На последнем уроке хочу обратиться к желающим заняться данной темой на профессиональном уровне: приглашаю к себе в аспирантуру.

Перед эти Вы можете посмотреть мою книгу: Захаров А.А..."Как написать и защитить диссертацию" СПб, (Любое издание)

2. Задача об истинности суждения "всякое действительное число либо равно, либо не равно нулю". Истинно ли оно?

Ответ зависит от принимаемых в математике идеализаций. Если принимать идеализации классической математики, не обязательно связывающие установление истинности с алгоритмами, то суждение будет истинным.

Но конструктивная математика истинности своих суждений обязательно связывает с алгоритмическими доказательствами. Тогда это суждение истинным являться не будет.

3. Задача о несовместимости, а потому с точки зрения старой методологии, невозможности истинности несовместимых теорий. Например, до сих пор в литературе встречаются утверждения о том, что ньютонова механика не совместима с релятивистской[1], а релятивистские механики несовместимы с механиками, предложенными самими авторами[2]. Говорят, что геометрия Евклида не совместима с геометрией Лобачевского, архимедов матанализ не совместим с неархимедовым. Несовместимость здесь понимается как противоречивость, не только синтаксическая, но и семантическая.

На основе старой гносеологии из этого делается вывод о том, что, если одна из этих пар теорий истинна, то другая ложна.

Если не руководствоваться относительностью истинности применительно к идеализациям, то это действительно так. Синтаксически они не совместимы, а стало быть обе истинны быть не могут. Если же руководствоваться таким принципом, то мы получим обратную картину, когда речь пойдет о несовместимости.

Геометрия Евклида истинна при других идеализациях, чем геометрия Лобачевского. Поэтому одна теория семантически не противоречит другой. Обе они основаны на различных идеализациях и обе истинны при данных, принятых ими идеализациях.

То же самое относится к архимедову и неархимедову матанализам. Они основаны на разных математических идеализациях и не могут, поэтому противоречить друг другу. Обе они истинны, но относительно различных идеализаций.

Особо остановимся на утверждении о противоречивости ньютоновой и релятивистской механик. Ньютонова механика основана на ниже следующих идеализациях: Скорость физических взаимодействий является бесконечной. Физическое тело не имеет размеров, т.е. сосредоточено в математической точке (физическая точка). Системы отсчета инерциальны, т.е. на них не действуют никакие силы. И так далее. Только при этих идеализациях законы ньютоновой механики истины.

Но релятивистская механика принимает другие идеализации. Например, то, что скорость физических взаимодействий считается не бесконечной, а конечной, равной не более 300 000 км/с. А раз так, то эти теории не могут противоречить дуг другу. Противоречить друг другу могут только теории, основанные на одних и тех же идеализациях. Поэтому истинны и ньютонова и релятивистская механики, но относительно принятых ими идеализаций.

Таким образом, задача построения новых истинных теорий, не совместимых с данной теорией, вовсе не требует ниспровержения старой теории, а требует показа отличия новых идеализаций от старых. А главное она требует показа прагматической ценности новых идеализаций, т. е. показа задач, которые лучше решаются с новыми идеализациями, чем со старыми.

4. Задача: почему необходимо подразделение истинности на логическую и фактуальную? Для решения ее необходимо дать вербальные определения основным понятиям, т.е. логической и фактуальной истинности.

Логическая истинность - истинность, устанавливаемая методом анализа смысла только логических терминов. Что такое логический термин? Дадим ему остенсивное определение, так как вербальное фактически не известно. К логическим терминам относится термин "предикат", который обозначает свойство или отношение, термин "субъект", обозначающий какой-то предмет мысли, т.е. то, о чем мы говорим. К логическим терминам относятся логические связки, например, "не", "и", "или", "если , то ", "существует", "все" и т.п.

Логическая истинность устанавливается только на основе анализа смысла логических терминов, примеры которых мы только что привели.

Допустим нам дано суждение "дерево зеленое или дерево не зеленое". Истинно оно или ложно? Для этого абсолютно не имеет значения, что мы говорим о дереве. Важно, что это суждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Иначе говоря, мы абстрагируемся в суждении ото всего, кроме того, что оно может быть истинным либо ложным. Подобное абстрагирование есть идеализация реального суждения. Далее мы идеализируем и отрицательную частицу "не", превращая ее в логическое отрицание. Идеализация состоит в том, что "не" мы считаем частицей, превращающей "истину" не в "не истину", а в "ложь", а отрицание "лжи" в "истину". На самом деле "не истина" не обязательно есть "ложь", но мы от этого отвлекаемся, принимая такого рода идеализацию частицы "не". Следует заметить, что в математической логике такая идеализация отнюдь не всегда принимается. В этих исчисленьях "не истинно" есть значение, не совпадающее со значением "ложь".

