Будем ли соблюдать чистоту? (повтор)
Известную короткую беседу (из труда Г.Галилея) перевожу на современный жаргон:
1) Чистый математик: Знаешь ли ты, что любое натуральное число можно возвести в квадрат?
Неумытый прикладник: Знаю. Два в квадрате – четыре; три в квадрате – девять; 4 – 16; 5 – 25; 6 – 36…
2) ЧМ: Тогда ты наверняка знаешь, что из образованных квадратов (4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.д.) можно извлекать квадратные корни и получать таким образом те числа, которые были возведены в квадрат (2, 3, 4, 5, 6, 7…)?
НП: И ежу ясно!
3) ЧМ: Ты ведь наверняка знаешь, что кроме квадратов (4,9,16,25,36,49…), есть ещё числа, которые квадратами не являются, например, 3,5,6,7,8,10,11,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,… Так?
НП: Конечно! Это все промежуточные числа между квадратами!
4) ЧМ: Тогда ты просто обязан согласиться, что количество всех чисел вместе – квадратов и неквадратов – больше, чем одних только квадратов. Подумай, ты согласен с этим?
НП: А чего тут думать-то? Ясен пень!
5) ЧМ: Давай снова вспомним, что количество квадратов ровно столько, сколько и количество корней, ведь каждый квадрат имеет свой квадратный корень, и ни один квадрат не имеет больше одного корня. Впрочем, как и ни один корень не имеет больше одного квадрата. Так?
НП: Конечно! Не тяни резину! Чего прилепился?
6) ЧМ: Но ты же с самого начала согласился, что каждое натуральное число можно возвести в квадрат. Значит количество квадратов столько же, сколько существует натуральных чисел, потому что нет ни одного такого числа, которое нельзя было бы возвести в квадрат. Следовательно, нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата. Но ведь ты перед этим соглашался, что количество всех чисел (квадратов и неквадратов) больше числа одних только квадратов. Не желаешь ли умыться?
---------------------------------
Вопрос у меня, как всегда, детский – что прикажите делать с этим противоречием? Из чего оно произрастает и разрешимо ли оно?
- Спокус Халепний
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Число натуральных чисел меньше, чем число тех же натуральных чисел, которыми записываются квадраты этих чисел... И что?! Из пальца высосано. Вот что. Одно дело ряд натуральных чисел, другое - действия с ними. Например, длина - 3 шага, ширина - шаг. Итого 3 квадратных шага на каждого бандеровца!))
Всякое натуральное число можно представить как сумму единиц в квадрате: 1, 2, 3... квадратных шагов. Но не как результат возведения в квадрат. Натуральными числами выражается количество чего угодно. Это абстракция. То чего нет, не существует само по себе. Но конкретизируется в реальности: два сапога - пара. Два сапога в квадрате - чепуха. Манипуляции с числами не должны отрываться от действительности.
Так и ответьте: количество квадратов всех натуральных чисел равно ли количеству всех натуральных чисел? То есть, выразите количество не чего угодно, а именно того, о чём вас спрашивают. Образуется ли при этом противоречие?
А, что, по этому, думает сам Кантор?
Вы считаете, что разбор полётов в приведённом диалоге не подвластен нечистоплотным инженерам? Выкладывай вам на бочку Кантора!? "Подумаешь, Бином Ньютона!"
Да, это прикол.)))
Но взять корень из натурального числа, чтобы оно, число, осталось целым, и являться корнем некоего числа - абсолютно разные вещи. Так что задачка по-моему просто на внимательность.)))
В диалоге нет обсуждения "корня из [какого-либо] натурального числа, чтобы оно осталось целым" . Там есть обсуждение корня из чисел, которые являются квадратами [каких-либо] чисел.
Итак, каждое (подчеркнуто) натуральное число есть корень квадратный из квадрата этого числа. Следовательно, количество квадратов равно количеству натуральных чисел.
Повторяю изначальный вопрос. Где в диалоге "зарыто" противорчеие? И вообще - есть ли оно? И если есть, то что с ним делать?
Повторяю ответ:
Выражение - числа, не являющиеся квадратами - в данном случае мошеннический трюк, направленный на то, чтобы сбить с толку слушателя.
Любое натуральное число можно возвести в квадрат, а из результата потом извлечь квадратный корень, получив результатом это самое число. Повторяю, любое! Значит нет там никакого пробела, а числа "не квадраты" - в данном случае не при делах.
P.S. Наконец, как до жирафа, дошло, что это всё известные примочки Кантора. Для любых конечных множеств всё это легко просчитывается, а для бесконечных по идее не имеет смысла. Хотя Кантор бы со мной не согласился.)))
Ну, слава богу! А то я уже начал писать жалобу на очередное мошенничество госдепа.
Тогда надо объяснить употребление в диалоге таких слов, как каждое натуральное число. А также любое натуральное число. А ещё - количество всех чисел...
Дело в том, что в основу всей теперешней математики положены аксиомы именно связанные с бесконечностью. В этом смысле особенно красиво звучит ваше "для бесконечных по идее не имеет смысла". Не забудьте внушить эту мысль своему сыну, который будет в университете сдавать экзамены по математике (не по евклидовской, а хорошо ещё бы - по канторовской, а то и по гильбертовско-гёделевской).
Я рад, что вам понравилось.)
Правда, не пойму: вы в самом деле ничего по этой теме не читали? Например, вот эту работу:
А зачем внушать что-то. Я ведь также всё это "добро" благополучно сдал в институте, и также благополучно забыл. Так что никаких проблем не вижу. Хотя у вас, видимо, проблемы с этим есть. Это как в том анекдоте:"Мне уже 60 лет, а я всё жду. Ну когда же наконец мне понадобятся тангенсы с котангенсами!")))
А уж с Кантором, как оказалось, всё вообще не просто. В одной из тем тут, на ФШ, мы с Владимиром-физиком уже не могли друг друга понять, когда я ему рассказывал про разную мощность у бесконечных множеств Кантора (как раз ваши примеры), а он предъявлял теоремы Кантора же, где доказывалось, наоборот, что плоскость (точки на ней) смело помещается на прямую линию (точки на ней). А заодно там были и доказательства равномощности по-моему прямой и любой её половины. В общем, всё по-моему в этом деле гораздо веселее, чем может показаться на первый взгляд.)))
Да, я когда-то читал Зенкина. Но мне не нравится, что он давит авторитетами на мои мозги.
А вообще-то я во многом солидарен почти с каждой вашей мыслью. Даже по отношению ко мне.
Но всё же вы недооцениваете "экзамены по математике" "вашего сына". Сейчас всю математику объясняют с позиции Кантора в лучшем случае. Потому что в худшем - с позиции Бурбаки & Гильберта с Гёделем.
Собственно, эту тему я открыл именно для того, чтобы было от чего плясать в обсуждении ОСНОВЫ современных аксиоматических построений в математике. В данном аспекте ФИЛОСОФСКИЙ интерес представляет собой начало ещё более начальнее, чем может показаться, а именно - чем, всё-таки, является аксиома (как понятие). Ну и что из этого вытекает.
Не знаю. Мне эта его работа понравилась, хотя, если честно, я математику уже не помню, поэтому не могу оценить его опровержения доказательств Кантора.
Это про тангенсы с котангенсами?)))
Поэтому Зенкин и нервничает, а ссылку на эту работу я в своё время увидел на одном из форумов у "стекловца", т.е. представителя Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук. Так что математическое сообщество не равнодушно к этой проблеме.
Думаете, тут есть специалисты соответствующего профиля? А может вам лучше на форум к "стекловцам" пойти?
В смысле, вы видите проблемы в нынешнем понимании этого понятия?
А я то уже грешным делом решил, что вы хотите с безразмерностью математической точки наконец-таки разобраться, а то мне как-то не понятно: откуда и как берутся в математике прямые линии, плоскости и пространства.
Да, хорошо бы разобраться с точкой. Но это хорошо бы в отдельной теме.
Меня больше всего в этой математической точке смущает даже не сама точка, а то, что никого она не смущает. Опять же, после такой мысли сразу хочется записаться к психиатру.
Оказывается, и смущала и смущает. Тут один из участников дал ссылку на работу: Лурье Соломон Яковлевич Теория бесконечно малых у древних атомистов . – 1935. – 199 с. Там достаточно предисловие прочитать, чтобы понять, что с этой проблемой борются уже давно. Видимо, с момента появления математики.
))))
Противоречия нет. Но оно есть, потому что возникает.
И здесь именно "противоречие": из исходной "речи" кое-что опущено. А потому возникло "количество натуральных чисел больше количества натуральных чисел".
Как сказано гениально: "Чего в этом супе не хватает?"
