Парадокс двух конвертов.
В неком магазине 10000-му покупателю дают подарок. Для рекламного шоу ему не просто дают чек на некоторую сумму, а предлагают участвовать в беспроигрышной лотерее. Можно выбрать один из двух запечатанных конвертов с чеками на заранее не известную сумму. Про размер суммы известно только то, что одном конверте она в два раза больше чем другом. Покупатель делает выбор, теперь чек из конверта его. Чтобы продлить шоу устроители предлагают, если он пожелает, поменять то, что было в выбранном конверте на содержимое другого (еще закрытого) конверта. Стоит ли ему это делать?
Попробуем оценить это с точки зрения теорвера. Выгодно менять если матожидание суммы в закрытом конверте больше чем сумма в открытом. Считаем матожидание:
пусть сумма в открытом – S, тогда в закрытом либо S/2, либо Sx2; оба варианта равновероятны, поэтому матожидание = (1/2)x(S/2)+(1/2)x(Sx2) = Sx(5/4) > S. Следовательно, менять выгодно.
Но в сущности это же парадокс! Почему наилучшей стратегией будет сначала открыть один конверт, а потом поменять его на другой?
- Корвин
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Спасибо за парадокс. Математическое ожидание говорит о том, что в случае выиграша мы выиграем больше, чем проиграем, т.е. как бы имеет смысл рискнуть. Но события равновероятны, и рисковать не имеет смысла.
Допустим, учредитель конкурса пишет на бумажке: орел - 2000 рублей, решка - 1000 рублей. Потом спрашивает участника: орел или решка. Тот отвечает: решка. Учредитель говорит: вы сделали выбор, но имеете шанс передумать. Участник: какая разница? Ну, орел. И выигрывает 2000. Хотя мог бы настоять и на решке.
(1/2)x(S/2)+(1/2)x(Sx2) = Sx(5/4) > S - бред )
во первых левую часть надо заменить на (1/2)x(S)+(1/2)x(Sx2) (или (1/2)x(S)+(1/2)x(S/2) )
а во вторых формула просто не имеет смысла )
Здесь задача решается как задача по оценке неизвестного параметра совокупности. В этом случае находится среднее взвешенное арифметическое (с учетом частоты) В данном случае, есть дискретный вариационный ряд, в котором возможность нахождения суммы в конверте в двое меньшей, чем в открытом конверте равна 0,5Х (х - сумма в открытом конверте) может быть проявлена - n1=1 раз и 2Х - сумма в два раза больше, чем в отрытом конверте, также может быть проявлена n2=1 раз.
Задача решается по формуле (0,5Х*n1+2Х*n2)/(n1+n2)=1,25Х (при n1 и n2 равными 1). Возможность получения более крупного выигрыша будет возрастать при количестве выборов.
Так, что формула, с точки зрения теории вероятности, имеет смысл.
смысла нет
-------------
предположим мы вынули 10 рублей
исходя из условий это значит что есть две функции распределения:
одна функция дает с 50% вероятностью 10 или 20
вторая функция дает с 50% вероятностью 10 или 5
и нет функции которая давала бы 20 и 5 :)
а значит (0,5Х*n1+2Х*n2)/(n1+n2) - бред
Для определенности - покупатель открывает конверт и видит в нем 1000р. Следовательно, в другом конверте 2000р. или 500р. Точно он не знает. Стоит ли ему менять 1000р. на содержимое закрытого конверта? Тут нужно выбрать стратегию. Стратегии могут быть разные. Например: мне всегда не везет, менять не буду. На звание научно обоснованной стратегии претендует такая: нужно менять, если матожидание выигрываемой суммы больше теряемой (1000р.). Вероятности обнаружить в закрытом конверте 2000 и 500 одинаковы и равны 1/2. Следовательно матожидание выигрыша 2000/2+500/2=1250р. Т.е. больше 1000р.
Парадокс в том, что при такой стратегии всегда нужно менять вне зависимости от суммы в открытом конверте. Т.е. получается, что первый конверт можно и не открывать! Но тогда зачем менять? Закрытые конверты ведь одинаковые.
Это говорит о том, что в случае выиграша мы выиграем больше, чем проиграем. Была 1000, можем, казалось бы, рискнуть 500 ради 2000, но события равновероятны! :) И поэтому нельзя сказать, выиграшная эта стратегия или проигрышная. Не то и не другое, или и то и другое. 50/50.
Это природа умножения/деления.Если мы деньги делим, то сумма минимум ноль.Если умножаем, то плюс бесконечность.
