Парадоксы теории множеств. Два пустых мешка.
Пустое множество ∅ не относится к аксиомам теории множеств ZF, оно выводится из аксиом, и выводится по аксиоме объема как Единственное: других пустых множеств нет.
.
∅ можно уподобить пустому мешку, и оно, как Единственное, утверждает буквально следующее: двух пустых мешков Нет. То что мы видим два пустых мешка - ложно; мешок всегда Один.
.
Другой близкий парадокс: имеем папку на жестком диске А, которая содержит пустую папку В {}: В∊А. Тогда папку А можно выразить так: {{}}. По аксиоме экстенсиональности А и В равны: А=В=А. Тогда А содержит само себя: А∊А. А именно это запрещает аксиома регулярности. Стало быть, теория множеств противоречива.
.
Где тут собака порылась? Аксиома объема запрещает делить элемент надвое, если у него есть два свойства: объём элемента должен быть сохранен. Но у пустоты нет объема, пустота объём отрицает. Вот этот момент и не учитывает теория множеств, распространяя действие объёма на то, что объема лишено по определению.
.
Вывод: пустота пустоте рознь.
- Овчарёв Виталий
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
стало быть это не мешок.
Эт точно
А что?
Множества
Значит, пустые мешки невыразимы в теории множеств, и она никакая не универсальная теория
Овчарёв Виталий, 29 Апрель, 2026 - 13:26, ссылка
Никакие мешки, коробки и чемоданы - ни пустые, ни полные - не выразимы в теории множеств. Она ими просто не занимается. Теория множеств - это раздел математики, а не мешковедения.
Получается, что теория множеств бесполезна и для логики, и для разных прикладных задач. Если мешки нельзя формализовать, как пустые математические объекты
Иерархия такая - внизу логика, над ней математика, в основании математики теория множеств, над всем этим физика и другие естественные науки
Ну это ясно
В теории множеств есть равенство, есть принадлежность, но нет тождественности. Равенство множества по объему не устанавливает тождественности множеств. Объема недостаточно, нужно свойство, предикат, интенсионал. Единство объема и свойства - это и есть множество, непротиворечивое по своей сути. Множество натуральных чисел определяется интенсионалом (натуральные числа), множество чётных - интенсионалом "четные числа", и так далее. Интенсионал - это Качество множества. А мощность, объем - Количество. То есть множество имеет двойственную природу, где качество образует единство с количеством. И не нужно никаких классов. Есть интенсионал, который даёт ссылку на своё определение (что такое Натуральные числа). Так форма соединяется с содержанием. Просто это содержание присутствует в множестве имплицитно, за скобками
Два пустых мешка присутствуют за скобками, эти две локальные пустоты связаны своими интенсионалами и не тождественны друг другу. При этом оба мешка имеют общий экстенсионал - пустое множество, равное им по объему, но не равное по содержанию
Овчарёв Виталий, 29 Апрель, 2026 - 17:02, ссылка
И откуда вы все это берете? Какой такой объем множества? Нет такого понятия, вроде.
Аксиома экстенсиональности (также называемая аксиомой объёмности или аксиомой протяжённости) — это фундаментальная аксиома в теории множеств, которая утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов
Овчарёв Виталий, 29 Апрель, 2026 - 18:39, ссылка
Нет такого понятия "объем множества" и не нужно придумывать. Вы действуете наскоком, а следует неторопясь разобраться в предмете, понять, что такое множество, что теория множеств. Теория множеств не сразу стала аксиоматической, а вы начинаете с аксиоматики. Не в ту дверь заходите. Если разберетесь в предмете, то не будете придумывать абсурдных примеров про мешки.
Это ни о чем. Мне как то без разницы, потому что объективных доводов вы не представили. Пустое сотрясение воздуха. Где ошибка?
Мне тоже без разницы. Ваше дело. Но ваши тексты безграмотны. Это поймет любой математик.
Виктор, в ваших комментариях присутствует раздражение, но отсутствует содержательность. Именно это их обесценивает. Ничего кроме эмоций.
Какое раздражение? Я вам несколько раз написал - нет такого понятия "объем множества". Вы проигнорировали. Ваше дело.
А объем у элемента есть? Если объединить {1,2} и {2,3} - сколько элементов будет у нового множества?
У элемента есть объем, если этот элемент, к примеру, куб, шар или пирамида.
Если объединить {1,2} и {2,3}, получится {1,2,3} - три элемента.
А почему не четыре? Ведь мощность {1,2} и {2,3} равна 2. 2+2=4.
Овчарёв Виталий, 29 Апрель, 2026 - 20:23, ссылка
По определению объединения множеств. И мощность объединения равна 3. Мы с вами азбукой будем заниматься?
Число 2 учитывается один раз, потому что имеет объём (экстенсионал). Если бы не было объема, возникали бы дуплеты.
Вам не нравится слово Объём? Ну так объем есть не только у куба, но и у понятия. Круги Эйлера, и все такое.
Овчарёв Виталий, 29 Апрель, 2026 - 22:41, ссылка
Бесполезно...
как же они равны, если А содержит Б, но Б не содержит А?
Вот и мне хочется знать - как
Либо пустота так же невыразима в теории множеств как множество всех множеств, либо же в аксиомы надо добавлять аксиому интенсиональности наряду с экстенсиональностью
Пустой мешок это не пустое множество, а элемент множества пустых мешков. А вот содержимое любого пустого мешка, это как раз пустое множество. И если у Вас есть два пустых мешка, то можете проверить сами и убедиться, что у них одно и то же содержимое.
Итак, пустое множество ∅, а пустой мешок это множество вида {∅} не пустое множество, содержащее единственный элемент ‒ пустое множество.
С папками у Вас будет та же петрушка, есть пустое множество, есть множество содержащее это множество, пустая папка, а есть множество содержащее единственный элемент, пустую папку, т.е. множество с единственным элементом, с пустотой.
