Сколько логических следствий можно извлечь из одного высказывания?
В скором времени планирую опубликовать целую серию статей о том, как устроена СТРОГАЯ ЛОГИКА. Но прежде чем начать излагать свою точку зрения, хотелось бы узнать общее положение дел: как разные философы могут решать задачи на логику. Итак, начнём с самой простой логической задачки, какую только можно вообразить.
З а д а ч а 1:
Сколько логических следствий можно извлечь из ОДНОГО высказывания А?
- Является ли "высказывание А" логическим следствием "посылки А"?
- Является ли "высказывание А" логическим следствием "двойного отрицания" посылки А?
- Является ли результат операции конъюнкции (А&А) логическим следствием высказывания А?
Какие будут мнения-решения?
В любом случае, даже если вы не совсем уверены, всё равно пишите свои интуитивные соображения, типа, "я считаю так-то и так ...", без всякого обоснования.
Потом всем будет интересно сравнить разные ответы с правильным решением.
- Дмитрий Бояркин
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Поясняю, почему, на вой взгляд, этот вопрос "о количестве логических следствий из ОДНОЙ посылки" имеет отношение к философии.
Случается, что некоторые философы выдвигают свои оригинальные Теории, состоящие из всего ОДНОЙ Аксиомы. А потом из неё как из рога изобилия начинают извлекать массу самых разнообразных "логических следствий", описывающих мир.
Вот и спрашивается:
- Сколько строгих логических следствий можно извлечь из всего ОДНОЙ Аксиомы?
Кто как считает?
Что такое "высказывание"? Что под ним понимать?
Это форма высказывания - слово "высказывание", или это действие высказывания (говорения)?
Под "высказыванием" следует понимать именно "логическое высказывание", - то есть то, о чём говорится во всех учебниках по логике.
ВЫСКАЗЫВАНИЕ (утверждение, отрицание) – это повествовательное предложение, имеющее два (в двузначной логике) противоположных смысла при разных значениях истинности.
ВЫСКАЗЫВАНИЕ состоит из двух частей: (1) содержания (смысла) как правило сформулированного в утвердительной форме (например, "лампочка горит") и (2) "значения истинности" (истина или ложь) этого содержания. Таким образом полный смысл высказывания складывается из двух составляющих: содержания и его значения истинности.
[ВЫСКАЗЫВАНИЕ (утверждение, отрицание) – это повествовательное предложение, имеющее два (в двузначной логике) противоположных смысла при разных значениях истинности.]
Только ли утверждения и отрицания (суждения)? Разве вопросы и императивы нельзя отнести к высказываниям?
--
Только.
А вот термин "суждение", на мой взгляд, тут совершенно неуместен. Было бы ошибочным употреблять слово "суждение" в качестве эквивалента логического понятия "высказывание", хотя в литературе зачастую он используется именно так.
Ведь СУЖДЕНИЕ – по своему смыслу - это элементарный (единичный) акт рассуждения, как процесс получения логического результата, а вовсе не отдельное "повествовательное предложение".
Я бы, когда речь заходит об "утверждениях" или "отрицаниях", рекомендовал бы пользоваться только термином "высказывание". А термином "суждение" лучше использовать только в смысле "рассуждения".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Нельзя. - Вопросы и императивы в отличие от "повествовательных предложений" НЕ описывают что-либо (реальность или смысл теории), поэтому они не могут принимать значение "истинно" (как соответствие) или "ложно" (как несоответствие). А раз отсутствуют как таковые "значения истинности" – то к ним неприменимы никакие логические операции (поскольку они могут работать только со "значениями истинности"), - а раз неприменимы логические операции, значит, мы не можем получать "логические следствия". А в получении "логических следствий" и заключается весь смысл Логических рассуждений.
Все логические операции работают ТОЛЬКО со значениями истинности, а не с содержанием высказываний. А какое "значение истинности" может быть у вопроса?
Скажем, вот у кого-то возник вопрос: "Где мои деньги?". - Разве можно сказать, что данный вопрос "ложен" или "истинен"? - А раз нет "значения истинности", то и никакая логика здесь неприменима.
Вопросы и императивы в принципе никаким образом не могут использоваться ни в каких ЛОГИЧЕСКИХ рассуждениях. – Зато ничто не мешать их использовать просто в рассуждениях, где никакой логики нет.
Суждение — это высказывание, которое принимает значения истинности: Ложно, Истинно. Суждения делятся на утверждения и отрицания.
Вопрос — высказывание не истинное и не ложное. Принимает логические значения "релевантно" и "не релевантно".
Императив — высказывание, которое принимает логические значения: "исполнено" или "проигнорировано".
Оценка — высказывание, которое принимает логические значения: "адекватно" и "не адекватно".
В ы с к а з ы в а н и е
| | | |
суждение - оценка - вопрос - императив
Высказывание — это мысль, выраженная в речи следующими типами предложений: повествовательное, оценочное, вопросительное, побудительное предложение.