Вот если бы от суммы в первом конверте мы отнимали или к ней прибавляли конкретное число... тогда без вопросов
Теория вероятностей хороша там, где речь идет о действительной вероятности, например, "черт" Максвелла. В магазине при розыгрыше приза, вряд ли идет речь о вероятности. Приз, скорее всего должен быть "круглым". В моем представлении - 1000 - круглая сумма. Поэтому менять "денежку" я не буду. Речь идет о "психологии", точнее, об оценке совпадении моих представлений о сумме выигрыша и организаторов шоу. Открывая второй конверт, я для себя, должен решить вопрос: готов ли я проиграть и буду ли рад любому выигрышу. Теория вероятностей, в данном случае, негодный советчик.
я посчитал ..не обижайтесь но это немножечко бред)))
Обожаю парадоксы, собственно, это одна из причин, по которой я здесь бываю. И настоящий парадокс - это большая находка. В рассматриваемом случае никакого парадокса увы нет, а есть логическая ошибка, связанная с подменой понятий. А именно подменено понятие выигрыша. После того, как мы вскрыли первый конверт у нас на руках оказывается сумма S, которую надо НЕ ЗАБЫТЬ ВЫЧЕСТЬ в дальнейшем. Следовательно, средний выигрыш после вскрытия второго конверта ожидается вот таким:
(S/2-S)x(1/2)+(2S-S)x(1/2)=0,
а вовсе не таким
(S/2-0)x(1/2)+(2S-0)x(1/2)=(5/4)S.
Что означает, что в надежде урвать побольше второй конверт вскрывать абсолютно бесполезно. Только из любопытства.
…на сайте Чалмерса (D.Chalmers).
Ну, во-первых, в этой измененной формуле речь идет уже о прибыли, а не о выигрыше. И потом, (S/2-S)x(1/2)+(2S-S)x(1/2) равно не нулю, а S/4. Алгебра, однако!
Совершенно с вами согласен. В моем предыдущем посте все написанное - полный бред. Действительно, согласно ЛОГИКЕ в такой лотерее участник должен вскрывать оба конверта. Вскрывая первый конверт, он получает некую сумму S и оценивает средний выигрыш, который он получит, вскрыв второй конверт. Видит, что эта сумма ожидаемого выигрыша (5/4)S превосходит ту, что у него на руках и вскрывает второй конверт. При этом, со стороны видится иная картина. Участник вскрывает сначала один конверт, потом другой, и в любом случае довольствуется суммой, находящейся во втором конверте. Полный абзац! Неужели так работает суета-сует?
Апну пожалуй. Ввиду высокой важности темы и набора участников, вполне способных эту тему обсуждать.
Приветствую всех!
Только вчера выложил довольно подробный разбор здесь:
Парадокс двух конвертов и основания теории вероятностей
Вообще, если уж подходить к этой задаче с позиции теории вероятностей, то решение будет простым исходя из формулы полной вероятности, применение которой неизбежно в данном случае, поскольку речь идет о выборе после выбора.
Итак, какова вероятность вытащить бОльшую сумму при первом выборе конверта? Очевидно, 0.5.
Какова вероятность вытащить бОльшую сумму при втором выборе, когда мы меняем выбранный конверт на невыбранный? Менее очевидно, что эта вероятность зависит от того, что было выбрано в первый раз, однако, нам неизвестно, что была выбрано в первый раз. По этой причине тут и начинается шельмование числами.
Поэтому внимательно разберемся. В первом выборе возможны два варианты - две гипотезы: первая (был выбран конверт с бОльшей суммой) и вторая (был выбран конверт с меньшей суммой).
Так какова вероятность вытащить бОльшую сумму при втором выборе, когда мы меняем выбранный конверт на невыбранный? Эта вероятность = P(первой гипотезы)*P(вытащить конверт с большей суммой при обмене при условии, что верна первая гипотеза, т.е. был вытащен конверт с бОльшей суммой)+P(второй гипотезы)*P(вытащить конверт с большей суммой при обмене при условии, что верна вторая гипотеза, т.е. был вытащен конверт с меньшей суммой)=0.5*0+0.5*1=0.5.
Итог в некотором роде печален.
Второй выбор не прибавляет шансов на вытаскивание конверта с бОльшей суммой.
Поэтому с точки зрения баловства можно смело сменить свой выбор и обменять конверты. Никакого парадокса тут нет.
Какой же это парадокс? Это тест на жадность и тупость.
Дали приз, поблагодари и будь благодарен!!! С "духовной" точки зрения, Бог дал тебе приз, организовав ситуацию.
Начиная думать а не поменять ли мне то что мне дал Бог на то что предлагают устроители, ты идешь против воли Бога? Вот!!! Выходит только то что было в первом конверте имеет наибольшую ценность.