Еще раз о  парадоксах числа 

 Головорушко 

 Я думаю, что нескончаемые споры, которые мы видим при обсуждении вопросов, связанных с числами, вызваны непониманием, что такое число...

Какой же  спор возможен   (лично с вами)  когда вы стёрли все посты,  оставили лишь мнение своё тем самым показали свою некомпетентность по данному вопросу. 

Природа количественна объективно.

Счисление количественности субъективно.

PS. Вся реальность универсально структурирована как сочетание объектов и среды.

Или точнее - как сочетание относительно локализованных и относительно распределённых объектов.

Это справедливо (универсально) от бозона Хиггса и поля Хиггса, до мышления в понятиях (объекты) в среде чувствования.

PS. Можно сказать что субъективность счисления в то же время объективна, если счисляющего субъекта считать объективным и закономерным продуктом объективной природы.

не осилил все тексты но мне кажется что во фразе

Число это объект, свойства которого определяются только количеством элементов множества.

  неясно что означает "количество элементов" Что это такое ?

А что такое число, нет понимания даже в среде математиков
 

Такое понимание есть у любого знакомого со счётом.

Другое дело, что, как и всякое иное понимание чего бы то ни было, оно у каждого своё, индивидуальное.

 К единому знаменателю эти индивидуальности можно свести определением.

 Вот такого определения числа (всестороннего что-ли, всеобъемлющего) нет. Но такого определения нет у ... (задумался)  да ни у чего серьёзного.

Так что ... .

В рассуждениях, где есть повторения одного и того же нечто, мы постоянно сталкиваемся с тем, что как бы мы ни обозначили повторяемое нечто для записи повторений его мы должны на каждом шаге повторения удлинять запись того, что хотим выразить повторением.

Мы говорим, что Sc определена на Р, но строго не оговариваем, как Sc действует на элементы Р: а) то ли одновременно на все элементы из Р; б) то ли на выбранный элемент, затем на результат и т.д.

Представить себе, что будет в результате Sc(P) мы не можем, как, собственно, и само Р, т.к. мы же сами не оговорили, что такое элементы Р, и можем ли мы их объять хотя бы мысленно. И поэтому, сознательно или нет, мы в описании системы записываем, что если для произвольных х и у, принадлежащих Р, Sc(х)=Sc(у), то х=у (это равенство довольно странная ситуация, отражающая своеобразие человеческого мышления, поскольку утверждает, что х и у — это не элементы Р, а различные имена некоторого элемента Р), т.е. рассматриваем отдельные действия Sc на отдельные элементы Р, что невольно нас приводит к возможности и даже необходимости, рассмотрения Sc(Sc(х)) и т.д. Эта процедура по своей сущности есть именно то, что пытается формализовать система Пеано.

И мы заключаем, что логическое основание числа лежит в природной способности мышления людей различать и повторять свои мыследействия, пока это не надоест.

Понятие числа объединило в себе логические свойства мышления людей: различать, повторять и именовать. Именно последние свойства человеческого мышления и являются логическим основанием понятия числа, а, следовательно, начало числа лежит в природе мышления людей.

И, если мы признаем мышление людей за нечто нематериальное, то и результат его деятельности — число — является таковым, как и всякий другой результат.

Не свойство единицы — для любых х иметь равенство х·1=х — а свойство повторяемости в мышлении, которое состоит в том, что любая остановка в повторении есть строго определённое составное действие, является причиной записанного равенства. Мы остановку повторения в произвольный момент обозначим через х и можем утверждать, что повторение нечто остановлено на х. Мы настолько привыкли, что х·1=х, что приписываем это свойство элементу 1, т.е. единице. Но, с т.зр. повторения нечто, именно х несёт на себе это значение, и тогда совершенно неважно, что повторяется, а важно, на каком этапе мы остановились и как обозначили эту остановку, поэтому 3·х=х и это означает только то, что нечто, обозначенное как «3» повторяется до тех пор, пока не происходит остановка с именем х. Если остановка имеет имя 3, то 3·х=3.

Что будет, если и 3 и х — повторения? Это будет означать только то, что над совокупностью повторений осуществляется другое повторение. Это совершенно естественно, т.к. для повторения не имеет значения, что повторяется. И тогда 3·х — это будет некоторое составное имя повторения какого-то нечто.

Каждая личность неповторима, а как представитель рода человеческого — повторима; конкретная сосна неповторима, а как дерево - повторима и т.д. и т.п.

Число есть установленное имя остановки повторения некоторого неопределённого нечто.

Если в выражении 3·х и 3 и х — повторения, то результат этих повторений будет тоже повторением только тогда, когда и 3 и х есть повторения одного и того же неопределённого нечто.

Для математического числа общепринято в качестве повторяемого нечто использовать символ 1 и называть его единицей.

Следовательно, иррациональность не является повторением, т.к. в иррациональности нет того единого, что повторялось бы.

Невозможность остановки — это бесконечность, а невозможность найти то, что повторялось бы, - это иррациональность.

Отсутствие повторения абсолютно, т.к. не зависит от повторяемого неопределённого нечто, которое не повторяется.

Если указать, что повторяется, то мы получим повторения конкретного нечто, например, 3·х (килограмм). Следовательно, мы можем записать и 3·х (повторений).