Высказывания делятся на две группы: истинностные и неистинностные. Истинностные суждения: утверждения и отрицания.
Неистинностные - высказывания те, которые не означивают как истинные или ложные. Поскольку в математической логике имеет значение только истинностная оценка, то неистинностные типы в ней не рассматривают. Сами же высказывания, опустив промежуточный термин "суждение", математические логики сводят к одним лишь утверждениям и отрицаниям.
Современное научное сообщество неистинностные высказывания (вопросы, оценки, императивы) учитывает в неклассических логиках: формальная логика вопросов (Белнап), логика оценок (Ивин), логика императивов или норм (Ивин).
--
Всё это, конечно, очень интересно, - но тем не менее, а вы можете ответить на поставленный в теме вопрос:
Назовите конкретное число, скажем: "0", "1", "2" ... бесконечность.. – Сколько?
Я так понял, что Вы озаботились проблемой хлопка одной ладони?!
--
Я озаботился проблемой засилья на ФШ неисправимых болтунов, которые ничего определённого сказать не могут.
В учебниках (книжках) не "говорится", а "напечатано". Следовательно, эти напечатанные слова я понимаю своим пониманием (моим отношением понимания).
Состоит из (1) "нечто": лампочки, например; и (2) состояния этого "нечто": горит или НЕ горит, например.
"Нечто" может быть любым предметом, а потому обозначается как некий "знак" этого "любого предмета" - словом "нечто".
В логике вместо этого "нечто/знака" может быть подставлен любой (физический) предмет; когда этот предмет будет подставлен, то логика буде РЕАЛИЗОВАНА этим предметом: будь то гиря, сила/напряжение, ....
Но в логике нет реального физического предмета, но тогда подразумевается МЕСТО для этого предмета, или "место для нечто", которое обычно зовут "знакоместом".
Вот это "знакоместо" для будущей реальной вещи принимает два состояния: "одно" и "второе", которые обозначаются "наличием", скажем, напряжения или вещи и "отсутствием" этого напряжения или вещи. Самой вещи нет, а обозначение наличия или отсутствия - есть.
"Наличие" обычно ещё обозначают "1" или словом (знаком) "истинно", а отсутствие" обозначают "0" или словом (знаком) "ложно".
Переход из одного состояния обозначается "знаком отрицания" "НЕ". Иначе, его можно назвать "оператором": как только применяется этот знак НЕ, так сразу подразумевается НЕИЗБЕЖНОЕ (необходимое) действие в реальности перевода вещи из одного определённого состояния в другое, определённое состояние.
полный смысл высказывания складывается из четырёх составляющих: знакоместа (содержания), двух состояний знакоместа "и его значения истинности", и перехода НЕ из одного состояния в другое.
"Высказывание" "лампочка горит" состоит из знакоместа (лампочка), состояния "1" (горит) и его тени, состоящей из знакоместа (лампочка), состояния "0" (не горит) и соединения переходом "НЕ".
Знакоместо (лампочка) не изменяет своего места (не имеет отрицания "НЕ").
Переход "НЕ" имеет вектор от 0 к 1 и обратно от 1 к 0, то есть, имеет ДВА вектора.
Множественность высказывание приобретает, когда отрицание НЕ применяется к знакоместу (лампочке).
Может быть ещё что упустил...
Да, упустили. Вы забыли ответить на главный вопрос темы:
- Сколько ЛОГИЧЕСКИХ СЛЕДСТВИЙ можно извлечь из ОДНОГО высказывания (из одной Аксиомы)?
Назовите конкретное число.
Называю. Из одной причины может быть только одно следствие.
Из одного напечатанного высказывания не будет ни одного следствия.
Из одного высказанного высказывания будет множество следов, но следствие - одно множество.
Из одного прочитанного высказывания можно извлечь множество следствий.
Ответ неправильный.
У вас почему-то количество логических следствий из ОДНОГО высказывания зависит от того, будет ли это высказывание "напечатано", "высказано" или "прочитано". – Такой подход противоречит математической логике, где нет никаких различий между "напечатано", "высказано" или "прочитано".
Если "напечатано", "высказано" или "прочитано" - одно и то же, тогда это не "высказывание", а нечто другое.
Замечание правильное. - Я не совсем точно выразил свою мысль, полагая, что всё и так ясно из контекста. Правильным было бы написать так:
Частная собственность не прикосновенна,-----а дальше что?
Дальше ... абсолютно ничего.
Из одиночного утверждения, если оно не сформулировано в виде Аксиомы, невозможно извлечь ни одного логического следствия.
Ваше утверждение "частная собственность неприкосновенна" – по своей формулировке Аксиомой не является. Следовательно, из него логически ничего не следует.
Или вечером, или утром Я продолжу свою мысль.
Частная собственность не прикосновенна.
Частная собственность не прикосновенна. Человеку принадлежит автомобиль.
Хозяин автомобиля умирает, если он написал завещание,а если нет то по закону.
Владелец автомобиля, сбивает пешехода на смерть, то его наказывают по закону.