Связка "и" понимается как то, что "и" (т.е. истина) и "и" есть "и", "и" и "не-и" есть "л" (т.е. "ложь").

Связка "или" понимается как "и v и" есть "и"; "и v л" есть "и".

Тогда, если какое либо простое предложение в сложном предложении "дерево зеленое или дерево не зеленое" истинно, то все предложение истинно. И тут вместо предложения " дерево зеленое" можно взять любое другое предложение. Логическая истинность сохранится.

Фактуальная истинность - истинность, устанавливаемая на основе анализа не только логических (если они есть), но и дескриптивных терминов.

Дескриптивный термин - термин, обозначающий какой-либо предмет, свойство или отношение. Например, в суждении "дерево зеленое или дерево не зеленое" дескриптивными терминами будут термины "дерево", "зеленое", а логическими терминами будут термины "не" и "или".

Возникает вопрос: стоит ли различать логическую и фактуальную истинность? Не лучше ли иметь "единую" истинность. Оказывается это делать необходимо, так как имеются задачи, которые без подобного разделения логической и фактуальной истинности будут решаться неверно.

Например, имеются синтаксически несовместимые (т.е. синтаксически противоречащие) теории. Могут ли обе такие теории быть одновременно истинными?

Оказывается, фактуально истинные могут, а логически истинные не могут. Стало быть, надо разделять логическую и фактуальную истинность. Опять-таки, чтобы это пояснить, определим основные термины.

Синтаксическая несовместимость суждений (и теорий тоже) наступает тогда, когда одно из двух суждений, представляющих абсолютно одинаковые наборы символов, содержит еще и отрицательную частицу "не". Например, синтаксически несовместимы предложения "дерево зеленое" и "дерево не зеленое", или предложения "дерево зеленое или дерево не зеленое" и тоже предложение с отрицательной частицей "не".

Решение представленной задачи зависит от принципиально различных идеализаций при введении понятий о логической и фактуальной истинности.

При введении логической истинности мы пользовались следующими идеализациями. Во-первых, это понятие множества (универсума), которое содержит абсолютно все предметы, как материальные, так и абстрактные, т.е. идеализированные. Мы, также, представляли себе, что у этого универсума есть дополнение, которое не содержит ни одного предмета, т.е. является пустым множеством.

Так как мы определяли логическую истинность независимо от дескриптивных терминов, то ясно, что она имеет место для любых дескриптивных терминов, т.е. логическая истинность - это истинность предложения на всем универсуме. Но тогда истинность на дополнении к универсуму, т.е. на пустом множестве, есть "не истинность", которую мы идеализируем и представляем как "ложь". Поэтому любое логически истинное суждение является истинным на всем универсуме.

Но фактуально истинное предложение (суждение) истинно не на всем универсуме, а на множестве представляющем подмножество его предложений. Поэтому подмножество этого множества тоже может быть истинными предложениями.

Например, могут быть истинными как геометрия Евклида, содержащая аксиому о параллельных так и геометрия Лобачевского, содержащая ее отрицание. Согласно аксиоме Евклида параллельные не пресекаются. Также может быть истинной геометрия Лобачевского, содержащая отрицание аксиомы Евклида, согласно которой "параллельные" пересекаются. Эти аксиомы синтаксически несовместимы друг с другом, но обе истинны. Разобраться с этим вопросом позволяет рассмотрение идеализаций, которые принимаются, зачастую неявно, при формулировании этих аксиом.

Поэтому, многие годы считались геометрия Евклида и Лобачевского несовместимыми друг с другом, а поэтому считалось что, если одна из них истинна, то другая ложна. Несовместимыми считались ньютонова и релятивистская механики и т.д. А оказалось, что нет несовместимых предложений в разных теориях. В одной теории они несовместимы, а в разных они совместимы, так как различные теории это различные идеализации. Но семантическая несовместимость возможна только при одной и той же идеализации.

К подобному рассмотренному примеру относятся и апории (парадоксы) Зенона, хотя на самом деле они парадоксами не являются. В одной из апорий утверждается, что Ахиллес, пробегая вначале половину пути, затем половину оставшегося пути и так далее, никогда не догонит черепаху, движущуюся неизмеримо медленнее Ахиллеса.

То есть, Ахиллес не догонит черепаху. Но на практике, в действительности, Ахиллес догоняет черепаху, так как более быстрое тело всегда догонит тело, движущееся более медленно.

