http://lpcs.math.msu.su/~uspensky/bib/Uspe...elementarno.pdf

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ В ЭЛЕМЕНТАРНОМ ИЗЛОЖЕНИИ [стр 10]

Цитата:
1) выражения языка
 (такие, как 2 + 3, х + 3, х = у, х = 3, 2 = 3, 2 = 2 
— в отличие от таких как + = х)
2) среди выражений выделяются так называемые формулы, 
означающие при интерпретации «утверждения, зависящие,
быть может, от параметра»
(такие, как х = 3, х = у, 2 = 3, 2 = 2)
3) среди формул выделяются так называемые замкнутые формулы, 
или утверждения, не зависящие от параметра, 
(такие, как 2 = 3,2 = 2)
4) среди утверждений выделяются истинные утверждения 
(такие, как 2 = 2)

Комментарий: 
(2 = 2, х равно х) - истинные утверждения, истинные (всегда) формулы
(2 = 3, х не-равно х) - ложные утверждения, ложные (всегда) формулы

==========
Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекция 1.
https://www.youtube.com/watch?v=juxR7MLdHgE

Цитата:
Понятие ДОКАЗУЕМОЙ формулы вводится определением, состоящим из двух частей:
1) каждая аксиома доказуема
2) если какие-то формулы доказыемы, а другая 
формула получена из них применением одного
из правил вывода, то она доказуема.

---------
Формулы имеют вид s = t, где s и t есть термы
(икс в квадрате) есть терм, (икс в квадрате = нуль) есть формула

==========

С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, 
противоречие формулируется следующим образом [Колмогоров, Математическая логика,  стр 51] : “Формула, ложная в любой интерпретации, называется противоречием”.

Поэтому (х не-равно х, х равно не-х) является противоречием, поскольку (х не-равно х, х равно не-х)  является формулой ложной в любой интерпретации.

Получается, чтобы выразить (что есть ложь) необходима запись (х не-равно х) или запись (х равно не-х). И поэтому имено такой смысл вкладывается в False, когда строятся таблицы истиности.

Но тогда, когда в формулах присутствует False, мы имеем дело с противоречием.