Ссылка: Эрнест Нагель, Джеймс Рой Ньюмен. Теорема Гёделя 

Пусть, например, определяющее выражение «не делиться ни на одно натуральное число, кроме самого себя и числа 1» оказалось в нашей последовательности на 17-м месте; ясно, что сопоставленное ему число 17 само подпадает под это определение. Пусть, с другой стороны, определяющее выражение «быть произведением некоторого натурального числа на то же самое число» получило номер 15; само число 15, очевидно, не является точным квадратом и потому данным свойством не обладает.

Назовем числа, не обладающие свойствами, определяемыми предложениями, которым они соответствуют в описанной нами нумерации, ришаровыми. Таким образом, «ж — ришарово число» — это просто сокращение выражения «ж не обладает свойством, определяемым предложением, имеющим номер ж в данной словарной последовательности определяющих предложений»

 Определяющее выражение для свойства быть ришаровым числом описывает, очевидно, некоторое арифметическое свойство натуральных чисел. Значит, само определяющее выражение входит в описанную выше последовательность определяющих выражений. Но тогда оно имеет в этой последовательности некоторый номер, который мы обозначим через N. Зададим теперь вполне естественный вопрос (немедленно приводящий к антиномии Ришара): является ли число N ришаровым?

Читатель, конечно, сразу увидит, что противоречие теперь неизбежно. В самом деле, число N является ришаровым в том и только в том случае, если оно не обладает свойством, описываемым предложением, имеющим номер N, т.е. не обладает свойством быть ришаровым! Короче говоря, N ришарово тогда и только тогда, когда оно не ришарово, т. е. утверждение «N — ришарово число» является одновременно истинным и ложным.

Использование идеи кодирования лежит в основе знаменитой работы Гёделя. Следуя схеме рассуждения, очень близкой к той, что проводится в парадоксе Ришара (но усовершенствуя ее при этом таким образом, что она становится неуязвимой по отношению к сформулированным выше критическим заключениям), Гёдель показывает, что метаматематические высказывания об арифметическом формализованном исчислении можно представить посредством некоторых арифметических формул внутри исчисления. 

Комментарий: Для формулы (Х = not Х), это Х как истинно (поскольку Х = Х), так и ложно (поскольку Х = not Х) ... Т.е Х является одновременно истинным и ложным. 

Ссылка на действующий код, использующий такую формулу: https://github.com/bulygin69/exist/blob/master/l3.py

Теорема Геделя о неполноте Успенского (логик МГУ): непротиворечивость - если не существует такого А, для которого как А, так и not А доказуемы; полнота - если доказуемо А или  доказуемо not А.

Математика в лице Геделя констатирует неполноту: либо имеем дело с противоречием (доказуемо/недоказуемо как А, так и not А) в отношении (А = not А); либо исключаем противоречие и уповаем на метатеорию.