Здесь я займусь обкаткой свежесочинённой терминологии на логике как дисциплине.

  Некоммутативный порядок следования прикладной и теоретической частей ФЛ определяет приоритет появления тезиса, отобразимого на имманентные опыту действия, совершаемые перед выведением формул, содержащих в своей семантике иррациональный по отношению к действиям элемент, неотобразимый на визуальное восприятие, но необходимый для полного определения антитезиса. Первым таким "водоразделом" в математике становится утверждение "бывает только положительное количество чего-либо", но для того чтобы она могла развиваться дальше, необходимо учитывать и "обратную сторону медали", ведь тому кто сочтёт абсурдной фразу "добавить минус три предмета" едва ли удастся продвинуться хоть на шаг в освоении математики как дисциплины. Синтез в данном случае обеспечивает полноту структурных единиц ФЛ, левый аспект которых (тезис) проецируется на опыт целиком, в то время как правый (антитезис) отзеркаливается на действия совместимой с опытом прикладной части не полностью, оставляя за гранью визуального восприятия включённые в его контекст иррациональные по отношению к прикладным теоретические действия.

  Возьмём к примеру пространство - ежели смотреть на него не глазами потребителя, который заходит в интернет как в супермаркет (предоставляющий ему на выбор широкий ассортимент пространств - хош евклидовых, хош римановых, хош лобачевских, хош фрактальных "со вкусом миндаля"), а задуматься над тем откуда что берётся, то придётся всё же соблюдать некоммутативный порядок следования тезисов в дихотомии, коей в данном случае выступает формула : пространство = {евклидово>|<неочень} ] (антитезис потом распадается на {риманово>|<лобачевское}, но это уже несущественно). В контексте тезиса пространство как бы "вообще не знает" о том, что оно "евклидово", поскольку сравнивать ещё не с чем, да и формальная логика запрещает это делать, со всей математической строгостью и корректностью обосновывая утверждение о том, что через точку можно провести одну и только одну прямую параллельную данной - то есть формально математики "не имеют морального права" даже гипотетически допускать существование какого-то альтернативного пространства, обладающего свойствами, противоречащими установленной математикой незыблемой истине. Когда Лобачевский изобрёл пространство, допускающее какое угодно количество параллельных прямых, математикам уже были известны случаи нарушения "запрета на противоречие", и для того чтобы разработка его теории стала возможной, ему необходимо было выйти за пределы ФЛ для получения обобщённого представления о пространстве с формально-несовместимыми свойствами. Подобный способ совмещения как таковой в математике вполне правомерен - например в теоретической части геометрии даётся определение треугольнику, в соответствии с которым его как бы можно считать "одновременно равносторонним, равнобедренным, прямоугольным, остроугольным и тупоугольным". У нас ведь в таком случае не возникнет проблем с отличением семантической единицы, включающей в контекст рассмотрения все попадающие под определение треугольника случаи, от конкретного и пригодного для визуализации геометрического объекта, полученного путём подстановки вместо [a,b,c] константных значений. Упуская из виду упомянутый некоммутативный аспект можно не заметить одной существенной детали - если в "обычной" геометрии для треугольника как для семантической единицы не может нарушиться теорема "сумма углов любого треугольника есть величина постоянная", то в случае с обобщённым определением пространства "обратная" геометрия допускает нарушение формально-незыблемой истины, дополняя теорему о единственности параллельной прямой до целого описанным выше способом : пространство = {евклидово>|<неевклидово}. Обе семантические единицы ("произвольный треугольник" и "пространство произвольной кривизны") невозможно представить в статическом виде и отобразить на визуальное восприятие, но если первая абстракция относится к теоретической части ФЛ, из которой её можно спроецировать в прикладную, подставив вместо переменных [a,b,c] константы, то вторая принадлежит к теоретической части логики в целом, формулы которой невозможно спроецировать на ФЛ в формально-непротиворечивом виде. Таким образом, если прикладная (формальная) часть логики опирается на тезис "любую доказанную теорему следует считать истинной", то её антитезис возражает ей тем, что "теоретически любую теорему можно опровергнуть". Так что одновременность одновременности рознь, и если в первом случае она способствует полноте определения треугольника не нарушая формальных запретов, то во втором случае эта полнота достигается за счёт нейтрализации истинности тезиса ("это так") дополняющим его до целого антитезисом ("это не-так"), истинность которого устанавливается в смежной ФС. Совмещение тезисов даёт в качестве результата утверждение "может быть так, а может быть не-так" - с прилегающим разветвлением указателей на сопоставленные этим тезисам формальные системы.