Однако, может сделать полезное? Например, рассмотреть сущность "натурального числа"? И бывают ли "на самом деле" числа "дробными"?
Ведь "натуральное число" не зря названо "натуральным" (природным)...
Это противоречие идиотов, т.к. нет противоречия.
Проблема в том, что числительные действия, т.е. калькуляция, это работа ума с ЧИСЛОМ.
Если выполняется калькуляция, то и калькулируйте себе на здоровье.
А если вы (риторически) мыслите и применяете логику, т.е. оставайтесь там, где есть.
А когда вы (риторически) бегаете из кухни в туалет, то это вещи разных порядков есть или мочится.
"быть корнем" "не является" "можно - нельзя"
Вопрос, можно, это сколько? А пять есть?
Пять есть тринадцать?
Короче, потрудитесь разделить вычисления и суждения о вычислениях.
Математика, никогда не занималась мышлением и соответственно понятия мышления не соотносятся с калькуляцией.
Это все КОМБИНАЦИИ и правила комбинаций. Логика пазла, это логика осколка и его первичного состояния в теле до убитого предмета.
Математика убивает тела, а потом их склеивает. В целом вещь практическая и полезная, но по сути дебильная.
Вы предлагаете применять логику лишь в рамках логики? Но ведь она как раз и предназначена для использования в различных сферах. Иначе она и не нужна совсем.
понятия математики не соотносятся с понятиями бытия. Есть психологические разводы с использованием слов из математики. Это как в тех тестах: едет поезд из 34 вагонов, 15 вагонов с углем и т.д. Сколько лет машинисту. Сообразительность, это когда наперстки перед носом. Головоломки, да..прикольно, но это не мышление.
Вы считаете, что например, последние исследования "бытия" Сатурна и Юпитера при помощи посланного туда космического аппарата - всё это не имело никакого отношения к математике? А тот факт, что вы шлёпаете по клавишам, а я тут - за 10 тыс.км сразу же это читаю - это при помощи "напёрстков перед носом" делается?
вы не понимаете бытие, как понятие. Сатурн не имеет отношения к бытию, так же, как и клавиатура. ПК как изменил ваше сознание и мышление? Вы теперь думаете как-то особенно? Вы как не думали, так и не думаете. Кошка тоже мир созерцает и у ней тоже есть сознание.
А почему вообще надо складывать одни и те же числа дважды?
2 и 2 в квадрате,
3 и 3 в квадрате,
5 и 5 в квадрате,
и так далее.
Хотя ... в бесконечности этих складываний и это не повлияет. Чтобы Вы не прибавляли к бесконечности всё равно будет бесконечность.
Тут как раз важно "чтобы" писать раздельно - "что бы". :)
Но откуда вы знаете что там творится в бесконечности?
:) Математик, я думаю, такого вопроса не задаст.
:) Но... я также думаю, что до Истины в математике ещё так далеко... как и до Истины в философии... Премии Абеля и Филдса присуждаются до сих пор. Подождём.
:) Но пока, я уверен, что к любому натуральному числу можно прибавить ещё одно число.
Я не слышал, чтобы математика оперировала Истинами (с большой буквы). Надеюсь, вы не имеете в виду знаки T и F в булевой алгебре (True and False).
Думаю, что на ближайшее будущее (в смысле - ближайшее тысячелетие) математика вполне может ограничиться более скромной задачей, чем поиском воистину истинной Истины. А именно - избавиться хотя бы от противоречий внутри себя.
Ясно. Но из такой уверенности следует (с закономерностью смены дня на ночь), что, во-первых, вы отлично представляете себе что такое ЛЮБОЕ натуральное число, а во-вторых, вам будет море по колено, когда понадобится разбить отрезок на ЛЮБОЕ число частей. Где тут у нас любой?
:) Безусловно. Только мы с Вами успеем скончаться, пока я буду делить. Частей будет бесконечность.
Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие другое натуральное число. Итак, получилось отображение множества натуральных чисел самого на себя, то есть получили одно число слева, операция, другое число справа. Вопрос, куда пристроить волшебное "="? Нету его в природе. Точнее не так, у него другая природа, вымышленная, оно живёт в инобытии. Как любит повторять Спокус, слово есть ("равно"), а жопы нет.
Добавлено.
Если же операция/закон/логика погружена в числа, то проблема, как мне кажется действительно упирается в бесконечность, там, в бесконечности, все чудеса и происходят, ведь квадратов меньше, чем чисел здесь, а не там. Иначе чудеса придётся искать в инобытии, а в инобытии и квадратов и чисел просто завались, как гуталина на гуталиновой фабрике, мало того, они ещё и непрерывно плодятся. Так вот что же такое бесконечность? Как говорит Б.М.Шуранов, имеется единственная модель бесконечности в виде ряда натуральных чисел. Ему конечно же виднее, но почему бы не принять модель бесконечности в виде поля? Ещё круче: информационного поля. На котором и растут числа! Примерно как грибы в лесу. В самом деле, казалось бы проще не куда: два умножить на два. Но откуда вторая двойка? Ряд натуральных чисел один, или их целая пропасть? Как мне кажется, отсюда торчат уши пространства, логика и пространство неразделимы, братья-близнецы.
Вот и в чём вопрос.)
Вопрос в том, что числа плодятся так же активно, как и исчезают. Например, весь бесконечный ряд натуральных чисел легко помещается между нулём и единицей. А это "чудо" наталкивает на мысль о единой бесконечности, о единстве потенциальной бесконечности и континуальности. Главное проникнуться этой мыслью, а потом уже пойдёт как по маслу, ну то есть как у Кантора с его мощностями.
Если все люди умрут, то числа останутся?
Останется только бесконечность. На то она и бесконечность, то есть без конца. А числам нужна "плодородная почва", да и кому они будут нужны без меня?
Бесконечность непрерывна?
Если она непрерывна, то каким образом узнали о её "непрерывности"?
Без конца можно было бы что-то складывать: то есть, складывать конечные величины, но при этом процесс складывания не заканчивается. Имеется представление о "конце", но он не наступает. Всякое прикладывание к сумме даёт конкретный конец, который "перебивается, наращивается" новым конечным.
Если непрерывность, то она не имеет ни начала, ни конца, потому что непрерывна.
Только если есть некое "начало", то можно говорить о "конце" или "бесконечности".
Кто узнал? Ёлочная гирлянда состоит из дискретных лампочек, ей ничего не надо доказывать, а вот эффект бегущих огней постоянно должен доказывать хотя бы сам себе своё существование. Ну и как неопровержимый факт непрерывности это то, что в моём организме каждое утро просыпается тот же и там же. А в качестве логического доказательства связь бесконечности и непрерывности, одно без другого не мыслимо. Если помните, этот момент очень хорошо описал доктор физико-химических наук Ким Сен Гук.
Спокус
Вообще-то число квадратов (в плоскости XOY), построенных на числовой прямой ровно столько, сколько и отрезков на ней.
Отсюда следует, что и кубов чисел (т.е. объемов) столько же; а в общем тоже самое можно сказать и для числа в любой степени.
Но это справедливо только для рациональных чисел, т.е. только для отрезков числовой прямой.
Вы имеете в виду, что не только количество квадратов столько же, сколько натуральных чисел, но и количество кубов, а также чевёртой степени, а также... сотой, миллионной, миллиардной степени...
Тут надо уточнить. Вы это говорите из соображений собственной интуиции или на основе аксиоматических концепций положенных в основу совремённой математики? То есть, потому что так сказал "дядя Кантор" или вы это чувствуете печёнкой (и даже можете обосновать)?
Спокус
А чё тут доказывать? - это же очевидно!
Берем числовую прямую (ОХ).
Затем, выбираем точку на оси ОХ, длиной L. - Затем, в пл. ХОУ строим квадрат (y=x), т.е. L^2.
Так этих L^2 - тов будет ровно столько, сколько будет точек на оси ОХ.
Ту же процедуру можно произвести, введя ось OZ. Т.е. кубиков L^3 , будет столько же сколько у нас L^2. Эту же процедуру можно произвести и введя 4-е измерение и т.д.
-----------------------
Спокус, Вы не отвлекайтесь от арифметики, которой нет без числовой прямой, т.е. знаки чисел не имеют смысла, если они мыслятся вне числовой прямой (ОХ), вне плоскости (ХОУ) и т.д.
А в общем, на числовой прямой только одна точка равная, допустим, 2, а X^2 - эт уже функция.
Так ведь разговор идёт о натуральном ряде чисел, т.е. 1, 2, 3, 4... А числовая прямая - это о действительных числах, т.е. о разных там дробях и прочих нужд измерения физических величин и объектов.
Нам бы со счётом разобраться, типа, раз, два, три, четыре, пять - вышел зайчик погулять.