Как же отличить два множества вида {∅}. Если два пустых мешка ? По объему ведь они равны
А как Вы отличаете два равных множества？ Например по имени. Назовите одно первый мешок, другое второй мешок и живите с этим.
Я то согласен, а в теории множеств есть этот критерий различимости равных множеств, или нет?
Нет критерия, два множества равны, если содержат одни и те же элементы, всё.
Равенство в арифметике означает что в правой и левой стороне уравнения - одно число. Тогда равенство двух множеств утверждает что это одно множество при отсутствии других критериев. Два мешка - один и тот же мешок.
2+1=3.
То что в левой части можно свести к 3:
3=3. Это уравнение вовсе не означает, что есть два числа 3. 3 - одно. Равенство двух множеств утверждает, что мы имеем дело с одним множеством, и это гарантирует аксиома объемности.
Число 3 одно, а выражений этого числа бесконечно много. Корень из 9, разность двух чисел, сумма двух чисел, результат деления, умножения и всех их комбинаций, корни уравнений и т.д. и т.п. Но сами-то выражения Вы отличаете? Вы пон6имаете, что 2+1 равно корню из 9, но не тождественно. Это не одно и то же.
Так же и с равенством множеств, они могут быть идентичны, равны, состоять из одних и тех же элементов, но при этом быть разными множествами. Например, все положительные целые образуют множество равное натуральному ряду (если в него не включён 0) и наоборот, все не отрицательные целые образуют множество равное натуральному ряду, в который включён ноль. При этом Вы понимаете, что множество положительных целых и множество не отрицательных целых это разные множества, которые даже не равны. Т.е. несмотря на то, что в зависимости от обстоятельств разные множества могут оказаться равными, по итогу, приходится признать, что имеем дело с тремя разными множествами.
>> 2+1 равно корню из 9, но не тождественно. Это не одно и то же.>> В арифметике тождественности нет, оно излишне. Тут только количество, а там где исчисления ограничены количеством, равенство - уже количественное тождество.
а вот с равенством множеств этот номер не проходит. Как я уже сказал, пустота пустоте рознь. Пустое множество Бабок Ежек равно, но не тождественно пустому множеству Змеев Горынычей.
.
Ваш пример - из теории чисел. Математики постоянно забывают, что кроме чисел есть ещё и другие элементы множеств. Например, философы.
Вы не схватываете, что эти множества, змеев горынычей, бабок ёжек и т.п. не пустые множества. Равные, но не пустые. Как все равные множества, они отличаются именами, множество горынычей не называется множеством бабок, даже пустые папки на компьютере не называются одинаково, даже если обе названы "новая папка", полное имя включает адрес и, например, на рабочем столе не может быть двух "новых папок". Одна из них обязательно будет пронумерована. Все эти множества, не содержащие в себе ничего, кроме пустоты, все разные, а пустота, она одна на всех. Совершенно одна и та же.
В реальности нет ни Ежек, ни Горынычей, так что по объёму они равны. Но вы совершенно правы, что они не равны по именам. Недостача теории множеств, в ее аксиоматике отсутствует тождество (математики интуитивно отторгают качество и содержание) как отношение. И отсутствует аксиома интенсиональности, которая вводила бы в множество то, что вы называете Именем.
Кантор определил множество, как имя некоторого набора объектов. Т.е. множество это и есть имя.
Можно по разному называть - имя, интенсионал, свойство, предикат. Суть та же. Отказ от Имени в ZF вносит в теорию противоречие.
Да почему отказ? Невозможно оперировать множествами без имён. Сформулируйте любую аксиому не используя имена. Хотя бы одной буквой, но придётся поименовать, иначе никак.
Вот фрагмент из вики из статьи о системе Ц-Ф:
"Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию ∃!A∀b (b∉A). Поэтому единственному множеству
можно присвоить имя. Употребительны два имени: 
и 
. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:
∀b (b∉∅)
и ∀b (b∉{})
"
"Пустое множество" это имя некоего набора, а не термин, применимый к множеству наборов. Этот набор уникален, неповторим, единственный в своём роде, обладает своим собственным именем. А поименованный набор, по Кантору, и называется множеством. И это относится ко всем множествам. Для некоторых существуют общепринятые имена: натуральный ряд, комплексные числа и т.д. эти множества ни с чем не спутаешь, не скажешь, что существуют несколько натуральных рядов (хотя по факту их два, но при любом подходе, принимается и используется один и только один)
Можно составить большое число множеств букв латинского алфавита, но множество латинский алфавит одно. И т.д. и т.п.
Если ковыряться в Ц-Ф, то возникают конечно вопросы, имя множества и само множество это один объект? Их можно разделить и оперировать независимо? Можем взять множество имён в отрыве от самих множеств? Будет ли имя этого множества своим элементом? И как всегда, когда дело заходит о теории множеств, всё тут же усложняется и стремится к парадоксальности. Даже лезть в это не хочется. Но, думается, если углубиться то, совершенно точно, на какое-нибудь противоречие нарвёшься.
Пустое множество, Виталий, в математике - это нормальное явление, а с логической, с философской стороны «пустое множество» - это обыкновенная чепуха, дребедень и бессмыслица (множество пустоты и НИЧТА - любимая околесица Юрия Кузина). Поэтому когда смешивают язык математики с философским - отсюда и получаются ГЛУПЫЕ ПАРАДОКСЫ (недопарадоксы) типа расселовского Брадобрея!
Философия не противостоит математике и другим наукам. А если противостоит, то это не философия, а чепуха.
Виктор, мы уже неоднократно обсуждали, что с точки зрения философии, такая наука как Семиотика - это Симулякр!!! Симуляция, подобие Реальности! А Математика, Виктор, - это как раз из этих, из Семиотики! Такие дела!
Поэтому, наравне с Религией, Философия противостоит Естесствознанию, но в отличие от религии покровительствует ему.
Может быть и обсуждали, но не со мной. Если философия противостоит естествознанию, то это не философия, а мракобесие. Вы за такую философию?