  Итак, принципиальная разница между семантическими единицами прикладной и теоретической логик состоит в том, что первые подвержены истинностным оценкам (то есть должны соблюдать условие своей внутренней непротиворечивости), в то время как объекты которыми оперирует "внешняя" логика по отношению к этим оценкам нейтральны (а вместо этого должны удовлетворять критерию полноты). Далее средствами теоретической логики я опровергну незыблемое в её прикладной части утверждение о том, что от перемены мест слагаемых/множителей сумма/произведение чисел не меняется. В принятой математиками терминологии это утверждение является истинным для любых чисел, но дело в том, что развитию математики сопутствует расширение представлений о числе, и не существует объективных терминологических оснований относить к категории чисел, скажем, комплексные величины, и при этом исключать из этой категории вектора, матрицы, и вообще любые объекты, появляющиеся в ней по мере возникновения новых разделов. На мой взгляд терминологически обоснованно любой математический объект назвать "числом" (ну или в крайнем случае "числовым объектом" для совместимости с обычными числами), что позволит следовать в дальнейшем определению "любые действия над числами дают новые числа". Пока что ограничимся эстетическим преимуществом определения математики как "науки о числах" перед всем тем "бла-бла-бла", которым предпочитает сегодня пользоваться математическое сообщество. Тогда называя "числами", скажем, матрицы, приходим к опровержению исходного тезиса о коммутативности умножения для любых чисел, ну и для сложения несложно будет отыскать подходящие примеры. На основании же дальнейших соображений я прихожу к выводу о том, что избыточность принятого в математике определения её предмета противоречит не только эстетическим, но и вполне логическим критериям.

  Теперь можно исчерпывающим образом раскрыть суть теоремы "о полноте и непротиворечивости". Если логическая система претендует на роль "математической", то она должна состоять только из истинных суждений. Сказанное означает, что из двух противопоставленных суждений {"это так">|<"это не-так"} истинным будет лишь одно. Выстраиваясь по этому принципу, "в один прекрасный день" такая ФС обнаруживает в себе утверждение, недоказуемое её средствами и требующие выхода за её рамки путём обращения к другой ФС, способной эту проблему решить. Когда этих ФС становится достаточно много, в них обнаруживаются формально-несовместимые суждения, благодаря которым становится возможным достижение полноты, поскольку для одной системы это может быть "так" ("сложение коммутативно"), а для другой "не-так" ("сложение некоммутативно"). Таким образом, суть "полноты и непротиворечивости" можно редуцировать к утверждению о том, что формальная система как структурированное множество истинных утверждений должна быть непротиворечивой, но не может быть полной, при этом полнота достигается за счёт включения в логическую систему утверждений, взаимоисключающих с точки зрения небезразличной к критерию истинности математической логики, и взаимодополняющих с точки зрения индифферентной к нему обратной логики. С этих позиций {определённость>|<неопределённость} состояния структурных единиц в {прикладной>|<теоретической} логиках можно соотнести с проверочным критерием {выборочности>|<одновременности} двух утверждений, составляющих дихотомию {это так>|<это не-так}. Проще говоря, если для непротиворечивых логических действий верным может быть лишь одно из противопоставленных суждений, то полные логические формулы оперируют обоими суждениями как целым.

