Готовит просвещенный дух

И опытом ошибок трудных,

И гением, минувшим слух.

Эта работа предлагает новый подход к анализу и решению ряда известных парадоксов. Простота и лаконичность изложения, которая является философски самоценной, - результат долгой работы. Было бы ошибкой связывать эти характеристики текста с легковесностью его содержания.

1. Группа расселовских парадоксов.

Эту группу составляют парадоксы, логическая структура которых изоморфна парадоксу Рассела [7, 8, 9, 10], являющего собой логическую задачу, попытка решения которой приводит к противоречию.

Если из всех многословных [3, 6] и подчас разноречивых [7, 8] формулировок этих задач выделить их логическую суть [4, 5], они примут вид:

Парадокс Рассела. Включает ли себя R-класс, включающий все те и только те классы, которые себя не включают?

Пусть да. Стало быть, R - один из тех, что себя включают. Однако, именно такие R не включает. Пусть нет. Стало быть, R - один из тех, что себя не включают. Однако, именно такие R включает. Получается, что R включает себя тогда и только тогда, когда R не включает себя.

Парадокс Греллинга. Называет ли себя "гетерологическое" - имя, называющее все те и только те имена, которые себя не называют [7]?

Парадокс "Брадобрей". Бреет ли себя Брадобрей - житель деревни, бреющий всех тех и только тех жителей своей деревни, которые себя не бреют?

Парадокс "Каталог". Включает ли себя К-каталог, включающий все те и только те каталоги, которые себя не включают?

2. Естественный способ решения.

Этот способ состоит в том, что в своем существе он совершенно свободен от прописной аналитики. Используя одно знаменательное выражение, можно сказать, что все происходит лишь под воздействием естественного света разума.

Поскольку данные задачи изоморфны, постольку решение любой из них является решением всех сразу.

Включает ли себя R-класс, включающий все те и только те классы, которые себя не включают? Для однозначного ответа на вопрос этой задачи необходимо прийти к пониманию того, о чем в ее условии никак не сказано, но тем самым ясно показано. Данная задача "умалчивает", т.е. вовсе не предусматривает никакого условия выполнимости функции "класс (х) не включает себя"; причем, выполнимость самой этой функции ясно выступает единственным условием выполнимости функции "R включает класс (х)". Если безналично данное явить во плоти слова, то исходная формулировка обретет вид: "Включает ли себя R-класс, включающий класс (х), если и только если класс (х) не включает себя вне всякого "если"?" Здесь стоит особо подчеркнуть, что выражение "если и только если" употребляется в данном случае в своей содержательной, естественоязыковой интерпретации, обозначая не более, чем единственность, исключительность условия. (К логической и, особенно, материальной эквиваленции это естественное выражение не имеет никакого отношения. Когда ведомые привычным формализмом этого не учитывают, то попадают в порочный круг и выводят недопустимое.)

Для ответа на вопрос задачи нужно совершить соответствующую подстановку, в результате чего имеем: R включает R, если и только если R не включает R вне всякого "если". Поскольку антецедент этого высказывания ложен по определению R, постольку ложен и консеквент. Стало быть, R не включает себя.

3. Формальный способ решения.

Чтобы решить эту задачу формально-логически, нужно выработать соответствующую дедуктивную схему. С этой целью обратимся к тому, что хорошо известно из так называемой логики норм [1].

В составе нормы обычно выделяют следующие четыре элемента: содержание - действие, являющееся объектом нормативной регуляции; характер - норма обязывает, разрешает или запрещает это действие; условие приложения - указанная в норме ситуация, с наступлением которой либо можно, либо должно, либо не должно реализовать предусмотренное нормой действие; субъект - лицо или группа лиц, которым адресована норма.