Есть такое выражение, у меня есть собственная жизнь.
Частная собственность не прикосновенна.
Высшая собственность, собственная жизнь.
Алисова сбила во дворе 6 мальчика на смерть, и у мальчика обнаружили в крови алкоголь, и её полностью оправдали. Родители и журналисты начали возмущаться, потом у мертвого мальчика, алкоголя в крови не было.
Алисову наказали, и она журналистам заявила, вы мне жизнь испортили.
Алисова, уничтожила Высшую собственность.
Я считаю, машина под пресс, пожизненное лишение водительских прав и 5 лет тюрьмы.
Автомобиль источник повышенной опасности, для человека и человечества.
Право----Закон----
Правовой закон
Законное право
ЛОГИКА – это способ получения из одних высказываний (начальных посылок) других высказываний – заключений.
Вспомните, у вас была всего ОДНА посылка – "Частная собственность неприкосновенна". - Вот ИЗ НЕЁ и следует что-то там извлекать. Но из ЭТОГО утверждения ничего логически извлечь не получится, поскольку данное высказывание не сформулировано в виде Аксиомы. – Что это значит? – Это значит, что в данном утверждении должен находится (или подразумеваться) Квантор Всеобщности и определено подкванторное множество. – Вот тогда, действительно, из ОДНОГО высказывания-аксиомы можно что-то логически извлечь.
Я вам помогу сформулировать ваше простое утверждение в виде Аксиомы. Например, это можно сделать следующим образом:
"Собственность [ЛЮБОГО человека] неприкосновенна".
Теперь да, – это настоящая Аксиома, и из неё можно извлекать практически неограниченное количество логических следствий. Только следует признать, что никакой практической пользы от такой Аксиомы не будет. В этом можно легко убедиться, если посмотреть на логические следствия этой Аксиомы. Для этого вместо Квантора Всеобщности следует подставить какие-либо конкретные значения – т.е. элементы подкванторного множества. Вот такие частные следствия мы сможем получить из такой Аксиомы:
Теперь вам понятно, как устроены Аксиомы и как извлекать из них логические следствия?
Ваш список наказаний Алисовой логически противоречит вашей же Аксиоме, что "частная собственность неприкосновенна". И в целом, все ваши рассуждения относительно "мальчика и Алисовой" – никакого отношения к логике не имеют. Это обычная бытовая РИТОРИКА.
Логика показывает противоречия.
Частная собственность не прикосновенна.
Водитель не нарушает правила движения, и получается частная собственность не прикосновенна.
Водитель нарушает правила движения, и получает наказания по закону.
Не прикосновенна, не надо сбивать людей, насмерть.
Вы пишите . Это обычная бытовая Риторика.
Мы все в быту крутимся
Но некоторые мудрецы, церковную рясу с крестом одевают, и 24 часа только о боге думают, как бы ему угодить, чтоб попасть в рай.
С вами всё ясно. Пожалуй, на этом закончим. Философов со странностями тут хватает и без вас. Ваш последний пост я удалю, как мусор.
Спасибо за внимание. Решайте нравственные законы как в блоге писали.
Ни одного. Следствие результат События. Логическое событие - это операция с высказыванием. Если высказывание односложно (простое) никакая операция (соединение (И), выбор (ИЛИ), отрицание (узнавание)(НЕ)) с ним невозможна. Какое следствие можно извлечь из высказывания "Камень"?
А сложное высказывание - всегда есть результат логического следствия операций с простыми высказываниями. (Камень падает...)
Поэтому считаю вопрос некорректным. Уточните, что вы подразумеваете под термином "Высказывание"? Я уже разделил их на простое и сложное. Вербализованный образ (чувственный или абстрактный) - это высказывание? Или высказывание это - вербализация логической операции с образами?
Ваш ответ принят. Правильный он или нет – узнаем позже. А пока дадим возможность высказаться по этому поводу другим участникам ФШ. – Замечу только, что в любом случае сами ваши рассуждения с точки зрения логики - неправильные.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В логике никаких "событий" нет и не может быть, как их нет и во всей математике – есть только сами "логические операции", которые вы почему-то называете "событиями". Сами можете убедиться: ваши "события" в ваших рассуждениях совершенно излишни, - если методом подстановки убрать ненужное понятие "событие", то у вас получится очевидное: "СЛЕДСТВИЕ - результат операции с высказыванием".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Это не так. Логика высказываний позволяет нам применять операцию отрицания к любым простым (элементарным) высказываниям. К примеру, вот высказывание А "лампочка горит", а вот отрицание (-А) - "неверно, что лампочка горит". Как видим, всё возможно! Также никто не запрещает применять к двум простым высказываниям (А и В) все бинарные операции (конъюнкцию "и", дизъюнкцию "или", импликацию, эквиваленцию). Скажем, вполне допустима конъюнкция "А&В". Почему бы нет? - Так пишут во всех учебниках по логике, и я с этим согласен.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Отдельное слово – тот же "камень" – не может являться "логическим высказыванием" по той простой причине, что высказыванием может быть ТОЛЬКО повествовательное предложение, способное принимать значения "истина" и "ложь". – А разве слово "Камень" может иметь значение "истина" или "ложь"?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
У вас какое-то своеобразное представление о "логических высказываниях".
