Выбираем на свой вкус.
Любой увидит закономерность в таком ряду [выборке из] натуральных чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121,..
Понятно, что квадратные корни из этих чисел, это:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..
Любой видит, что в первом ряду находятся квадраты чисел из второго ряда.
Любому также ясно, что промежуточных чисел между квадратами (то есть: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,...) намного больше, чем самих квадратов.
И даже совсем дураку понятно, что количество всех чисел: квадратов плюс промежуточных (не квадратов) уж точно больше, чем одних лишь квадратов.
Ни одна падла не осмелиться также возразить, что количество квадратов ровно столько же, сколько чисел, которые являются квадратными корнями из них. [Каждому квадрату из натурального ряда соответствует ровно один корень квадратный].
Может кто-то попытается отрицать, что каждое число из натурального ряда можно возвести в квадрат? А ну-ка попробуйте!!! Это право натуральные числа заработали своим тяжким трудом! А кто покусится на это священное право натурального числа, тот получит достойный отпор! Чтоб знали!
И не надо быть Галилеем, чтобы догадаться: раз каждое, то значит все натуральные числа мы можем возвести в квадрат. То есть, число корней равно количеству натуральных чисел. А так как каждому корню соответствует свой квадрат, то получается, что и число квадратов равно количеству натуральных чисел.
Но ведь было даже дураку понятно (см. выше), что количество всех чисел уж точно больше, чем одних лишь квадратов. Выходит, мы глупее дураков? Или пробой в логике рассуждений? Каждый выбирает на свой вкус.
- Спокус Халепний
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
А я увидел в первом ряду прибавление нечётных чисел: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и т.д.
Количество всех чисел - это скоко? А скоко количество всех квадратов? Скоко-скоко? Бесконечность?
А может ли одна бесконечность быть больше другой бесконечности? А на скоко? Тоже на бесконечность?
Ух ты, сколько у нас появляется бесконечностей! Аж глаза разбегаются. И все, что характерно, разные! Стало быть, чтобы не запутаться, надо наречь их разными именами.
Тут уж и верно, каждый выбирает на свой вкус - быть дураком или быть умным.
Сравнение бесконечностей (бесконечных множеств) - занятие вроде как бессмысленное. Но кто может запретить пойти дорогой, например, Кантора?! Правда, это в итоге плохо сказалось на его здоровье.)))
Множества натуральных чисел и их квадратов являются равномощными, поэтому количества элементов в них одинаковое.
Но каждому натуральному числу можно поставить в соответствие любые другие числа или комбинации чисел, и в этом случае можно получить множества с большей мощностью, чем множество натуральных чисел.
Иначе говоря, число всевозможных комбинаций из ряда чисел практически всегда больше множества исходных чисел - в этом и состоит разгадка предложенного "парадокса".
Это утверждение справедливо лишь для конечных множеств, а для бесконечных оно неверно.
Такую же ошибку допустил и Спокус:
"Уж точно больше" - это иллюзия, не выдерживающая логических обоснований.
Для сравнения мощности двух множеств Кантор использовал метод одно-однозначного соответствия, когда каждому элементу первого множества может быть поставлен в соответствие единственный элемент второго множества, и наоборот, когда каждому элементу второго множества соответствует единственный элемент первого множества. Если это условие выполняется, то данные множества равномощные. Если же в одном из множеств остаются лишние элементы, то оно больше другого.
Давайте возьмём бесконечное множество Икс, мощность которого меньше, чем мощность другого бесконечного множества Игрек.
Далее пронумеруем все элементы Икс числами натурального ряда таким образом, чтобы мощность Икс не изменилась. Точно так же поступим и со вторым множеством.
Если Игрек больше, чем Икс, то среди нумерации его элементов обязательно должно найтись такое натуральное число а, которое больше, чем мощность множества Икс. Ибо если такого числа не существует, то мы не вправе утверждать, что мощность множества Игрек больше, чем мощность множества Икс.
Однако это невозможно в силу определения бесконечности:
Бесконечность есть величина, превосходящая любое, наперёд заданное, сколь угодно большое конечное число.
Следовательно, какое бы число мы ни взяли, например число а, мощность Икс должна быть больше, чем а. А у нас, если прав Халепний, должно быть наоборот.