Исходя из этого и для удобства отвлекаясь от субъекта представим общий вид нормы: принято, что если и только если верно, что есть ситуация S, должно (не должно, может) быть верно, что есть действие D. Пример: принято, что если и только если верно, что есть принадлежащая кому-то вещь, не должно быть верно, что есть тайное ее присвоение; еще пример: принято, что если и только если верно, что доказана неумышленность ущерба застрахованному имуществу, должно быть верно, что есть выплата соответствующей страховой премии.

Общий вид нормы позволяет сформулировать следующие правила деонтического вывода:

Малое правило.

1. Принято, что если и только если верно, что есть ситуация S, должно (не должно, может) быть верно, что есть действие D.

2. Верно, что есть ситуация S.

3. Деонтически следовательно, должно (не должно, может) быть верно, что есть действие D.

Большое правило.

1. Принято и исполняется, что всегда и только в ситуации S должно (не должно, может) быть действие D.

2. Есть ситуация S.

3. Деонтически следовательно, есть (нет, есть или нет) действие D.

Поскольку классы не даются, а задаются, постольку к задаче Рассела применимы правила деонтического вывода. Ввиду того, что заданый класс есть исполненная норма, будем действовать по Большому правилу. Поскольку контекст налицо, нет надобности выписывать всю деонтическую специфику первой посылки и заключения. Стало быть, для случая с R имеем:

1. Всегда и только в ситуации такой, что некоторый класс не включает себя, должно быть включение этого класса в класс R.

2. Пусть R включает (не включает) себя.

3. Следовательно, R  не включает (включает) себя.

Таким образом, из допущения, что R включает ( не включает) себя помимо определяющего его состав условия, необходимо следует, что R не включает (включает) себя согласно этому условию. Поскольку необходимо неверно, что R включает (не включает) себя помимо определяющего его состав условия, постольку логически неизбежно, что R не включает себя согласно этому условию. Стало быть, R не включает себя.

4. Исключительность "Брадобрея".

Исключительной особенностью этого экземпляра "английской блохи" служит то, что житель - брадобрей является свободно действующим жителем деревни наряду с тем, что он еще и нормативно действующий брадобрей. С учетом этого специфического обстоятельства имеем: если житель-брадобрей бреет себя в качестве одного из жителей, т.е. самостийно или, припоминая древнее различение, по природе, то он не бреет себя в качестве единственного в деревне брадобрея, т.е. по закону; если же он не бреет себя по природе, то бреет себя по закону. Стало быть, законопослушный брадобрей бреет себя в любом случае, т.е. брадобрей бреет себя.

Результат как дискурсивно неизбежный, так и интуитивно желанный [5].

5. Необходимый и достаточный анализ "Лжеца".

В ряду уже рассмотренных парадоксов часто фигурирует и "Лжец". Однако, последний не может быть включен в группу расселовских парадоксов, ибо не изоморфен им. "Лжец" связан с этой группой существенным сходством, но имеет при этом и свою важную специфику.

Истинно ли высказывание, утверждающее свою ложность? Пусть да. В этом случае истинно то, что оно ложно. Стало быть, оно ложно. Пусть нет. В этом случае ложно то, что оно ложно. Стало быть, оно истинно. Получается, что оно истинно тогда и только тогда, когда оно ложно [2].

Поскольку очевидно, что общее или частное суждение о языковых конструкциях выражается посредством одной из них, постольку необходимо или возможно, что такая конструкция самореферентна. Например, высказывания: "Все предложения состоят из слов"; "Некоторые предложения написаны по-русски" косвенно самореферентны. Когда субъект высказывания задается не столько общим именем, сколько определенной дескрипцией, языковая самореференция может быть прямой. Так, высказыание: "Предложение, которое вы сейчас читаете, образовано восемью словами." - пример прямой самореференции языка. Данные примеры показывают, что самореферентные высказывания могут быть не только осмысленными, но и истинными. Почему же такой пример самореференции, как "Высказывание, которое вы сейчас читаете, ложно", приводит к противоречию? Потому что согласно норме своего употребления термин "ложно" характеризует не языковую форму некоторого высказывания, а его смысловое содержание.