Вообще-то предложение "Камень падает" – это простое (элементарное) логическое высказывание, а вовсе не составное. СОСТАВНОЕ (сложное) высказывание – всегда состоит из нескольких простых, соединённых какими-нибудь логическими операциями. Например, "А&В" – есть составное высказывание, где А и В – простые (элементарные) высказывания.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Под термином "логическое высказывание" я понимаю то, что излагается во всех учебниках по логике.
ВЫСКАЗЫВАНИЕ (утверждение, отрицание) – это повествовательное предложение, имеющее два (в двузначной логике) противоположных смысла при разных значениях истинности (истина/ложь).
ВЫСКАЗЫВАНИЕ состоит из двух частей: (1) содержания (смысла) как правило сформулированного в утвердительной форме (например, "лампочка горит"), и (2) "значения истинности" (истина или ложь) этого содержания. Таким образом полный смысл высказывания складывается из двух составляющих: содержания и его значения истинности.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Смотря ЧТО вы имеете в виду. Приведите примеры.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Нет. Высказывание – это НЕ логическая операция. Логические операции "работают" ТОЛЬКО со "значениями истинностей" высказываний – и никогда не лезут во внутрь содержания высказываний.
Ответ вполне корректен. Вызвал симпатию и желание продолжить общение.
Т.е. мои рассуждений нелогичны?
Они основаны на неверном толковании термина "Высказывание". Поэтому я и попросил уточнить, что Вы под этим термином понимаете.
Суждение спорно! Любое действие - с точки зрения каузальных отношений, есть событие. В данном случае Вы воспринимаете Логику, как предмет - свод закономерностей логического мышления, а я, как процесс - совокупность событий мышления, основанных на логических связях мысленных образов. Следовательно с вашей точки зрения - суждение, с моей - событие. (Назови хоть горшком...)
А вот этот пример очень интересен! Вы берете только один вариант применения отрицания. Данное суждение состоит из двух элементов: лампочка и горит. Неверно что? Лампочка?(горит не лампочка, а коридор?), Или горит? (Лампочка не горит, а светится?). Следовательно -Лампочка горит - это с моей точки зрения -суждение сложной формы.
Вечереет... - это суждение или нет? Похолодало... Поехали...
С остальным согласен с Грачевым. Суждение это вербализованная законченная мысль выраженная предложением (простым или сложным, но...без разницы в какой форме - сказанное, записанное, языком жестов или любым иным способом).
Надеюсь, что приведенные Вами определения взяты из учебника по Логике? Проверять и спорить не буду. Соглашусь с этими определениями. Начать изучать формальную логику для меня поздно. Мне интересно, что будет дальше.
Итак; "Вечереет" и "Не вечереет" - самое простое суждение. Допустим, что данное суждение истинно. Солнце действительно скрывается за горизонтом.
А если оно ложно? Какие варианты истины возможны?
- на улице ночь;
- на улице день;
-на улице светает.
И это варианты односложного суждения.
А если суждение состоит из двух элементов: "Лампочка горит!" При ложности высказывания количество возможных вариантов истины растет в геометрической прогрессии.
Теперь возвратимся к основному вопросу темы:
Даже с односложным высказывание "Вечереет" мы получаем 1 вариант истинны и множество вариантов лжи. Но отличить ложь от истины мы не в состоянии без дополнительных действий (событий). Необходима верификация высказывания, без которой мы не в состоянии из одного высказывания вывести хоть одно логическое следствие.
Свое дилетантское мнение я высказал. Мне интересно, что скажут другие.
Допустим, "верификация высказывания" уже успешно прошла, и уже точно установлено, что высказывание именно "истинно", а не "ложно", - Из него вы уже "будете в состоянии" выводить ЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ или ещё нет?
Если "будете в состоянии", то сколько ЛОГИЧЕСКИХ СЛЕДСТВИЙ сможете извлечь из такого (заверификацированного) высказывания?
Слово "лампочка" может иметь до четырёх семантических значений. Слово "горит" до 14-ти.
Высказывание "лампочка горит", таким образом, получает добрый десяток значений, а может быть и не один, лень сейчас этой комбинаторикой заниматься.
Различные смыслы, получающиеся от использования разных семантических значений отдельных слов в высказывании, - не являются "логическими следствиями" данного высказывания, - и вообще никакого отношения к логике не имеют.
Математическая логика никогда не занимается выяснением того, какие возможные "смыслы" несут какие-либо слова в высказываниях: там всегда считается, что смысл слов ясен всем и он ОДИН. - По большому счёту логике вообще безразличны смыслы слов в высказываниях, поскольку она работает только со "значениями истинностей" высказываний, а не с их "смысловыми" содержаниями. Единственное, что имеет значение – это наличие в высказываниях Дедуктивной конструкции – а именно, наличие там Квантора Всеобщности, что позволяет получать всевозможные логические следствия прямо из высказываний-посылок, без использования каких-либо "логических операций". – Всё остальное в содержании уже не важно.