В этом усматривается "парадокс". Но если разобраться в принимаемых этими предложениями идеализациях, то мы не увидим никакого парадокса. Действительно, тело, проходящее 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. пути, это математическая точка, проходящая действительные числа, а точнее пути, обозначенные этими числами. И тут принимаются идеализации, приемлемые математикой. А тело, движущееся реально, т.е. в объективной действительности этих идеализаций не приемлет, а приемлет совсем другие идеализации. Так что никакого парадокса нет, если только рассматривать идеализации, т.е. семантику.

До сих пор говорят о парадоксах Лоренца. Но на самом деле из двух предложений, составляющих "парадокс", одно принадлежит ньютоновой механике, а другое релятивистской. Поэтому нет и парадокса. Оба предложения истинны, но в различных теориях, при разных идеализациях.

5. Задача о "вечности" истинности математики. Действительно ли истины математики "вечны"? чтобы ответить на этот вопрос опять-таки нужно разобраться в идеализациях, принимаемых математикой.

Здесь следует учесть, что математика изучает только количественные отношения действительности (и материальной, и абстрактной), т.е. отношения, не зависимые от природы действительности. Это сильнейшие идеализации объективной действительности, когда за числами и геометрическими фигурами мы усматриваем объекты природы. Это усмотрение и есть идеализация природных объектов. А подобная идеализация очень устойчива, она почти не меняется в течение веков. Поэтому и кажется, что истины математики "вечны".

Напротив, качественные отношения действительности, т.е. отношения, зависимые от свойств природы, изучают естественные (физика, биология и т.п.) науки. Они чрезвычайно разнообразны и могут довольно быстро меняться. Тут чувствуется большая разница по сравнению с математическими науками. Но все равно и естественные, и математические, и общественные науки принимают какие-то идеализации. Эти идеализации могут быть значительными, вплоть до введения терминов, у которых вообще нет природных аналогов.

Таким образом, мы показали, что истинность относительна к принятым идеализациям и что этот принцип позволяет решать вышеупомянутые и многие другие задачи[3].

Теперь рассмотрим другой принцип истинности, названный принципом плюрализма истинности, говорящий о том, что истинность многообразна так же, как многообразны идеализации[4]. Это показать можно с помощью указания на различные виды классификации истинности.

Подразделение истинности на логическую и фактуальную мы уже давали. Логически истинными являются законы логики. Законы определяют саму логику. Логик достаточно много, но далеко не все из них отображают обычное человеческое мышление. Логики эти представляют в основном исчисления, т.е. синтаксические конструкции, наподобие алгебры.

Если рассмотреть математическую логику, то можно увидеть, что есть в ней исчисление предикатов первой ступени, которое формализует в весьма незначительной мере выводы из одних суждений других. Например, формализация касается самое большое 10-15 выводов. Есть логика, формализующая конструктивные выводы математики. Но большинство логик не имеет отношения к человеческому мышлению. Так что законы логики это не обязательно законы реального мышления.

Традиционная логика (формальна силлогистика) тоже формализует выводы и тоже в весьма узкой сфере. Поэтому большинство силлогизмов существуют просто для умственной тренировки, но не для формализации выводов, которые делает реальное мышление. При этом традиционную логику как науку, о которой мы только что говорили, нельзя путать с преподаванием логики в вузах. В преподавании к формальной логике добавляют разделы о понятии, о познании вообще, о суждении, о теории, об аргументации. И это правильно. Иначе нечего было бы преподавать. Но это все относится к содержательной методологии науки, а не к формальной логике. А математическая логика представляет собой, как мы уже говорили, просто исчисления, наподобие алгебраического исчисления.

В исчислениях задаются исходные формулы, даются правила вывода. Из исходных формул (аксиом, как они иногда называются) выводятся производные формулы. Могут быть и интерпретации, но это не обязательно.

Вот одно из исчислений, о котором мы выше говорили, интерпретируется как классическая логика. Но это не значит, что это логика мышления. Как мы уже сказали, очень немного реальных (человеческих) выводов действительно формализуются в этой логике. Хотя, делая выводы, а их бесконечное количество, человек тренирует свой ум. И это полезно.

Говорить об идеализациях, принимаемых формальными логиками, не приходится, так как у них нет интерпретации, т.е. нет семантики, поэтому нет и идеализаций. Поэтому мы затронем только классическую и конструктивную логики, у которых есть как классическая, так и конструктивная интерпретации, т.е. есть семантики.

Так вот, классическая логика принимает многие идеализации. Например, мы уже говорили о том, что она идеализирует логическое отрицание, считая отрицание ложности всегда истинным, хотя такое иногда и не случается. Но мы скажем о главной идеализации, принимаемой классической логикой. Это идеализация состоит в том, что она отвлекается от конструктивности интерпретации. Для нее это неважно, т.е. несущественно.

