Математика и фальсификационизм. Подходы к решению проблемы.
А. Болдачев провел очень интересную видео дискуссию, но ситуация от этого не только не прояснилась, а кажется, еще больше запуталась. На мой взгляд все станет на свои места, если бы этой дискуссии предшествовал разговор о структуре процесса познания. Не различение составляющих этого процесса и приводит к большой путанице как в науке так и в математике.
Второй момент на котором не акцентировал внимание А. Болдачев, это причина приводящая к фальсифицируемости теорий. Понимание почему любая научная теория обязательно может быть фальсифицируема (оспорена, мне этот термин нравится больше) снимает много не нужных вопросов.
Но давайте по порядку. Структура процесса познания, на мой взгляд, наиболее кратко и полно изложена в теории Патанджали - Вьяса. Она включает в себя:
1. Непосредственное чувственное восприятие объекта. Его сфера - познание общего и специфического в объекте.
2.Умозаключение, есть действие сознания по выявлению связей между объектами. Его главная функция выявление общих закономерностей.
3. Ментальное конструирование или вымысел. Оно не восходит ни к истине ни к заблуждению.
4. Заблуждение, это знание основанное не собственной форме предмета, оно устраняется при помощи истинного знания.
Любые теории есть продукт умозаключения, но в основе у них всегда лежит чувственный опыт. Почему все теории могут быть оспорены. Потому что наш чувственный опыт всегда ограничен. Мы не можем охватить всю бесконечность потенциальных фактов. Поэтому ученые всегда работают с выборками фактов ограниченного объема. Для каждой выборки можно установить общие закономерности, которые и мы называем законом или теорией. Но за пределами каждой выборки всегда есть факты которые не вписываются в данную теорию. Увеличивая объем выборки мы будем постоянно создавать новые теории.
Кроме этого природа нашего сознания такова, что при создании теорий активно используется ментальное конструирование. Это когда мы пытаемся синтезировать не синтезируемое. Например - избушка на курьих ножках. Но ученные делают это более искусно и правдоподобно. В науке сюда относятся: метрическая мера длины - метр, меридиан, бесконечно малая, чиcло i, и многие другие вымыслы, которым в реальной природе ничего не соответствует. В процессе развития теорий, когда все усложняется, умозаключения и вымыслы плотно переплетаются, прячутся в хитроумных формулах и определениях, так что становятся совершенно не различимы.
А. Болдачев пытался распутать этот клубок, но думаю это успешно можно сделать только с учетом структуры процесса познания, а именно составляющей связанной с ментальным конструированием. И идя от простого к сложному, так как вымысел отличим только на стадии его первоначального использования.
- Виталий Андрияш
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
"чувственный опыт. " и "ментальное конструирование" - ?
Вопросов больше нет.
На семинаре обсуждалась вполне конкретная проблема фальсификации математических теорий, которая, на мой взгляд, практически никак не зависит от темы "Структура процесса познания", поэтому мне и сказать-то нечего. Спасибо
Александр не хотел отнимать ваш "хлеб", но поскольку вы не хотите расширять подход к вашей теме, позволю себе это сделать с позиции ранее мной сказанного.
Поговорим конкретно о математике. Как происходит фальсификация математических теорий. Например, рассмотрим Евклидову геометрию. В объеме выборки фактов связанных с Евклидовым пространством она абсолютно верна и неоспорима. Но вот пришел Лобачевский и предложил рассмотреть новую выборку фактов связанную с выпуклым пространством. Здесь все теоремы Евклидовой геометрии оказываются неверными. Сумма углов треугольника уже не равна 180 градусов и.т.д.
Как видим термин фальсифицируемость указывает не на неправильность теории, а на ограниченную область ее применения. Неправильные теории попадают под другое определение - заблуждение. Поскольку в математике нет ни одной теории применимой на все случаи жизни, то все они должны подчинятся принципу фальсифицируемости. Таким образом по К. Попперу математика попадает под определение науки.
Но в математике, как и в других областях науки есть проблема ментального конструирования, которая значительно запутывает ситуацию. Например рассмотрим вопрос о не прерывности функций и зачем Лейбницу понадобилось придумывать бесконечно малую величину. Все мы знаем что при построении функции по точкам в итоге мы получаем ломанную кривую. Для увеличения точности мы сокращаем интервал между точками на осях координат, но кривая все равно остается ломаной и будет оставаться ломаной сколько бы мы не уменьшали интервал между точками на осях координат. Как же в таком случае перейти к непрерывной кривой. Лейбниц придумал для этого отрезок между двумя точками который не имеет длины. Поэтому и сумма любого числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.