Отсюда ясно, что все бесконечности равномощные.
В самом деле, возьмите все натуральные числа, или их квадраты, или иррациональные числа, или дроби - натурального ряда будет достаточно для их нумерации. Даже присовокупив к ним отрицательные числа и нумеруя их поочерёдно (сначала +, потом -, потом опять + и т.д.), никакое бесконечное множество не сможет превзойти никакое другое бесконечное множество.
Ведь последнего элемента не существует, не так ли?
Вы оперируете совершенно очевидными (как для вас) понятиями о бесконечности, о мощности множеств, количество элементов у которых бесконечно...
Мне не удалось всосать с молоком матери эту тривиальщину о бесконечностях. Можно сказать, что в этом плане я искусственик, в отличие от истинных естественников на этом форуме.
Взявшись в данной теме вести диалог за "любого дурака" из означенной пьесы, я надеюсь поумнеть, естественно с помощью естественников. Короче, взявшись за гуж... я обращаюсь к вам для объяснения следующего явления.
Рассмотрим строку, где жирным выделены квадраты чисел от 1 до 12:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144,..
Пока мы видим, что с возведением в квадрат каждого очередного числа (от 1 до 12), количество неквадратов, т.е. количество нежирных чисел становится всё большим и большим. Сначала их было только 2, потом 4, потом 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 и т.д. Мы пока видим, что скорость нарастания "промежутков" между квадратами всё увеличивается и увеличивается.
Совершенно понятно, что этот скоростной процесс наращивания количества неквадратов (в сравнении с квадратами) должен когда-то прийти в упадок, чтобы в конце концов подвердить приведённый вами закон равномощности множества квадратов и неквадратов.
Поэтому у меня пока такой вопрос: в районе каких количеств нам следует ожидать обратный процесс, т.е. замедление нарастания количества неквадратов? А то я боюсь, что этот ключевой момент в истории чисел застанет меня врасплох.
Конечно, хотелось бы также узнать у естественника, который печёнкой чувствует запах горячего, чтобы он сказал: какая именно замеченная им тенденция (закономерность) указывает его природному дарованию на возможность постепенного снижения количества неквадратов? Или это произойдёт внезапно, как корова языком слизала?
Спокус Халепний, 2 Апрель, 2017 - 07:57, ссылка
Когда процесс бесконечен, то ни скорость, ни ускорение не имеют никакого значения.
Это становится важным лишь для таких процессов, которые могут внезапно закончиться.
Приведу историю, описанную как-то одним из философов Нового времени, кажется, Декартом, если я не запамятовал (могу уточнить, если для вас это важно).
Так вот. Он говорил примерно следующее: мне всегда казалось совершенно естественным полагать, что бесконечная сумма слагаемых, каждое из которых конечно, должна давать в результате бесконечно большую величину.
Но когда я увидел математическое доказательство, от моей естественной уверенности не осталось и следа! Я убедился в совершенно безумной, на первый взгляд, мысли, что бесконечная сумма конечных слагаемых может быть совершенно какой угодно, хоть 2, хоть 7,5, хоть 0.
Наверное, нечто похожее происходит с нами и сейчас.
Вы посмотрели предыдущие рассуждения о нумерации бесконечного множества чисел? Нашли ошибку?
Апелляция к бесконечности тут равносильна апелляции к богу. Специалистов по бесконечности становится всё больше и больше (их число стремится к бесконечности :) ). Там, в бесконечности, совершаются разные чудеса, типа обратный отсчет времени, а скорость нарастания там именуется замедлением, и т.д.
Будучи студентом на практике, на одном одесском заводе, мне один коренной житель этого города внушал, что в Одессе всё бывает: на "ё"бывает, и на "я"бывает. Аналогичный случай с бесконечностью.
Получается, что глядеть на приведённый мною ряд чисел, где жирным выделены квадраты, просто вредно для какого-либо понимания.
Надо понимать, что "видимость" превосходства жирных чисел над нежирными годится только для конечных множеств. В бесконечности они все сравняются.
