Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы)

Факты не могут противоречить друг другу.
Если противоречие в фактах все-таки есть, значит среди фактов затесалось мнение и его нужно отыскать, чтобы устранить противоречие.
ДЛ же лучше уж так исказит факты, чтобы СОХРАНИТЬ исходные предпосылки.

Аксиомы нужны не для того, чтобы создавать СИСТЕМЫ аксиом, а для того, чтобы было ЛЕГЧЕ обнаружить НОВЫЕ факты.
Т.е. конечным результатом является обнаружение новых фактов, а не сама СИСТЕМА верований, за которую исследователи хотят получить почести и баблосы.
Системы знаний не имеют никакой иной ценности, кроме как для открытия новых фактов.
Знания всегда УСЛОВНЫ, а значит БЕСПОЛЕЗНЫ.
Однако, среди всей этой "бесконечной фантастической лапши" попадаются "алмазы" фактов.
Знания(порода), очищенные от фактов - это МУСОР.

А где активность к объекту? и что означает "иметь дело", и т.д.:))).

Активности к объекту нет.
Это можно проиллюстрировать на такой аналогии:
Масло и вода.
Масло может рассекать воду, а вода может рассекать масло.
Рассекают они собой друг друга.
Т.е. и масло и вода остаются НЕУЯЗВИМЫМИ.
Какая разница, например, маслу, что вода изменила его форму, когда у масла самого по себе НЕТ никакой формы?! О форме можно говорить только на фоне воды. Но зачем маслу определять себя ЧЕРЕЗ воду?
Масло есть масло.
Вода есть вода.
Масло не может впитать в себя воду и стать чем-то средним между водой и маслом.
Но оно может существовать СРЕДИ воды, сохраняя при этом все свои свойства незатронутыми водой.
Т.е. у воды и масла нет никакой активности в отношении друг друга.
Они на 100% инертны по отношению друг к другу.
В этом смысле СУБЪЕКТ и ОБЪЕКТ подобны маслу и воде.
В местах, где СУБЪЕКТ рассекает собой ОБЪЕКТ или наоборот, возникает иллюзия ГРАНИЦЫ между СУБЪЕКТОМ и ОБЪЕКТОМ.
Вот с этой границей субъект и имеет дело.
Т.е. это похоже на то, как гэймер играет на компьютере.
Только игра гэймера на компьютере - это уже иллюзия в иллюзии.

Если Вы поясните, что Вы понимаете под словом "информация", тогда я буду понимать Вас немного больше.

Субъект и объект создают информацию, рассекая друг друга и вовлекаясь в этот процесс.
Но нас интересует только СУБЪЕКТ, потому что ОБЪЕКТ для нас непознаваем.
Он просто есть и всё.
ОБЪЕКТ есть для СУБЪЕКТА.
А СУБЪЕКТ есть для ОБЪЕКТА.
Невозможно быть и ОБЪЕКТОМ и СУБЪЕКТОМ.
Объект и субъект РАЗДЕЛЕНЫ и только благодаря этому разделению возможно их бытие друг для друга.
Т.е. АБСОЛЮТ, представляющий собой ЕДИНСТВО объекта и субъекта - это АБСУРД.
Ведь, во-первых, КТО говорит о существовании абсолюта?
Субъект, конечно.
Но в каком отношении находятся СУБЪЕКТ и АБСОЛЮТ?
Они либо тождественны, либо различны.
Если они тождественны, то они не могут выделить друг друга на фоне друг друга.
Это означало бы, что невозможно проявить ВООБЩЕ НИЧЕГО.
Однако, СУБЪЕКТ имеет счастье наблюдать проявленный Мир.
И поэтому субъект не может прийти к выводу, что вообще ничего нет?!
Это было бы абсурдом!
Что-то ЕСТЬ!
То, что есть состоит из иллюзии и того, что ДЕЙСТВИТЕЛЬНО есть.
Иначе не может быть.
Существование иллюзии возможно только если существует что-то не иллюзорное.
ЧТО же это такое?
Абсолют?
Абсолютом это быть не может, потому что есть еще и СУБЪЕКТ, который не является абсолютом, а значит абсолют не абсолют, а что-то, что СУБЪЕКТ видит, как ОБЪЕКТ.
Таким образом существует СУБЪЕКТ и ОБЪЕКТ.
Существование же АБСОЛЮТА невозможно в принципе!
Информация - это познавательная деятельность субъекта по отношению к объекту.
Однако, субъект не может познать объект.
ЧТО же тогда субъект познает?
Он познает самого себя, но ТАКИМ, каким он был ДО того момента, как он взялся себя познавать.
Т.е. субъект познает свои "следы".
Эти "следы" и представляют собой информацию.
До тех пор, пока субъект не знает себя, он неизменен.
Но как только субъект узнал себя, он изменился.
История этих изменений представляет собой личность.
И в личности НЕТ субъекта, потому что он УЖЕ стал другим.

Где находится "иллюзорная реальность"? Если она нигде не находится, тогда её нет (и нас тоже).

Она есть для субъекта и этого достаточно.
СУБЪЕКТ видит свое отражение в ОБЪЕКТЕ.
Если он понимает, что это только лишь его отражение, но ничего другого нет, то он будет продолжать смотреть на это "отражение", понимая то, что его самого там нет.