А конструктивная логика от этого не отвлекается, так как для нее конструктивность является существенным фактором.

Таким образом, логическая истинность действительно плюралистична. Но в полной мере вопрос о плюралистичности истинности можно раскрыть лишь на фактуальной истинности.

Фактуальная истинность, о которой мы уже говорили, подразделяется на эмпирическую и аналитическую.

Эмпирическая истинность - истинность, устанавливаемая с помощью чувственных восприятий. Это означает, что присущность (или не присущность) свойств или отношений устанавливается методами наблюдения, слуховых восприятий и т.п.

Например, истинно ли суждение "дерево зеленое". Допустим, летом, когда деревья покрыты листвой, мы смотрим на отдельное дерево и видим, что оно зеленое. Смотрим на другое дерево тоже самое. И так далее. По принципу индукции мы приходим к выводу о правоте наших наблюдений в том, что "дерево зеленое".

Принимали ли мы при этом какие-то идеализации деревьев, зелени и т.п.? мы уже говорили о том, что принимали. Но эти идеализации незначительны, но все-таки они есть. И разница между ними позволяет отличать одно дерево от другого, а деревья от не деревьев.

Аналитическая истинность - истинность, устанавливаемая с помощью анализа смысла терминов, данных вербальными определениями, если они имеются.

Вот тут возникает сложная ситуация. Она возникает из-за того, что некоторые авторы дают квазивербальные определения, т.е. определения формально похожие на вербальные, но ими не являющиеся. Слушатель или читатель этих определений, конечно, не понимает, но о чем идет речь все-таки догадывается, и ему кажется, что он их понимает. Но на самом деле он понимает то, что ему дают остенсивные определения, а не определения, похожие на вербальные. Поэтому мы примем идеализацию, согласно которой будем считать, что все вербальные определения даются правильно и что идеализации даются именно вербальными определениями, а не остенсивными, т.е. делаемыми на базе чувственных представлений.

Например, возьмем суждение "Солнце черное". Истинно оно или не истинно? На основе остенсивных определений, т.е. на основе чувственного опыта мы знаем, что такое Солнце и что такое черное. Смотрим на солнце и видим, что оно не черное, а оранжевое (или красное). Значит, суждение "Солнце черное" не истинно. Будем "неистинность" тоже идеализировать и считать ее ложью.

Теперь допустим, что мы находимся на другой планете, где нет черного цвета и где нет Солнца. И перед нами поставили вопрос "Солнце черное?". Видеть Солнца мы не можем, как же ответить на этот вопрос? Допустим, что у нас есть физическая энциклопедия. Тогда мы посмотрим, какие вербальные определения даются Солнцу и черному цвету. Допустим, что Солнце определяется как центральная планета, испускающая такие-то лучи, поглощающая все падающие на него лучи и т.д. Допустим, что черный цвет определен так, как это сделано в физической энциклопедии (М., 1988, т. 1, с.10). Там говориться, что черное тело это "тело, которое полностью поглощает любое падающее на его поверхность электромагнитное излучение". Тогда, на основе анализа вербальных определений Солнца и черного тела в данном случае можно сделать вывод о том, что Солнце черное. Вывод сделан из вербальных определений. И это главное.

В других случаях это не так легко, но все же вывод сделать можно.

Мы показали, что объединять логическую и фактуальную истинности в единую истинность нельзя, так как есть суждения, в которых фактуально истинное логически не истинно. Нельзя объединять в одну единую истинность и эмпирически истинные суждения с аналитически истинными, так как есть суждения, которые этого не допускают, что мы только что показали.

Теперь возьмем математику, изучающую числа. Выскажем суждения: "2 четное число", "2 простое число". Эмпирически, т.е. опираясь на чувственные восприятия невозможно сказать, истинны они или ложны. Но аналитически можно исследовать их истинность, т.е. определить, соответствует ли приписывание числу 2 свойства четности, либо не соответствует. И сделать это можно только на основе анализа определений числа 2 и свойств его четности простоты. Тут уже эмпирия не поможет, необходим аналитический анализ. Наука главным образом имеет дело с аналитическим анализом, с вербальными определениями, с аналитической истинностью.

Аналитически истинными являются все теории, так как любая теория изучает не отдельные чувственно данные предметы, а, по меньшей мере, их обобщения и в основном пользуется вербальными определениями. По большей мере теория вводит предметы, идеализированные настолько, что они вообще не имеют аналогов в объективной действительности, наподобие актуально бесконечных множеств, бесконечных скоростей, нульмерных точек и т.п.

