Ставится задача вывода геометрических примитивов (поверхность, линия, точка),  сравнительных характеристик их областей (объем, площадь, длина), а также определения прямой и плоскости исходя из интуитивно понятных представлений о границах областей в пространстве.  При этом решается задача устранения нелепого представления классической геометрии, согласно которому линии и другие геометрические фигуры, имеющие длину, площадь, объем строятся из не имеющих размера точек.

Начало

Принимаем, что есть пространство, к которому можно применить операцию "деление", порождающую две области пространства и границу между ними:

1. Постулируется пространство, как то, в чем различается все различимое в "сейчас" (время устраняется из рассмотрения).
2. Утверждается, что существует операция "деление", при применении которой к пространству, образуется две области пространства так, что нечто различенное в одной области не различается в другой.
3. Принимается, что операция деления порождает новую сущность "граница между областями".

Определения примитивов

Вводим базовые геометрические примитивы как границы, порождаемые делением:

1. Поверхность - это граница областей в пространстве.
2. Линия - это граница областей на поверхности.
3. Точка - это граница областей линии.

Границы как пересечения

Отмечаем, что естественным образом границы получаются при пересечении примитивов:

1. Точка может быть определена как пересечение линий.
2. Линия может быть определена как пересечение поверхностей.

Эти определения эквивалентны ранее данным определениям через операцию деления и границы.

Замкнутые и открытые области

Для введения сравнительных характеристик областей геометрических примитивов необходимо определить замкнутые и открытые области (понятно, что исходное деление пространства на области можно произвести как с образованием двух равнозначных открытых областей, так двух областей, одна из которых находится внутри другой).

1. Две точки на линии выделяют замкнутую область линии, которая называется отрезок.
2. Линия называется замкнутой, если при пересечении ее другой линией с необходимостью возникает вторая точка пересечения.
3. Поверхность называется замкнутой, если при пересечении ее другой поверхностью, границей пересечения с необходимостью является замкнутая линия.
4. Область пространства называется замкнутой, если она ограничена замкнутой поверхностью.

Сравнительные характеристики

Если замкнутая область область полностью включает в себя другую замкнутую область, то можно ввести сравнительные характеристики замкнутых областей.

1. Объем - это сравнительная характеристика замкнутых областей пространства (если замкнутая область пространства полностью включает в себя другую замкнутую область пространства, то мы говорим, что объем первой области больше второй); границы областей пространства - поверхности - не обладают объемом.
2. Площадь поверхности - это сравнительная характеристика замкнутых областей поверхности; границы областей поверхности - линии - не имеют площади.
3. Длина - это сравнительная характеристика замкнутых областей  линии (отрезков); граница областей линии - точки - не имеют длины.

Прямая линия

Определение прямой линии получается через представление о минимальной длине линии между двумя точками в пространстве. Через две точки на линии можно провести неконечное число линий, принадлежащих той же поверхности, что исходная линия, и среди всех линий найдется та, отрезок которой между двумя точками будет иметь минимальную  длину. Через линию, на которой расположен отрезок с минимальной длиной, можно провести неконечное число поверхностей, на каждой из них через заданные две точки провести линии, и среди всех линий на всех поверхностях найдется линия, отрезок которой будет иметь минимальную длину. Таким образом, мы находим отрезок минимальной длины уже не на линии поверхности, а между двумя точками в пространстве.

1. Отрезок прямой - это отрезок линии с минимальной длиной между двумя точками в пространстве.
2. Прямая линия - это линия у которой любой отрезок является отрезком прямой.
3. Плоскость - это поверхность, между двумя точками которой можно провести отрезок прямой или, что равносильно, провести прямую линию.

Выводы

Таким образом, мы построили всю иерархию геометрических примитивов, начиная не с точки и прямой, как в классической геометрии, а исходя из постулирования пространства, деление которого порождает границы. Далее шаг за шагом получили определения поверхности, линии, точки, понятия объема, площади, длины, и пришли к определению прямой линии и плоскости.