Поскольку эта теория является ментальной конструкцией и по определению не относится ни к истине ни к заблуждению ее невозможно ни оспорить ни доказать. Другими словами по Попперу она не фальсифицируема, поэтому не попадает под определение научности. Но на основе этой теории возникло дифференциальное исчисление которое получило бурное развитие и заняло прочное положение в математике. Поэтому математика это плотное сплетение научных теорий и не научных ментальных конструкций. Парадокс заключается в том что на практике вычислений вся эта смесь дает, пока вполне удовлетворительные результаты.
Виталий Максимович,
Фокус в том, что если вы полагаете возможной бесконечно малую, то обязаны полагать возможной бесконечно большую их сумму. Иначе это софизм чистой воды.
Неопределённость в общем случае. Б.м. ведь неопределены иначе как в движении, апроксимируем конечную кривую, сумма(длина кривой) конечна, как и интеграл определённый будет соответственно конечным, а неопределённый бесконечным. Предельный переход от движения к точке покоя, прыжок через бесконечность, неопределённость, которую и призвана заполнить собой совокупность,сумма Б.м. Вобщем тут можно глубоко порыть, всё же не самые глупые люди более двух столетий спорили о данном предмете.
Как возможность да, такая имеется. В частном случае.
.
Надо быть точным в словах, но ни на словах. Фальсифицируемость теории и ограниченность теории - это что-то разное. Опровергнуть теорию не значит ограничить ее. Если не замечать разницы, можно многое упустить и напутать.
Я благодарен Александру Болдачеву за примеры, размышляя над ними, так или иначе, либо приходишь в итоге к сомнению, либо наоборот - подкрепляешься в своей позиции. Я только утвердился в итоге в своей позиции, если мы вспомним пример с гигантским треугольником. Представьте себе картину: люди думают, что Земля - это плоский блин, они взяли веревку, протянули ее на большие расстояния, замкнули и получили огромный треугольник. Измерили сумму углов - оказалось, не равно 180. Что думают при этом люди? Если геометрия Евклида рассматривает фигуры на плоскости и утверждает, что сумма углов должна быть равна 180, то, стало быть, тот треугольник, который мы образовали, не является плоским. Земля не плоская! Вот так вот - опираясь на геометрию Евклида, они приходят к совершенно правильным выводам, и "фальсификация" теории оборачивается торжеством теории.
Ну и потом, у нас есть две геометрии - евклидова и неевклидова. Кто кого сфальсифицировал? Обе теории ограничены и никто никого не опровергает. Неевклидова геометрия рассматривает другое пространство и никак не опровергает евклидово. Хочу заметить, что неевклидова геометрия - это не стереометрия Евклида.
А теперь проанализируйте картину с лазером и двумя зеркалами на больших расстояниях, которые последовательно отражая луч, посылают его опять в исходную точку, образуя тем самым треугольник. Измерили сумму углов - оказалось, не равно 180. Ваши выводы.
Выводы будут подобны тем, что описаны выше. Если речь идет о том, что лазеры образовали треугольник в пустом пространстве, то, стало быть, это другое пространство, неевклидово. Обнаружить ограниченность теории - не значит опровергнуть ее. Чтобы опровергнуть геометрию Евклида, надо либо перебрать всевозможные треугольники на плоскости и найти хотя бы один, сумма углов которого отлична от 180 (ясно, что такого треугольника нет), либо опровергнуть аксиомы, на основании которых строго доказано это свойство треугольника. Только тогда теория будет сфальсифицирована. Во всех остальных случаях мы обнаружим ее ограниченность, а не ложность.
Понимаю, в чем загвоздка. Вот то самое реальное пространство, в котором мы живем, евклидово оно или нет? Евклидова геометрия рассматривает свои объекты в евклидовом пространстве - в пространстве с нулевой кривизной, неевклидова - с ненулевой. Все дело в начальных условиях. Отдавать предпочтение одним фактам больше, чем другим - не вижу смысла.
Однозначно разными: в первом случае речь шла лишь о заключении об объекте - треугольник не плоский, а во втором о самой теории - она не является достоверной теорией в пространстве, в котором проходило измерение, не годится для его описания (то есть проблема не с объектом, а с теорией).
