Тождественно ложные формулы. Философский подход.
Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.
Тождественно истинные формулы называют тавтологиями, а тождественно ложные – противоречиями. Примерами тождественно истинных формул являются формулы:
(P or not P) = True, (P = P) = True.
Примером тождественно ложных формул – формулы:
(P and not P) = False, (P = not P) = False.
Если подставить вместо P ложь (ложную формулу) или истину (истинную формулу), то получим
для истинных:
(True or not True) = True, (False or not False) = True
(True = True) = True, (False = False) = True
для ложных:
(True and not True) = False, (False and not False) = False
(True = not True) = False, (False = not False) = False
О тождественно ложных формулах (противоречиях) также говорят, что такие формулы (невыполнимы). Но что, если нужно выразить вот эту самую (невыполнимость)? Иначе говоря, имеются ли ложные формулы, существуют ли они? И как их тогда выразить?
Так и выразить: True = False
Именно это и делается в программах. Более того, элементарную сложность (чего либо) можно обеспечить только сменой этих True, False. Наиболее наглядно это видно в условных конструкциях. Но это касается и циклов, поскольку они являются условиями с возвратом. В неявном же виде любая смена инструкций (переход между различиями) есть невыполнимость (ложь). Так что (ложные всегда формулы), словно черная материя, пронизывает саму логику.
И тогда под высказыванием нужно понимать повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно, где ложь – это (тоже самое, что):
(ложь = истина) или (ложь & истина) или в предикативной форме S(х) -> P(x) & S(х) -> not P(x).
Математики утверждают, что предложение [все, написанное в этой рамке, есть ложь] нельзя причислить к высказываниям, поскольку попытка определить истинностное значение этого «высказывания» приводит к противоречию: если то, что написано, истинно, то это противоречит смыслу слов в рамке. То же противоречие возникает, если предположить, что оно ложно [ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ, Агарева - М.: МАТИ, 2008]
Но по мне, так Гёдель с Гегелем ставят им (математикам с верой избавления человечества от противоречий) фигу в виде листа Мёбиуса в логическом смысле.
- bulygin69
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
А математики верят в то, что математическая логика избавит человечество от противоречий?
Цель, сформулированная еще Гильбертом: установление непротиворечивости: сама логика и аксиоматика должна быть такой, чтобы противоречия были исключены.
Можно ли избавиться от конкретного противоречия, переформулировав задачу (приняв новую аксиоматику, логику)? Можно. Но противоречие явится тогда, словно тришкин кафтан, в ином месте в вашей (видоизменённой) системе.
Это логика и математические аксиомы. А при чём здесь человечество. Оно никогда не жило по логике и каким-то там аксиомам. Человечество, в большинстве своём и математики то не понимает и не знает.
Виктору Трусову: ну собственно потому Ленин в работе "про друзей народа" и отразил такое: "Маркс рассматривает общественное движение как естественно-исторический процесс, подчиняющийся законам, не только не зависящим от воли, сознания и намерений людей, а, напротив, определяющим их волю, сознание и намерения". А знание этих законов позволяет им смягчить и даже сократить муки родов в том, о чем у Маркса есть такое: "Общество, если даже оно напало на след естественного закона своего развития, - не может ни перескочить через естественные фазы своего развития, ни отменить последние декретами". И в этом процессе познания математика может быть лишь неким помощником (см. например, Гл.4 в Т.2 "Капитала"), но не главным действующим лицом.
Хочется добавить вам оптимизма.
Обычно принято говорить так:
если посыл истинен, то вывод истинен;
если же посыл ложен, то и вывод ложен.
Уточню эти положения таким образом, чтобы у вас всё встало на свои места.
Вывод всегда эквивалентен посылу, то есть имеет одинаковое с посылом значение истинности.
А далее всё зависит от того определения истинности, которого вы придерживаетесь в рассуждениях.
