тогда, когда они могут заменять друг друга без изменения истинностного значения утверждений о них. Это более гибкий подход, чем А=А, так как учитывает не просто целостность материального объекта, но тождественность всех свойств понятий - и констант, и переменных.
Основные свойства А=А: рефлексивность, симметричность, транзитивность.
Рефлексивность тождественности означает, что она замкнута сама на себя. Поэтому вполне тождественными функциями считаются такие, в которых аргумент возвращается в прежнее состояние: умножение и деление на 1, поворот на 360 градусов, и тому подобное.
Симметричность - это взаимозаменяемость (коммутативносить) предметов высказывания. Москва есть столица России. Столица России есть Москва.
Транзитивность. Если Москва - столица России, а столица России - самый большой город на Москва-реке, то Москва - самый большой город на Москва-реке.
Есть ещё одно правило, имеющее прямое отношение к тождественности. Это правило сохранения объема, или Идемпотентность. Нам ничто не запрещает сто раз сказать Халва, но во рту от этого слаще не станет. Поэтому, если А истинно, то истинно: А∧А, А∨А, А→А, А↔А.
Теперь надо выяснить, что такое Нетождественность. Всё, что укладывается в эту самую нетождественность - различимо, а всё , что тождественно - неразличимо. Следовательно, все нетождественные отношения (принадлежность, равенство, эквивалентность, и др.) есть Различимости.
Пример. 1 кг пуха равен 1 кг железа. Очевидно, что эти два килограмма нетождественны и различимы. То есть, истинное равенство - различимо. Уберем из этого равенства пух и железо. Что останется? 1 кг = 1 кг. Это выражение неразличимо, а стало быть тождественно. Уберем килограммы, и получим арифметическое равенство: 1=1. То, что мы привыкли определять как равенство, на самом деле тождественность, а число 1 выступает как логическая переменная, которая может быть наполнена чем угодно. Вывод: абстрагирование может приводить к подмене понятий (равенства на тождественность); и это, к сожалению, происходит сплошь и рядом.
Почему же это происходит?
Предметы, если это логические константы, а не переменные, обладают качеством быть Целым. Этого нет ни у чисел, ни у свойств, ни у множеств. Поэтому предметы считаются, а их свойства измеряются. Тождественность пересчитанных предметов, тождественность измеренных свойств и будет называться равенством. А значение исчисления и измерения зашифровано в количественной переменной Число. Уравнение - арифметическое высказывание. Логика во внутреннюю структуру этого высказывания не лезет. Но можно задать уравнению истинностное значение. Верно, что 2+2 равно 4. И далее работать с ним как с атомом.
Равенство нерефлексивно, симметрично нетранзитивно. Противоположность равенства - неравенство (больше -меньше, ближе-дальше, раньше-позже и тд). Неравенство несимметрично.
Эквивалентность. Тут есть такая тонкость, что эквивалентность с одной стороны - отношение, а с другой - это логическая связка, так как ее можно выразить через конъюнкцию импликации и репликации. Кроме того, эквивалентность касается только сложных высказываний, но не лезет во внутреннюю структуру простых высказываний. А↔В. Если и только если А истинно, то и В истинно, а если и только если А ложно, то и В ложно. Эквивалентность нерефлексивна, симметрична, транзитивна.
Противоположность. У этого отношени нет собственного символа, так как противоположностью до Гегеля пренебрегали. Поэтому я выражу её через известную тавтологию: А∨¬А⊧1. Большинству она известна как закон исключения третьего, но я называю её несовместной дизъюнкцией. Читается так: А противоположно не-А. Если не-А тождественно В, то мы получаем бинарность (бинарная оппозиция, дихотомия, амбивалентность). Мужчина-женщина, право-лево, бреется-не бреется. Но если кроме А и В есть ещё С, такая противоположность называется контрарностью.
Принадлежность. Моё "любимое" отношение: а∈А. Это чемпион по части заблуждений, и самое главное из них: претензия на рефлексивность. Если а принадлежит А, то А принадлежит само себе. В этом смысле принадлежность не просто рефлексирует, но и претендует на то, чтобы подменить собой тождественность. С такой же настойчивостью и прямодушием математики норовят подменить теорией множеств самую логику.
Если а∈А, то А∈а. Множество принадлежит своему элементу. Парадокс? Нет, противоречие. Во избежание этой ситуации следует ввести правило: (А=А)↔(а∉А). Если, и только если А тождественно само себе, то А не принадлежит само себе.
Тут, конечно, напрашивается контраргумент синглетон - множество с одним элементом. Можно ли, к примеру, предсавить кота Матроскина как множество с одним элементом? Если нельзя, то, очевидно, существуют такие элементы, которые множествами не являются. А если можно, то истинно, что кот Матроскин - свой собственный. Я оставляю этот вопрос открытым, потому что он выходит за рамки данной статьи и имеет непосредственное отношение к таким понятиям, как 0, 1, Целое, Частное, Единое, Существование, Ничто.
Итак, принадлежность нерефлексивна, несимметрична, транзитивна. Можно ли выразить принадлежность как и эквивалентность - через логические связки? Теоретически множество является простой конъюнкцией всех его элементов и описывается теми же свойствами. Но объективная реальность устроена иначе. Здесь соединение состояний и объектов даёт макросостояния и макрообъекты, которые КАЧЕСТВЕННО отличаются от своих элементов. Атом не тождественен множеству квантов, из которых он состоит. Это уже не просто множество, а нечто иное, с новой сущностью. И вот здесь теория множеств обнаруживает совершенную свою беспомощность.
Ещё некоторые отношения я просто упомяну, так как не имею пока четкого их определения. Это отношение зависимости, валентностии, инцидентности (пересечения).