Так мог сказать только Спокус, потомучто он Халепний, сразу виден почерк госдепа :) . С таким же успехом можно заявить, что Бога нет, но когда он придёт, то у каждого найдётся что ему сказать. В данном случае Вадим Владимирович пошел дальше, дальше самого Кантора, изобретателя мощности бесконечности. В самом деле, как можно было столько наговорить про ряд натуральных чисел, и не намекнуть даже самым тонким намёком на бесконечность. А она там есть, и она одна! Едина в двух лицах: потенциальная и континуальная. Едина как и наш двухполярный Мир, с одной стороны микро, с другой макро. Как бы я не старался, и микроскоп и телескоп упирается в точку по одной оптической оси, болтающейся в космосе, благодаря Земному движению. И мой вкус может повлиять лишь на выбор, который на мой взгляд не так уж прост: если провести мысленный эксперимент, в котором остановить Землю, то что произойдёт с этой оптической осью, она застынет на месте, или схлопнется в точку? Так что числа здесь ни при чем, парадокс кроется глубже:
Что и позволило Спокусу даже и не упоминать бесконечность, скрыть от общественности столь "незначительную" деталь.
Прошу обратить внимание на две представленные здесь особенности:
1. Все возражающие используют поняие "множество" (не брезгуя иногда и "бесконечностью"), несмотря на то, что в заявленной теме эти понятия отсутствуют. Я конечно же готов согласиться, что участники обсуждения в чём-чём, а уж во множествах съели не одну собаку, а бесконечность для них уже давно пройденный этап (эта взятая планка давно уже заброшена в старый сарай). Тем не менее, прошу обратить внимание на п.2
2. Генеральный вопрос в заявленной теме состоял в выборе из двух пунктов: а) глупее ли мы дураков; или б) есть пробой в логике рассуждений.
Лишь в качестве промежуточного замечания к ходу дискуссии могу отметить, что пока ещё никто не указал на то место в рассуждениях, которое не согласуется с законами логики. В принципе, и эта возможность была оговорена в теме (последней фразой): Каждый выбирает на свой вкус.
Хорошо, наберусь наглости и озвучу сокровенные слова за всю метафизику. Ряд натуральных чисел через трансцендентность реинкарнирует сам в себя с помощью оператора возведения в квадрат и извлечение корня. Таким образом целое отображается в часть себя, или, что то же самое, целое является частью себя. Да плюнуть и растереть можно на все эти числа, при параллельном сдвиге и прочих преобразованиях пространства, оно отображается само в себя. Пространство это делает с лёгкостью, а помыслить практически невозможно. Вот тут то собака и порылась, без трансцендентности с места не сдвинуться, с другой стороны не сидеть же мне до утра на работе, через час в маршрутку и домой, и нет мне ни какого дела до закона тождества...
1, 4, 9, 16, 25...
1, 2, 3, 4, 5...
В нижней строке - непрерывный ряд натуральных чисел, в верхней строке - соответствующие результаты возведения в квадрат каждого из чисел...
И этот ряд столь же непрерывен; между числами 9 и 16, например, нет никаких чисел!
Поэтому некорректно "заполнять" промежутки между квадратами числами, например, 5,6,7,8... Их там просто нет!
Если же вы хотите "принять в расчет" и "промежуточные числа", то вам придется поломать натуральный ряд, вставив туда корни квадратные этих чисел...
Согласен, что слово "ряд" может вносить некоторую путаницу, хотя в данном контексте это слово не относится к математическому понятию ряда. Его можно заменить на "выборку" или сказать, что в первой строке представлены числа из натурального ряда, или и т.д.
А ещё можно в условии первую строку записать так:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,..
и сказать: выделенные числа являются квадратами...
Тогда промежуточные числа станут наглядными.
А вы сами что выбираете?
Я предлагаю дать опровержение цепочке рассуждений, не прибегая к понятиям "множество" и "бесконечность". Потому что мы понятия не имеем что такое бесконечность, а различные теории множеств не могут обойтись без бесконечностей, т.е. в их основу положено то, о чём наши знания бесконечно малы :)
Мне просто интересно: вы сами знаете, в чем тут подвох или тоже, как я, например, в недоумении?
Про себя скажу, что, на мой взгляд, логика, с которой обосновывается равенство количества квадратов и количества натуральных чисел безупречна. Сколько бы ни было натуральных чисел, возьмите любое натуральное число и возведите в квадрат - получите столько же квадратов.