Так это одно и тоже: утверждение об ограниченности теории тождественно утверждению о ее ложности за пределами этих границ. Фальсификация (констатация эмпирической ложности некоторого предсказания теории) и фиксирует эти границы.
Проблема во взаимопонимании лежит в использовании слова "фальсификация" в разных значениях: фальсификация - это утверждение об эмпирической ложности некоторого предсказания теории, а не заключение о полной ложности теории, которую после фальсификации следует выкинуть в корзину. Мы так и говорим, что в эксперименте с лазерами евклидова геометрия была фальсифицирована (то есть ее предсказание оказалось ложным), но из этого ничуть не следует ложность самой теории, мы лишь делаем вывод об ограниченности ее предмета - предметом евклидовой геометрии является не любое пространство, а только пространства с нулевой кривизной.
Вы же понимаете под "фальсификацией" утверждение о ложности теории вообще, мол, после фальсификации ее следует забыть. То есть трактуете фальсификацию, не как утверждение об единичном факте опровержения предсказания теории в конкретном эксперименте, а как полную фальсификацию подразумевающую отсутствие истинных предсказаний вообще.
Еще раз: о верификации и фальсификации теории мы говорим только и исключительно относительно проверки ее единичных предсказаний. Как верификация некоторых теоретических выводов не делает теорию безусловно истинной, так и фальсификация таковых не делает ее однозначно ложной, а лишь накладывает ограничения на предмет теории. Фальсификация классической физики при измерениях движения со скоростью близкой к световой не делает классическую физику ложной, а лишь фиксирует границы ее предмета, область ее достоверности.
Разве может теория быть немного ложной? В ней все строго логически связано, либо она ложная, либо нет. От этого я и танцую.
Почему приведенный вами пример я не считаю фальсификацией геометрии Евклида? А как же быть с теми фактами, которые ее подтверждают? Ведь если я признаю теорию сфальсифицированной, то значит я признаю противоречие в самих фактах, в самом опыте - у этих треугольников 180, а у этих не 180. Поэтому я заключаю об ограниченности теории. По вашей логике нам, выходит, вообще следует признать все теории сфальсифицированными, ведь все они ограничены. Но критерий-то говорит о возможности фальсификации, а не о факте фальсификации.
Кстати, покопался в интернете по поводу интерпретируемых и неинтерпретируемых теории. Насколько я понял, в науке интерпретация (по сути, объяснение, толкование) теории означает отношение этой теории к эмпирическому содержанию, к реальности, т.е. геометрия Лобачевского была неинтерпретированной теорией изначально, в теории относительности она получила интерпретацию. В математике немного подругому: может ли одна мат. теория быть интерпретирована в символах и знаках другой теории. Если может - хорошо, если нет - ну и не надо. Не знаю, какое отношение это все имеет к верификации/фальсификации. Кстати, когда говорят о пространстве с положительной кривизной как о сфере, это и есть, можно сказать, интерпретация неевклидовой геометрии в геометрии Евклида. Информацию взял из учебных пособий, возможно я чего-то недопонимаю.
Немножко не может. Теория, а точнее теоретическое суждение (предсказание) теории может быть либо научно (а не логически) истинным (верифицированным) или ложным (фальсифицированным). И любая научная теория, поскольку она имеет свою область достоверности, внутри этой области будет давать истинные суждения, в вне - ложные (классическая механика дает истинные (верифицируемые опытом) предсказания при низких скоростях, и ложные (фальсифицируемые опытом) при близких к скорости света.
Получается, что вы танцуете не от печки, а только от ее части - то есть только от логической непротиворечивости теории. Но отсутствие логических ошибок в теории не делает ее научной теорией - перед нами просто логическая система, которую для того, чтобы быть признать ее научной, еще надо дополнить эмпирической частью - верификацией/фальсификацией.
Да, теоретическая/логическая система может быть либо противоречивой, либо непротиворечивой (о системе не принято говорить как об истинной или ложной). Но мы обсуждаем не логическую истинность предсказаний теории (которые, конечно, истинны, если в теории нет ошибок), а их эмпирическую истинность - совпадают они или нет с эмпирическими суждениями (результатами опытов). А вот тут-то одно и тоже теоретическое суждение в одних условия (при низких скоростях, при кривизне равной нулю) может оказаться эмпирически истинным, а теория достоверной, а при других условиях (при скоростях близких скорости света, в пространствах с кривизной отличной от нуля) - ложным, а теория недостоверной. То есть чуть-чуть не бывает, только либо-либо. И одна теория может оказаться и достоверной, и недостоверной (как и одно суждение в одно системе будет истинным, а в другой ложным). Тут никаких загадок и чудес.
