Логическое доказательство. - "Почему Сократ смертен?"
Рассмотрим хрестоматийный пример логического доказательства:
В1) ВСЕ люди смертны.
В2) Сократ - человек.
В3) Сократ смертен.
Разберём его по пунктам. Но прежде определимся с терминами:
- ТЕОРИЯ - набор взаимосвязанных Аксиом и Определений.
- АКСИОМА ("аксиоматическое определение") - начальное утверждение с КВ, задающее какое-либо всеобщее свойство или всеобщее отношение для всех элементов некоторого множества.
- ОПРЕДЕЛЕНИЕ [обычное] - начальное утверждение, задающее некоторое множество из элементов, соответствующих определённым свойствам.
- НАЧАЛЬНОЕ ПОНЯТИЕ - это то, что удовлетворяет всем требованиям Определения (аксиоматического или обычного) данной теории, где это начальное понятие упоминается.
- ДАННЫЕ (условие задачи) - элементы аксиоматического множества (как "частные значения"), которые указываются в качестве исходных в постановках конкретных логических задач.
- СЛЕДСТВИЯ (заключения) - результаты подстановок частных значений (данных) в Аксиомы.
- ТЕОРЕМЫ - те из следствий теории, которые содержат множества.
- ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - теория вместе со всеми её следствиями: (т.е. в неё входят: аксиомы, определения, частные значения (данные, начальные условия) и все их следствия).
- ДЕДУКЦИЯ - метод логических рассуждений от всеобщих утверждений к частным следствиям.
-
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ - теория, логические следствия которой хорошо согласуются с фактами (критерий АДЕКВАТНОСТИ теории).
Приступаем к разбору примера с Сократом:
- Первое утверждение В1 ("Все люди смертны") - является Аксиомой, поскольку это утверждение 1) изначально, 2) задаёт некое свойство для ВСЕХ элементов множества "люди" (а именно, - что они смертны).
- Второе утверждение В2 ("Сократ - человек") - задаёт конкретное исходное данное (частное значение "Сократ"), являющимся элементом аксиоматического множества "люди".
- Третье утверждение В3 ("Сократ смертен") - является логическим Следствием аксиомы В1, полученным в результате подстановки частного значения "Сократ" в Аксиому В1.
Приведённое рассуждение из трёх утверждений являются примером Дедуктивного логического доказательства. В результате такого рассуждения мы [в рамках нашей теории из аксиомы В1 и начального условия В2] чисто логически доказали истинность высказывания "Сократ смертен".
Три утверждения (аксиома - В1, данное - В2 и заключение - В3) образуют логическую систему.
Рассмотрим ещё один пример логического доказательства:
- С1) ВСЕ люди смертны.
- С2) ВСЕ мужчины - люди.
- С3) ВСЕ мужчины смертны.
Первое утверждение С1 - аксиома.
Второе утверждение С2 - [обычное] определение, поскольку а)изначально и б)задаёт множество "мужчин" как подмножество другого - бóльшего - множества "люди".
Третье утверждение С3 - теорема, поскольку является логическим следствием подстановки частного значения "мужчины" в множество "люди" первой аксиомы С1 и содержит КВ "Все".
- Дмитрий Бояркин
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Вроде всегда считалось, что теория - это ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
И есть сомнение, что в логическую систему - теорию входят все частные следствия. На то теория и есть теория, чтобы в ней не было эмпирических суждений. И поэтому доказательство смертности Сократа - это не логическая система. А вот про мужчин - да.
Теоретически теория основывается на аксиомах и определениях. Но практически это не так. В основе всех логических умозаключений лежит опыт восприятия мира при помощи органов чувств. А здесь у нас нет универсального критерия истинности нашего восприятия. Связано это с тем что истинность опыта восприятия мира при зарождении логического анализа, чаще воспринималась на веру, чем подвергалась анализу. Рудименты этого недостатка сохранились в анализе до сих пор. Пример со временем я уже приводил.
Второй пример это вера в то что мир отражается в нашем сознании адекватно. Но проанализировав работу органов чувств мы видим что вся информация передается в мозг по нервным волокнам в форме электрических импульсов. А как известно электрический импульс, сам по себе не несёт конкретной информации, конкретную информацию определяет программа которая его расшифровывает. Один и тот же импульс разные программы могут читать по разному.
Но кроме объективных проблем логического анализа, возникают проблемы субъективного характера. Например теория большого взрыва основана на гипотезе сингулярности. По определению сингулярность должна иметь бесконечно малую размерность. Но по определению размерность это отношение А к В, где Б есть длина измерительной линейки. Но если сингулярность изначально одна, то о какой размерности можно тут говорить. Ещё Евклид говорил если отрезок один то о размерности мы не имеем права говорить. Размерность это результат сравнения или другими словами продукт процесса познания, а не свойство отрезка. Можно сказать по другому, размерность возникает как свойство отрезка только в результате его процесса познания. Но тогда ставится под сомнение объективная реальность.
