Указанная антиномия легла в основу доказательства теоремы Гёделя о неполноте.

В парадоксе Ришара, как известно, отношение порядка, введенное для словесных определений, ставится им во взаимное соответствие.

Более точно это выглядит так:

1. вводятся словесные определения, описывающие арифметические свойства,

2. им ставятся во взаимно однозначное соответствие натуральные числа,

3. натуральные числа, поставленные во взаимно однозначное соответствие словесным определениям, образуют последовательность чисел, т.е. отношение порядка,

4. к отношению порядка могут быть применены словесные определения, описывающие арифметические свойства,

5. порядковое число может не соответствовать такому определению, примененному к нему самому.

Ошибка, как представляется, заключается в полном отождествлении разных функций одного и того же натурального числа. Поставленное во взаимно однозначное соответствие словесному определению, число выступает как его имя. Тот же знак играет совсем другую роль в качестве порядкового номера этого определения (п. 3). Одно и то же число исполняет разную функцию.

Строго говоря, формально его даже нельзя назвать одним и тем же числом, потому что, хотя никак невозможно отличить одно от другого, это очевидно разные знаки. Ведь свойство знака заключается в приписывании чему-то определенного смысла. Если смысл у означающего разный, то и знак должен отличаться. Однако по условиям парадокса этого не происходит.

При доказательстве теоремы Гёделя эти знаки натуральных чисел постоянно смешиваются и употребляются в разных значениях, что недопустимо.

В первом случае натуральное число 1 – это имя определения. Во втором случае натуральное число 1 указывает местонахождение определения и его имени, т.е. себя, в некотором перечне, их порядковый номер. Однако, как оказывается, не себя, а совсем иного объекта, поскольку тот выступает в совсем уже ином качестве – в качестве имени.

Приведем пример. Один и тот же человек может выступать и в качестве ребенка (по отношению к своим отцу и матери), и в качестве родителя (по отношении к своим детям). В связи с этим можно легко сочинить парадокс: "Джон – он кто: отец или сын?". Понятно, что в одном качестве (в отношении одних субъектов) Джон будет сыном, а в другом – отцом. В противном случае Джон был бы отцом самому себе, что недопустимо.

Появление такого парадокса связано с многозначностью терминов разговорного языка. В более полном языке придумали бы дополнительное понятие, исключающее такой парадокс. Но очевидно, что разговорный язык оказался бы слишком усложнен и перегружен уточнениями.

В парадоксе Ришара двузначные обозначения, переведенные в математическую плоскость, получили строгое формальное закрепление, не позволяющее наполнять один и тот же знак в каждом конкретном случае разным значением.