LLM:

При изложении "логики первого порядка" (как учебного предмета)
делается излишне сильный акцент на то, каковы
свойства логических операций, на набор аксиом логик
(традиционной и интуиционистской), но мало рассказывается
о функциях и предикатах, и причинах их различения.
Это то-ли из математической логики, то ли из философии.
Как надо строить модели, почему так или иначе,
как это связано с устройством мозгов субъекта
(субъект делит мир критериями, ими же формирует объекты).
Как возникают "законы", на которых основаны опредения понятий?
Как критерии связаны с понятиями и функциями
в "моделях" из математической логики?

Большинство учебников по логике первого порядка
строится странно: половина книги уходит на таблицы истинности
для ¬, ∧, ∨, →, на доказательства эквивалентности
материальной и строгой импликации, на сравнение аксиом Гильберта
и натуральным выводом, на закон исключённого третьего и
интуиционистское отрицание. А когда наконец доходят
до предикатов и функций, то обычно ограничиваются фразой
«предикат — это функция в {0,1}, а функция — это обычная функция».
И всё. Студент остаётся с ощущением, что главное в логике —
это правильно расставить скобки и не перепутать ∀x∃y с ∃y∀x.

Преподавание должно глубже освещать функции и предикаты,
их различия и когнитивные корни. 
Это упущение не только обедняет понимание, но и
маскирует глубокие связи с философией и когнитивными процессами.

Исторически логика первого порядка развивалась в двух разных контекстах:
1) Фрегевско-расселловский проект «логического фундамента математики»
— там главное было избавиться от парадоксов и показать,
что вся математика сводится к логике. Поэтому акцент на синтаксисе,
доказательствах полноты и корректности.
2) Гильбертовская программа — формализация как игра символами.
Там модели нужны только для доказательства независимости.

Таблицы истинности, аксиомы конъюнкции, дедукция —
это технические детали, которые нужны только для того,
чтобы фундаментальная когнитивно-онтологическая работа
могла быть выполнена строго и без противоречий.

Философская же сторона (как именно модели отражают конституирование
объектов субъектом) осталась в работах Гуссерля, раннего Витгенштейна,
Карнапа («Логический синтаксис языка»), Куайна («Слово и объект»),
Путнама («Reason, Truth and History») и
современных когнитивных семантиков (Jackendoff, Talmy, Langacker).

Но именно предикаты и функции — это то место,
где логика первого порядка перестаёт быть абстрактной игрой символов
и начинает описывать, как вообще устроено мышление субъекта,
как он вырезает объекты из мира и как формирует понятия.
Это не техническое удобство — это прямое отражение того,
как субъект конституирует объекты и свойства.
Раздельное существование предикатов и функций не случайно,
оно отражает два разных когнитивных акта субъекта:
а) Акт идентификации объекта;
б) Акт различения.
это различие коренится в семантике:
предикаты определяют отношения
(множества кортежей объектов, для которых они истинны), а
функции — отображения
(правила, присваивающие каждому входу уникальный выход).

До всякой логики, до всякого языка субъект (индивид)
уже обладает способностью выделять устойчивые конфигурации
в потоке восприятия. Гуссерль называл это «пассивным генезисом»,
Пиаже — «сенсомоторным интеллектом»,
современная когнитивная наука — «core knowledge systems».
Мозг группирует сенсорные данные в "когерентные" сущности
(как в гештальт-психологии). 
Ребёнок 3–4 месяцев уже отличает объекты от фона,
отслеживает их сохранение во времени, понимает,
что один физический объект не может быть в двух местах одновременно.

Cначала возникает критерий, потом — объект как
то, что удовлетворяет целому пучку критериев одновременно.
Объект не дан до критериев — он конституируется ими.

В теории моделей объект — это просто точка в универсуме,
которая одновременно удовлетворяет всем предикатам,
которые мы решили к ней (точке или модели?) приписать.

Модель - это точная реконструкция того, как конкретный
субъект, или научное сообщество в конкретный исторический момент,
расставили свои критерии.

поэтому настоящий учебник по логике первого порядка
должен начинаться не с ¬ и ∧, а с вопроса:
«Как ты вообще решаешь, что перед тобой
один и тот же объект в разное время?
Какие критерии ты для этого используешь?»
Только после ответа на этот вопрос можно
вводить функциональные символы, предикаты и модели —
и тогда станет понятно, зачем всё это нужно.

Логика предикатов уточняет (конкретизирует, расширяет)
логику высказываний (т.е. пропозициональную логику),
вводя переменные, кванторы (∀ и ∃) и, главное, предикаты и функции.

предикаты позволяют квантифицировать свойства ("∀x P(x)"),
а функции — генерировать новые объекты.

Предикат — это отношение или свойство,
которое может быть истинным или ложным для объектов.
Предикат - это критерий, который субъект накладывает на мир,
разрезает универсум
на тех, кто прошёл критерий, и тех, кто не прошёл.
когнитивисты (например, Дж. Лакофф в "Метафорах, которыми мы живём"),
делит мир на категории через критерии — наборы признаков,
которые определяют, принадлежит ли объект к классу.
Предикаты моделируют эти критерии:
они "тестируют" объект на соответствие (истинно/ложно).
Например, предикат "P(x)" может означать "x — чётное число".
Красное(x) или x > y.
Предикаты позволяют говорить о свойствах без необходимости их вычисления,
в то время как функции подразумевают детерминированное преобразование.

Функция, напротив, отображает объекты на другие объекты,
не возвращая истину или ложь, а конкретный результат.
Например, функция "f(x) = x + 1" преобразует число в его преемника.
Функции имитируют операции мозга по комбинированию объектов,
формируя новые сущности.
Cпособы комбинирования (например, "сумма" как функция,
моделирующая ментальную операцию сложения.

Если бы мы не различали функции и предикаты,
модели потеряли бы выразительность.
Философски это восходит к Аристотелю и его категориям:
предикаты связаны с "сущностью" (что есть объект?),
а функции — с "становлением" (как объект преобразуется?).
В преподавании часто упускают, что
это различие отражает когнитивные процессы,
отражает эволюцию мозга: критерии (предикаты)
эволюционировали для выживания (распознавание угроз),
а функции — для планирования (манипуляция объектами).

Формулы логики первого порядка истинны в модели,
если они соответствуют интерпретации.
В классической логике модели строятся на основе принципа бивалентности
(истина/ложь), в интуиционистской (конструктивистской) —
на конструктивных доказательствах,
где существование подразумевает возможность построения.

В философии (например, у Витгенштейна) понятия — "семейные сходства",
что объясняет, почему
модели иногда недостаточны для "реального" мышления.

Как строить модели? Мы начинаем с сигнатуры — набора символов предикатов,
функций и констант. Затем выбираем универсум U и
определяем интерпретации так, чтобы они удовлетворяли аксиомам теории
(если таковые есть). Это обеспечивает семантическую полноту.