Математическая логика со "смыслами" высказываний НЕ РАБОТАЕТ.
А чем отличается высказывание "лампочка горит" от посылки "лампочка горит"?
По содержанию, по своему общему смыслу - ничем не отличаются, – это абсолютно идентичные утверждения.
Тут "проблема" вот в чём. С одной стороны, "высказывание А" – это наша ПОСЫЛКА. Применили к ней логическую операцию "эквиваленцию" ("А=А") и получили "логическое СЛЕДСТВИЕ" – то же самое "высказывание А".
Так вот, вопрос в том, - можно ли считать такое "следствие" – именно ЛОГИЧЕСКИМ следствием или нет?
Как считаете?
А каким это следствие может быть, если получено в результате ЛОГИЧЕСКОЙ операции? М? Вы же сами пишете - применили ЛОГИЧЕСКУЮ операцию "эквиваленцию", и результатом ЛОГИЧЕСКОЙ операции стало некое СЛЕДСТВИЕ. Ну и каким будет это следствие, если получено в результате ЛОГИЧЕСКОЙ операции? По-моему, ответ очевиден )))
Это хорошо, что вам ответ "очевиден". Тем не менее каким бы очевидным для вас не казался ответ, - в любом случае старайтесь всегда отвечать определённо, чтобы не приходилось за вас додумывать или переспрашивать.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
А если бы я применил логическую операцию "отрицание" ("А=-А")? – то у нас в результате такой ЛОГИЧЕСКОЙ операции получилось бы, что следствие "-А" логически противоречит своей посылке "А".
Такое СЛЕДСТВИЕ (что из "А" следует "неА") тоже можно считать ЛОГИЧЕСКИМ или нет? Как, по-вашему?
Во-первых, "А = -А" - это ДВЕ операции. Первая - отрицание, вторая - эквиваленция. А во-вторых, что вы подразумеваете под ЛОГИЧЕСКИМ СЛЕДСТВИЕМ, поясните.
И что это изменит? – Вопрос-то остался прежним: можно ли считать, что "неА" является ЛОГИЧЕСКИМ следствием посылки А? - Мы же получили это следствие строго ЛОГИЧЕСКИ (пусть в две операции). - Не так ли?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вы что, уже не уверены, что простое применение "логических операций" к высказываниям позволяет получать "логические следствия"? - В чём сомнения? Можете объяснить? - Ведь только что ответ вам качался "очевидным". Вот ваши слова:
– Уже так не кажется?
Я же про вас спросила. Что именно ВЫ подразумеваете под логическим следствием, м?
Хотите, чтобы я раскрыл "секрет фокуса"? - Конечно, я это сделаю, только не сейчас. Давайте ещё немножко подождём, пока не выскажутся все желающие.
Кстати, вы тоже так и не ответили на мой вопрос:
Так сколько? (разумеется в вашем собственном понимании, что такое "логическое следствие", если оно у вас есть).
Столько, сколько логических операций можно применить к высказыванию.
Вот и скажите, сколько всего "логических операций" можно применить к ОДНОМУ высказыванию? – "1", "2", … "4", "5", ... "много", ... "бесконечность"? - Сколько? Можете назвать точное число или затрудняетесь?
Не забудьте осветить проблемный момент: будет ли результат применения операции "отрицания" (инверсии) также являться "логическим следствием" высказывания А - (что из "А" логически следует "неА")?
Ну, в мат.логике 3 логические операции над высказываниями.
Из "А" логически следует "неА", если "А" ложно.
ЗЫ. Судя по вашим вопросам, вы слабо разбираетесь в том, о чём спрашиваете )))
- Как это ТРИ?! – А разве не пять?: 1) отрицание (инверсия), 2) конъюнкция, 3) дизъюнкция, 4) равнозначность (эквиваленция), 5) импликация. – И это не считая таких экзотических операций, как "Штрих Шеффера" и "Стрелка Пирса".
Интересно, и какие ТРИ "логические операции" из курса математической логики известны ВАМ? Назовите их!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уточните, так что же, по-вашему, "логически следует" из утверждения А (где "А" – истинно) в результате применения операции ОТРИЦАНИЯ (инверсии)? – Следует ли утверждение А (где "А" истинно) или "неА" (где "А" – ложно)?
Из Вики:
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.
Высказывания строятся над множеством {B,
, 
, 
, 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:
а логический ноль 0 и логическая единица 1 — константы.
В результате применения операции отрицания из истинного "А" логически следует, что "неА" - ложно.
Если "А" = "лампочка горит" - истинно, то "неА" = "лампочка НЕ горит" - ложно.
