По моим скромным соображениям это следствие закона достаточного основания. Можно даже сказать недостаточного, поскольку его всегда приходится искать для того, что бы складно врать самому себе. А как же, именно самому себе, ведь если я не стану свято верить в собственный бред, то кто же мне поверит? :)

Выход как всегда есть, даже два: логика и анти-логика.

Можно ли доказать то, что не очевидно?

 И нуждается ли очевидное в доказательствах?

Нет, не нуждаются, нуждается теория, она и мама и папа, и бабушка с дедушкой любого мировоззрения, любой идеологии. Опять же теорий бывает два вида, аксиоматическая (сквозная) и фундаментальная (замкнутая сама на себя), ну это если не считать боговерческую/догматическую.

Первое  доказательство сформулировано так:

«мир есть движение, каждое движущаяся вещь имеет свой источник движения. Перводвигатель – Бог»

Хорошо бы ссылочки давать на формулировки. Откуда Вы это взяли? Очевидно, из собственной головы, так как, доказательство самого Фомы, куда как пространнее.

Во-первых, в мире есть и движение и покой, которые друг без друга не существуют.

Нет уж, в мире есть только движение и не ясно, есть ли в нём ещё, хоть что-нибудь, иное. А покой, к которому Вы апеллируете, противоположен не движению, а ускорению. 

Ничего бездвижного в мире нет. Вон, 150 лет назад, человеки придумали сотворить себе эталон массы. Сделали его из самых инертных материалов, хранили в самых стерильных условиях покоя, а он, гад, за полтора века сломался. То ли истёрся, то ли испарился. Вот Вам и покой. Покой нам только снится.

 И, наконец, в-третьих, для верующего в Бога (теиста) Перво-источником - в частности! - движения будет соответственно Бог, для атеиста - изначально имеющаяся у вечной и бесконечной материи способность двигаться. То есть убедительность т.н. доказательства (любого аргумента) напрямую зависит от изначальной мировоззренческой установки в виде какого-либо веро-учения (теистического или атеистического) в т.н. сознании человека, которое изначально привито ему  господствующей в его время системой воспитания и образования.

Если бы Вы привели доказательство самого Фомы, а не то, что ему, от балды, предписываете, то оно сводится к существованию первопричины движения, первого движущего и всё. Так, каким образом, мировоззренческая позиция, тут влияет на доказательство? Что, теисты или атеисты, отрицают наличие перводвижущего? Вроде, как, нет. Значит, и те, и другие, в данном случае, согласятся с Фомой, что, таки да, есть первое движущее.

 Может быть богословы - теоретики вероучений - зря стараются измыслить какие-либо доказательства существования Бога для верующих людей,  которым эти доказательства в принципе не нужны по одной простой причине - Они и так верят в Бога -  верят на слово  написанному в так называемых священных писаниях  и богословских трактатах?

  Задача у Фомы была другая. Конечно, нет нужды верующим доказывать бытие бога. Задача была обнаружить след бога в бытии. Присутствует ли бог в бытии. А это прямая теологическая проблема.  

А в заключении два риторических вопроса:

 Можно ли доказать то, что не очевидно?

 И нуждается ли очевидное в доказательствах?

Совершенно неочевидно, что Земля вращается. Можно ли это доказать?

Совершенно очевидно, что Солнце облетает Землю, нужно ли это доказывать?  

"ОЧЕ-видное" - воспринимаемое. Какой смысл что-либо доказывать (себе) если я это "вижу" (слышу, нюхаю итд)?

Доказывать можно ТОЛЬКО интерпретации "видимого". Но интерпретация, это дело Субьективное.

Соответственно, имеет СМЫСЛ исследовать ПРИЧИНЫ и Механизм ТАКОГО именно восприятия - ОЧЕ-видности. 

Интересно, что бы сказал Фома Аквинский на тезис буддиста: бог это последняя иллюзия от которой следует отказаться!
А если говорить серьезно, хотя предыдущий тезис тоже  не шуточен, то Бог доказывается через смыслы. Но прежде чем это доказательство произойдет, человек должен согласиться с таким понятием как страдание.  Итак возьмем две ситуации:
1. 9 дней мы проводим на морском курорте и один день на тяжелой каторжной работе.
2. 9 дней мы проводим на каторжной работе и один день на морском курорте.
Для большинства очевидно, что первый вариант более желателен, чем второй. Так как во тором варианте большую часть времени составляют страдания. В человеке есть некая сущность  которая получает наслаждение либо страдание, эту сущность принято называть душой. Если бы души не было, то конгломерату атомов и молекул было бы все равно: находятся они над грунтом или погружены под грунт и входят в состав удобрения. Однако мы видим, как атомы и молекулы, управляемые душой, стремятся занять положение над грунтом.  Наличие наслаждения и страдания - это первая ступень без которой невозможно доказать бытие Бога.
Вторая ступень состоит  в наделении смыслов действиям души (человека) и действиям окружающей среды: время , материя, другие люди, живые существа и т.д. Так, умелый спорщик может привести следующий тезис: Время могущественнее Бога, так как все действия Бога (его чудеса, акты милости и т.п.) протекают во времени. Если бы не было времени, то Бог был бы не познаваем. Бог обязан времени своему бытию, поэтому время могущественней Бога.  Или время и есть Бог! 
Данный тезис был верен, если бы время наделяло само себя смыслами своего существования (течения). Время на это неспособно, оно может только реализовать смыслы, так же как и материя. Есть некто, кто придает вечные смыслы как течению времени, так и существованию материи, людей, вселенной, наслаждения, страдания, иллюзии, ясности и т.д . И источник этих смыслов и есть Бог! Через понимания источника смыслов проводится и доказательство Бога.
 

А вот Бога, как первоисточник всего, вы куда бы поместили ? Где тот "дом", где "живет" первоисточник ВСЕГО ?

Во-первых, в мире есть и движение и покой, которые друг без друга не существуют.

А вот если я скажу, что в мире вовсе нет движения и есть один покой - это ведь будет неочевидно, правда? 

Можно попробовать это доказать.

О движении всякой точки мы судим только по перемещению ее относительно другой какой-то точки. Но безотносительно к какой-либо точке сама точка, как таковая, не движется. Смена положения происходит только относительно какого-то другого положения, но не происходит смены положения вообще.

Допустим, вот стоит стол. Этому столу нет никакого дела до того, что его двигают из угла в угол. Какая разница где он стоит? Он всегда стоит там, где стоит, и при его движении относительно других предметов ничего, по сути, не меняется.

И нуждается ли очевидное в доказательствах?

Есть такое положение в геометрии: "Углы при основании равнобедренного треугольника равны". Достаточно бросить взгляд на равнобедренный треугольник, чтобы убедиться в этом положении. Это очевидно так. Однако математике это надо доказать - мало ли, что там кому кажется очевидным или нет. Всякий тезис должен быть доказан или опровергнут, в противном случае, он принимается на веру или подвергается сомнению. Ссылка на очевидность или неочевидность - это не аргумент в доказательстве.

Сами, наверное, знаете как очень часто встречается, когда человек говорит какую-нибудь лабуду и подкрепляет ее словами: "Вы что, не понимаете? Это же очевидные вещи!!!" Как будто бы это освобождает его от ответственности.