Какая прелесть, Виктор, Ваши аргументы: Религия конкретно и определенно во все времена противостоит ЕСТЕСТВОЗНАНИЮ, но Религия не Мракобесная История!? Это что еще за двойные стандарты, Виктор??? По принципу Религиозный поп, конечно Сукин Сын, но Он Ваш сукин сын!? Так, Виктор?
Никаких двойных стандартов. Та религия, которая противостоит естествознанию, есть мракобесие. Если поп выступает против теории Дарвина - ни каких-то деталей, а в целом, - то он мракобес.
Виктор, аргументы в пользу: Каков поп таков и приход - это в пользу бедных, что стоят с протянутой рукой! А в философии, даже Александру Бочарову известно, что сами по себе ни знаки, ни символы НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ!!! Виктор, неужели Вам об этом ничего не известно!?
О каких знаках и символах идёт речь?
Да о любых и о математических конкретно! Неужели Вы не знаете, что МАТЕМАТИКА - это на 100% зависимый от естественного звукового языка - ИСКУССТВЕННЫЙ ЯЗЫК! (Улавливаете связь: искусственный язык и ИИ!?)
Все, что записано на языке формул, можно сформулировать на русском языке. И что?
Нет, ничего! Все в порядке! Истины философские, хоть и вступают в противоречие с положениями Естествознания, которые развиваются благодаря парадоксу «Лжеца» (Слышали наверняка поповское выражение, «Что наука это учение от Лукавого /от « Лжеца»/), однако способствует и, что важно, покровительствует просвещению! И это здорово!
Сформулируйте хоть одну философскую истину, чтобы подтвердить свой тезис.
Мир, действительность творит (создает) звуковое слово! Для естествознания такое утверждение, мягко говоря, веселая ерунда! Однако, на такой «ерунде» уже погорело много здешних крепких умов. И у меня есть уверенность, что, следуя этой «ерунде», можно открыть еще много тайн и загадок природы.
<<<Мир, действительность творит (создает) звуковое слово! Для естествознания такое утверждение, мягко говоря, веселая ерунда!>>>
Т.е вы убеждены, что это истина. Боюсь, что не только для естествознания, но и для многих философов это полная ерунда. А ваша уверенность - это ещё не истина. Последняя фраза - пример настоящей истины.
я же говорю, что много крепких умов погорело. Дело в том, Виктор, что обратное выражение: «Не слово творит действительность», - является настоящим эвбулидовым «Лжецом», а не каким-то псевдопарадоксом в теории множеств.
Ладно, хрен с ней, с действительностью, скажите, Вам понятно, что письменных слов не существует??? Или это тоже ерунда?
Хоть письменное, хоть звуковое слово - это лишь знак.
Все с Вами, Виктор, понятно! Вроде взрослый человек, а до сих пор не знаете, что такое слово! В начальных классах наверное двоечником были!? Посмотрите у Даля, что такое слово!?
Ксари, 3 Май, 2026 - 11:14, ссылка
Если я двоечник, то может быть вы объясните мне, что такое звуковое слово? Конечно, если знаете.
Виктор, в учебнике для младших классов «Родная речь» (кажется такой был, если я правильно помню!?) было написано, что слово имеет фонетическую часть и семантическую! Надеюсь, догадываетесь, что семантическая часть слова отвечает за ПОНЯТИЕ, за ЗНАЧЕНИЕ, за СМЫСЛ, а фонетическая за ЗВУКИ!!! Так? Согласны?
Нет не согласен. Загляните в любой словарь или энциклопедию, найдите статью "слово" и убедитесь, что прав двоечник, а не вы.
Виктор, дело же не в словарях и не в двоечниках! Дело в понимании. Согласны? По глазам вижу, что согласны!!! Итак, простой к Вас вопрос: Где находятся понятия и смыслы?
Как это дело не в двоечниках? Вы же разговариваете с двоечником, значит именно в нем и есть дело. Но двоечник, в отличие от вас, прекрасно понимает, что смысл слова не может находиться в слове, ибо в таком случае тот же смысл никак не мог бы находиться в другом слове. Это ясно как дважды два. Язык со временем меняется, слова - единицы языка - меняются, а смыслы остаются, только обозначаются теперь новыми словами. Слово не содержит смысл, но лишь указывает на него, подобно тому как знак "кирпич" не содержит в себе запрет проезда, но лишь указывает на этот запрет. Содержит же он белый прямоугольник на красном фоне. Звуковое слово содержит звуки, а письменное - буквы, но никак не смысл.
Виктор, Вы зубы-то мне не заговаривайте:
Потрудитесь ясно, без кривотолков выражать свои мысли, Виктор!!! А то, видите ли у Него «Смысл слова находиться не в слове!» (Тот еще философ - как черт красноречивый) И попробуйте ответить, пожалуйста, со второй попытки на простой вопрос: Где находятся Смыслы и Понятия?
Что вам надо объяснять?
Вы прочитайте любое незнакомое вам слово, и если смысл его из него самого не ясен, то где смысл? Почему требуется пояснять новое слово, если смысл якобы в нём? Зачем словари и энциклопедии?
эврика, будьте добры поясните: Что означает глагол «прочитать»???
(Поверьте, многие думают, что прочитать - это значит взять бересту от берёзы и начать ею елозить взад и вперёд , приговаривая «вжик» - «вжик», как будто у тебя мерседес в руках! Сергей Борчиков, будучи деканом философского факультета, скажу Вам по-секрету, именно этим и занимается!)
Переводите стрелки, как всегда? Я сказал прочитайте незнакомое слово.
Я могу прочитать слова на незнакомом языке, но смысла не понимаю. По-вашему же, раз прочитал, уже понял смысл. Но смысл не в словах.
Продолжать разговор с вами - это плодить бред, и бред этот по-русски, а не по-аглицки.
Что означает глагол «прочитать», эврика? Потрудитесь ответить на этот вопрос?