То есть получается, что из ОДНОГО высказывания можно извлечь ровно ТРИ "логических следствия". Так?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вы тут настойчиво пытаетесь свернуть куда-то в сторону, - к ситуации с "двойным отрицанием", – когда операция отрицания применяется не один, а ДВА раза. - Не надо туда рулить! - Нас же ведь интересует именно тот случай, когда операция отрицания применяется ровно ОДИН раз! Вот что об этом пишет Википедия:
Здесь всё ясно? - Применили логическую операцию "отрицания" к высказыванию А ОДИН раз – и в качестве ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДСТВИЯ получили высказывание "противоположное" исходному – то есть "неА". – Так ведь?
Так. Но это если под "логическим следствием" вы понимаете результат логической операции над высказыванием. Если же вы под "логическим следствием понимаете что-то своё другое, то и ответные цифры могут быть другими.
??? "неА" - это одиночное отрицание.
Верно. Если "А" = "лампочка горит", то логическим следствием операции отрицания над высказыванием "А" будет высказывание "неА" = "лампочка НЕ горит". Если "А" = "лампочка горит" - было истинным (т.е. конкретная лампочка, о которой высказывание, реально горит, излучает свет), то полученное логическое следствие "лампочка НЕ горит" - ложно. Если "А" = "лампочка горит" было ложным (т.е. конкретная лампочка, о которой высказывание, НЕ горит, НЕ излучает свет), то полученное логическое следствие "лампочка НЕ горит" истинно.
А вы сами так уже не считаете? Ведь только что для вас это было "очевидным":
Что, уже передумали? "Очевидность" улетучилась? - Тогда почему? - Из-за операции отрицания (инверсии), результатом которой является "высказывание «противоположное» исходному" (Википедия). - Из-за этого? - Или всё ещё не передумали и полны решимости отстаивать своё начальное мнение до конца?
Нет, считаю.
А что тут отстаивать-то? Результатом операции отрицания будет ЛОЖНОЕ логическое следствие - тут всё верно. М?
Если называть логическим следствием результат ЛЮБОЙ логической операции (как называю я), то логическое следствие может быть как истинным, так и ложным. В случае операции отрицания логическое следствие будет ложным. А в случае двойного отрицания - истинным.
Если же логическим следствием называть только ИСТИННЫЙ результат логической операции (как, по всей видимости, называете вы), то логическим следствием результат операции отрицания НЕ будет, т.к. он ложный.
Всё просто, если уметь рассуждать логически )))
ЗЫ. Говорят, вы удалили пост Грачёва, а вместе с ним удалился и мой пост-ответ Грачёву. А в нём я дала ответы на вопросы стартового поста (на все 3 вопроса ответ "да"). А также там была информация о понятии логического следствия в мат.логике. Вот эта:
Понятие логического следствия.
Когда говорят, что из одного или нескольких предложений
следует предложение 
, то подразумевают следующее: всякий раз, когда окажутся истинными все предложения 
, истинным будет и предложение 
. Вот примеры таких следований: "Если летом я устроюсь на временную работу (утверждение 
), то у меня будут заработанные деньги (утверждение 
)", "Если у меня будут заработанные деньги (утверждение 
), то я куплю видеомагнитофон (утверждение 
", "Если днем я не приготовлю уроки на завтра (утверждение 
), и если вечером я пойду в кино (утверждение 
), то завтра я буду не готов к занятиям (утверждение 
)".
Из ОДНОГО высказывания "А" можно вывести три БЕССМЫСЛЕННЫХ следствия:
1. А -> не(неА) = А
2. А -> А /\ А
3. А -> А \/ А
Хорошо. Ваша позиция понятна. Теперь давайте разберёмся с числом "логических следствий". - Вы утверждаете, что из одного высказывания можно извлечь только ТРИ логических следствия:
- А как быть с результатами всевозможных комбинаций логических операций, типа "(А&А)\/(А&А)" (которых бесконечно много)? - Можно ли их тоже считать "логическими следствиями" ОДНОГО высказывания А, или нет?
Можно.
Ну тогда получается, что из ОДНОГО высказывания А можно извлечь бесконечное число "логических следствий"? Так?
Так. Причём все они будут тавтологичны, т.е. ни о чём, пустые, бессодержательные.
Ваш ответ принят. Но у меня есть некоторые замечания.
Во-первых, под "тавтологиями" в логике понимаются вовсе не "пустые" высказывания (как это можно истолковать из ваших слов), а тождественно истинные высказывания. В логике вообще не может быть высказываний "ни о чём", "пустых" или "бессодержательных", - каждое высказывание (а каждое "логическое следствие" есть "высказывание") хоть какой-то смысл, да несёт.
Во-вторых, НЕ ВСЕ "логические следствия" данной посылки А обязательно будут "тавтологичны". Скажем, если два противоположных по смыслу высказывания А и ‑А попытаться связать между собой операцией "равнозначности", - то в процессе логических рассуждений "логическое следствие -А" всегда будет иметь другое значение истинности, чем начальная посылка А, - т.е. следствие не будет "тавтологичным".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Убеждаюсь, что правильное решение этой задачи ("Сколько логических следствий можно извлечь из ОДНОЙ посылки?") ещё не знает никто: ни философы не знают, ни математики. И ответ далеко не очевиден, хотя само решение простое, если его знать.