А чё тут разбираться? - Натуральный ряд так и останется натуральным рядом, если не ввести функции над ним. (сложение, вычитание, умножение, .... и проч.)
Здравствуйте!
Ответ тоже детский: из нарушения условий логического построения.
"Значит количество квадратов столько же, сколько существует натуральных чисел, потому что нет ни одного такого числа, которое нельзя было бы возвести в квадрат."
Нет, не значит. Не столько. Потому что не возведение в квадрат главное условие обозначения квадрата, а извлечение корня.
Красиво Вы здесь обули некоторых товарищей.
Причём тут ОБОЗНАЧЕНИЕ КВАДРАТОВ? И что это за зверЪ такой. Вы имеете в виду обозначение операции возведения числа в квадрат? Маленькая двоечка справа вверху от числа? Да, чёрт с ним - с обозначением. Мы можем договориться, что возведение числа в квадрат обозначается маленькой (или даже - большой) дулей возле числа. От этого два в квадрате не перестанет быть равным четырём.
Мало того, если вам не нравится операция возведение в квадрат и извлечение квадратного корня, то... от нашего стола - вашему, пожалуйста, милости просим - забудем о квадратах и корнях! Будем эту фигню называть так: умножением числа на само себя, а извлечение корня - поиском того себя, которое было умножено на само себя.
Поэтому в нашем натуральном ряду есть числа которые отвечают (или не отвечают) на такой вопрос: существует для данного числа другое число, которое будучи умноженное на само себя станет равным данному числу или такого числа нет? Если есть, назовём такое число Васей, а если нет - Петей.
Итак, забыли об операции возведение в квадрат и извлечение корня. В приведённом в данной теме диалоге теперь надо заменить словосочетание "квадраты чисел" на "Васины числа", а "неквадраты" - на "Петины числа".
Тогда претензий не будет? Ясное дело - не будет! Ведь это ж совсем иной коленкор! Да?
Спокус Халепний, 17 Октябрь, 2017 - 08:49, ссылка
А при том.
Вы взяли два разных множества ( "множество натуральных чисел" и "множество квадратов натуральных чисел" ) и описали их так , будто бы они одинаковы-тождественны используя количество.
Не одинаковы и не тождественны.
Признаком, по которому числа входят в первое множество , является "их происхождение : получение их простым счётом: 1,2,3... и т.д.". Правильно?
Признаком, по которому числа входят во второе множество, является "их происхождение, через возведение в квадрат натурального числа : 1*1, 2*2, 3*3 ... и т.д.". Правильно?
А теперь сравним эти два множество на предмет совпадений.
1? 2? 3? Опаньки! Число 3 во второе множество не попадает, ибо не имеет определяющего принадлежность к этому множеству признака, а именно: число 3 не получено путём возведением в квадрат натурального числа!
Иными словами , если натуральное число по происхождению не является квадратом какого-то натурального числа. то оно не является членом второго множества.
Т.е. два ваших множества не тождественны по членам. Они РАЗНЫЕ!
Второе множество , количественно, будет меньше первого множества на количество натуральных чисел из которых нельзя извлечь корень (получив при этом натуральное число), те. на количество тех натуральных чисел, которые квадратами не являются.
Теперь понятно, что я имел в в иду под словами "обозначение квадрата"?
А теперь находим, где Вы лёгким движением руки ... .
Количество чисел в первом множестве можно назвать словами «все числа»
Количество чисел во втором множестве тоже можно назвать словами «все числа».
А совпадают ли эти количества? Цифра, обозначающая эти «все числа», и там, и там одна и та же? Нет , разные.
Это и есть место подмены!
Место, в котором два разных множества вдруг стали выглядеть как одинаковые-тождественные.
Фраза "все натуральные числа можно возвести в квадрат" не тождественна фразе
"все натуральные числа есть квадраты, т.е. являются квадратами других натуральных чисел".
Есть в информационном поле России Кургинян, Осипов и Дугин. Они разные, но они в совершенстве владеют "искусством" вот таких подмен (отождествления разного) в словесных перепалках с оппонентами. К сожалению, большинство моих знакомых не обнаруживают их ., ни с первого раза. ни ...с десятого. Когда им доказываешь, что подмена есть, то они отмахиваются - "это не существенно".
А именно в таких подменах и есть суть нарушения логического построения. Пропагандисты на этом и выстраивают свои ....
Во-первых, выражение "одинаково-тождественны" из какой-то другой оперы - не математической.
Во-вторых, в диалоге между ЧМ и НП ни одинаковость, ни тождественность не встречается.
В третьих, ни я, ни ЧМ, ни НП не рассматривали два разных множества. Мало того, их диалог (под другими, правда, именами) происходил, когда само понятие множество не было облечено в мундир генералиссимуса. Оно в то галилеевское время использовалось так же, как сейчас бабушки на базаре говорят о множестве появившихся грибов в лесу после последних дождей.
В четвёртых, если мы перейдём на более точное (совремённое) словоупотреление, то в задаче рассматривается ТОЛЬКО одно множество, а именно - множество натуральных чисел. И вот в этом множестве можно выделить чёрт знает сколько подмножеств. Задавай только признаки выделения - и ешь до несхочу [укр.]. Например, всё множество натуральных чисел состоит из двух подмножеств - чётных и нечётных чисел. Или, например, всё это множество состоит из чисел делящихся на 5 без остатка, и не делящихся. И т.д. и т.п.
В пятых, согласно п.3 диалога, множество натуральных чисел можно представить в виде двух подмножеств: чисел, которые являются квадратами других чисел и неквадратов (которые не являются квадратами других чисел). Такое представление по сути ничем не отличается от вышеприведенного разбиения на числа делящихся на 5 и неделящихся без остатка на пять.
В шестых, так как каждое натуральное число можно возвести в квадрат, то квадратов будет столько же, сколько натуральных чисел. Или надо опровергнуть слово "каждое", которое означает "все".
В седьмых... может, пока хватит? Не?
Спокус Халепний, 19 Октябрь, 2017 - 09:03, ссылка
1. Задачу можно решать любым способом. Я её решал на основе своих знаний-опыта и пр.
2. "в задаче рассматривается ТОЛЬКО одно множество, а именно - множество натуральных чисел. И вот в этом множестве можно выделить чёрт знает сколько подмножеств. Задавай только признаки выделения - и ешь до несхочу"
Совершенно верно. Как верно и то, что любое из этих подмножеств не может быть равно множеству. Я эти признаки и разобрал.
3. "В шестых, так как каждое натуральное число можно возвести в квадрат, то квадратов будет столько же, сколько натуральных чисел.Или надо опровергнуть слово "каждое", которое означает "все". Это казуистика. Я на это и указал. Не будет столько же .
Задача выглядит как противоречие по причине того, что не все параметры заданы. Нет конечности, границ, в которых задача решается.
Так как одна из границ бесконечно отодвигается, то создаётся видимость одинаковости количества натуральных чисел и квадратов , полученных из них.
Можно и иначе задать вопрос: в какой момент времени эти два множества сравниваются?
Таких задач можно придумать сколько угодно.
Возьмём точку А. Проведём из неё луч в любом направлении. Выберем на этом луче точку (обозначим её точка В) и проведём из неё луч в том же направлении, что и луч из точки А.
Они одинаковы по длине? Это два луча. Бесконечные. Они одинаковы по длине?
Так и в вашей задаче.
Эта задача из разряда "что появилось раньше яйцо или курица", которая на первый взгляд мудра и нерешаема, а при внимательном рассмотрении оказывается очень простой в решении: надо лишь чётко определить параметры того, что считать яйцом, а что считать курицей? И видимость неразрешимости этой задачи в том, что в решенеи вмешивается наше представление о "других" курицах и яйцах.
Вся затеянная мною кухня служит только одной цели - разбору намного более общего вопроса, чем дан в примере диалога. А именно.
Со времён Аристотеля и Евклида учёные не совались в бесконечность. Она признавалась как нечто непознанное, неосязаемое - такое, о котором мы не можем иметь обоснованных суждений. Галилей, вслед за недоумками (Аристотелем и Евклидом) тоже считал, что внятных утверждений относительно бесконечного делать не следует.
Поэтому он был на той точке зрения, по которой количество квадратов и неквадратов больше, чем количество одних только квадратов. Он, дурашлёп, думал, что часть меньше целого.
Но тут на горизонте появился двадцатый век! Кантор подготовил к этому празднованию изумительную теорию множеств, на базе которой (с некоторыми усовершенствованиями) построена ВСЯ(!!!) СОВРЕМЁННАЯ МАТЕМАТИКА!
Так вот, согласно теории множеств, количество квадратов и неквадратов НЕ БОЛЬШЕ, чем одних только квадратов. Другими словами, часть - не меньше целого!
