Альфред Тарский в терминах математики доказал невыразимость всеобъемлющей истины, а именно то, что универсального арифметического множества не существует, поскольку всегда найдется как минимум два класса утверждений Q и Mn, по разному tax havens ведущих себя по отношению к некоторому утверждению n. В самом деле, поскольку все возможные утверждения или истинны, или ложны, то задача на выражение универсального представления истины ведет к появлению двух множеств: класса Q, о котором мы можем сказать – «все утверждения данного класса истинны», и класса Mn, о котором мы можем сказать – «истинно то, что все утверждения данного класса ложны». Попытка применения представлений одного из этих классов к другому ведет к логическим противоречиям, ибо об одном и том же утверждении нельзя сказать, что «данное утверждение истинно» и, вместе с тем, «истинно то, что данное утверждение ложно».

Тем не менее, после появления в XIX веке теории бесконечных множеств Г.Кантора в математическом аппарате появилось определение, претендующее на выражение универсального представления истины, – это определение актуальной, то есть завершенной бесконечности, применительно к которому, как оказалось, можно сказать – «утверждение о бесконечности истинно» и, вместе с тем, «истинно, что данное утверждение ложно, ибо эта бесконечность завершена». Г.Кантор настолько сильно уверовал в универсальность этого определения, что выдвинул гипотезу континуума, согласно которой множество действительных чисел должно выражаться через понятие актуальной бесконечности. Однако впоследствии К.Гедель и П.Коэн получили результаты, согласно которым в рамках общепринятого математического канона невозможно ни доказать, ни опровергнуть идею непрерывности и упорядочения числовой прямой, невозможно также ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу Д.Гильберта о непротиворечивости аксиом арифметики.

Таким образом, достижения современной математики пошатнули веру в способности человеческого разума и математической науки давать вполне определенный ответ на любую поставленную задачу. На смену убеждениям Д.Гильберта о том, что для математики не существует тезиса "Ignoramus et ignorabimus" (с лат. «Мы не знаем и никогда не узнаем»), пришло сомнение в том, что математическая истина, пускай даже невыразимая в конечном наборе утверждений, вообще говоря, существует. Пожалуй, точнее всего фатализм и замешательство, связанное с доказательствами Геделя-Коэна, выразил сам П.Коэн: «Такова наша судьба – жить, сомневаясь; преследовать цель, в абсолютности которой мы не уверены; короче говоря, понимать, что наша единственная "истинная" наука имеет все ту же смертную, возможно, [всего лишь] опытную природу».

Если в начале XX века большинство ученых придерживались того мнения, что природа математики состоит в отражении объективно существующей истины, интуитивно понятной и лишенной противоречий, то к концу XX века в научной среде возобладало tax havens companies суждение о субъективной природе математики, отражающей лишь только ограниченные способности человеческого разума к установлению причинно-следственных связей. Неслучайно М.Клайн, посвятивший этому драматическому кризису в философском осмыслении математики книгу «Математика. Утрата определенности», оканчивает ее агностицизмом Альфреда Н. Уайтхэда, согласно которому занятие математикой есть лишь безумие человеческого духа, ниспосланное богами. Хотя, как показывает история математики, следует говорить не о безумии, но об эволюции человеческого духа.

Подобно тому, как в природе объективная реальность влияет на появление и развитие живых существ, а их развитие, в свою очередь, видоизменяет объективную реальность, так и совершенствование разума не только зависит от уже сложившихся теорий и состояния цивилизации, но активно воздействует на них, подготавливая почву для исправления ошибок, допущенных в более ранних состояниях. Впрочем иногда, крайне редко, у весьма распространенного и богатого класса теорий может обнаружиться такая фатальная уязвимость, исправление которой невозможно в силу необратимости неких общих признаков, приводящих всю эволюционную ветвь данного класса в тупик. Тогда вызревает необходимость пересмотра всей генетики, сиречь аксиоматики, этой ветви и сравнения ее с другими, более архаичными, культурами для последующей смены парадигмальных установок.

Переход от одной преобладающей парадигмы к другой, более непротиворечивой и полной, всегда связан с поиском альтернативных путей развития, часто – с возвратом к агностицизму, нигилизму, а иногда – к сознательному распространению деструктивных теорий, отвергающих понятие истины и претендующих на звание некой «новой парадигмы». Но эти подходы не объясняют главного – глубинных причин кризиса «ветхой парадигмы» и гностической деградации соответствующей ветви теорий. Принято считать, что в процессе эволюции науку потрясли три кризиса в основаниях математики: древнегреческий, вызванный открытием иррациональных чисел; новоевропейский, вызванный применением бесконечно малых величин; современный, вызванный открытием парадоксов актуальной бесконечности и выявлением математических антиномий. Но не трудно заметить, что все эти кризисы имеют общие корни, поэтому их можно рассматривать как разные этапы одного системного кризиса оснований математики, длящегося вот уже более двух тысяч лет.