Продолжение ССЫЛКА...
З а д а ч а 1.
Сколько логических следствий можно извлечь из ОДНОГО высказывания А?
Р е ш е н и е.
"Логическим следствием" посылки А может являться ЛЮБОЕ высказывание, с которым будет установлена логическая СВЯЗЬ в виде таблицы истинности (т.е. логической операции), - в том числе "логическим следствием" может быть высказывание и "А", и "-А", и "-(-А)", и "А&А", или какое-нибудь В. – Такая логическая СВЯЗЬ (операция) может устанавливаться абсолютно произвольно и с абсолютно любым высказыванием-заключением, - и даже если полученное в результате применения такой логической операции "логическое следствие" будет противоречить посылке ("А=-А"), - всё равно такое следствие (т.е. следствие "-А" из посылки А) будет именно "логическим".
О т в е т:
Из одной посылки А невозможно извлечь ни одного логического следствия, поскольку не указана ни "логическая операция", связывающая посылку А со следствием, ни содержание следствия.
З а д а ч а 2.
Является ли "высказывание А" логическим следствием "посылки А"?
О т в е т:
З а д а ч а 3.
Является ли "высказывание А" логическим следствием "двойного отрицания" посылки А?
О т в е т:
З а д а ч а 4.
Является ли результат операции конъюнкции (А&А), логическим следствием высказывания А?
О т в е т:
Вы поставили интересный вопрос в своей теме, но, на мой взгляд, ваше решение нельзя назвать правильным. Во всяком случае, оно не дает ясного ответа на исходный вопрос.
На мой взгляд, 3 и 4 задача чем-то похожи, но вы даете на них противоположные ответы. Попробуем разобраться на примерах.
Допустим, я говорю "все люди смертны". Применяю двойное отрицание: "все люди не бессмертны". Можно ли назвать второе суждение следствием первого? - об этом далее.
Теперь я говорю: "все люди смертны" и "все люди не умеют летать". Применяю конъюнкцию: "все люди смертны и не умеют летать". Согласитесь, что эти два примера чем-то похожи. Они похожи тем, что полученное следствие имеет то же самое содержание, что и посылки. Ведь сказать "все люди не бессмертны" - то же самое, что сказать "все люди смертны". Содержательно эти суждения не отличаются. То же самое и со вторым примером.
А теперь возьмем третий известный пример: "Все люди смертны. Сократ человек, следовательно, Сократ смертен". Согласитесь, что сказать "Сократ смертен" - не то же самое, что сказать "все люди смертны". Содержательно это разные суждения. Это легко проверить. Если вы в каком-нибудь тексте замените "все люди смертны" на "все люди не бессмертны", то смысловых потерь в тексте не будет. А если заменить "все люди смертны" на "Сократ смертен", то смысл текста будет искажен.
И это-то меня больше всего интересует: можно ли считать следствием суждение, которое по смыслу идентично своей посылке? "Все люди не бессмертны" похоже на простую переформулировку суждения "все люди смертны". А в случае с Сократом мы получаем действительно содержательно новое по отношению к посылкам суждение. И почему в случае одних логических операций мы получаем новые суждения как следствия, а в других случаях нет?
Нового суждения НЕ получается только при двойном отрицании, т.к. двойное отрицание - это НЕ одна операция, а две. Применённые последовательно, они действуют как обратные арифметические операции, т.е. приводят к начальной посылке.
Пример. Дано число 5. Применим к нему последовательно обратные операции сложения и вычитания, т.е. сначала прибавим некое число, а потом это же число вычтем. Получим исходное число: 5 + 3 = 8; 8 - 3 = 5. Или. Возьмём число 15. Применим к нему последовательно обратные операции деления и умножения, получим исходное число: (15/3)*3 = 15
Аналогичная фигня с двойным отрицанием.
Вы ошибаетесь в том, что "двойное отрицание" непременно приводит именно к "начальной посылке". Вовсе нет. Вернее, такое может случиться, но только как частный случай. На самом деле "двойное отрицание" приводит к тому, что у высказывания-заключения В "значение истинности" будет равно "значению истинности" начальной посылки А – не более того.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
А вот и нет. – В логике "логические вычисления" происходят вовсе не так, как в математике. В математике мы, применив к некоторым числам математическую операцию, сразу получаем результат в виде НОВОГО числа. А в логике всё иначе: после применения логической операции к начальной посылке А (скажем, "выключатель включен") получается вовсе не какое-то цельное высказывание непременно с содержанием начальной посылки А, - а только "значение истинности" у некоторого ВТОРОГО высказывания-заключения В (скажем, "лампочка горит"), которое только в одном частном случае может совпадать с начальным высказыванием А. И это начальное высказывание А (посылка) – ни его содержание, ни его значение истинности, - при логических вычислениях вообще не трогается и не преобразуется – оно всегда остаётся неизменным, какую бы логическую операцию к этой посылке мы не применяли.