Вы опять о фальсификации рассуждаете, как об абсолютной. Геометрия Евклида является достоверной (верифицируемой) теорией в пространстве с нулевой кривизной и недостоверной (фальсифицированной) в пространствах с ненулевой кривизной. И там и там факты, которые указывают на область достоверности теории.
Еще раз повторю, что писал в предыдущем комментарии: ограниченность теории и означает, что она фальсифицирована (ее предсказания опровергнуты) за пределами границ области достоверности. Фальсификация теории - это опровержение ее теоретических предсказаний, а не полное отрицание теории. Полностью отказаться от теории мы должны только тогда, когда все ее предсказания будут фальсифицированы, тот ее область ее достоверности будет равняться нулю.
Да, спасибо, вы точно (на мой взгляд) изложили смысл интерпретации теорий.
Самое непосредственное - то есть именно это отношение мы и обсуждали с математиком в ЖЖ. Если математическая теория не интерпретирована (не сопоставлена ни с чем кроме себя), то она представляет собой чистую логическую систему, по сути, логическую игру. Такая система не делает никаких суждений о чем-то вне себя, а следовательно не может быть ни верифицирована, ни интерпретирована. А вот интерпретированная теория, наоборот, делает суждения о чем-то вне себя, скажем, о другой теории и эти суждения уже могут быть проверены на истинность сторонними методами, скажем, расчетными. (О чем я и рассказывал на семинаре).
boldachev, 13 Апрель, 2016 - 13:15, ссылка
Извините, что влажу. Первый вывод , самый простой и очень может быть, что единственно верный : измерение повлияло.
На что повлияло? На пространство?
boldachev, 13 Апрель, 2016 - 17:25, ссылка
Повлияло на результат.
грубый пример: если вы измеряете температуру воды в сосуде засунув туда термометр. то оказывает температура термометра, его размеры и прочее на результат им показываемый? оказывает. А измеряете-то вы температуру воды и термометр к ней никакого отношения не имеет.
Так и в случае с измеряемыми углами.
В этом эксперименте точно можно сказать лишь одно: результат такой-то. и всё. почему он не 180 градусов - ответа нет.
Могут быть лишь предположения, типа:
1. Зеркала повлияли;
2. Что-то повлияло на сам луч( или ЭТОТ луч ведёт себя так при таких условиях всегда - отклоняясь);
3. Повлияло вмешательство измерителя (инструмента измерения и пр.)
4. Повлияло что-то иное ( среда проведения эксперимента , ..., ...) и т.д.
Возможно ли искривление пространства?
Возможно.
На каком месте будет это предположение, учитывая что самое пространство не обнаруживается как Нечто вообще ничем на сегодняшний день?
Думаю, где-то между "Так шутит Бог" и вмешательство коварных инопланетян.
Последнее предложение шутка.
Разве не так?
Обычно, когда результаты эксперимента упоминаются при обсуждении философских проблем, подразумевается, что все проблемы с достоверностью измерений, с устранением всяких влияний решены - факт можно принимать для теоретического рассмотрения. То есть мы рассматриваем ситуацию фальсификации теории.
boldachev, 13 Апрель, 2016 - 22:06, ссылка
Ключевое слово "подразумевается". И, да, "факт можно принимать для теоретического рассмотрения" (кто запретит-то?). Но при этом разве на этот факт можно ссылаться, как на истину? Ведь это лишь предполагаемый факт.
В плане же данного рассмотрения вы правы. Извините, за вмешательство.
Здесь, на мой взгляд, вы из правильного посыла сделали некорректный логический вывод. Да, фильсифицируемость теории указывает на ее однозначную ограниченность, на конечность ее области достоверности. Но при этом неограниченность нельзя понимать как утверждение того, что теория является теорией всего. К примеру, когда мы говорим об ограниченности классической механики движением со скоростью значительно меньшей скорости света, мы не подразумеваем, что отсутствие ограничений означало бы, что классическая механика является теорией всего - и инфузорий, и атмосферных явлений, и психики человека. Поэтому ваш тезис "в математике нет ни одной теории применимой на все случаи жизни" нельзя использовать для каких-либо заключений. Все теории не применимы "на все случаи жизни", но из этого же мы не делаем заключения, что все теории научны.
