27 - 28 сентября 2013 г. в МГУ проходила Третья Всероссийская конференция "Философия математики: актуальные проблемы", организованная Философским и Механико-математическим факультетами.

Тезисы моего доклада "Обоснование математики - вечная проблема?" стр. 193 "Сборника тезисов конференции"

http://www.pyrkov-professor.ru/Portals/0/Knigi/filosofiya/filosofiya_matematiki_aktualnye_problemy_matematika_i_realno.pdf

Выклыдываю здесь тезисы для наглядности. На конференции, к сожалению, глубинного "мозгового штурма" по проблеме обоснования математики не получилось, несмотря на то, что эта проблема была обозначена как одна из центральных в программе конференции...

Обоснование математики - вечная проблема?

Д.ф.-м.н. Ю.А. Неретин отмечает: «Ситуация в математике и математической физике последних 10-15 лет быстро становится всё более зловещей. …Вопрос В.И. Арнольда «Выживет ли математика?», не есть риторика. Разумные реакции уже сильно запоздали, и выйти из тупика нельзя без тяжелых потерь.» [1,2]

В чем же глубинная, сущностная причина такого положения? Уже более ста лет, как две фундаментальные знаковые системы, математика и физика, «утратили определенность». Математика, как и физика, находится в глубинном, сущностном «кризисе интерпретации и репрезентации».[3] В математике процесс «утраты определенности» начался с открытием неевклидовых геометрий и длился примерно сто лет, когда Г.Вейль в 1946 году сказал: «Сейчас мы менее чем когда-либо уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой «кризис» подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире.»[4] Пик кризиса – математическая «контрреволюция» конца 19-го века [5] и эпопея обоснования математики в первой половине 20-го века. Проблема обоснования математики – это проблема обоснования всей системы знания, прежде всего фундаментальной физики с ее незавершенным онтологическим переворотом Планка-Эйнштейна и переживающей свой концептуальный кризис.[6] Только решение проблемы обоснования может дать ответ на загадку «непостижимой эффективности математики».[7] Но по неизвестной причине проблема обоснования математики даже не была включена в краткий перечень «задач тысячелетия»(!). И как же сможет в таком случае математика «закрыть физику»? [8]

А.К. Сухотин, анализируя программы обоснования математики, делает вывод: «Обзор классических направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категориальный) показывает, что проблема философского обоснования такова, что она постоянно остается проблемой и, очевидно, таковой и в дальнейшем.»…«математика обречена всегда находиться в «кризисной» ситуации».[9] С таким выводом нельзя согласиться. Это означает, по сути, отказ от поиска истины.[10]

С.К. Черепанов в свою очередь отмечает: «Приходится констатировать, что в концептуальном плане данная проблема, по существу, не осмыслена» и «...эти программы были неадекватными по своему замыслу.» [11] Автор ставит вопрос: «как возможно обоснование математики?» и задает курс ее решения: «...построить модель регулярного процесса, который не может зациклиться и все время приводит к возникновению нового и нового.» Каким же образом можно построить такую сущностную модель понимания «знаков Природы» [12]?

Л.Витгенштейн отмечал тенденцию к отождествлению языка с миром. «Логика заполняет мир; границы мира суть и ее границы».[13] По Витгенштейну логическая символика идентична онтологической структуре мира.

Свой подход к проблеме обоснования обозначил и Э.Гуссерль: «Лишь в той мере, в какой при идеализации учитывается аподиктически всеобщее содержание пространственно-временной сферы, инвариантное во всех мыслимых вариациях, может возникнуть идеальное образование, которое в любом будущем и для всех грядущих поколений будет понятно и в таком виде будет передаваемо традицией и воспроизводимо в идентичном межсубъектном смысле.» [14]

Построение искомого «идеального образования» или базисной структуры Природы, ее первопроцесса, ведется на основе метода онтологического конструирования с предельно острой «бритвой Оккама», идеи Канта о понятийно-фигурном синтезе, идеи Н.Бурбаки о «порождающих» структурах [15], идей «предельного перехода» и «приращения», одной аксиомы, одного принципа, концептов «материя», «логос», «мера», «топос», «эйдос», «тектон», «вектор» (лат. несущий), «форма», «инвариант», «состояние». Ключевая идея – идея о «порождающих структурах» (les structures m?re). Необходимо отметить, что проблема конструирования «порождающей структуры» остро стоит и перед физикой [16]. Первый принцип подсказывает Природа. В «Логике троичности» Б.В.Раушенбах отмечает: «триединость буквально пронизывает всю Природу». Борис Викторович выводит «математическую модель триединости» – вектор, «имеющим начало в ортогональной системе декартовых координат».[17] Но в итоге концепт «вектор» автор не связал с фундаментальными понятиями физики – «состояние» и «вектор состояния», а в более широком, его предельном понимании, с абсолютными (безусловными) формами существования материи (абсолютными состояниями): покоем, становлением, движением.

