P.S. Вера математики, что всё можно и нужно выражать только истинно, ставит крест на ее попытке задать натуральный ряд чисел.

Почему? Вот выдержки из статьи СЕМЬ РАЗМЫШЛЕНИЙ НА ТЕМЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ Успенского (логик, МГУ) 

--------------------------------------------------
2. Можно ли определить понятие натурального числа?
--------------------------------------------------

попробуем предложить такую формулировку: натуральное число — это мощность конечного множества. В этом определении участвуют три основных понятия: 1) множество, 2) мощность, 3) конечное

Однако здравый смысл отказывается признать понятия множества, мощности, конечного более простыми, чем понятия натурального числа. Здесь типичный пример определения простого через сложное

-----------------------------------------------------------
3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)?
-----------------------------------------------------------

А аксиомы Пеано? Разве они не определяют Натуральный Ряд?» Конечно нет, да они на это и не претендуют, если понимать Натуральный Ряд так, как мы его понимаем — т. е. как единственную (!) совокупность некоторых однозначно  понимаемых сущностей, называемых натуральными числами. В самом деле, посмотрим, как выглядят аксиомы Пеано. Они гласят: «Ноль есть 

натуральное число, и ноль не следует ни за каким натуральным числом, и т. д.». Таким образом, они опираются па понятие «ноль» и «следовать за» (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое «ноль» и что такое «следовать за»), а лишь указывают связи между ними. 

------------------------------------------------------------------------------------
4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?
------------------------------------------------------------------------------------

Итак, мы рассматриваем каждый натуральный ряд как множество, на котором определено бинарное отношение порядка «<».

1. Отношение «<» транзитивно. 
2. Отношение «<» антирефлексивно. 
3. Отношение «<» связно. 
 Эти три свойства в своей совокупности утверждают просто-напросто, что «<» есть отношение строго линейного порядка.

4. В IN (натуральный ряд) есть наименьший элемент.
5. В IN за каждым элементом х непосредственно следует некоторый у. («Непосредственно» — это значит, что между x и у нет третьего элемента.)

6. Если у двух элементов x1 и x2 нет непосредственных предшественников, то они равны.

Оказывается, имеет место следующий замечательный факт: сколько бы мы ни выписывали аксиом, использующих логические знаки, знак отношения «<» и переменные, пробегающие по элементам определяемой структуры, — у совокупности выписанных аксиом всегда будет модель, неизоморфная натуральному ряду.

Получается, таким образом, что натуральный ряд нельзя определить аксиоматически

Комментарий: 
натуральный ряд нельзя определить аксиоматически, используя только те правила вывода, которые разрешены (сейчас) в ней. 

Нужна не только истина, но и ложь, если хотим задать числа натурального ряда!