Итак, мы имеем: Аристотель - в говне, Евклид - в говне,... и тут Кантор выходит на сцену в белом фраке.
Спокус Халепний, 19 Октябрь, 2017 - 10:23, ссылка
Понимаю.
Дело вот в чём. Математика это описание , средство для ... . Любое описание не совпадает с описываемым. Отсюда, "неровности".
Вот бесконечность это такая неровность.
И описанное Вами тоже "неровность".
Вот ложка, предмет для поедания пищи. Но , если суп ею удобно поедать, то длинные макароны - не очень (вилка лучше).
Становится ли от этого ложка хуже? нет, не становится.
Становится ли современная математика от описанного Вами хуже?
Ну-у-, вряд ли.
Вот яблоко описывается математикой как 1 и 1+0.
Что лучше передаёт смысл яблока?
Да, и то, и другое. Использовать это надо как удобнее , вот и всё.
Когда-то удобнее описывать как 1, когда-то как 1+0.
По-мне, так чем больше возможностей, тем лучше.
То, что при этом некоторые будут путаться - их проблема, пусть научаются.
Специалисты от этого, на мой взгляд, только выигрывают.
Иными словами: Вы пеняете писанию на то, что оно с искажением описывает действительность.
На мой взгляд, это не вина описания, а издержки.
Горевать от этого смысла нет, просто о них нужно помнить .
+1
Из прочитанной мне утешительной лекции я сделал вывод, что разработанные концепции (теории) не следует исследовать на их херовость. Пусть живут, как вилка наравне с ложкой.
Главное, что я с этим согласен... если бы не одно обстоятельство. Оно хорошо описано у Я.Гашека. Когда бравого солдата Швейка поместили в сумасшедший дом, то среди тамошних пациентов был один такой, который выдавал себя одновремённо за двух святых - Кирилла и Мефодия. Нюанс состоял в том, что он при этом требовал двойную порцию.
Так вот, я не против, если некоторые математики уверены, что часть бывает больше целого. На здоровье! Всё дело в том, что ИМЕННО ЭТИ математики будут принимать экзамены у наших детей и внуков.
Спокус Халепний, 19 Октябрь, 2017 - 11:07, ссылка
Не-не-не. Во-первых, это просто мысли вслух, путсь и наивные и простые. И это для себя в первую очередь. А никакая не лекция.
Во-вторых, всё наоборот, все изъяны теорий должны быть широко изучены и известны. Дабы новые теории их не имели. И подумать над ними очень даже стоит и полезно любому.
Я просто сказал, что наличие изъянов не делает что-то совсем негодным.
Поиск нового никогда не должен останавливаться.
Когда -то я был школьным учителем. Я знаю, что это такое изнутри.:) Болото ещё то.:) Но разве это от прорех в математике? Или ещё в какой научной теории, методике и прочем? Нет, это от умственных способностей и их развития у конкретных людей.
И Вы про это отлично осведомлены. Так везде, где есть человек. Да, мы, люди, глупы и малоразвиты. Могли бы быть и получше. Но математика здесь при чём?
Она же развивается. И будет развиваться. и новое будет лучше сегодняшнего. Пусть мы этого и не узнаем.
И ещё. Спасибо за эту тему. Освежающая. На фоне магии-теологии-"я так считаю, а ты дурак" - и пр. :)
Из всевозможных целых чисел - натуральные , которые оказалися квадратами - "законно" не принадлежат к половине, состоящей из "сделанных" квадратов...
Образно говоря:
натуральная четвёрка - образуется из четырёх натуральных единиц, а в четвёрке, представляющей собой возведённую в квадрат двойку - кроме двух натуральных единиц можно усмотреть ещё пять комбинаций, одна из которых - совсем ненатуральная, а остальные - полунатуральные гибриды...
с отображением бесконечных множеств можно настрогать бесконечное число "парадоксов", но они конечно никакими парадоксами не являются и тем более "грязным" типом рассуждений. Произрастает "парадокс" из незнания автором темы определения мощности множества
Вы считаете, что в данном диалоге нет никакого противоречия. Ответ принят. Но хотелось бы, услышать короткий окончательный ответ на такой вот вопрос: количество квадратов и неквадратов в совокупности представляют ли собой все натуральные числа? Да или нет?
Вадим Владимирович,
Да. Это не противоречие, а антиномия или апория. То есть, вовсе не ошибочное умозаключение, а очередная после Зенона демонстрация принципиальной разницы между непрерывной цельностью бытия и рваной дискретностью мышления, точнее - между чувственным представлением и рассудочным понятием.
Георг Кантор тем и знаменит, что разрешил это кажущееся противоречие, введя понятие мощности бесконечного множества. В данном случае множество квадратов и множество их оснований одинаково бесконечны, но первая бесконечность обладает свойством меньшей мощности относительно мощности второй бесконечности.
Если остановить время либо ограничить пространство как это делает мышление, то количество квадратов окажется меньше количества оснований. Но отделить мышление от чувства времени и пространства невозможно. Их природа неразрывна, по отдельности они не работают. И хотя особо чувствительные натуры внушают нам такую иллюзию, вы пожалуйста не поддавайтесь.
Как только я прочту вашу поэму о "непрерывной цельности бытия"... хотя,.. у таких неучей как я, хрустальной мечтой является освоение (хотя бы приблизительно) одного только понятия "бытиё". А уж потом , думаю, всё пойдёт, как по маслу: и непрерывность целостности, и дискретность мышления, и возникновение чувства рассудочного мышления...
И тогда, думается, с вашей (и божьей) помощью мы сможем ответить на ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ вопрос: количество квадратов и неквадратов столько же, сколько натуральных чисел или больше/меньше?
Я конечно понимаю, что без лейблы "бытиё" за такие вопросы в приличном философском обществе бьют по морде. Но меня спасает виртуальность.
Ладно. Попробую ещё раз без непонятной вам метафизики, одной - надеюсь, понятной - логикой.
Бесконечность предполагает отсутствие количества как такового, потому что бесконечность, как легко догадаться, не имеет конца; а количество имеет, оно само этот конец. Закон тождества запрещает одно и то же полагать имеющим конец и не имеющим конца одновременно. Таким образом, оценивая бесконечность количеством, вы нарушаете закон тождества.
Уточните пожалуйста, где это количество?
попугаяхсловах будет больше на два слова: "в" и "квадрате".Выбирайте.
Во-первых, когда вы говорите, что я "оценивая бесконечность количеством", нарушаю закон тождества, то становится обидно: чуть-что - сразу Косой!
Ведь понятие мощность множества, которое (понятие) как раз и служит для количественной оценки бесконечных множеств, ввёл не я (Косой), а Кантор.
Во-вторых, чтобы вам служба не казалась мёдом, намотайте себе на ус (чтобы по усам текло...): бесконечность имеет конец (в смысле - границу)... согласно совремённой теории множеств. Звучит, конечно, бесподобно! Особенно на вопрос из зала лектору-математику: приведите, plz, пример того, что имеет границу? И лектор без запинки: бесконечность.
Если вы думаете, что я утрирую, то подумайте в зад. Чтобы вы не рыпались, придётся мне сказть вам ещё одну гадость. Согласно совремённой теории множеств бесконечность вполне может иметь... и две границы! По своим краям! Короче, если есть концы - считай попал точно на бесконечность :) Не шучу! Это согласно совремённой теории множеств. Например доказывается, что на отрезке числорвой прямой С ГРАНИЦАМИ от нуля до единицы содержится бесконечное количество действительных чисел. Причём такая бесконечность, которая натуральному ряду и не снилась. Мощность этого бесконечного множества действительных чисел больше мощности множества натуральных чисел. Эта бесконечность находится в границах между единицей и двойкой (или между 0 и 1, впрочем, как и между двумя и двумя с половиной...).
Единственную кость, которую я вам могу бросить от лица чистейших математиков мира... это то, что ЗА ГРАНИЦЕЙ участка от 1 до 2, количество действительных чисел такое же, как и внутри участка. В смысле, мощности будут одинаковы. Итак, мы вступили в 21-й век, когда любому ежу должно быть ясно, что часть - вполне может быть больше целого. Радует то, что тех, кто с этим не согласен, всё же ещё на костре не сжигают. Но праздновать пока рано.
Валим Владимирович,
Во-первых, извините за "вы". Это было не в смысле "Вы один такой на свете", а в смысле "все мы, кроме некоторых типа Кантора и примкнувших к нему". Вы пали жертвой моей часто порицаемой краткости.
Во-вторых, бесконечность не имеет конца, но не начала. Она же не безначальность, правда? В вашем примере начало бесконечности действительных чисел "находится в границах между единицей и двойкой", а конца в глубине этого диапазона нет.