Таким образом, применив логическую операцию "двойного отрицания" к начальной посылке А, мы узнаём только, что "значение истинности" у ДРУГОГО высказывания-заключения В (скажем, "лампочка горит", или "выключатель включён", или "выключатель выключён", или "гуси летят" – хоть что, без разницы) равно "значению истинности" у высказывания-посылки А. - Вот и всё.
Да, конечно.
Да, разумеется. В логике арифметических вычислений нет вообще.
А в 3-й задаче у логического заключения "содержание" задано – оно равно А.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Давайте пока не будем трогать высказывания, которые обладают свойством ВСЕОБЩНОСТИ. Это уже совсем другая тема – тема ДЕДУКЦИИ – нам до неё ещё пахать, да пахать. Полно простых (элементарных) высказываний, типа "выключатель включён", "лампочка горит", - которые не имеют никакой внутренней смысловой структуры. Пользуйтесь ими или подобными.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вы очень правильно поставили вопрос. Ведь в случае положительного ответа, мы должны будем признать, что логикой можно доказать всё, что угодно, - любое высказывание. То есть сама логика становится бессмысленной.
Я считаю, - однозначно, нет! Смысл логического СЛЕДСТВИЯ обязательно должен отличаться от смысла (содержания) ПОСЫЛКИ (и даже не просто отличаться, но и обязательно содержать больше информации, чем было задано в посылках). Но это утверждение надо будет доказать строго логически, что мы и сделаем немного позже.
Хорошо. Есть высказывание "выключатель включен". Применяем двойное отрицание: "выключатель не выключен".
Есть первая посылка А "выключатель включен" и вторая посылка B "лампочка горит". Применяем конъюнкцию, т.е. просто соединяем оба высказывания в одно посредством частицы "и": "выключатель включен и лампочка горит". Данное высказывание истинно только тогда, когда истинны обе посылки, и это соответствует таблице истинности.
Ведь есть посылки и задана логическая операция - так как же "содержание" следствия может быть неопределенно?
Буду ждать с нетерпением.
Всё не так. Вам, как и всем другим, видится, что, применяя "логическую операцию", мы тем самым как бы преобразуем саму "начальную посылку", по крайней мере, изменяем её "значение истинности", - что в корне неверно. Логика работает совсем иначе.
Во-первых, при применении любых логических операций, "содержание" (смысл) как самой посылки, так и "содержание" высказывания-заключения не меняется, – "меняться" может только единственное значение - "значение истинности" - у заключения (но не у посылок). Причём, "значение истинности" логического заключения зависит только от того, какие "значения истинности" были выбраны в качестве исходного шага в начале логического рассуждения у начальных посылок.
Во-вторых, вариации формулировок "содержания" для логики не имеет ровно никакого значения, – главное, - смысл! То есть высказывание "выключатель включён" с точки зрения логики полностью идентично высказыванию "выключатель не выключен", поскольку идентичен их смысл, - поэтому их можно обозначить одним и тем же символом А.
Короче, при применении "двойного отрицания" из высказывания-посылки "выключатель включён" мы не получаем "выключатель не выключен" (как и не получаем саму посылку "выключатель включён"). Мы не получаем вообще никакого логического следствия, поскольку не определено его "содержание". Мы узнаём только, что значение истинности у "заключения" будет в точности равно "значению истинности" у начальной посылки - это следует из таблицы истинности операции "двойного отрицания".
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
При конъюнкции две начальные посылки А и В не соединяются в одно целое высказывание-заключение с содержанием "А&В", как представляется вам.
Ни посылки (кроме ВСЕОБЩИХ, но о них сейчас речь не идёт), ни логические операции, какими бы они ни были, не способны создать "содержание" (смысл) высказывания-заключения.
То, что вы сформулировали в качестве якобы содержания заключения ("А&В"), - на самом деле логическим заключением не является, - а является просто иным (более полным) названием самой логической операции "конъюнкция", - некоей заглушкой в шаблоне, вместо которой следует подставить какое-то конкретное ДРУГОЕ (уже третье!) высказывание С (скажем, "дверь открыта").
И вот у этого ТРЕТЬЕГО высказывания С (которое и будет являться настоящим логическим заключением, а не заглушкой "А&В"), - мы сможем узнать "значение истинности" согласно таблице истинности операции конъюнкции.
Если что-то не понятно, не делайте поспешных выводов – действительно, механизм работы операций логики высказываний вовсе не такой очевидный, как кажется всем. Я сейчас начну публиковать целую серию статей на тему "строгой Логики", надеюсь, там всё прояснится.
Вся странность того, о чем вы говорите, как мне видится, заключается в том, что вы утверждаете, что есть посылки, задана логическая операция и при этом результат не определен, как будто одних посылок и логической операции недостаточно.
Ну хорошо. Будем ждать ваших дальнейших исследований.