Чтобы некоторое высказывание характеризовало собственное смысловое содержание, т.е. смысл, оно необходимо должно иметь два последовательно связанных смысла: смысл характеризуемый (смысл-основание) и смысл характеризующий (смысл-следствие). В случае омонимичности хотя бы одной из семантических единиц некоторого простого высказывания, последнее может иметь более одного параллельно связанных смысла, и только. В случае с "Лжецом" невозможно и это, ибо очевидно, что фигурирующее в нем высказывание не содержит омонимов. Так, слово "ложно", несущее главную, интригующую смысловую нагрузку, является несовместимым с омонимией термином, единственный смысл которого характеризовать смысл. Стало быть, высказывание из "Лжеца" несет характеризующий смысл, не неся при этом характеризуемого, т.е. предикат "ложно" определенно характеризует то, чего определенно нет. Все это значит, что высказывание из "Лжеца" нарушает правило употребления термина "ложно" и . стало быть, является семантически несостоятельным, т.е. бессмысленным.

Придем к тому же иным путем.

Классическое употребление термина "ложно" исполняет следующую норму: принято, что любое высказывание может называться ложным всегда и только при условии верности того, что это высказывание не соответствует той реальности, которую оно описывает. Эту же самую норму можно выразить и так: принято, что языковое выражение вида "высказывание (х) ложно" можно употреблять в качестве (удобного) речевого сокращения высказывания вида "высказывание (х) своему предмету (y) ставит в соответствие такую характеристику (z), которая ему не соответствует". Здесь хотелось бы особо отметить, что приведенная конвенция терминологически богатому, структурно сложному и релятивному высказыванию ставит в полное смысловое соответствие терминологически бедное, структурно простое и атрибутивное высказывание-вербализм, имеющее форму ряда действительных высказываний, к которым на самом деле оно не относится.

Применительно к "Лжецу" все это значит, что для того, чтобы вербализм, фигурирующий в условии этой задачи, не был пустым, ему необходимо должно соответствовать такое высказывание, которое предусмотрено надлежащей конвенцией. Поскольку вербализм "Лжеца" прямо самореферентен, наличие у него искомого соответствия логически невозможно даже предположить. Это значит, что вербализм "Лжеца" необходимо пуст, и вся задача семантически несостоятельна, т.е. бессмысленна.

Завершая разговор о "Лжеце", хотелось бы обратить внимание еще лишь на одно. Поскольку ясно, что сказанное здесь относительно употребления термина "ложно" имеет равную силу и относително термина "истинно" при том, что проблема "Лжеца" связана лишь с термином "ложно", может возникнуть подозрение, что предложенный анализ "больно перегибает палку". Однако, с термином "истинно" в аналогичной ситуации также возникает проблема.

Истинно ли высказывание, утверждающее свою истинность? Если да, то истинно то. что оно истинно. Стало быть, оно истинно. Если нет, то ложно, что оно истинно. Стало быть, оно ложно. Получается, что оба логически несовместимых допущения находят свое подтверждение в выводе.

Литература.

1. Ивин А.А. Логика норм. М. 1973 г.

2. Смирнова Е.Д., Таванец П.В. Семантика в логике// Логическая семантика и модальная логика. М. 1967 г.

3. Вригт Г.Х. Гетерологический парадокс // Логико-философские исследования. М. 1986 г.

4. Мулуд Н. Анализ и смысл. М. 1979 г.

5. Кюнг Г. Онтология и логический анализ языка. М. 1999 г.

6. Бирюков Б.В. В логическом мире Фреге (Послесловие) // Фреге Г. Логика и логическая семантика. М. 2000 г.

7. Клини К.С. Введение в метаматематику. М. 1957 г.

8. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М. 1966 г.

9. Карри Х. Основания математической логики. М. 1969 г.

10. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления. М. 1989 г.