Непротиворечивость.

Формально-логическая система непротиворечива, если для каждой теоремы данной системы противоположное утверждение ложно. Иначе говоря, система противоречива, если для некоторой теоремы в данной системе существует противоположная теорема.

Исходя из этого определения, нетрудно заметить, что любое утверждение, сформулированное в терминах данной системы, будет являться ее теоремой в случае, если система противоречива. Для непротиворечивой системы существуют утверждения, которые не являются ее теоремами.

Система может быть противоречивой в двух случаях: первое - если противоречива аксиоматика данной системы и второе - при наличии ошибки в логике выведения теорем. Для проверки непротиворечивости аксиоматики используется построение модели системы. Для построения модели берется некоторая иная формально-логическая система (назовем ее система Б), о которой известно, что она непротиворечива, и аксиомы исходной теории (система А) формулируются в терминах системы Б. Полученный результат и будет моделью системы А. Если сформулированные в терминах системы Б аксиомы системы А становятся теоремами системы Б, то можно считать, что аксиоматика системы А непротиворечива.

Такое обоснование непротиворечивости является относительным: непротиворечивость одной системы выводится из непротиворечивости другой. Процедура формулировки положений одной системы в терминах другой называется интерпретацией.

Именно таким образом обосновывается непротиворечивость геометрии Лобачевского. Существует множество моделей неевклидовой геометрии, построенной в геометрии Евклида. Геометрия Евклида интерпретируется в теории действительных чисел, а теория действительных чисел - к теории натуральных чисел на основе аксиом Пеано, и весь вопрос, таким образом, сводится к обоснованию непротиворечивости арифметики.

Независимость аксиом.

Некоторая аксиома является независимой от других аксиом системы, если ее нельзя вывести из этих аксиом. Если некоторая аксиома независима, то при ее исключении из аксиоматики уменьшается количество теорем данной системы. Иными словами, в аксиоматике системы не должно быть "лишних" положений. Система аксиом должна содержать минимальное количество положений необходимых для выведения всех остальных положений данной системы. Система аксиом является независимой, если каждая аксиома в ней независима от других. Следует заметить, что от данного требования можно отступить в определенных случаях. В школьном курсе геометрии для более эффективного усвоения учащимися материала принимаются без доказательств множество положений, которые однако же являются теоремами, а не аксиомами. 

Проблема установления независимости аксиом с древних времен волновала математиков. Яркий пример - пятая аксиома Евклида, которую веками пытались доказать как теорему. Как обосновать независимость той или иной аксиомы? Можно заменить данную аксиому на противоположную, и если полученная в результате система окажется непротиворечивой (а непротиворечивость, напомню, устанавливается в ходе построения модели), то исходная аксиома независима. В самом деле, если бы некоторая аксиома была бы выводима из остальных аксиом (не была бы независимой), то ее можно было бы вывести также и при добавлений к аксиоматике ее отрицания, и тогда система была бы противоречивой.

Полнота.

Формально-логическая система является абсолютно полной, если для любого утверждения, сформулированного в терминах данной системы, само это утверждение, либо отрицание его является теоремой данной системы.

Также иногда говорят о полноте в узком смысле: система полна, если при добавлении к аксиоматике какого-либо невыводимого в данной системе положения эта система становится противоречивой.

Всякая абсолютно полная система будет полна и в узком смысле. Допустим, в некоторой абсолютно полной системе невыводимо положение А. Тогда, стало быть, в данной системе должно быть выводимо положение не-А, и при добавлении к ее аксиоматике положения А система становится противоречивой.

Абсолютная полнота системы заключается в том, что средствами данной системы можно доказать или опровергнуть любое положение, сформулированное в терминах этой системы. Иногда говорят об относительной полноте, имея в виду достаточность некоторого количества теорем для тех или иных целей.

Категоричность.

Категоричность характеризует систему с точки зрения качества ее моделей. Система категорична, если все ее модели однородны (изоморфны). Если система получает интерпретацию в самых разных теориях (каковы, например, алгебраические теории, типа теории групп, колец, полей и т.д.), модели у нее, соответственно, будут разными - такая система некатегорична. Такие системы получают самое широкое распространение. Собственно, и возникают они как обобщение определенных характеристик множества других математических теорий. Такие же системы, как Евклидова геометрия, арифметика, теории чисел и т.д., как правило, категоричны.