Если под истинностью понимать такую характеристику идей, которая обеспечивает познающему субъекту некоторую меру его жизнеспособности, то истинностные значения всех идей, которыми обладает субъект, должны располагаться по всей длине числовой оси, начиная от минус бесконечности (мгновенная смерть) до плюс бесконечности (вечное бытие).
Однако логика, как известно, двузначна. Почему? Да потому что логика работает только в аксиоматике! Не приняли исходных понятий? Логика не работает! Не дали определения категориям? Логика не работает! Не сформулировали аксиом? Логика не работает!
А что такое аксиоматическая теория? Это совокупность утверждений (положений, теорем, законов, решений и т.п.), имеющих абсолютно одинаковое значение истинности. Это, допустим, единица.
А все остальные идеи, истинность которых отличается от данной, являются ложными - это допустим, ноль.
Но ведь между собой эта ложность тоже отличается! Есть более бредовые идеи и менее бредовые, то есть такие, которые обеспечивают более высокую или менее высокую жизнеспособность.
Теперь попробуем отделить импликацию (если..., то...) от повествовательного предложения, которое вы описали так:
Или P, или не-P не сеть истина! Если утверждение - истина, то отрицание - ложь.
Переведём это соображение в практические зримые образы.
Допустим, познающий объект ставит цель А. Если достижение этой цели обеспечивает ему жизнеспособность самую высокую из всех возможных, то цель истинна. Стало быть, все остальные цели, преследуемые в данный момент и при данных обстоятельствах являются ложными, ибо обеспечивают меньшую жизнеспособность.
Обратите внимание, что А - это один элемент (одна идея), а не-А - это множество идей, среди которых тоже могут быть лучшие и худшие.
Допустим, далее, цель поставлена.
Способ её достижения (импликация) может быть правильным (истинным), т.е. достигающим цель, или неправильным (ложным), т.е. не достигающим цели или достигающим её не в полной мере.
Заметьте, правильность или неправильность поведения совершенно не зависит от того, истинна или ложна цель (формальная логика). Ибо жизнеспособность субъекта будет в первую очередь зависеть от того содержания, которое закладывается в логическую форму под названием цель.
Согласитесь, что подобная интерпретация существенно меняет не только сложившиеся представления о таблице истинностных значений, но и сам ход теоретических рассуждений.
Ваша интерпретация меняет ваше же представление.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Дизъюнкция (1 V 0 = 1, 0 V 1 = 1) где 1-истина, а 0-ложь
#Программа на python
P = True
print(P or not P) #вернет True
P = False
print(P or not P) #вернет True
Я лишь имел в виду, что само предложение неверно сформулировано. О какой истине речь?
Правильно сказать так:
А какой смысл в высказывании: (P or not P) = True?
Я могу интерпретировать это только так, что между да-А и не-А необходимо выбирать, нельзя их принимать одновременно.
Однако об истинности да-А и не-А мне ничего неизвестно. И меня это не устраивает.
Математику как раз, по большей части, не интересует содержательная часть. И именно поэтому ее законы универсальны, включая дизъюнкцию.
Тогда математика не для вас.
В том то и дело, что если нужно выразить ложь, то другого пути нет, как принимать их одновременно.
По сути согласен, что истиной такую одновременность назвать нельзя, и всё же меня не покидают сомнения по поводу употребления предиката "ложный". Сомнения связаны в основном с определением понятия "истина", которое в дихотомической логике не совпадает в корне с традиционным.
Я имею в виду, что одновременный выбор да-А и не-А трудно назвать ложным, поскольку на самом деле это неопределённость. Что-то вроде кота Шрёдингера, который одновременно жив и мёртв.
Дело в том, что идеальная конструкция, которую мы вправе называть истинной, не должна содержать ложных элементов. А если всё же содержит?
Таблица истинности на этот счёт исчерпывающих указаний не даёт, она практически бесполезна.