Ну и еще, поперовский критерий применим лишь к конкретным теориям, а следовательно и выводы должны касаться только отдельных теорий, а не распространяться на познавательную сферу (всю математику).
Теории К. Поппер делит на:
1. фальсифицируемые, - применимые только в пределах определенной выборки фактов. Поскольку они истины в пределах выборки он относит их к научным.
2. Заблуждения - теории не соответствующие истине, например земля плоская. Они разумеется не научны.
3. не фальсифицируемые - ментальные конструкции, которые не относятся ни к истине ни к заблуждению. Это продукты собственной деятельности сознания которые не отражают объективной реальности. Поэтому они не научны.
Не фальсифициремые теории как раз и есть самая интересная тема для обсуждения, так как о них застенчиво умалчивают, а математика как и физика полна этих вымыслов и мы о них говорим так же серьезно как о истинных научных теориях.
Можно подтвердить цитатами это разделение. Вроде никаких ментальных конструкций и заблуждений у Поппера не было.
А примеры можно?
А как вы трактуете - не фальсифициремые теории и почему они не научны.
Что касается цитат, то когда появится время я перелистаю Поппера, которого читал несколько лет назад. Сейчас моя точка зрения основывается на том понимании которое у меня сформировалось.
Что касается примеров то я их уже привел в своем сообщении, более подробно они рассмотрены в статье " К вопросу ментального конструирования в научных исследованиях и системе научный знаний" см. в библиотеке ФШ. Здесь существует проблема распознания ментальных конструкций так, как они так прочно въелись в наше сознание, что без них мы не можем представить наше понимание мира. Например меридиан - он существует только у нас в голове, в природе его нет, но Ж. Деламбар умудрился его измерить. И одну сорокамиллионную часть назвал эталоном длины - метр. Правда он не объяснил чем он его мерил если метр был еще не придуман.
Для того, чтобы ссылаться на Поппера надо действительно сначала его перелистать. Перелистайте. А до этого (и без цитат) писать от себя, мол, я (а не Поппер) так вот себе думаю.
И история с примерами уже набла оскомину: зачем отсылать куда-то, вместо того, чтобы перечислить здесь (хотя бы процитировать себя).
1.Александр, критика должна быть конструктивной. Вы уходите от ответа что вы понимаете под не фальсифицируемыми теориями и почему они не научны. Желательно с цитатами Поппера. Иначе получается - что я с вами не согласен, но аргументировать почему не могу.
2.Если вы настаиваете, Поппера перечитаю и приведу цитаты, но на это потребуется несколько дней.
3. Примеры ментальных конструкций: единица измерения - метр, бесконечно малая Лейбница, число i, меридиан, космологическая сингулярность, думаю достаточно.
1. Не фальсифицируемая теория - это теория, которая не имеет эмпирически проверяемых предсказаний.
2. Можете и не перечитывать, просто не пишите "как сказал Поппер" если не уверены, что можете это "сказал" подкрепить цитатами.
3. А какое отношение эти "конструкции" имеют к проблеме фальсификации? Они же не теории.
Извините за задержку с ответом, был в отъезде.
Приведу примеры теорий не имеющих ни одного экспериментального подтверждения - это теория относительности Эйнштейна, теория Большого взрыва, в основе которой лежит логически очевидная выдумка о космологической сингулярности.
Теперь зададимся вопросом, почему они не могут быть подтверждены на практике? Я вижу только одну возможность ответа - это вымыслы или ментальные конструкции, которые по определению не относятся ни к истине ни к заблуждению. Поэтому их не возможно ни доказать на практике ни оспорить.
Приведенные мной ранее примеры ментальных конструкций лежат в основе многих теорий, например, бесконечно малая лежит в основе дифференциального исчисления. Вся сложность заключается в том что эти выдумки плотно вплетены в истинные умозаключения. Распутать этот клубок очень сложно.
