A = {A} ошибочно с точки зрения теории множеств. В качестве примера ошибочности, обычно, приводят парадокс Рассела, указывая на возникающее противоречие. Но противоречие в нем возникает совсем по другой причине:  А = {не, А}. Иначе говоря, противоречие возникает, если делается попытка отождествить (элемент множества)  и (этот же элемент множества при наличии другого элемента в этом множестве), т.е. истинно будет А ≠ {А, В}, где, в частном случае, вторым элементом ставится отрицание.

Если же убрать отрицание в «Одному деревенскому парикмахеру приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто бреется сам». Как он должен поступить с собой?», то получим «Одному деревенскому парикмахеру приказали «брить всякого, кто сам _ бреется, и _ брить того, кто бреется сам». Как он должен поступить с собой?» Парадокс, если взглянуть без предвзятости, отсутствует.

Или в более общей редакции: 
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие.Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Комментарий к парадоксу Рассела: 
Противоречиво оно только потому, что приравнивается (содержит себя) и (не содержит себя). Если убрать отрицание, по противоречия не будет! ... Имеем: (Пусть K — множество всех множеств, которые содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Ответ: содержит!)

Самоотрицание (А & не-А - одно) – вот причина (всех!) парадоксов, но никак не  A = {A} или A = {{A}}. 

Когда говорят, что нечто (парадокс) имеет противоречие - попросту означает, что нужно искать противоречие (поскольку парадокс - противоречив), которое выражается в соответствии с математической формулировкой как (А & не-А - одно). И тогда встает следующий вопрос: что в этом парадоксе есть А, и как это А самоотрицается? 

P.S. Что касается  множества, то в речи оно соответствует конструкции с сложноподчиненным предложением. Так, можно сказать (А тоже А), а можно сказать (А тоже, что А) или (А тоже, что (что А))