Да, для бесконечного количества натуральных чисел есть одна граница. Но для других видов бесконечности может быть - две и более. Количество точек в площади квадрата (со стороной единица) - бесконечно. Причём, столько же (согласно теории множеств) сколько и на одной его стороне. Опять же выходит, что часть - не меньше целого.
Но если вам этого мало (: ненасытный вы наш :), то придётся пригвоздить вас к стенке окончательно. В совремённой чистой математике (кристально чистой) доказывается, что если в шаре выделить несколько частей (объёмов)... ну, при помощи бензопилы :) то из полученных кусков можно составить два шара.
Вы скажите: ну и что? Но черти водятся, как известно, в детальках. Оказывается, можно составить два шара, каждый из которых по объёму равен тому, который разрезали.
Если вы в этом распятом состоянии поднимите крик, то у меня в запасе есть ещё и кляп... полученный на халяву из рук чистых математиков.
Нельзя, и вы это знаете. Можно вообразить, представить, выразить математически, придумать такую теорию, написать двухтомный фантастический роман, наконец. Но в действительности нельзя, законы сохранения не позволяют.
Этим и отличается непонятная вам метафизика от физики. Первая - описание наших представлений, вторая - описание мира. Чувственные представления описывает мышление, способное абстрагироваться от чувственных пространства и времени; у него есть такая функция наряду со сравнением и рефлексией. Но мир от этого нисколько не меняется. Он от ментальных функций не зависит. К большому сожалению.
То что, разрезав шар на некоторые части можно сложить два шара, каждый из которых будет по объёму равный разрезанному, ДОКАЗАНО в совремённой математике выстроенной на основе совремённого набора математических аксиом.
Весь этот бред о чувственных и духовных метафизических представлениях, при которых сумасшедшие ходят с поднятой головой, утверждая, что часть больше целого, не вызывает у меня чувства зависти. Кроме одного нюанса. Это когда они хотят, чтобы за их гениальность с меня брали налоги на их кормёжку.
Ну так за чем дело стало? Купите маленький глобус, склейте из него большой и продайте втридорога. Это я не вам, а им.
Для начало выразите свою мысль более точно - "количество квадратов и неквадратов в совокупности представляют ли собой все натуральные числа? "
Сообщите, что означает слово "количество" в этом предложении ?
Отлично! Приятно, что понятие ВСЕ [натуральные числа] не вызвало у вас вопроса. Это оказалось для вас открытой книгой. Проблема случилась с понятием КОЛИЧЕСТВО [разных там натуральных чисел]. Я вас понимаю! Когда я был в первом классе, то у нас тоже иногда не хватало пакетиков с палочками для пересчёта различных количеств. Эра дефицита, что поделаешь!
Итак, для начала повторю вопрос в упрощённом виде:
Количество квадратов и неквадратов (в совокупности) на отрезке от единицы до миллиона равно ли всем натуральным числам на том же отрезке?
И чтобы третий раз не бегать за выпивкой, заодно ответьте на другой вопрос:
На этом же отрезке (от единицы до миллиона) каких чисел больше - квадратов или неквадратов?
да
не считал, но думаю что неквадратов больше
если вам не трудна, не задавайте больше подобных вопросов
Если мы возьмём небольшой отрезок, например, от 1 до 36, то количество квадратов там будет 1,4,9,16,25, 36 - 6 штук ровно. А количество неквадратов - 30. Всего чисел - 36
На отрезке от 1 до 64 количество квадратов будет 1,4,9,16,25,36,49,64 т.е. 8. Неквадратов будет 56. Количество чисел - 64.
На отрезке от 1 до 256 количество квадратов будет 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256 - всего 16, а неквадратов будет 240. Количество чисел - 256.
И т.д.
Заметьте, что чем больший диапазон чисел мы рассматриваем, тем меньшую долю составляет количество квадратов. В первом случае доля была 1/6 от общего количества. Во втором случае - 1/8. В третьем - 1/16. И т.д.
Другими словами, чем больший диапазон чисел мы выбираем, тем больше ("с ускорением") растёт отставание количества квадратов от количества неквадратов.
Согласно Кантору, мощности множества натуральных чисел и множества их квадратов - одинаковые.
Вот я и спрашиваю. Совершенно очевидно (см.три вышеприведенных примера) , что чем ближе к бесконечности, тем разрыв между количеством всех чисел и количеством квадратов, будет возрастать (причём, не линейно, а ускоряясь). И вот этот процесс "ускоренного количественного разрыва" когда-нибудь потом (согласно Кантору) должен прекратиться и пойти вспять... чтобы когда-нибудь мощности уравнялись.
Итак, я не прошу вас (и Кантора) сказать на каком отрезке числовой прямой произойдёт уравнение мощностей. Я хочу от вас (и Кантора) услышать хотя бы слабый намёк на какой-нибудь (самый жалкий) математический закон, по которому разрыв перестанет увеличиваться и начнёт уменьшаться.
Ещё раз повторю. Мне не нужна "точка преломления". Просто подмигните глазом, когда будете словесно, грубо, без какой-либо точности в формулировках описывать словами русского языка внешний вид математической формулы, которая заставит хотя бы остановить процесс увеличения разрыва между количеством квадратов и количеством чисел. Копеечная просьба!
пока писали о возрастании разницы я вас относительно понимал Дальше вы перешли к некоему "торможениу отставания" и это уже непонятно каким боком приплетено и откуда. Мощности двух множеств равны, но отсюда не вытекает никакого "сравнивания" их количества, посколько количество в обоих случаях бесконечно и "сравниваться" между собой не обязаны.
В общем завязывайте с ниграмма несмешным троллиногом гуманитариев
Хорошо, попробую другими словами.
Вы согласились с тем, что (как показано было с помощью трёх примеров) чем больший диапазон натуральных чисел (от 1 и дальше) мы рассматриваем, тем больше становится разрыв между количеством квадратов и неквадратов. А они вместе как раз и составляют все натуральные числа в диапазоне. Причем, разрыв этот возрастает не линейно, а прогрессивно с ростом рассматриваемого диапазона.
Если бы мы рассматривали не квадраты с неквадратами, а таким же образом, например, сотую степень, то картина была бы ещё нагляднее уже на первых десятках чисел возведённых в сотую степень. Хотя по Кантору мощности подобных множеств тоже были бы равными. Но не в этом суть. Это просто для наглядности, ведь десять в сотой степени это уже будет побольше, чем количество атомов в видимой части Вселенной.
Главный вопрос в другом - вы (с Кантором) утверждаете, что несмотря на сверх-прогрессивное увеличение разрыва с ростом числа "наблюдаемых" натуральных чисел, мощности станут равными, так сказать - по достижению бесконечности. Получается, что чем больше подмножества не равны по количеству своих элементов, тем (по Кантору) сильнее тяга... к равенству мощностей. Но дело обстоит ещё смешнее. Ведь на этих бесконечностях САМ РАЗРЫВ становится бесконечно большим. И тогда выходит, что бесконечно неравные (по количеству элементов) подмножества всё равно будут равны по своим мощностям. И это в то время, когда САМО ПОНЯТИЕ мощность характеризует именно количество элементов в множестве (по тому же Кантору)... или по Оруэлу: мир - это война; свобода - это рабство...
- ржунимагу...
Вам ли не знать, что у гуманитариев троллинг - норма жизни, а этот дяденька не иначе как завидует им по-чёрному...
Дурака валям? Каждое натуральное число можно возвести в квадрат , но не всякий корень из натурального числа будет натуральным числом.
И для общего развития, признаком бесконечного множества, как раз и является возможность отображения его на собственное подмножество. То есть ряд натуральных чисел бесконечен как раз потому, что каждому натуральному числу можно сопоставить его квадрат, который так же принадлежит этому ряду.
И ещё, потенциальность и актуальность бесконечности в математики (аксиоматике теории чисел) специально не оговаривается, то есть никто их не различает (за ненадобностью).
Спасибо. О параллельности "мышлений"
Сколько "голов", столько и "рядов".
Тогда, ваше "каждому натуральному числу можно сопоставить его квадрат"
будет читаться так:
каждому ряду натуральных чисел можно сопоставить ряд их квадратов
Вы правы. Конечно же не всякий корень! Там имелось в виду квадратный корень. Ну, потому что число возводили в квадрат, а потом из него извлекали корень. И из-за свойственной мне лени я не уточнял, что речь не идёт о кубических корнях или (и того хуже) - иррациональных. Думал, что из контекста и так ясно.
Когда жена мне докладывает, что она ВСЁ сделала, я обязательно спрашиваю: ВООБЩЕ ВСЁ ?