С К. Поппером я хочу разобраться до конца. Подозреваю что теория процесса познания Патанджали ему была не известна, но он интуитивно нащупал ее заново, но выразил это при помощи своей терминологии. Когда разберусь открою новую тему
Как таковой теории Большого взрыва нет - это лишь представление о состоянии Вселенной, "гипотетическая начальная стадия расширения Вселенной" (Астрономический словарь). По поводу теории относительности надо уточнять, о чем речь: о СТО или ОТО - это две разные теории. ОТО имеет теоретическое предсказание о смещении перигелия Меркурия, которое подтверждено измерениями в 1919 году. Формулами СТО пользуются для расчетов движения частиц в ядерной физике. Да, есть много проблем с интерпретацией СТО и ОТО, но думаю, обсуждать их тут не имеет ни малейшего смысла.
Во-первых, вы опять используете какой странный термин "ментальная конструкция", которое я воспринимаю как просто синоним термина "теория", "логическая система" - любая теория есть ментальная конструкция, то есть система понятий. Во-вторых, на мой взгляд, вы перепутали направление логических рассуждений: любая теория изначально это вымысел, а вот останется ли она просто вымыслом или будет признана в качестве научной теории зависит от эмпирической проверки. То есть невозможно из факта "мол, вымысел" делать заключение о невозможности проверки - все с точностью до наоборот, только из факта невозможности проверки можно прийти к заключению, что перед нами вымысел.
"Ментальные конструкция" (тут вы, наверное, имеете в виду недоказуемые утверждения) лежат в основе любой теории - без таковых, то есть без аксиом, не может быть построена ни одна теория.
Если вы пытаетесь распутать этот клубок оставаясь только на уровне теоретических рассуждений, то это принципиально невозможно. Да и не нужно. На этом уровне существует только логическая истинность в рамках произвольно построенных систем (ментальных конструкций). Если же вы о научных теориях, то есть о системах, которые делают прогнозы об эмпирическом поведении своих предметов, то и тут распутывать особо нечего - насколько подтвердились предсказания, на столько можно и считать исходные положения теории приемлемыми. Никаких истинных умозаключений взятых сами по себе просто не существует.
Согласен с вами на все сто процентов. Собственно на этом я пытался акцентировать внимание. Так как отсюда вытекают далеко идущие философские выводы.
Существуют факты и различные возможные варианты их объяснения - теории. Как сформулировал Шри Ауробиндо "явления чувствуемые и явления мыслимые вместе составляют то что мы называем пониманием". Наше понимание лежит в основе того мировозрения, которое сформировалось на данный момент. Через несколько столетий наше мировозрение изменится, точно также как сейчас оно не такое каким было пятьсот лет назад.
Как сказал А. Гхош - "Похоже мы живем в мире который мы сами и придумали". Сознание это не только инструмент познания, но и инструмент творения. Объективная реальность это концепция не учитывающая творческие возможности нашего интеллекта по формированию миропонимания, которое мы и называем объективной реальностью. Или нашим мировозрением на данный момент. Вся история развития человечества служит тому подтверждением.
Если придерживаться концепции древних авторитетных писаний (сам факт существования тысячи лет дает основание предполагать их авторитетными) и существует неизменное истинное знание, то возникает вопрос как его можно постигнуть.
Мы установили что существуют факты, как продут восприятия органами чувств и теории - продукт деятельности интеллекта. Именно теории созданные интеллектом (фальсифицируемые и не фальсифицируемые) и вносят субъективный элемент в истинную реальность. Отсюда, на первый взгляд, парадоксальный вывод - для познания истины необходимо исключить деятельность интеллекта, как творца этих теорий. Как утверждают учителя, многих духовных практик, тогда возникает возможность формирования у нас качественно нового сознания позволяющего познать истину путем непосредственного восприятия. В связи с этим Шри Ауробино сказал - интеллект это скорее инструмент действия чем инструмент познания.
Извините что далеко увел вас от темы разговора, но смысл философии в рассмотрении целостной картины мира, а не его фрагментов.
Виталий пишет: - "... по К. Попперу математика попадает под определение науки"
А по В.М. Митину - математика только наполовину попадает под определение "наука" - информация и методы её обработки, необходимые и достаточные для использования обществом (человека).
Хороший пример - стагнация физики современной. Они практически подменили изучение свойств и взаимодействий материальных объектов анализом математическим моделей. Ведь математика есть моделирование жизненных процессов с помощью знаков, символов, цифр и не больше того. Именно поэтому непониманию сути предмета (математики) и преподавание "чистой" математики очень трудноусваиваемый процесс, сводящийся к запоминанию символов или аналогов. Математика только инструмент, но никак не результат познания.
Познание - процесс приобретения знаний окружающего мира