Подмена смысла, в вашем случае; увод от смысла; передёргивание, отвод глаз и т.п..
Правильно! Подменой смыслов вы, эврика, с Борчиковым всю вашу сознательную жизнь и занимаетесь! Именно об этом я вам и толкую!
.
Сходите покакайте, эврика! И весь свой бред заберите с собой!
.
Сходите покакайте, эврика! И весь свой бред заберите с собой!
.
Вот, учитесь, Виктор, у эврики: Прибежал, языком о чем-то потрещал и убежал! То есть, отстаивать его «убеждения-заблуждения» Пушкин должен! Вы тоже, Виктор, не собираетесь отстаивать свои убеждения!?
Я даже рта не раскрывал.
Вам нечего доказывать, потому как вы не поймёте.
Дасвидания, эврика! Заметьте, я тоже рта не раскрывал!
Тогда как же вы протрещали это? Неужели без языка? Пустыми символами?
Эврика, купите себе учебник «Родная Речь», чтобы двоечником не ходить по Ф/Ш!
Ксари, 5 Май, 2026 - 15:49, ссылка
Мне кажется, я предельно ясно выразил свою мысль. Настолько ясно, что должно быть ясно даже тем, кто черпает свои понятия в детских воспоминаниях о чтении учебнике для младших классов «Родная речь». Мне же, как двоечнику, не предосудительно будет сослаться на словари и энциклопедии - где же еще учиться уму-разуму двоечнику;
СЛОВО, -а, мм. слова, слов, словам, ср. 1. Единица языка, служащая для наименования понятий, предметов, лиц, действий, состояний, признаков, связей, отношений, оценок - Словарь Ожегова.
СЛОВО, важнейшая структурно-семантическая единица языка, служащая для наименования предметов, процессов, свойств. - Болььшая советская энциклопедия
СЛОВО - слог или совокупность слогов, которые означают понятие, представление или какой-либо предмет. - Философский энциклопедический словарь.
Ваши словари здорово согласуются со статьей о Слове в Википедии, которую Вы так ловко избегаете! Не находите?
Понятия и Смыслы где находятся, Виктор? Вы можете ответить на этот вопрос?
Ксари, 5 Май, 2026 - 17:04, ссылка
Нет уж, вы сами ответьте на этот вопрос. Вы же отличник, а не я. И спорили мы о слове, а не о смысле. Вот с чего начался спор:
Я предельно доходчиво объяснил, что именно вы не знаете, что такое слово. И не нужно менять тему разговора. Признайте, что вы были не правы, и тогда, может быть, поговорим о смысле.
Виктор, Вас же предупредили, что много крепких умов погорело! А Вы как раз из крепких мужиков, который не знает где у него находятся мысли и понятия!? Предлагаю у эврики спросить, где у нас с вами находятся Мысли и Понятия!?
эврика, АУ! Мысли и понятия где у нас находятся, не знаете???
В памяти нейронной нейросети.
Понятия - это феноменальные образы всех видов чувственных представлений; а мысли - их последовательности, которые можно преобразовать в знаки.
Вот смотрите, Виктор, эврика, конечно как всегда плохо соображает, что пишет, но Он определённо намекает, что мысли и понятия находятся у нас в головах!!! (Представляете!? Кто бы мог подумать!?)
Итак, Виктор , Вам осталось сделать последние два шага! Всего-то открыть свои словари и прочитать в них два записанных слова «Понятия» и «Смыслы»! И как только Вы их прочитаете, то у Вас мгновенно в голове появятся эти два слова!!! Если не знаете, что означает глагол «ПРОЧИТАТЬ», то спросите у эврики! Он подлец всё знает!
Ксари, 5 Май, 2026 - 21:53, ссылка
На данный момент, Владимир, я уже все написал и мне добавить нечего. Теперь ход за вами. Признайтесь наконец, что вы неправильно понимали, что такое слово, и мы продолжим. В противном случае, не вижу смысла продолжать.
Виктор, честное слово, Вас прямо тянет сражаться со здравым смыслом на ветряных мельницах! Все же просто, мысли и понятия - это слова, которыми оперирует наш мозг! А Ваши приведенные из словарей единицы и знаки языка, не могут, чисто физически попасть в мягкие ткани головного мозга! (Ладно хочется Вам больше верить Википедии - верьте на здоровье! Но в философии Вы так и останетесь крепким мужиком похожим на баобаб!)
Если бы вы не обнаглели вконец, я может быть и позволил бы вам остаться при своих и продолжил дискуссию. В настоящем же положении дел продолжайте нести ваш бред про слова кому угодно. Мне как собеседник вы не более интересны, чем попугай.
Хорошо, дасвидания , Виктор! (Когда у человека в голове знаки из мела, только потому что он 1 + 1 сложить не может и верит в непогрешимость Википедии, тут как говорится, дасвидания двоечник!)
Пустое множество - это важный объект, который совсем не множество. Так же как сингельтон. Ну обозвали, и обозвали. В конце концов, ноль тоже обозвали числом.
Парадокс двух мешков вытекает из недостачи интенсионала в теории множеств. А не потому что он непонятен. Так же как и парадокс Рассела - принадлежность не определена никак,ни на чём, а это недостача теории.
Как же вы не поймёте, что никакого парадокса двух пустых мешков нет в теории множеств. Этот парадокс находится исключительно в вашей голове.
Ваша реакция мне понятна. Но аргументов не хватает.
Аргумент один, и очень простой. Вы не знаете, что такое множество. Опровергнуть его очень легко, ответив на вопрос, что такое множество. Предполагаю, что вы не сможете это сделать.
Это неопределяемое понятие в теории.
А не требую с вас точного определения. Я прошу объяснить, что это. Если не можете объяснить, значит не знаете.
В свое время я задавался этим вопросом , и пришел к выводу, что под этим словом понимают всё что угодно. Пустота? Пожалуйста. Уникальность, единичность - тоже
Счетную последовательность, и сложное высказывание, которое коммутативно.