Одно дело - говорить о числах, и совсем другое - об их количестве...,))
Размер сапога это свойство сапога. Количество чисел это свойство чисел? Другими словами четность числа это его свойство? Или это свойство его (числа) "изображения"? Ведь пока мы не измерили (не посчитали), у числа не было такого свойства как четность. Да и было ли число баранов, пока я этих баранов не сосчитал?
Я думаю, что главным противоречивым словом у Галилея является слово "натуральное"...,))
Хотя каждое натуральное число можно возвести в квадрат, но путем возведения в квадрат каждого натурального числа, нельзя получить все натуральные числа.
Если каждое натуральное число умножить на 1 000 000, то неожиданно окажется, что количество натуральных чисел будет равно количеству чисел, полученных путем умножения каждого натурального числа на 1 000 000, ведь если все числа, полученные в результате умножения каждого натурального числа на 1 000 000, разделить на 1 000 000, то получим те же самые все натуральные числа.
Если одна бесконечность является частью другой бесконечности, то какая из двух бесконечностей более бесконечна ?...,))
Ну да, всё дело в "операции", если умножение на миллион линейно, то возведение в квадрат нет, меняется как множимое, так и множитель. Ну и конечно же виноват Галилей, обозвать ряд чисел словом это наипервейшая операция, то есть "как вы лодку назовёте, так она и поплывёт". Но может ли быть одна бесконечность частью другой? То есть ряд натуральных чисел это всё же не сама бесконечность, а её модель. Оригинал скорее всего никто не видел. Хотя могу и ошибаться, ведь сам Шуранов Б.М. легко оперирует забесконечностью, эдак уровень шесть-семь для него пустяк.
Когда каждое натуральное число возводится в квадрат, то в квадрат возводятся ВСЕ натуральные, а числа, полученные от возведения в квадрат каждого натурального числа представляют лишь ЧАСТЬ натуральных чисел.
То же самое и умножением на 1 000 000. В результате умножения каждого натурального числа на 1 000 000, из множества ВСЕХ натуральных чисел, исключаются все натуральные числа, которые меньше 1 000 000.
Чтобы не допускать возникновения подобных "парадоксов", нужно говорить не о количествах, которые не имеют количества, а о множествах и подмножествах...,))
А как быть с простыми числами? Их тоже в конце всё меньше и меньше, и пофиг все умножения и возведения. И простых чисел так же очень много, бесконечно много, ну примерно столько же, сколько и натуральных.
А каких больше ?...,))
Да кто бы знал... Надо на досуге сбегать посмотреть...
А может такие категории как "больше" и "меньше" к подобным множествам просто неприменимы ?
Не плохо было бы это доказать. Ведь Спокус применяет. Опять же по тому что здесь, а не там. Вот и требуется доказать почему применимое здесь, не работает там.
Применяют чаще всего для того, чтобы манипулировать теми, кто не понимает, что ими манипулируют...,))
То есть традиционная логика по Вашему инструмент манипулирования? А Кантор не великий математик, а первый проходимец? Он может быть и сумасшедший, но ведь его никто пока не опроверг, в смысле логика безупречна.
Какую логику Вы имеете в виду, когда пишете "традиционная логика" ?
Я считаю, что есть только одна логика - "формальная".
В данном случае ту, по которой шпарит Спокус.
Там, где речь идет о бесконечных или неопределённых величинах, логика, как инструмент, применяется иначе.
И ещё. Если вопрос задан логически неверно, то логически верного ответа на такой вопрос не существует.
Я уже писал, что в данном случае натуральные числа и квадраты натуральных чисел нужно рассматривать не в количественном отношении, как что-то, что может быть больше, меньше или равно по сравнению с тем, с чем сравнивается, а как множества и подмножества, то есть совсем в других категориях. Если одни множества входят в другие в качестве подмножеств, то те множества, которые включают в себя другие множества в качестве подмножеств, являются для них объемлющими.
На ряду с этим ничто не мешает пользовать логику в виде множество - элемент множества. Здесь уже виден некий конструктивизм.
Просто заменить одни слова на другие ("количество" на "множество") ещё недостаточно для полного счастья. Нужна база. Аксиоматическая база.
Кантор как раз и построил такую аксиоматику.
Теперь вопрос в лоб. Имеет ли право математическая аксиоматика (система аксиом) игнорировать закон противоречия или закон тождества. Имеются в виду законы именно Аристотеля (не путать с нашим М.П._Грачёвым) ?
1. Вы считаете, что "количество" и "количественное" - это об одном и том же ?
2. Если "множество" есть то же что и "количество", то множество, которое можно условно назвать "X" одновременно является и количеством "X" ?
Разве "множество" говорит не о том, что чего - то МНОГО, а "количество" о том, что чего-то не просто много, а этого чего-то имеется в определённом "количестве" ?
3. Если Вы пытаетесь говорить о математической аксиоматике, то хотя бы попытайтесь уточнить об аксиоматике какой математики вы пытаетесь говорить...,))
А ведь вопрос (в лоб) был ясный и чёткий:
В отличие от ответа:
Разве можно хоть что-то понять и того, что вы привели в качестве доказательства ясности и чёткости ?
Лично мне совсем не понятно что именно Спокус хотел сказать тем, что привёл в качестве доказательства, или в виде обоснования, и что предложил рассматривать как нечто ясное и чёткое.
Если Вы пишете, что Кантор как раз и построил ТАКУЮ аксиоматику, то, видимо, это нужно понимать, что Кантор построил аксиоматику, которую назвал гордым словом "ТАКАЯ".
Может пора начать "соблюдать чистоту" ?...,))
Я лишь напомнил, что сейчас речь у нас идёт об аксиоматике выстроенной Кантором. Не очень принципиально в данном случае, что канторовская аксиоматика была немного уточнена и дополнена Цермелло, Расселом, Фреге, Гильбертом, Тарским... Главный "скачок в незнаемое" был произведён всё же Кантором. [В данном случае игра слов (в банальном выражении "скачок в незнаемое") - это попытка вывести это выражение из разряда банальностей, потому что трудно себе представить что может быть более незнаемым, чем бесконечность. :) ]
Напомнил о канторовской потому, что вы указали на "множества и подмножества" вроде как на заменители слова "количество" в выстроенном контексте темы.
Итак, под ясным и чётким я подразумеваю тот неоспоримый факт, что именно Кантор сформировал аксиоматику новой математики. Она вся теперь построена на теории множеств. Но самое главное - базовые аксиомы включают не просто аксиомы о множествах, а аксиомы о бесконечных множествах. Ещё главнее - это то, что НАРАВНЕ в аксиоматической базе фигурируют аксиомы о конечных и бесконечных множествах.
Эту мысль (о том, что Кантор был автором новой аксиоматики) я доказываать собирался, а просто спросил: позволительно ли в новой математике НЕ соблюдать законы тождества и противоречия, которые сформулировал Аристотель. Мне кажется, что это вполне себе философский вопрос.
А Вы работу Зенкина А.А. «ТРАНСФИНИТНЫЙ РАЙ ГЕОРГА КАНТОРА:БИБЛЕЙСКИЕ СЮЖЕТЫ НА ПОРОГЕ АПОКАЛИПСИСА» читали? Там всего-то 31 страница и язык очень простой.
Именно эту статью я в данной дискуссии и пользую. Но не надо забывать, что статья написана для молодых студентов, в занимательном стиле и с тонким юмором. В этой статье Зенкин хоть и критикует Кантора, но не опровергает. Кто то принимает диагональный метод Кантора как доказательство теоремы Кантора, кто то нет, теореме от этого ни жарко ни холодно. Или я чего не понимаю?... Те же америкосы могли бы послать всех "чистых математиков", но на всякий случай бабло вбухивают, вдруг и правда чего то получится, ну что бы шибко не отстать от наших "чистых математиков". Или вот ещё из той же серии:"После того как его теория стала объектом критики, Хью Эверетт оставил мир теоретической физики, погрузившись в сверхсекретные исследования в военной области и личную жизнь, полную драматизма". А после таких "шуточек" в виде МНОЖECTBEHНОСТИ МИРОВ ХЬЮ ЭВЕРЕТТА, появляется множество америкосных пукалок вблизи границ моей страны.
Это как Вас понимать? Зенкин, если мне память не изменяет, не критикует, а опровергает доказательство теоремы Кантора. Так что же это за теорема, если она становится недоказанной? Как ей можно пользоваться? По-моему, Зенкин именно об этом в той работе и пишет, постоянно апеллируя к комиссии по борьбе с лженаукой.
То есть недоказанная теорема по Вашему не имеет право на существование?
Именно по поводу ДМК (диагональный метод Кантора) Зенкин и юморит. Но логика этого метода вполне математически законна, то есть неопровержима, хотя и достойна критики в виде парадокса ГО (Гранд Отель).