Таким образом возвращаемся к тому что логические рассуждения можно считать безупречными только в том случае если они начинаются с анализа первичного понятия. Иначе не исключена возможность ошибки. Но в логике, кажется, этот закон не возведен в ранг фундаментального и основополагающего закона. Или мы должны признать что вера в истинность первоначальных понятий допускается при построении логических моделей и эти модели истины только в рамках установленных этой верой.
Спасибо за рассуждения. Но вопрос то был сугубо терминологический: словом "теория" мы называем только аксиомы и определения или построенную на них логическую систему (определения, аксиомы, теоремы). Ну и попутно был вопрос: следует ли к теории относить частные высказывания?
Тогда вам придётся принять положение относительно аксиом. Что вот эти аксиомы это да - логической системы, а те - к логической системе отношения не имеют.
Тогда как -
То есть, такого не оговаривается.
Да, именно так. В первом случае (с Сократом) суждение "Все люди смертны" не является аксиомой, просто по причине, что одиночное суждение - это не аксиома. Суждение может быть признано аксиомой только в рамках логической системы.
Тут сложный момент с доказательством. Допустим у нас есть выражение х+х=2х. Подставим произвольные значения вместо х:
Можно ли процедуру получения из исходно истинного выражения х+х=2х трех приведенных истинных выражений считать их доказательством? У меня язык не поворачивается. Формально вроде вот это "х+х=2х, х=2, 2+2=2*2" есть "последовательность высказываний, часть которых является ее исходными утверждениями аксиомами, а все другие выводятся из них по четко указанным правилам вывода". Но я скорее признаю, что что-то не так с определением, чем назову эту подстановку доказательством. Скорее всего проблема возникла потому, что ни математика ни логика при построении систем, при доказательствах не используют частные значения выражений, поэтому и никому в голову не пришло уточнять определение доказательства, мол, под высказываниями подразумеваются общие высказывания, а не частные значения.
Позвольте, позвольте, а почему суждение "Все люди смертны" у вас оказывается "одиночным суждением"? Вот ваше сообщение, в нём речь идет о "доказательстве смертности Сократа":
Это, выходит, вам Бояркин написал, что "Сократ - человек" это условие (а не аксиома), и вы с этим согласились. И теперь важно объясняете, что "Все люди смертны" - одиночное суждение. А я даже не пойму, как суждение "Сократ -человек" может быть каким-то условием. Ибо условие это "Обстоятельство, от которого что-нибудь. зависит". Разве Сократ - обстоятельство?
И вообще, откуда Бояркин взял про условия? В статье словаря, что я привел, говорится только об аксиомах и высказываниях:
По этому определению "Сократ - человек" может быть только аксиома.
Может вас смущает, что данная логическая система очень короткая, всего 3 пункта. Но на эти три пункта можно написать три тома. В самом деле, в первом томе всячески повествуется о том, что все люди смертны. Во втором томе, соответственно, что Сократ - человек. А третий том увязывает два первых тома под трагически соусом "Сократ смертен". Разве этот трехтомник назовёшь каким-то "Силлогизмом..."? Нет, это будет "Теория о смертности Сократа".
По-моему, ваша ошибка в том, что вы рассматриваете и одну логическую систему, и множество логических систем, и сразу хотите сказать и об одной, и о множестве, что-то одно. И у вас ничего не получается. Но это неспроста. Единичность и множественность сами по себе имеют различие.
Ещё можно создать логическую систему, из которой следует х+х=2х. И это выражение уже будет не аксиомой, а теоремой.
Например:
1. Складывание двух равных величин даёт их удвоение.
2. Наличествуют две равные величины х.
3. Следовательно, х+х=2х
Это не логическая система (теория) просто потому, что из нее ничего не следует, она не может продуцировать ни одного нового суждения.
Я вообще не рассматриваю никакие логические системы.
Новое суждение - "Сократ смертен".
Это, как я полагаю, соответствует такому положению о теории -
А логической системой является по вашему определению, данном вами в теме "Истинность, аксиомы и доказательство теорем":
Вот еще положения:
И почему теория в логике не может состоять из одной теоремы? Во всяком случае, такого запрета я не нашёл.
То есть теорией является два суждения "Все люди смертны" и "Сократ - человек", так? А "Сократ смертен" - это не теория, а ее следствие?
Вы ничего не перепутали? Это же теория! То есть то, что противостоит практике, что по определению не практика. Теория - это логическая система. И как это вообще можно "вывести на основе подтверждения практикой"? Это какое-то новое слово в теории)
Там же могли бы и найти, что Теория и Логическая система - это синонимы (если речь идет о логике, в других познавательных дисциплинах теория лишь в идеале мыслится как логическая система).
Не может. Просто потому, что в теории, в которой есть теоремы обязательно должны быть и аксиомы (теоремы - это то, что выводится из аксиом). Если в теории одна только одна формула, то она не теорема, а аксиома. Может ли теория состоять из одной аксиомы - решайте сами)))
Болдачеву. У меня к вам два вопроса, как вытекает из приведенной выше вашей цитаты, если Сократ мужчина то он смертен, а следующий логический вывод напрашивается сам собой, мужчина не человек. Что то вы меня тут запутали.