Для меня же множество начинается с мощности 2. Сингельтон не множество, а только прикидывается им. Содержать сам себя в себе же... Нда... Ну и ещё . Множество наполнено элементами, которые создают его объем и определено (ограничено) предикатами, которые задают условия его существования как математического объекта.
Что и требовалось доказать. А ведь множества проходят в школе.
Хорошо, ещё один тест. На столе лежат 4 предмета. Сколько можно образовать множеств из этих предметов?
По предикату "предметы на столе" множество одно.
Еще одно подтверждение. Я не спрашивал, сколько множеств на столе. Это бессмысленный вопрос. Я спросил, сколько множеств можно образовать из предметов, лежащих на столе. Это легко подсчитать.
Множества должны создаваться по предикату, а не произвольно. Иначе получаются чудеса в решете по аксиоме выбора. Иначе диффузия объема, как у Куратовского. Вы задали условие "на столе". По условию - одно.
Ответ неправильный. Третий аргумент в пользу того, что вы не разбираетесь в множествах. Возникает вопрос, зачем вы лезете в область, в которой ничего не понимаете и в которой не можете ответить на элементарные вопросы.
Виктор, полунамеки не принимаются, обсуждать нечего.
Никаких полунамеков. Все сказано предельно четко.
Мы умственным усилием заключаем пустоту в красивые скобки, и на выходе имеем - непустое множество!!! Вуаля!!! Может, объясните, наконец, нам, несмышленым, как происходит сие волшебство?
Ну вот видите. Сами признаете, что не понимаете теорию множеств, раз просите объяснений. Или лукавите?
Хорошо. Ещё одна попытка.
Пусть имеется множество {1, 3, 2, 9}. Сколько существует подмножеств у данного множества?
ЕслЭто задача на комбинаторику. 13 должно быть,и если нет дополниьельнвх условий.К чему клоните? А на вопрос вы так и не ответили
Вообще-то 16. Если вычеркнуть пустое множество, то 15. А теперь попробуйте засунуть в 16, или в 15, или даже в 13 мешков 4 предмета, да так, чтобы в каждом мешке были разные комбинации предметов, и не последовательно, а одновременно. Тогда вы может быть поймёте, что мешки - негодная иллюстрация для понятия "множество".
Хорошенькая теория, ничего не скажешь. Можно родить 16 подмножеств, причем одновременно, и все они будут прекрасно уживаться друг с другом, да ещё так, что их нельзя сократить. Вы сказали, что логика предстоит математике, а тут математики произвели свою какую то сказочную невиданную логику, и сделали ее аксиомой. Волевым так сказать, усилием. Кстати, вы так и объяснили , что это за логическая операция такая заворачивание элемента в обёртку {}. На что это вообще похоже?
Суть в том, что вы не понимаете, что такое множество, не понимаете смыла этой "обертки", потому и заменяете ее мешками, папками и т.д. Пример с подмножествами и есть ответ на ваш вопрос - не обёртка, а выбор.
Выбор - это получается логическое деление по одному основанию, где основание - предикат. Имеем множество собак, добавляем предикат "рыжие" и по этому предикату отбираем подмножество рыжих собак. Экстенсионал (объем ) уменьшается, интенсионал (содержание) растёт. В общем, это имеет основание.
Но парадокс о двух мешках о другом. Пустота вообще не имеет объема, она объём отрицает. Пустое множество (ну и словечко!) одно, но связанных предикатами локальных пустот -бесеонечно много. По объему эти пустоты равны, но по своему определению - нет. Теория множеств ампутировала эту часть логики из за парадокса, и получился калека. Собственно, вылез другой парадокс.
Овчарёв Виталий, 3 Май, 2026 - 11:17, ссылка
У множества нет объема. Объем есть у понятия. И если вы хорошенько поразмыслите над этим, вы сами это поймете. По-вашему, объем множества - это те элементы, их которых оно состоит. Но это и есть само множество. Ничего другого в множестве нет. Объем множества - это и есть само множество. Поэтому-то никто (кроме вас) не использует словосочетание "объем множества".
Если вам хочется придумать какое-то свое "множество", то воля ваша. И ищите в нем противоречия "двух мешков". Ради бога. Но в классическом пониятии множества, которое, между прочим, изучают даже в школе, никаких таких противоречий нет. А то, что это понятие не укладывается у вас в голове - это только ваша проблема, и ничья больше.
Рудольф Карнап
>>множества - это те элементы, их котох оно состоит. Но>> есть ещё и предикаты, которые это множество определяют. Множество не исчерпывается элементами. Только вот эти предикаты обкорнали в ZF до условия выбора
<<< Множество не исчерпывается элементами... ещё и предикаты, которые это множество определяют >>>
Исчерпывается. Только вам этого, боюсь, не понять. С помощью предикатов одно и то же множество можно определить десятками и даже миллионами способов. Предикатов миллионы, а множество одно.
Это как, миллионами?
Овчарёв Виталий, 5 Май, 2026 - 20:19, ссылка
Я легко мог бы привести примеры того, как одно и то же множество можно определить разными способами. Но будет полезнее, если вы проделаете это сами. Возьмем, к примеру, простейшее двухэлементное множество - {1, 3}. Приведите хотя бы 3 различных свойства (предиката), которые однозначно определяют это множество.
{1,3} конечное множество нечётных чисел, с дельтой 1-3. Или - остановкк трамваев 1, 3 маршруты. Вопрос - это одно и то же множество?
Первое можно поправить, чтобы в свойстве не упоминались 1, 3. {1,3} - это множество всех нечётных натуральных чисел, которые меньше 5. Второе вовсе не годится, поскольку ссылается само на себя.
Ещё? Множество делителей числа 3. Ваш ход.