Единственная аксиома онтологического конструирования - «аксиома первоначала» (супераксиома): «В начале был логос …», где логос понимается как «закон законов» (в Гераклитовом смысле) и репрезентируется «небесным треугольником» Платона - «∆-дельта» как прототектон (первоорганизующий ) и эйдос суммы трех предельных переходов (совпадений «максимума» и «минимума»). В итоге конструирования получаем «рамочную» структуру первопроцесса Природы в ее единстве и многообразии - «Абсолютную порождающую структуру» («структуру-мать», суперструктуру, «отсутствующую» [18], «гиперструктуру» [19]), репрезентирующую сущностное единство «порождающих структур» в едином математическом символе-протоэйдосе Природы («первообраз-идея», «первоконструкт»).[20] Смысловая глубина концепта «структура» четко обозначена Г. Гутнером: «Событие, состоящее в схватывании структуры, означает понимание».[21] И все-таки прав А.А.Зенкин: «истина должна быть нарисована и предъявлена «неограниченному кругу» зрителей». [5]

Таким образом, синтетическая программа сущностного обоснования математики выводит на «фундаментальную онтологию мира» [22] в виде порождающей модели первопроцесса Природы - «общую рамочную структуру», «каркас» фундаментального знания, и далее, на понимание природы информации как поливалентного феномена онтологической (структурной) памяти – ядра новой концептуальной структуры мира. [23]

Литература

[1] Неретин Ю.А. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя / Воспоминания о Феликсе Александровиче Березине — основоположнике суперматематики. М, МЦНМО, 2009.

[2] Арнольд В.И. Выживет ли современная математика? / Избранное – 60. М.: Фазис, 1997.

[3] Романовская Т.Б. Современная физика и современное искусство-параллели стиля / Физика в системе культуры. М.: ИФРАН, 1996.

[4] Клайн Морис. Математика. Утрата определенности. —М.: Римис, 2007.

197

[5] Зенкин А.А. Научная контрреволюция в математике

http://exsolver.narod.ru/Artical/Mathemat/mathrevolution.html

[6] Смолин Ли. Неприятности с физикой: взлет теории струн, упадок науки и что за этим следует http://www.rodon.org/sl/nsfvtsunichzes/

[7] Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках УФН 94 535–546 (1968)

[8] Механик А. Уравнение злого духа // Интервью с Л..Фаддевым. Эксперт № 29 (570), 2007.

[9] Сухотин А.К. Философия математики. http://ido.tsu.ru/other_res/hischool/filmatem/83.htm

[10] Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988.

[11] Черепанов С.К. Обоснование математики: новый взгляд на проблему

http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/3_97/07_cherep.htm

[12] Галилей Г. Пробирных дел мастер / Пер. Ю.А. Данилова. М.: Наука, 1987

[13] Витгенштейн Л. Логико-философский трактат / Пер. с нем. Добронравова и Лахути Д.; Общ. ред. и предисл. Асмуса В. Ф. — М.: Наука, 2009

[14] Гуссерль Э. Начало геометрии. Введение Жака Деррида. М.: Ad Marginem, 1996.

[15] Бурбаки Н. Архитектура математики // Бурбаки Н. Очерки по истории математики / М.: ИЛ, 1963.

[16] Кулаков Ю.И. Теория физических структур http://www.tphs.info/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:kulakov:kniga.pdf

[17] Раушенбах Б.В. Логика троичности // Вопросы философии, № 3, 1993.

[18] Эко У. Отсутствующая структура. Введение в семиологию. СПб., 1998.

[19] Шухов А. «Математика или общая теория структур?» http://nounivers.narod.ru/ofir/cts.htm

[20] Рогожин В.И. Парадигма части VS Парадигма целого… Абсолютная порождающая структура http://ideabank46.livejournal.com/

198

[21] Гутнер Г. Онтология математического дискурса http://teneta.rinet.ru/rus/ge/gutner_ontology_of_mathematic.htm

[22] Перминов В.Я. Реальность математики / Вопросы философии № 2, 2012

[23] Рогожин В.И. «It from ?-Logit» http://elementy.ru/blogs/users/ideabank/