  В целях экономии словесных затрат обозначу каждую из четырёх рациональных философских дисциплин одним термином :

[ ] [ ]  Информатика
[ ] [V]  Математика
[V] [ ]  Диалектика
[V] [V]  Метафизика

  Теперь не придётся их называть "прикладной частью формальной логики", "теоретической частью формальной логики", "теоретической частью логики в целом" и "теоретической частью рациональной философии". Также хочу акцентировать внимание на том, что предмет этих дисциплин, как и взаимосвязь между ними, чётко и однозначно определёны в приложениях, поэтому не следует их ассоциировать с той информационной кашей, которую выдаёт гугл по соответствующим запросам. С точки зрения соотношения соседних мета-уровней структурные единицы рассматриваемого уровня по отношению к следующему выступают в роли "действий", а по отношению к предыдущему - в роли "формул" (формулы последнего уровня замыкаются на действия нулевого, как это было показано в приложении, поэтому описанный принцип применим для всех элементов списка). Поскольку каждая из перечисленных дисциплин содержит в качестве своей прикладной части предыдущую, её предмет можно понимать двояко - как собственную теоретическую часть и как результат её синтеза с прикладной. Для удобства дальнейшего изложения я буду называть "действиями" семантические единицы, которыми оперируют дисциплины чётных уровней, и "формулами" - нечётных. На основании такого определения и в сопоставлении с предыдущими выкладками действия должны удовлетворять критерию "полноты", а формулы - "непротиворечивости". Первые три дисциплины я вижу все терминологические основания отнести к категории "логических", и следующим шагом определю способ их соучастия в образовании логики как целого.

  Полнота действий в новой терминологической расстановке позволяет использовать их в качестве структурных единиц для построения информационных моделей. Как это делается в информатике нам известно, как известно и то, что битовые последовательности сами по себе не обременены семантической нагрузкой, поэтому её приходится определять в контексте информационной модели - в отличии от диалектики, элементы которой содержат предопределённую их семантикой информацию о {тезисе>|<антитезисе}. Таким образом, используемые в предметных областях обеих дисциплин для построения информационных моделей структурные единицы сходны своей индифферентностью по отношению к критерию математической истинности, и различны в том, что первые являясь изначально семантически-нейтральными требуют определения своего содержания, в то время как семантика вторых предопределена. Математика в этой схеме служит связующим звеном, поставляя обратной логике материал для выстраивания информационных моделей из дихотомических аспектов полученных тезисно-антитезисных пар, наделённых объективной семантикой и составляющих предметную область диалектики.

  Функцию оценочного критерия для обеих безразличных к истинностным оценкам дисциплин выполняет критерий практической целесообразности, на основании которого как битовые последовательности так и произвольные сочетания дихотомических аспектов приводятся в соответствие с целями построения из них информационной модели. Например, берём два "диалектических бита", задающих ключевые пространственные характеристики - {евклидовость>|<неевклидовость} и {"прямизна">|<"кривизна"}. В результате получаем четыре разновидности геометрий : [ евклидово & прямое ] ; [ евклидово & кривое ] ; [ неевклидово & изогнутое "туды" ]  ; [ неевклидово & изогнутое "сюды" ]. Терминологическое соответствие здесь слегка нарушено (по идее, эти критерии не обязаны "ходить парами" и могут включать в свой состав и большее число взаимодополняющих аспектов), но я думаю суть и так понятна - в первом случае имеем "прямой лист бумаги", во втором согнутый, в третьем пространство Римана, в четвёртом - Лобачевского. Затем строим на этих двух битах информационную модель, согласно которой по понедельникам у нас пространство "прямое", по средам - "кривое", по пятницам - "риманово", по воскресеньям - "лобачевское", а в промежутках осуществляется непрерывный переход между этими состояниями. Как можно жить в таком мире я даже и не пытаюсь себе представить, но с другой стороны я не могу себе представить и того что увижу в "обычном" четырёхмерном пространстве - так что это ещё не повод для отрицания возможности построения подобных моделей в области умозрения. Оценивая этот "hello world" на предмет его целесообразности убеждаемся в том, что пример взят "от балды", и что в рамках данной темы я не ставил перед собой задач написать исходник рабочей модели мирового движка. Могу лишь отметить, что при моделировании подобных логических конструкций здесь как и в информатике достаточно ориентироваться на один лишь критерий целесообразности, поскольку структурные единицы, которыми приходится оперировать в данной предметной области, уже прошли через фильтр математической истинности и средствами обратной логики укомплектованы в инкорпорированные объекты.