Сначала нам надо договориться до какого-то общего начала. Тогда категории сами лягут в основание.

Не пойму в чем загвоздка и вообще смысл? Категории(в конечном понимании этого слова), это как своеобразные полочки. Слить все полочки воедино, не получится, ну а спорить и дискутировать на тему, что есть сама по себе полочка, это как бессмысленно дробить ясное. Остается только вопрос информации и здесь опять же у каждого на своей полочке своя информация, свое личное отношение и понимание вопроса. Искать полочки на которых будет строго равноценная информация, это как искать идентичные мысли, ведь на одной полочке могут сойтись как двое, так и два миллиарда. 

Вроде бы и просто, а можно сто лет голову ломать на ровном месте.

Философские категории - наиболее общие понятия, которые нельзя подвести по ещё более общие понятия

Кто сказал? Аристотель? Определил число? Точное местонахождение? Исключил погрешности, отклонения?.. Это слишком расплывчатая вводная, следуя которой можно блуждать вечность.

Возникает вопрос, как упорядочить и охватить единым взглядом множество философских категорий, если их нельзя привести в какую-то логически стройную формализованную иерархию?

Очень просто. Для начала оторваться от догм и перестать рассматривания каждую единицу как обязательную и уж тем более истинную. Есть еще и второй этап, более сложный, но об этом еще рано и для начала хотя бы первый, где для того чтобы выстроить новую, более прочную вводную, необходимо перестать копаться в груде бесконечного мусора. Или если другими словами, то можно упрощать, а можно и продолжать усложнять, но только при первом варианте, со временем, можно будет придти к грамотному и точному вычислению прочности несущих.

 КАТЕГОРИИ - это наиболее общие понятия, которые определяются в некой формальной системе друг через друга, где их системность и аксиоматика есть смыслообразующий фактор...

Да, интересный вопрос: что такое категории вообще, откуда они и для чего?

Зайду со своего любимого захода. В общем виде, существование "есть" единство "формы" существования и "способа" существования. В кавычки взяты основные компоненты существования: свойство быть - "есть", "форма", как совокупность внешних проявлений или, что то же самое, выражений, содержания существования и "способ", как  возможность, средство, реальные условия для осуществления существования.

С формами всё ясно, будучи внешним проявлением, они даны нам в ощущениях, непосредственно или опосредовано, в виде информации. А вот со способами существования не всё так однозначно. Их ни пощупать, ни понюхать, ни в руках подержать.

Эти самые способы могут быть сложными комплексами, вкладываться друг в дружку, как матрёшки, комбинироваться и сочетаться. И вот для них мы и вводим некие обобщения, называя их категориями.

Ну, пример, чашка на столе. Её форма - сосуд определённых размеров с ручкой, наглядна и понятна, а вот способ существования? Сразу напрашивается - предмет обихода/быта, утилитарный предмет. Действительно, не будь нужды в таких утилитарных предметах, как сосуды для питья, никакие чашки бы не существовали. И среди множества утилитарных предметов, разного назначения, мы можем ввести категорию, обобщение по некоему смыслу - посуда, объединяющую разные утилитарные предметы, предназначенные для различных операций с веществами и продуктами и через это предназначение, существующие в своих формах: чашках, кастрюлях, ретортах и мензурках, банках-склянках и т.п.

Но, чашка не заканчивает своё существование, переставая служить предметом быта и её существование не ограничивается только утилитарной функцией, значит, в её способе существования есть более высокие уровни. Действительно, она существует, например, как физическое тело. А для этого способа существования, мы можем вводить свои категории.

Итак поднимаясь всё выше по ступенькам иерархии способов существования мы выходим на самые общие категории (наиболее общие способы существования), которые называем философскими. Движение, материя, пространство, время, форма, структура, идея... жизнь, сознание, общество... и т.д. 

Таким образом получается, что категория вообще - это обобщённые по какому-либо смыслу (качеству), способы существования, неких множеств предметных существований, образующих через это обобщение какое-либо единство.