Изложить основы логики предикатов на нескольких страницах. Возможно ли это? Думаю, нет. Но я попробую. Я встречал лишь одно подобное изложение. Это §25 в книге Юзефа Бохеньского «Современная европейская философия» (1947, есть русский перевод). Там изложение логики предикатов занимает 8,5 страниц. Очень рекомендую.

Остается один вопрос – зачем вообще это нужно. Я приведу слова Бохеньского, с которыми я полностью согласен:

“Математическая логика (называемая также “логистикой” или “символической логикой”) считается сегодня в большинстве случаев частной наукой и ее нередко преподают на естественных факультетах. Лишь часть философов признает ее законным орудием философского анализа, большинство же от нее открещивается. Тем не менее для современной философии она имеет огромное значение, и не только потому, что ряд философов ее применяет (так, большая часть английских работ по философии без знания этой логики непонятна), но и потому, что она оказала решающее воздействие на формирование различных философских школ и систем (неопозитивизм, Уайтхсд, Рассел и др.) и дала возможность по-новому поставить некоторые философские проблемы. Поэтому, как бы к ней ни относиться, но некоторое знание этой дисциплины представляется необходимым для понимания определенных вещей в современной философии”.

Итак, начнем.

Логика предикатов изначально строилась так, чтобы охватить максимально широкий круг строгих рассуждений, включая математические доказательства. Поскольку рассуждения на естественном языке не обладают достаточной строгостью и часто воспринимаются неоднозначно, в логике предикатов используется специальный язык. Понимание предложения на этом языке может вызывать трудности у начинающих, поэтому их иногда сопровождают переводом на русский язык. Но нужно иметь виду, что такой перевод является лишь копией, часто довольно грубой, подобно тому перевод научного текста на обыденный язык может провоцировать неправильное понимание.

1. Язык логики предикатов

В классической логике принято выделять три “формы мысли” – понятия, суждения, умозаключения. В логике предикатов имеются четыре языковые конструкции – индивидные переменные (в классической логике их нет), предикаты (обобщение термина “понятия”), формулы (обобщение термина “суждения”) и выводы (доказательства).

Индивидные переменные (x, y, z, …) предназначены для обозначения индивидов, т.е. единичных предметов данной предметной области – натуральных чисел в арифметике, точек и прямых в геометрии, множеств в теории множеств. Индивидная переменная может принимать разные значения, на то она и переменная. Например, x = Вася, Петя, Степа…; у = 1, 2, 3…  Сами же индивиды не принадлежат языку. Они часть интерпретации, или модели данной предметной области.

Предикаты обозначают функции, аргументами которых являются индивиды, а значением – Истина/Ложь. Предикаты бывают одноместные, двухместные и многоместные. Одноместным предикатам – P(x), Q(x), R(x)… – в классической логике соответствуют “общие понятия” – виды, роды, свойства:

Слон(x) означает “x есть слон”
Животное(y) – “y есть животное”,
Красное(z) – “z – красное”.

Двухместные предикаты, например R(x, y) (иногда пишут xRy) –  это относительные понятия или отношения:

Отец(x, y) или x Отец y – означает “x есть отец y”
Больше(x, y) – “x > y”.

Пример трехместного предиката:

Между(x, y, z) – “точка x расположена между y и z”.

Многоместные предикаты можно использовать для обозначения математических функций:

Сумма(x, y, z) – означает “x = y + z”.

Формулы строятся из предикатов, логических связок (¬ – “не”, ∧ – “и”, ∨ – “или”, ⊃ – “если … то …”), кванторов (∀x – “Для любого x”, ∃y – “Существует такое x, что”) и круглых скобок, определяющих порядок применения связок и кванторов, как в алгебре.

