http://z-mech.narod.ru/Lib/chaitin1.html

1. Грегори Чейтин:

"это утверждение недоказуемо" 
И так имеются две возможности. Или доказуемо или нет. Оно доказуемо или нет в системе, которую построил Гильберт для окончательной формализации математики.

Хорошо. Если оно доказуемо, а утверждение говорит, что оно недоказуемо, то тем самым мы доказываем средствами системы ложное утверждение (доказываем истинность утверждения, которое утверждает что оно недоказуемо - бред!). Это не очень хорошо. Но если оно действительно недоказуемо и оно говорит, что оно недоказуемо, тогда все прекрасно. Это действительно недоказуемо и значит, мы имеем дыру. Вместо доказательства чего-то ложного мы имеем неполноту.

Мы имеем истинное утверждение, доказательство которого нашей системе невозможно, то есть системе не подчиняется (оно же действительно в ней недоказуемо!). 

Таким образом, идея состоит в том, что мы или доказываем ложное утверждение, что является для системы ужасным (она противоречива), либо мы имеем что-то не столь ужасное, но все же плохое, потому что в этом случае наша формальная аксиоматическая система неполна. Имеется что-то что истинно, но оно не доказывается в пределах нашей системы. Поэтому мечта об окончательной формализации математики раз и навсегда на этом заканчивает свое существование. 

Комментарий:

Гедель выбрал второй вариант. Логика же программы run_nr_i выбирает  первый: формальная система (натуральный ряд, в частности) только тогда полна, когда из нее не исключается противоречие, чем ноль, т.е. ничто, является.

2. Грегори Чейтин:

Но вы никогда не сможете доказать существование какой-либо минимальной границы

Комментарий:

Так и есть. Невозможно определить ничто (границу с иным), не допустив в определении этого ничто противоречия.

3. Грегори Чейтин:

Другими словами дело не в том, что Гильберт был немного не прав. Дело не в том, что классические представления о математике - немного неверны, что в монолите математической истины имеется несколько мелких прорех, что имеются отдельные вырожденные случаи типа "Это утверждение недоказуемо". Нет, все не так! Все намного хуже! Имеются обширные области, где математическая истина не имеет никакой структуры вообще, где все максимально непостижимо, где все полностью случайно, где вы получаете математическую истину подобно подбрасыванию монеты, где истины случайны, где есть истины без всякой причины.

Комментарий:

И эта область, где математическая истина не имеет никакой структуры вообще, начинается с “ничто”, т.е. с начала конструирования чисел натурального ряда – с нуля.

4. Грегори Чейтин:

 Я думаю, что логики ненавидят мою работу. Они не переваривают ее! Я для них что-то типа порнографии - выгляжу неприличным предметом в мире чистой логики. Ведь мои результаты настолько отвратительны!

Комментарий:

Как же я его понимаю!

=====================================================

В мат. логике [Колмогоров, Математическая логика,  стр 51] противоречие формулируется следующим образом: “Формула, ложная в любой интерпретации, называется противоречием”.

Например, противоречием будет: (False = True). Но (А & не-А) не является противоречием согласно мат. логике, т.к. (А & не-А) всегда ложно. И поэтому (А & не-А = False), что истинно.

Проблема не законах, которыми математика пользуется (а, следовательно, опосредовано и мы). Проблема в сути этих True, False: у истины и лжи нет четких определений в мат. логике, как это не покажется странным. … А вот если здесь “копнуть”, то тут-то и вылезет тот самый “гедель по самое не хочу”.

P.S. Диалектическое противоречие – то же самое, что противоречие, которое делает переход из А в не-А.

Иначе говоря, изменение из А в не-А необходимым образом содержит в себе противоречие (о чем, собственно, Гегель настаивает). Но и математика, которой давно знаком формализм функциональной зависимости, запишет не-А=не(А), что лишь показывает о глубоком родстве диалектики и математики!