То есть, как я понимаю, теорема в том, что множество действительных чисел несчетное (сосчитать действительные числа нельзя). Интуитивно понятно, доказать невозможно (по Зенкину). Существует дказательство Кантора (ДМК), но оно ближе к практике, и аналитической формулы не имеет, так как при каждой итерации даёт одно единственное неучтённое число. Это примерно как если бы для утверждения "за углом растёт дерево" придумать аналитическую формулу. То есть сбегали раз - точно растёт, другой раз - растёт, и т.д. до посинения и всегда растёт. Отсюда говорим истина = "за углом растёт дерево". Но пользоваться этой истиной нельзя, это не теорема Пифагора, придётся каждый раз бегать за угол, прежде чем пользоваться такой "истиной", поскольку возможен случай, когда дерева за углом неокажется, даже секвойя иногда падает, как утверждает Спокус.
То есть Кантор великий математик. Вот так и следует меня понимать. А Вас как понимать?
В ваших сибирях и за угол бегать не надо. Куда ни глянь - везде истина.
Что касается деревьев, то да. Но и здесь встречаются "дикие лесорубы".
А ведь Зенкин предупреждает открытым текстом, мол ребята, если у вас отсутствует чувство юмора, то лучше мою статью не читайте. В этой статье Зенкин лишь обозначил проблему в современной математике. Да и в обществе, это касается "комиссии по борьбе с лженауками".
Имеет, но именно как недоказанная.
И строить на её основе кучу других "теорем", на которые в своей статье указывает Зенкин, по-моему, довольно странно. Хотя, наверное, на то она и математика, чтобы плодить абстракции, которые простым смертным уже просто недоступны. Как, например, доказательство Перельманом теоремы Пуанкаре, которое, доказательство, реально никто и проверить-то не может, даже среди математиков.
Это как с Марксом и марксистами. Сам Маркс, например, в письмах В.Засулич определил ареал применимости "моей мнимой теории", а вот марксисты раздули гипотезу Маркса, явно далёкую от завершённой теории, до "единственно верного учения".
Так и тут по-моему что-то подобное наблюдается.
Кажется мы говорим об одном и том же. Математика достигла своего предела возможностей, дальше работает другая логика, например, метафизическая, как предлагает Сергей Борчиков. Либо Булева, куда и клонит Спокус, а это уже не логика чисел, а нечто другое, булевы константы дружат с Аристотелем, в отличии от математического ожидания в теории вероятности. Есть ещё награмождения Б.М.Шуранова, или теория Суперструн, но это уже для шибко одарённых, как Вы говорите, не для простых смертных... В общем пропасть между теорией и практикой ширится и процветает, и винить в этом Кантора как то неуместно. Может быть происходит почкование и кучкование? Похоже на деление клетки, вид изнутри... Простые смертные метят в академики, академики убирают урожай на полях, а посередине биткоин, сплав ума и бабла, как говорит Андреев.
Побойтесь бога! Булева логика - это формальный инструмент, который вступает в действие, когда все противоречия в постановке задачи уже устранены. А если окажется, что не все, то булевые операции будут работать с абсурдом и выдавать на-гора абсурд в качестве решения точно также, как и арифметика, которую могут заставить складывать видимое количество звёзд с медведями под Иркутском.
Как всегда на всё готовенькое? А кто дерьмо разгребать будет? Типа космос (порядок) творить дело не царское...
Метафизическая - для метафизиков, а у каждого метафизика она, по-моему, своя.
А с математикой, видимо, работать будет уже искусственный интеллект (ИИ), презрительно насмехаясь над нами, людьми.))
Увы, в этом я ничего не понимаю.((
Да, полный отрыв от реальности при жонглировании абстракциями.
Одного Кантора винить конечно нельзя. Он, видимо, просто вслед за Зеноном показал абсурдность безразмерности точки и всех "производных" от неё: прямой, плоскости и пр.
Как Вы себе это представляете для безразмерности?
Не знаю. По-моему, биткойн и др. криптовалюты - это просто попытки увязать информационные технологии с технологиями классическими, как там электроэнергией, "железом" и пр., придав этим валютам вид обеспеченности какой-то реальной стоимостью. Судя по волатильности того же биткоина, эти попытки пока не очень удачные. Но сами по себе эти технологии, понятное дело, будут взяты на вооружение государствами и межгосударственными финансовыми системами.
Да это так, фантазии вслух... Как то у меня саженец помидорный сломался, я верхушку воткнул в стаканчик с землёй, у корня вырос новый отросток/стебель, а у стебля новый корень. Чудеса да и только, прямо как непрерывность с бесконечностью, друг без друга не живут.
Не знаю, чудо ли это. Многие растения так "размножаются". Мы тоже на своих дачах этот метод частенько применяем.
Не знаю, как там реальная (актуальная) непрерывность с бесконечностью, а в нашем проявленном мире относительности, по-моему, любая непрерывность и бесконечность - не более, чем мыслимые понятия, в реальности складывающиеся именно из вполне себе конечных дискретных "вещей".
С помидорами понятно, дело в том, что в стае волков (или на зоне) та же фигня. Допустим собрали на одном острове олигархов, а на другом работяг. На том, где работяги появятся паханы, а на том, где олигархи, появятся шныри. В общем протокод в действии. Или в крови?...
Думаю, и там и там.
По-моему, есть две фундаментальные "силы": одна стремится любую часть достроить до целого как бы с нуля, а вторая - найти для части её место в неком уже существующем целом. Соответственно, эта часть или в центре "мира", или "каждый сверчок знай свой шесток".))
Можно я переформулирую вопрос?...
Бесконечное число "натуральных слонов", больше бесконечного числа "натуральных зайцев"?
(Типа слоны - они ж в натуре больше зайцев...
)
Никогда не подходил к напёрсточникам... Тут, похоже, просто путаница, иногда возникающая в голове у заумных...))
Сначала рассматривается ряд, в котором отмечают квадраты и неквадраты чисел. Мол, общая сумма тех и других больше чем отдельная сумма квадратов. Подчеркнём, это был ряд от единицы и далее... С числами мы ничего не делали, в ряду уже как бы были неквадраты и квадраты. Далее навешивается "лапша": все натуральные числа можно возвести в квадрат и каждое натуральное число могло бы быть корнем квадрата.
Итак, между первым и вторым противоречия нет. Они отдельны. И то верно и другое.
Наконец-то! Значит предварительную якобы дискуссию по вопросам выделения самостоятельных рядов я стираю, чтобы тема была обозримой. Теперь можно вести более-менее адекватный разговор.
Отлично! А то я уже боялся, что вы подозреваете, что я что-то подбросил в ряд натуральных чисел.
Но тут есть нюансик. Вы забыли в своём напёрстке одно словечко из диалога. Там было сказано (п.4): количество всех чисел вместе – квадратов и неквадратов – больше, чем одних только квадратов.
Вы забыли слово "всех". А вот теперь читаем классику "лапшизма" дальше:
То есть, слово "все" имеет разное значение в первом и во втором случае, хотя речь идёт об одном и том же - о всех натуральных числах.
И теперь, наконец, финальный аккорд:
Тут надо бы уточнить: или все натуральные числа - это не все натуральные числа. Или квадраты и неквадраты вместе - не есть все натуральные числа. Выбирайте на вкус.
Опять попался Спокус!)) На простой фразе "Они отдельны". Не имеют отношения друг к другу. Рассуждения о первом бессмысленны (уже сказано почему), о втором - имеют смысл. Например, с целью упростить уравнение умножаем или делим все члены на одну величину (число). Уравнение ничего не теряет. Так же можно возвести члены нашего ряда в квадрат, он ничего не теряет. Извлечём корни - вернёмся к исходному ряду. Можем сказать, что все натуральные числа данного ряда - извлечённые корни. Но это не так.
Психологи давно заметили, что заумные не обращают внимания на простые вещи, игнорируют в пылу увлечённости. Например, один такой нашёл, что с увеличением скорости переноса ход часов всё больше замедляется. Гений! На самом деле увёл физику куда Макар телят не гонял... Кто может поверить, что космонавт, вернувшись из путешествия к звёздам со скоростью света, оказывается намного моложе своего брата-близнеца, остававшегося на Земле? Тот у кого несмотря ни на что это укладывается в голове. Вот как у Вас)) Что демонстрируете:
Если в ряду есть неквадраты (собственно натуральные числа) и квадраты натуральных чисел. то из последних нужно извлечь корни... Скажем, корень из 9 - 3. Такое число уже есть среди неквадратов. Итого: 9 выпадает из ряда. Найдутся и другие выпадения. Вывод: перед нами не числовой (порядковый) ряд. А Вы его рассматриваете как порядковый, числовой... Опомнитесь, коллега!