Каждая теория принимает свои идеализации, относительно которых она истинна, разумеется, в период ее создания. Но со временем, по меньшей мере, некоторые из этих идеализаций устаревают, появляются новые идеализации. Какой же становится теория?

На этот вопрос есть стандартный ответ - ложной, но тогда отрицание ложной теории должно дать истинную теорию (по правилам классической логики, которая общепринята). Так ли это?

Надо сказать, что это не так. Например, отрицание "ложной" флогистонной теории не даст "истинную" (кислородную) теорию горения. Теория не становится ложной со временем. Она становится неприменимой для новых идеализаций. А неприменимость не есть ложность. Приписывания предиката субъекту соответствуют присущности тех идеализаций свойств и отношений и тем идеализированным предметам, которые были введены при создании теории. И если они остаются неизменными, то соответствия им тоже остаются неизменными. Но если они изменяются, то исчезает и соответствие, т.е. истина меняется на "неистинно", но не на ложь, так как отрицание лжи должно давать истину. А этого нет.

Аналитическая истинность имеет различия не только по наукам, но и в науках по теориям. Например, в физике различные теории имеют разные идеализации, которые имеют свои собственные аналитические истинности.

Например, механика принимает различные идеализации. Ньютонова механика идеализирует скорость физических взаимодействий, считая ее произвольной вплоть до бесконечности. Идеализируется физическое тело. Тело имеет массу. Механика считает ее принадлежащей математической точке, т.е. размеры тела принимаются равными нулю. Ньютонова механика идеализирует и системы отсчета, считая их инерциальными, т.е. лишенными воздействия внешних сил. Принимается также, что тело классическое, т.е. в каждый момент времени имеет вполне определенное положение и таким образом его движение имеет координату.

Законы ньютоновой механики истинны только относительно этих идеализаций, а к другим идеализациям они не применимы и их применение не имеет смысла, оно не истинно.

Релятивистская механика содержит некоторые идеализации, совпадающие с идеализациями ньютоновой механики, а некоторые идеализации принимает даже несовместимые с идеализациями ньютоновой механики. Например, она считает, что скорость распространения физических взаимодействий постоянна и конечна, не превышает 300 000 км/с. Это тоже идеализация, так как не учитывается воздействие гравитации и вообще воздействия других тел. Подобные идеализации принимаются ньютоновой и релятивистской механиками для того, чтобы отвлечься от несущественного для решения их задач и для выделения существенного, как говорят, в "чистом виде".

Квантовая механика принимает идеализации отличные от идеализаций, принимаемых ньютоновой и релятивистской механиками. Поэтому квантовая механика весьма сильно отличается от классической, к которой относятся ньютонова и релятивистская механики.

Прежде всего, отметим непривычный, даже странный на первый взгляд признак, когда она принимает так называемый "квантовый объект" движения, не имеющий траектории движения.

Другое принципиальное отличие квантовой механики от классической состоит в идеализации, когда измеряющий сигнал (прибор) влияет на измеряемый объект.

Отметим еще одну идеализацию, необычную для классической механики. Эта идеализация состоит в том, что нельзя одновременно измерить так называемые канонически сопряженные свойства с одинаковой определенностью. В классической механике одновременно можно измерять попарно любые свойства.

Таким образом, мы показали, что истинность относительна к принятым идеализациям, что безотносительной истинности, "истинности вообще" нет. Далее мы показали, что истинность плюралистична, что каждая теория истинна по-своему, в зависимости от того, какие идеализации она принимает. Истинность это установление соответствия, как мы уже говорили, приписывания присущности, которая определяется различными идеализациями. И если такое соответствие имеется, то мы имеем дело с истинным суждением, если нет, то перед нами - не истинность, а может быть и ложность.

[1] Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. М., 1985, с. 56, 57.

[2] Базаров И. Эйнштейн ошибся? Московский университет 19.5.1987; Синицын В.И. Диполь - фотон. Озерск, 1995.

[3] Например, развивая вышеизложенные мысли, можно сказать, что принцип относительности истинности к принятым идеализациям дает возможность решить проблему истинности теорий философских и религиозных. В различных философских и религиозных системах принимаются различные идеализации и каждой группе этих идеализаций соответствует своя религиозная доктрина или философская система.

[4] Указанный принцип позволяет понять, почему может быть множество истинных философских и религиозных теорий. В данном случае речь может идти об аналитической истинности этих теорий, но никак не об эмпирической. Для них эмпирическая истинность в принципе не достижима. Отсюда и невозможность эмпирически опровергнуть никакую философскую систему и религиозную доктрину.