Следите за ходом моей мысли. Если мы поставили истинную цель (содержание), то нарушение формальной логики (неверная импликация) разрушает нашу надежду на обретение истины (если понимать под истиной нечто прямо пропорциональное выживанию). И обратно, если мы верно выстроили процесс достижения цели, но цель ошибочна, то тоже все усилия коту под хвост.
Далее применяем дедукцию и заключаем, то истинность, которую мы преследуем как целое, не должна быть составлена из частей, а, наоборот, должна быть получена путём дробления (декомпозиции, деления, разложения) некоторого общего на части.
Следовательно, сначала надо убедиться в истинности... чего? Деталей? Или целого?
Покажу на примере.
Понятие "потребность", принятое в теории потребностей, есть разница между сущим и должным. Она же есть причина нашего выживания или гибели.
Но, согласно традиционному определению, истина есть соответствие действительности.
Так, в частности, если мы соберёмся в полукруг и уставимся на новые ворота, то увидим одно и то же. Но достаточно ли это для провозглашения факта, что мы обрели истину? Нет! Если следовать истине как условию бытия, то ничего ещё отсюда не следует. Коммунисты сделают один вывод, фашисты - другой, ницшеанцы - третий, гегельянцы - четвёртый, сторонники Ньютона - пятый, релятивисты - шестой и т.д.
Стало быть, надо начинать с представления о должном, но должное - это то, чего нет! Должное - это то, к чему мы стремимся. И вот в этом-то пункте мы все и расходимся. Коммунисты долдонят одно, кантианцы - другое и т.д.
Короче говоря, я не разделяю вашей уверенности в том, что всё у нас с логикой настолько благополучно, что можно безоговорочно доверять википедии, энциклопедиям и словарям.
И когда мне говорят, что из не-А и да-А следует выбирать что-то одно, я не спорю, хотя мне невольно хочется убедиться: а с того ли пункта вы начали свои построения, которые диктует логика? Ведь дедукцию никто не отменял. Порядок теоретических построений не произволен. Один неверный шаг - и всю систему надо отбрасывать, невзирая на то, что некоторые принципы соблюдены.
Одним словом: пока мы не устраним неопределённость, говорить об истинности в целом мы не вправе. И когда мы созидаем истинную модель, мы не ложь обращаем в истину, а выводим её из неопределённости.
Поэтому-то я никак не могу согласиться, что да-А и не-А одновременно - это ложь. С точки зрения строгой логики, это неопределённость.
Может быть, такая трактовка не делает нас принципиальными противниками, но я не могу отказаться от своих уточнений, пока вы меня не переубедите.
Следите за ходом мысли программы (верность выводов которой вы всегда можете проверить на сайте http://www.tutorialspoint.com/execute_python3_online.php) .
#python
P = 'P'
spisok = []
spisok.append('not P')
if P not in spisok: print('1: v spiske net P')
if P == spisok[0]: print('2: v spiske est P')
else: print('3: v spiske net P')
#т.е. когда (P == not P) тогда (P нет)
#Программа возвращает 1 и 3 варианты
#
#Если же 4-ю строчку заменить на
# spisok.append('P'), то программа вернет 2-й вариант
Верить/не верить - это из другой оперы. Работают логические конструкции или не работают - вот что требуется.
Программа должна знать, в каких случаях выбирать P, а в каких не-P.
Если же она просчитает оба варианта, то ответ в виде двух равноценных выводов является неопределённостью. Такой процесс решения не может считаться завершённым.
Поэтому я говорю, что высказывание "да-А или не-А" содержит неопределённость, которая устраняется высказыванием в виде импликации:
Если не да-А, то не-А.
После применения правила двойного отрицания получаем равноценную истину:
Если не не-А, то да-А.
Вот эти два утверждения являются истинными, в отличие от высказывания "да-А или не-А".
У нас нет разногласий по поводу содержания законов логики. Я лишь обращаю ваше внимание на некоторые уточнения, касающиеся их записи.