О том Вам и толкую. Конечно, если признать, что в числовом ряду есть квадраты...
Продлим числовой ряд в противоположную сторону: 0, -1, -2, -3, - 4... и далее до бесконечности. Спрашивается, -4 квадрат? Нет. Почему +4 с противоположной стороны квадрат? С какой стати?
Числовой ряд можно продолжать бесконечно: "рулетка" которой можно замерить всякую численность. У неё неограниченные возможности в этом отношении, так как выстраивается по закону: к предыдущему числу прибавляется единица... И нет этому конца в нашем умозрении. "Рулетка" инструмент, но то что она замеряет существует по своим законам. Бесконечность рулетки не есть натурная бесконечность. Первая - дурная, как назвал Гегель. Он разделил понятия на конечные и бесконечные... К ним с "рулеткой" не сунешься.
Не понимаю выражения "собственно натуральные числа". В диалоге речь идёт о натуральных числах, и только о натуральных числах. Среди них есть чётные и остальные - нечётные, заканчивающиеся на единицу, и не заканчивающиеся на единицу. Есть те, которые являются числами Фибоначчи, и остальные - которые не являются числами Фибоначчи. Есть простые числа и остальные, которые не являются простыми. И т.д.
Так вот, среди натуральных чисел есть такие, которые являются квадратами других натуральных чисел, и остальные - которые не являются квадратами каких-либо других натуральных чисел.
Почему вдруг НУЖНО извлекать корни - не ясно. Вы ведь не требуете делить на два все четные числа только лишь из-за того, что они, суки, чётные. Чем они, бля, провинились перед вами! Живут себе среди натуральных чисел, горя не знают... и тут, вдруг, - вы: делитесь! А кто не хочет - в цугундер! Российский менталитет так и прёт!
Число и квадрат числа не одно и то же. Вот число 2, а вот квадрат числа 2: 2 во 2 степени, а не 4! 4 - число, занимающее своё место в ряду таких же (одностепенных) чисел. Кантор, конечно, гений, судя по созданной им путанице.
Буду знать теперь. Так сказать, век живи - век учись. Надеюсь, вы не потребуете плату за обучение.
То есть, два в квадрате не есть четыре? А 3+1 ?
Если вы определили некий ряд (в уме), то должны поделиться этим определением. Или научить меня читать ваши мысли на расстоянии.
Пока же, мы рассматриваем просто натуральные числа. Их число - бесконечно. Каждое из них обладает множеством свойств. Например число 4 является и суммой 3+1, и суммой 2+2, и, если с другого конца: 5-1 или 6-2. Можно указать и другие закономерности: оно (4) меньше 5 и больше 3. И вот таких закономерностей - тоже бесконечное число.
В частности, не вызывает сомнений, что любому натуральному числу можно поставить в соответствие другое натуральное число, которое является квадратом первого. Причём, ТОЛЬКО ОДНО! И наоборот - каждому такому квадрату соответствует его корень, и тоже - лишь один.
Таким образом, между КАЖДЫМ натуральным числом в множестве натуральных чисел и его квадратом (т.е. числом в том же множестве) существует ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ ("туда и сюда - в обе стороны"). Из такого взаимно-однозначного соответствия следует, что количество квадратов столько же, сколько натуральных чисел, т.к. каждому числу соответствует его (и только его) квадрат, а квадрату соответствует его (и только его) корень.
Где ошибка?
2 во второй степени = 4. Слева квадрат числа 2, справа число 4 в первой степени.
Мы обсуждаем ряд натуральных чисел, напоминаю.
Понял, Вы мыслите в свободном стиле. Для удобства располагаете разбросанные числа в возрастающем порядке, устанавливаете соответствие между любыми натуральными числами... и завершаете апофеозом:
Копайтесь в своей херне сами.
Первая попытка объяснить в чём подлог была автором поста не понята, на попытку её объяснить ответ не был получен и, поэтому, вот третье объяснение:
6) ЧМ: Но ты же с самого начала согласился, что каждое натуральное число можно возвести в квадрат.
НП : Согласился, можно.
ЧМ :Значит количество квадратов столько же, сколько существует натуральных чисел…
НП : Нет, не столько же. Потому что НЕ КАЖДОЕ натуральное число МОЖНО ПОЛУЧИТЬ возведением в квадрат другого натурального числа. Пример: число 3.
Остальное (…, потому что нет ни одного такого числа, которое нельзя было бы возвести в квадрат. Следовательно, нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата. Но ведь ты перед этим соглашался, что количество всех чисел (квадратов и неквадратов) больше числа одних только квадратов. Не желаешь ли умыться?) уже не важно, ибо подлог обнаружен.
Тот факт, что НЕ КАЖДОЕ натуральное число (: "можно получить" :) возведением в квадрат другого натурального числа, по сути является высказыванием (но просто другими словами) пункта 3 диалога, а именно подчёркиванием того факта, что среди натуральных чисел есть квадраты и неквадраты.
В этом смысле ваша жадность неописуема. Вы снизошли лишь до показа одного несчастного примера - числа 3. А у самого, за пазухой, есть ещё и 5, 7, 8, 10, 11, 13... - эти числа тоже нельзя получить возведением в квадрат другого натурального числа. Меня утешает, что за моей пазухой есть ещё 15, 17, 18, 19, 20, 21... То есть, я не беднее вас!!! А вы ко мне со своей жалкой троечкой! Позор! Я бы для вас не пожалел пару сотен!
Спокус Халепний, 19 Октябрь, 2017 - 09:44, ссылка
Какая разница, было это высказано ранее иными словами или не было высказано вообще?
Мы ведь искали "точку обмана" и нашли её , не так ли?
Я вам ещё вы первом комментарии это написал.
В описанном случае было:
"ЧМ: значит..."
И вот мы выяснили, что НЕ ЗНАЧИТ!
Что и требовалось.
т.е. вот это "значит" ложный посыл.
Мы ведь искали место, где в логические рассуждения, выглядевшие верно, вкралась ошибка, приводящая к противоречию, не так ли?
Вот она . Я Вам даже написал (выделив жирным шрифт) как должна логическая цепочка выглядеть. Не согласны? Почему?
Ну так и у Г. Кантора был на всякий случай один единственный контрпример.
Ладно. Суть дела.
Опорные утверждения. Число возводится в квадрат, из него извлекается корень.
В ряду натуральных чисел есть квадраты и неквадраты. Противоречие. Либо то либо другое. Все числа не являются квадратами. Отбрасываем. Примем, все числа в ряду неквадраты или корни квадратов. Возводим их в квадрат... Каждый корень получает свой квадрат. И никакой зауми. Почему? Потому что по Гегелю.
Первые два пункта диалога - это просто проверка собеседника "на вшивость" - знает ли он что такое квадрат числа и корень квадратный.
А вообще-то ничего специально возвоздить в квадрат не надо (и извлекать корни - тоже). Достаточно просто иметь в виду, что среди натуральных чисел есть числа, которые являются квадратами других. Ну, и соответственно, есть числа, которые являются корнями квадратов. И есть неквадраты (они не являются квадратами каких-либо натуральных чисел).
В чём противоречие? Либо что? Либо какое другое? Перестаньте говорить загадками. И без того тошно.
Баба мылила мочало... Ряд выстроен закономерно, в нём нет квадратов или корней, есть соседние числа отличающиеся на + или - единицу. Его можно рассматривать и как арифметическую прогрессию... Всё зависит от нашего умозрения. Но оно может завести туда, где нарушается закон и следует наказание. Вы настаиваете, есть квадраты и неквадраты! Что ж, мы то что мы говорим... ))
Всё давно растолковал. Учёный народ поговаривает, что правильно сформулированная проблема (противоречие) есть 50% решения... Мне Вас переучивать после Болдачёва?))
Нет, это подсказка ему: закон, который будет действовать поверх закона прибавления единицы (расчёта следующего по порядку числа)...
Вы написали прекрасную работу О Платоне. Жирным шрифтом выделили центральную проблему (противоречие) Философии. Гегель в основном её решил. Разберитесь с его диалектическим методом, получите универсальный инструмент мышления.
На ФШ годами Ахилл никак не догонит черепаху. Почему? Мыслят абстрактно (в гегелевском смысле), а надо было бы перейти к диалектической, отрицательно-разумной форме мышления. Толкуют о чём угодно, но не о том, что Ахилл и черепаха и покоятся и движутся, расстояние между ними и не уменьшается и уменьшается... Древние передали суть диалектики, а пользоваться не научили, ибо не умели, если по большому счёту... Спасибо Гегелю - сообразил.