Честно говоря, я не понял, почему это множество ссылается само на себя. А вообще, как вы сами сказали, может быть масса предикатов, которые описываются через 1,3. Какие нибудь условия из алгоритма, например показания температуры, или 1, 3 циллиндр в четырехтактном двигателе, или ещё что... Но это разные множества, а не одно множество. Не множество с миллионом предикатов, а миллион нетожлественных множеств с элементами 1,3
Ответил здесь
Виктор, вы же сами поставили логику впереди математики. Значит, множество не должно висеть в абстрактной пустоте, а быть выразимо средствами логики. Я придумываю способ, которым можно выразить. Меня не устраивает то, что множество не имеет определения. Я бы, может, и обошёлся как то, но обойтись без Множества никак нельзя, Множество заполняет дыру в логике, а в нынешнем состоянии оно как Франкенштейн.
.
Чем больше я думаю об этом, тем дальше отхожу от аксиом в сторону конструктивизма. Множество имеет структуру и логически вытекает из некоторых онтологических условий. И в этом смысле оно прекрасно. Тут есть свое место и Единственности, и Многому, и Пустоте, и Числу. И даже снятию противоречия по Гегелю.
В теории множеств есть еще такой парадокс.
Как известно и доказано (теорема Кантора), любое множество M меньше по мощности множества всех его подмножеств (пардон, если напутал в формулировке, давно изучал...).
Берем такой пример: множество ВСЕХ множеств. Обозначим его как А. Тогда множество всех его подмножеств =: Z. Тогда, по меньшей мере, множество А является его элементом (потому что во множество всех подмножеств по определению входит в частности оно само, также как и пустое множество. В нашем случае А принадлежит Z. Но ведь А - множество ВСЕХ множеств, значит Z, являясь множеством, тоже принадлежит А. А раз они друг другу принадлежат, значит, они равны по мощности. Следовательно, теорема Кантора неверна.
В теории множеств считается, что пустое множество - ОДНО. Просто по определению. Если вы видите два пустых мешка, то это уже два отдельных элемента, а значит, множество мешков непусто. А если вы берете содержимое обоих мешков, то они содержат только одну вещь: пустоту. Все очень просто.
Два пустых мешка равны?
Нет, потому что один из мешковины, а другой полиэтиленовый. Как же они могут быть равны?
У них один и тот же элемент - пустота. По объему они равны, а иных критериев отделять множества друг от друга - нет. Значит, это одно множество, а не два.
Ну, хорошо, даже если условно предположить у них равные объемы, все равно внутренняя пустота будет иметь разный потенциал. Например, если попробовать в них налить воду, то результаты будут отличаться. Вообще, не стоит забывать о практическом применении воображаемых ситуаций. Иначе их можно смело ставить в один ряд с пустыми мешками и/или пустыми множествами.
kolarium, 29 Апрель, 2026 - 18:39, ссылка
Этот парадокс имеет место для наивной теории множеств. Наивная теория множеств противоречива. Современные теории множеств (1) непротиворечивы, (2) не признают множество всех множеств.
Нет, не по определению. Множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов. Пустое множество (по определению) не содержит никаких элементов, а потому любые два пустых множества равны - так как содержат одни и те же элементы, а именно - не содержат никаких.
Хм... хорошо. Но тогда "теории множеств", построенные по таким правилам, не могут быть универсальными и имеют ограниченную область применения. Как, впрочем, и любые другие теории. Ведь такое действие как "признание" или "непризнание" относится не к логике, а к вере, к первоначально заданным условиям, правилам.
Из ограниченности теории вытекает одна глубокая философская вещь: что вероятность сбоя любой теории в применении ее на практике никогда не равна нулю.
Отношение эквивалентности не нарушает общность моих рассуждений о пустом множестве.
"Ноль, прибавить ноль... отнять ноль... умножить на ноль... и все равно будет ноль!" (из фильма "Старая, старая сказка")
1. Множество всех множеств заведомо превосходит потребности любых теорий, поэтому его отсутствие не является реальным ограничение.
2. Пустое множество. Мой протест был вызван исключительно фразой "по определению". Нет, не по определению, а доказывается как теорема. А в остальном нет претензий.
Возможно, это так, но о трансцендентных ("бесконечных") вещах лучше не делать категоричных заявлений, поскольку они ограничивают полет философской мысли...
Принято. Поясню, что теории множеств изучал, извините за выражение, лет 40 назад. Мог что-то запомнить неточно. А может, за это время и теории эволюционировали, кто знает...
Интересно, что в матанализе есть теорема, утверждающая, что теория множеств эквивалентна математической логике, с точностью до терминологии. Это я к чему? Если так, то "множество всех множеств" в чем-то будет соответствовать абсолютной (безусловной) Истине...
Понятие, слишком общее и абстрактное, чтобы можно было придумать, где его применить. Поэтому любая реальность условна и ограничена. В противном случае в ней бы отсутствовал контекст, а значит, доступность для восприятия.
kolarium, 29 Апрель, 2026 - 22:25, ссылка
Не знаю такой теоремы. Был бы благодарен, если бы привели соответствующу. ссылку
Ссылку сходу не могу привести, но помню, что нам ее давали на курсе матанализа. Суть кратко состоит в следующем.
Множество соответствует высказыванию.
Пересечение и объединение множеств соответствует операциям И - ИЛИ
Дополнение множества - операция НЕ. Кстати, здесь можно обнаружить, что отрицание всегда по умолчанию подразумевает какой-то контекст (ограничения 2-го порядка).
Кванторы всеобщности и существования - это манипуляции с элементами множества.
Вот интересна импликация (аналог логического следования): если в логике "Из p следует q", то в теории множеств "множество Q является подмножеством множества P". Очень философское утверждение, с помощью которого можно как бы "вывернуть наизнанку" древо логических рассуждений, т.е. понять, что аксиоматика в теории - это изначальное ограниченное множество, и все наши логические ходы происходят как раз внутри этого множества. Мне лично эта аналогия логики и теории множеств очень помогает более наглядно представлять ход мыслей.
kolarium, 29 Апрель, 2026 - 22:44, ссылка
Не можете, так и тема закрыта. То что вы помните, ни о чем не говорит. Нужная точная формулировка теоремы, а так...
