Продолжаем строительство функциональной логики.
Для квантирования высказываний существуют кванторы. Напомню, что кванторы - это такие логические операторы, которые лезут внутрь высказывания-атома и расщепляют его на кванты. В настоящее время известны две пары кванторов: кванторы из логики предикатов и кванторы Крипке.
Допустим, имеем высказывание: все лебеди белые. Это высказывание приводит Аристотель для демонстрации общеутвердтительного высказывания. Структура у него так3ая: ∀х(р)х. Все лебеди определены на множестве "белые лебеди", и это истина. А потом прилетает чёрный лебедь из Австралии, и истина становится ложью. Тогда истинно высказывание: некоторые лебеди - белые: ∃х(р)х. Кванторы всеобщности (∀) и существования (∃) симметричны, так как тождественно проявляются друг в друге: если и только если некоторые лебеди белые, то неверно, что все лебеди белые. ∃х(р)х = ¬(∀х(р)х).
Так же работает семантика Крипке с симметричными кванторами необходимого (⎕ , бокс) и возможного (♢, ромб). Правда, семантика Крипке генерирует возможные миры, и это ее большой недостаток. Если в нашем мире монетка, возможно, упадет решкой, то существует такой мир, в котором эта же монетка обязательно упадёт решкой. Как видим, логика Крипке расщепляет объективную реальность на две возможные реальности, в которых реализован каждый из возможных исходов. Нам это ни к чему: это, ребята, шизофрения. Вполне можно обойтись и одной реальностью. Но для этого мы должны оттолкнуться от статичной логики (логика состояний, логика экзистенциональная) и перейти к динамичной логике (логика событий, функциональная логика).
Как это сделать?
Введём в структуру высказывания новый тип понятия: ДЕЙСТВИЯ, или ФУНКТОРЫ. Этому типу понятий в естественных языках соответствуют глаголы. Если в классической логике S есть Р (предикат, свойство), то в функциональной F (функтор, действие) действителен на S. Если в классической логике стрела Зенона СУЩЕСТВУЕТ, то в функциональной логике стрела Зенона ЛЕТИТ. Функтор можно выразить через глагол (летит), но можно и через существительное (полёт).
Далее введём кванторы ВСЕГДА (квантор постоянства) и ИНОГДА (квантор изменчивости). На самом деле эти кванторы имплицитно уже реализованы в темпоральной логике; но эта логика - инженерная, однобокая. Её придумали, когда понадобилось писать программы для автоматизации производственных процессов. Но ведь работает! Да, и такое бывает: практика опережает теорию.
А как это реализовано в теории? Имеем функциональное высказывание: стрела Зенона ВСЕГДА летит по баллистической кривой. Это истина. Тогда ложным будет высказывание: стрела Зенона ИНОГДА летит за угол. Если полет стрелы F(S) действителен всегда, то неверно, что F(S) действителен иногда.
Как видим, эта пара кванторов также отвечает условию симметричности. А если такое условие существует, то оно несёт доказательную силу, и на этой базе можно строить силлогизмы.
Квантор постоянства утверждает вневременной характер высказывания: такое высказывание истинно в любой момент времени. Квантор изменчивости утверждает временный характер высказывания: существует такой момент времени, в котором это высказывание истинно. Например: стрела Зенона не всегда летит. Иногда она просто лежит в колчане.
Как то так.