А вот логика, с которой делается вывод, что натуральных чисел больше, чем квадратов, мне не совсем понятна. Если я напишу ряд: квадратов и неквадратов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... и т.д. - отсюда никак нельзя понять, больше ли квадратов, чем натуральных чисел, или меньше, или столько же.
В тексте, вроде как, нет такого вывода. Там, в ходе рассуждений сказано, что сумма квадратов и промежуточных чисел больше, чем одних лишь квадратов. Было бы не так, если бы не было представлено ни одного промежуточного числа между квадратами, т.е. количество промежуточных чисел было бы равно нулю. Тогда сумма К+0 не была бы больше К, а была бы просто равна К.
Чтобы меня не затаскал по судам за плагиат сам Галилей (его имя упомянуто мною с намёком), мне надо сейчас же признаться, что написанное мною является вольным переводом на русский сленг одного диалога (в стиле платоновских) из работы самого Галилея.
На мой взгляд тут дело не в подвохе, а в концепции, которую избирают чистые (как слеза ребёнка) математики. Я бы их назвал "математики от метафизики". Первые не могут заснуть без бесконечностей, а вторые - не закутавшись в Абсолюты и не подложив под голову мягкий Логос.
в) Субьективность выбора обьективности, продиктованная нуждами (желаниями) нашего "я".
Как пример: три обьекта короткий отрезок, длинный и прямая (та самая бесконечная). Количество точек (которые Вы пожелаете отметить натуральными числами) во всех трех обьектах одинаково. (ну или не одинаково, отрезки ж разные
, если так больше нравится (необходимо) Вашей субьективности).
Приятно ощущать себя на форуме, где такое количество метафизиков, для которых не только понятие точка пройденный этап в познании истины, но и с бесконечностями они на дружеской ноге.
А вот этот поцоватый Колмогоров ещё сомневался - имеем ли мы право вообще рассуждать о каких-либо измерениях в районе больших/меньших, чем 10 в +- 35-й степени. Его бы за ухо, да ткнуть мордой в воистину истинное, просвещенное общество на ФШ.
Да никакой метафизики, буддистская философия и здравый смысл. Любая истина, любое понятие относительны, т е обусловлены субьективным восприятием... (парадокс лжеца в ту же кучку
)
Если количество не множество и не бесконечность, тогда чему оно равно?
Ладно! Вводим новое значение числа - "количество". "Назови хоть горшком, только в печь не ставь."
Но, согласно моих рассуждений - это лишь отклонение от общепризнанных норм поведения (или рассуждения).
Это отклонение может быть в сторону идиотизма или гениальности.
Встречный вопрос. Мы глупее Идиота или Гения ?
По-моему тут та же ерунда, что и с парадоксом "я лгу" - сколько людей, столько и мнений касательно его интерпретации. Польза от этого может быть, на мой взгляд, лишь в случае фиксации определённого аспекта этой проблемы (коих коих как в чернильной кляксе можно узреть неопределённое количество), который можно было бы использовать в качестве отправной точки дальнейших раскопок, предполагающих конкретный результат - например изобретение новой математической дисциплины типа канторовских трансфинитных множеств. В рамках же данной темы я думаю имеет смысл эти аспекты идентифицировать и перечислить, а не полемизировать по этому поводу.
Я уже предлагал разбить меня в пух и прах с моим "лжецом". Почему бы и вам не попробовать? Вот ссылка: http://philosophystorm.ru/ya-lzhets-kto-ya
Ответил в теме, на которую Вы дали ссылку. Тем не менее, помимо классической интерпретации "парадокса лжеца" существуют также альтернативные - "исторический факт", так сказать. Поэтому я и предположил, что предложенный Вами здесь ребус тоже может интерпретироваться по-разному. Но для начала я думаю следует определить и для него классический способ разруливания. Возможно что Кантор именно это и сделал, хотя я так и не врубился в суть его трансфинитных множеств. Или Шуранов.
axby1: эт точно, ибо подобное манипулирование цифрами без их соответствующей привязки к тому, например, о чем Гегель отразил как проникновение в разумное, путем постижения наличного и действительного, есть не более чем односторонним, пустым рассуждательством.