Как говорил Жан-Поль Сартр, знание - это то, что остается в нас, когда сама информация уже забылась. Как-то так... Я пользуюсь логикой, знаю, как она работает, но зацикливаться на этом инструменте, считая его единственно правильным, не имею желания. Поэтому пользуюсь и другими. Считайте, что я дал вам "информацию к размышлению", некоторое зерно, с которым вы можете поступать, как вам угодно. Логика для меня - давно пройденный этап, и я, образно говоря, черчению предпочитаю живопись: пусть последняя не столь точна, но гораздо более информативна и имеет гораздо больше степеней свободы. Все равно все люди разные, и любое высказывание, любую мысль каждый поймет по-своему, в той или иной степени. Здесь добиваться "точности" и "однозначности" означает механизировать и роботизировать мир, в котором мы живем, убивая в нем жизнь тем самым. Мне очень лениво искать "точные формулировки" той теоремы, тем более ссылки на нее, хотя я ею экзистенциально пользуюсь и попросту вижу, как это работает. И для меня этого достаточно. У вас может быть по-другому. Каждый строит свой мир, свою Вселенную, но некорректно пытаться свести все эти картины к единообразию и тем более требовать этого от других. Это противоречит главному принципу Вселенной - принципу Жизни. Техногенность рано или поздно заведет нашу цивилизацию в тупик, это чувствуется и видно уже сейчас. спасибо за беседу.
Все проще гораздо - в матанализе нет такой теоремы. Спасибо, что выслушали.
Эта теорема неформально могла бы звучать так: некоторые понятия с объемом и содержанием отображаются как множества с экстенсионалом и интенсионалом. И наоборот. Между этими "некоторыми" может быть установлена категориальная биекция.
Не надо выдумывать. В матанализе и слов-то таких нет - понятие, объем понятия, содержание понятия, экстенсионал, интенсионал и проч.
Это конечно, не матанализ, да и не математика. Это так... Мысли.
Но думаю, если задаться целю, можно построить универсальный компилятор из одной теории в другую. Ханов этим баловался, но несерьёзно.
Для решения парадокса Рассела достаточно сделать два действия. Заменить множество всех множеств - предельным множеством, таким, которое не утверждает принадлежность самому себе. А во вторых, разобраться с отношением принадлежности, откуда у него ноги растут, и на чём оно определяется. Принадлежность несимметрично: если a принадлежит b, то b не принадлежит a. И нерефлексивно. a не принадлежит самому себе. Уже хотя бы это уничтожает парадокс: принадлежность самому себе логически безграмотно так же как деление на 0.
.
a принадлежит b - обе переменных ссылаются на общий предикат. Если a при ссылке на общий предикат объект референтен, то это подобие (неполная конгруэнтность), а не принадлежность. a действительно подобен себе по предикату. Конгруэнтность - ещё более сильное и референтной отношение. Референт конгруэнтности - весь интенсионал, а не его часть (предикат). Все существенные свойства конгружнтных объектов референтные. Пример - две копии с конвейера. Но экстенсионалы (объемы) у каждого объекта свои. И самое сильное отношение - тождество.
Согласен что мешок один, только если у него нет начала и конца, а это значит что всё не относительно, а всё бесконечно.
Если мешок пустой, то из этого не следует, что его внтренний объем заполнен пустотой...,))
kosmonaft, 30 Апрель, 2026 - 12:08, ссылка
Если мешок пустой, то из этого не следует, что его внтренний объем заполнен пустотой...,))
__________&&&________________
Если из гаража убрать машину, то гараж будет пустой.)))
Наверное. Если, конечно, вместе с машиной из гаража исчезло всё, то там находилось...вместе с воздушной смесью.
Но...Даже в этом случае в пустом гараже осталось пустое внутренне ПРОСТРАНСТВО...,))
До пространства вообще, было пространство вакуума.)))
A и B равны по внутреннему объёму.
Это чисто Матиматические абстракции.
В реальности есть "материал мешка",
например его описание в массиве диска.
Или даже реальный материал,
мешок Кубинский, а какао из Кот Д Ивуар.
Речь идёт о правильной формализации. В этом случае материал, из которого сделан мешок - несущественно. Ибо математический объект , который соответствует мешку, определяется не самим мешком, а его содержимым. Если угодно, все коробки , папки, мешки, гаражи формализованы одинаково: {}.
Если взять просто объёмы информации,
без привлечения "мешков" (папок),
то каких либо парадоксов не будет.
Не понимаю
В топе вы написали,
что "пустое множество единственое",
я не вникал в эти вопросы Матиматики,
но очевидно, что пустых Папок может быть много!
Вы взяли Логики разных дисциплин,
но там везде свои формальные основы ...
Вопрос : допустимо ли, когда математическая теория противоречит логике?
У матиматиков свои матиматические понятия.
Для чего и кто их формулировал вопрос.
Вероятно внутри матиматики с логикой порядок.
А может быть и не очень.
Главное понимать,
что понятия матиматики
могут отличаться от понятий в других науках,
например естестесвенных,
и каких то прикладных,
хотя обозначаться такими же словами.
Отдельных слов на всех не хватает.
(И как после этого буду возражать
на тезисы типа "в Философии бытие это реальность" ?
Но я же философ, я Философию лучше знаю )))
Ну, если математика позволяет себе нарушать логику, то мне математика не очень интересна. Однако, ту же теорию множеств потрясли парадоксы Рассела, которые строго логичны.
Тут без матиматики с Ахилесами не разберуться.
По сути, те же проблемы абстракций.
В реальном мире чевидно,
что вещь не может содержать себя в себе.
Попробуем вобразить что угодно, не выходит.
Можно приложить ещё усилия,
например кольцевая комната с дверью.
Ходим по кругу.