Второй вопрос,вы выразились, теория лишь в идеале логическая система, не могли бы подробнее мотивировать эту мысль.Это я к тому, что тоже так думаю. Интересно сравнить наши подходы.
Не понял кто куда напрашивается. У меня вообще не было про вывод. Я просто анализировал два предложенных примера так как они даны.
Любая теория в математике, в физике, в логике - это логическая система в строгом значении этого слова, то есть набор выражений полученных логическим выводом из аксиом. Но в неточных науках и в философии теориями называют и любые в некоторой степени целостные изложения концепций, которые трудно назвать логическими системами (хотя логичность изложения и подразумевается).
Итак, в точных науках, в логике и в математике теория - это логическая система, а в других рациональных познавательных сферах (в неточных науках и философии) теории лишь претендуют на звание логических систем, но не являются ими в полной мере.
Болдачеву. Вы утверждаете что в науке теория это логическая система. А как вы относитесь к тому что Патанджали полторы тысячи лет назад, на ряду с логическим умозаключением, ввел в гносеологию, понятие ментального конструирования. Это когда качества реальных объектов из различных классов, не имеющих между собой ничего общего, отвлечённо синтезируются и приписываются некому вымышленному объекту. Простейший пример - избушка на курих ножках. Более сложный, это космологическая сингулярность, в теории большого взрыва, которую я объяснял в предыдущем посте.
Вопрос, как ментальное конструирование, по вашему мнению, вписывается структуру логических систем и можно ли после этого логические системы считать идеальными.
Никак.
Если я вас правильно понял, вы не считаете теорию большого взрыва теорией. Тогда что это.
Метафизический концепт, гипотеза. Там же никакой теории и нет.
Да и как можно назвать рациональной, то есть теорией, логической системой, утверждение возникновения всего из ничего?
Я с вами согласен. Но вот парадокс который я не могу объяснить. Так называемая теория большого взрыва подтверждается не только многими экперементальными астрономическими фактами, но экперементальными фактами полученными в ядерной физике. Поэтому многие учёные считают одной из самых удачных космологических теорий в теоретической физике.
Ничего странного. И геоцентрическая модель подтверждалась наблюдениями.
Были и другие гипотезы. Вот тут об одной рассказывал
Давайте рассуждать дальше. Дифференциал и число i в математике ментально сконструированы. Поэтому, по вашему утверждению, теории с их использованием к теориям не относятся. В таком случае от ее математики остаётся одна арифметика, от физики не остаётся ничего.
Я не очень понимаю, что такое "ментально сконструированы". Можете перевести на нормальный язык? Ведь любая теоретическая деятельность - это деятельность в мышлении, то есть и есть ментальное конструирование.
И уж точно любые аксиоматические элементы типа мнимой единицы или бесконечно малых - берутся с потолка. Тут главное не путать произвольность аксиом с произвольностью при построении системы.
Какие тут могут быть сомнения? - В Логическую Систему (ЛС) все частные следствия входить должны! - ВСЁ, что можно доказать логически из данной Теории - и образует ЛС данной теории. Только надо понимать, что частные данные, из которых потом получаются частные логические следствия, берутся вовсе не из эмпирических суждений, а просто так, совершенно произвольно, как некие начальные данные некоторой абстрактной задачи. Скажем, можно взять х=4, и посчитать результат подстановки этого частного значения "4" в аксиому некой Теории. Какое отношение имеет число "4" к реальному миру (эмпирическим суждениям)? - Абсолютно никакого! Впрочем, как и сами аксиомы какой-либо Теории.
Разумеется, в теориях нет места для эмпирических суждений - они относятся к совершенно различным онтологическим областям. Говоря человеческим языком, - Теории и Факты существуют совершенно независимо друг от друга, и вообще не оказывают друг на друга никакого влияния. Вообще!
Теории могут быть абсолютно любыми. Самыми безумными. Вот пример одной из них:
Данная Теория С1 строго логически доказывает, что Сократ бессмертен, и доказывает это с абсолютной точностью: достаточно подставить частное значение "Сократ" во всеобщую переменную "люди" в аксиому теории С1. Насколько утверждение согласуется с действительностью как для ЛОГИКИ, так и для ТЕОРИИ С1 - совершенно не имеет значения, - это точно такая же теория, как и А1 "Все люди смертны", у которой логическое следствие для того же частного значения "Сократ" является совершенно другим.
В данном случае утверждение "Сократ бессмертен" - и есть часть Логической Системы теории С1 ("ВСЕ люди бессмертны"). Аминь.
Тут мы с вами уже разошлись: подстановка частных значений не является доказательством, то есть подстановкой значений в логическое выражение (теорему или аксиому) невозможно получить (вывести, доказать) другую теорему. В результате подстановки получаются примеры, а не новые теоремы. Вот такие могут быть сомнения. И это подтверждает весь мой опыт работы с различными теориями. Поэтому не вижу смысла обсуждать эту тему. Спасибо