Пример формулы:

∃y(Человек(x) ∧ Предок(x, y))

“Существует такой y, что человек x предок y” или, проще говоря,
“Человек x – чей-то предок”

Это логика предикатов первого порядка. В логике предикатов второго порядка разрешено применять переменные предикаты и кванторы по предикатам. Это позволяет, например, естественным образом сформулировать принцип математической индукции:

 ∀P (P(1) ∧ ∀n (P(n) ⊃ P(n+1)) ⊃ ∀n P(n))

“Если утверждение P верно для 1 и из того, что оно верно для n следует, что оно верно для n + 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел”.

На практике, однако, для формулировки важнейших аксиоматических теорий, таких как формальная арифметика и теория множеств, вполне достаточно логики первого порядка.

2. Модели

Формулы логики предикатов сами по себе бессодержательны, пока они не привязаны к конкретным индивидам, их свойствам и отношениям между ними. Такая привязка, наполняющая формулы содержанием, называется моделью.

Задать модель – значит определить множество индивидов произвольной природы и множество предикатов, имеющих значение Истина или Ложь для каждой комбинации значений их аргументов. Множество индивидов может быть конечным или бесконечным, но не может быть пустым.

В предполагаемой модели, содержащей всех млекопитающих на Земле с естественной интерпретацией предикатов Человек(x) и Предок(x, y) формула

∃y(Человек(x) ∧ Предок(x, y)) –  “Человек x – чей-то предок”

не имеет определенного истинного значения. Она истинна для одниx x (тех людей, которые имеют потомство) и ложна для других (для млекопитающих, не являющихся людьми, а также для людей, не имеющих потомства). Переменные в формуле, находящиеся под своими кванторами, называются связанными. Не связанные переменные называются свободными. Переменная x свободна в приведенной формуле, переменная y связана квантором ∃y. Если в данной формуле нет свободных переменных, то она называется замкнутой, например формула:

∀x(Человек(x) ⊃ ∃y Предок(x, y)) – “Все люди – чьи-то предки”.

Замкнутая формула является аналогом суждения классической логики: в любой модели она либо истинна, либо ложна. Приведенная замкнутая формула ложна в предполагаемой модели: очевидно, что не все люди на Земле имеют потомство. В другой модели она может быть истинной, например в модели, состоящей из участников родительского собрания в школе.

Формула называется логически общезначимой, если она имеет значение Истина в любой модели при любых значениях свободных переменных. Логически общезначимые формулы выражают законы логики и обозначаются символом ⊨, расположенным перед формулой. Примеры логически общезначимых формул:

⊨ (P(x) ∧ Q(x)) ⊃ Q(x) – “Если x красный квадрат, то x – квадрат”
⊨ ∀x P(x) ⊃ ∃x P(x) – “Если все x – звери, то по крайней мере некоторые x – звери”
⊨ ∃x ∀y R(x, y) ⊃ ∀y ∃x R(x, y) – “Если есть общий предок (x) у всех людей (y), то и у каждого человека (y) есть предок (x)”.

Если бы у нас был надежный способ определения логической общезначимости формул, мы могли бы, например, выявлять логическую связь между какими-то физическими, химическими или математическими законами, гипотезами, предположениями и определенными фактами или другими предположениями. Например: (1) Являются ли предложения A, B, C… совместимыми с предложением Z или они противоречат друг другу? (2) Является предложение Z следствием предложений A, B, C…, т.е. будет ли истинным предложение Z в системе, аксиомами которой являются A, B, C…?

Ответ на первый вопрос (о совместимости предложений) равнозначен определению логической общезначимости суждения

¬A ∨ ¬B ∨ ¬C ∨ … ∨ ¬Z.

Если оно общезначимо, то данные предложения несовместимы, если же не общезначимо, то в какой-то модели они совместимы.

Ответ на второй вопрос (о следствиях данных аксиом) равнозначен определению логической общезначимости суждения

A ∧ B ∧ C … ⊃ Z.

Если оно общезначимо, то Z является логическим следствием предложений A, B, C…, т.е. в любой модели, в которой истинны предложения A, B, C…, будет истинным и предложение Z.