Но всё равно эта комната не содержит себя в себе.
Возьмём Компьютер :
Можно програмно написать,
что бы вы открывая диск C,
оказывались там же.
Но это не значит что диск C содержит себя в себе.
И в реальности вроде понятно,
что то что содержит в себе,
должно быть больше содержимого.
Матиматики хотят найти минимум аксиом.
Принадлежность связывает объекты по основанию общего предиката. Множество и элемент. Объект не принадлежит себе по одному предикату, объект подобен себе по одному предикату. То есть референция по одному предикату занята отношением подобия. А принадлежность не референта. Это доказательство раскрывает бессмысленность "множество принадлежит само себе".
.
Сейчас , к сожалению, отсутствует теория отношений, где каждое отношение занимало бы своё место и вырастало бы из другого отношения. Если бы такая теория была, то все споры закончились бы.
Тут, как я вижу, уже логическая ошибка.
Я не в курсе всех специфических понятий,
но включение себя в себя,
по моему, и по общей логике,
не то же самое, что принадлежность и подобие !
Поиск аксиом - частный случай философской проблемы поиска первопричины. Обычно то, что по умолчанию считается "аксиомами", найдено иррационально, или, если точнее, интуитивно. Ведь "очевидность" - это не логическое понятие, напротив, любая логика строится от аксиоматики, отталкиваясь от "очевидностей".
Задумаемся вот над чем. Для чего стремятся минимизировать количество аксиом в теории? Ответ прост: для того чтобы теория охватывала максимальный объем наблюдаемой реальности (это уже не математика, а философия: чем глубже погружаемся в причинность, тем глубже и обширнее наше понимание природы вещей). Найденная система и/или совокупность этих "самоочевидных" понятий и утверждений априори предполагает их "реальность", а значит, "истинность". То есть, получается, что чем более широкую область реальности мы охватываем своей аксиоматикой, тем более универсальную логически непротиворечивую теорию мы способны построить на ее основе. Логично? Тогда следующий вопрос: что мы можем получить в пределе этого абстрагирования, если будем копать все глубже и глубже? В рамках логики - такое супер-пупер-утверждение, из которого могут логически вытекать ВСЕ остальные утверждения, даже те, которые нам сейчас кажутся взаимоисключающими (теза - антитеза - синтез). По идее, это утверждение (если оно, конечно, существует) должно быть самым-самым истинным, или, чего уж там, тем самым абсолютно истинным утверждением, или, если выйти за рамки логики, АБСОЛЮТНОЙ ИСТИНОЙ вообще!
И отсюда, кстати, вполне себе естественно приходит понимание о невозможности логически вывести это утверждение. Наоборот, закрадывается подозрение, что все наши рассуждения и логические выводы подспудно подразумевают, что они все без исключения исходят из этой супер-пупер аксиомы, к которой столь тщетно пытаются приблизиться "матиматики", да и философы вообще. Проблема не только в том, что она находится за границами любой логики, но и в том, что она находится за границами любого сознания вообще, присутствуя, в частности, в контексте мышления в виде самоочевидного "умолчания". Как-то так...
Овчарёв Виталий, 7 Май, 2026 - 18:16, ссылка
Сказать "множество {1, 3}" или "множество, состоящее из 1, 3" значит сказать одно и то же. И не важно 1 и 3 - это номера маршрутов, или номера вагонов поезда, или показания термометров. Я же просил другой предикат., т.е. некоторое свойство, которым обладают только два числа - 1 и 3.
Вот вам еще пример:
Множество решений уравнения x^2 - 4x + 3 = 0.
Это уравнение имеет в точности два решения - 1 и 3. Соответственно множество его решений {1, 3}.
Ваш ход.
Да вот вы сами и привели ваши примеры. Множество , предикат которого - нечётное число. И множество решений. Вы и теория zf считаете, что множество {1,3} - одно, а я считаю, что множеств {1,3} много, потому что они равны, но не тождественны. Тождественны 1,3- числа, а не множества. У чисел нет предикатов, а у множеств - есть. Об этом парадокс двух мешков.
"У чисел нет предикатов" Упс...
"Я считаю, что множеств {1, 3} много" - А как вы думаете, математикам в данном случае не до лампочки, что считает Овчарев Виталий? Думаю, до лампочки. Создайте свою теорию множеств, и считайте там что хотите.
А зачем придумывать множества, если есть просто числа? Ну работайте с числами, и радуйтесь себе )) что такого есть в множествах, чего нет в числах? Вы об этом задумывались?
А зачем нужны трусы, если есть майки. Что такого есть в трусах, чего нет в майках. Вы задумывались?
))
Ответьте на вопрос, каким предикатом 2 отличается от 3?
Честностью. Я с вас балдею.
Это вы о чем
Там была автокоррекция. Не отследил. Четностью.
Ну да, это я ляпнул не подумав. Но если есть множество чётных чисел , то значит оно описывается предикатом Четное, который есть понятие, и формулой которая примерно то же самое, но на языке алгебры. Как вы от предиката ни отбрыкивайтесь, он не уничтожим в множестве. Предикат (а если шире - функционал) определяет множество. И равные множества {1,3} могут определяться разными предикатами. {1,3}|нечётное<5 и {1,3}|исход задачи. Одно и то же?
Разумеется, одно и то же.
Тогда множество {1,2,3...n} можно объединить с множеством {1/2}
Овчарёв Виталий, 8 Май, 2026 - 08:28, ссылка
Любые два множества можно объединить.
P.S. Не понимаю, что вы имеете в виду под множеством {1, 2, 3...n}. И ни один математик не поймет.
Множество натуральных чисел
Это ПРОИЗВОЛЬНОЕ конечное множество, составленное из первых
n натуральных чисел и дополнительного элемента
1/2. Оно не обладает какими-то особыми алгебраическими или топологическими СВОЙСТВАМИ, если не задано дополнительных условий.
Вот оно в чем дело! Бессмысленное множество! Произвол математики.