Парадокс Рассела
«Пусть M — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли M само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению M, оно не должно быть элементом M — противоречие.
«Пусть M — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли M само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению M, оно не должно быть элементом M — противоречие. Если нет — то, по определению M, оно должно быть элементом M — вновь противоречие.»
На мой взгляд фиксация парадокса связана с неоднозначным выделением множества всех множеств, а точнее с обозначением одной буквой M двух (и более) нетождественных множеств.
Итак, у нас есть множество множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента: m1, m2, ... mn, то есть множество из n элементов, которое обозначим буквой М. Теперь зададим вопрос: «Содержит ли M само себя в качестве элемента?» Ответ банален: нет – в множестве М только n элементов и среди них нет элемента М. Но ведь должны же мы – согласно определению – включить М в множество М? Должны. Давайте включим. Имеем множество: m1, m2, ... mn, M. Тождественно ли новое множество множеству М? – нет. Тогда и обозначим его М'. Вот и получается, что на самом деле в парадоксе речь идет не об одном множестве М, а о двух нетождественных множествах М и М'.
Рассмотрим вопросы «парадокса» заново. Содержит ли M { m1, m2, ... mn} само себя в качестве элемента? Нет. Тогда добавляем его и получаем множество М'. Спрашиваем дальше: содержит ли М' { m1, m2, ... mn, M} множество М? – да, но ... ведь теперь, когда появилось множество М' ясно, что М уже не является «множеством всех множеств», а есть просто множество, которое не содержит себя в качестве элемента. Таким образом можно двигаться дальше: включить М' в себя и получить новое множество всех множеств М'', которое будет включать М', но уже как обычное множество. Следовательно, множество всех множеств никогда не будет содержать «множество всех множеств» в качестве своего элемента. То есть перед нами не парадокс, не противоречие, а просто бесконечная рекурсия.
- boldachev
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
По моему все гораздо проще. Парадокс основан на понимании что такое "элемент". Множество М содержит в себе ряд элементов, в чем то схожих между собой. Но есть элемент, который радикально отличен от этой цепочки. Его можно рассматривать и как элемент и не рассматривать как таковой. Вопрос может стоять так: является ли интегративное качество элементом или нет.
Эта проблема математическая, а не философская. В философии всегда можно упростить.
Спорить с мэтром не буду. Конечно, философия это упрощенная математика )))
Точно, математика не философия!
Множество множеств - школьный класс. Его составляют мальчики и девочки, множества. Как ученики - они составляют большее множество: множество множеств.
Эта проблема философской оценки, трактовки математического изложения вопроса. Когда мы ставим вопрос о вхождении в математическое множество элементов, его составляющих, мы абстрагируемся от содержательной емкости элементов и множества в целом.
Когда в качестве множества рассматривается "множество всех множеств", то в философском плане (в философской интерпретации) речь идет об Абсолюте. Переводя проблему с математического языка на язык философский, речь пойдет о возможности включения Абсолюта (множества всех множеств) в самое себя в качестве своего элемента.
Предлагаю подумать об ответе на такую постановку вопроса.
"речь пойдет о возможности включения Абсолюта (множества всех множеств) в самое себя в качестве своего элемента"
"Возьмем такую вещь как Абсолют" - выражение, в котором Абсолют выступает "множеством всех множеств" (в том числе и "вещи", входящей элементом в Абсолют) и элементом "множества всех множеств", ибо входит во множество "вещь", являющейся элементом "множества всех множеств" (элементом Абсолюта). Вариант философской интерпретации математического парадокса Рассела.
Александр, прекрасный анализ. Но всё же не понятно, где жить мэру города мэров? Теория одно, а практика другое.
Вы сами себе и ответили:
На мой взгляд, парадокс с мэрами не частный случая парадокса Рассела.
Надо отдельно думать.
Мэры, живущие в одном городе, не его мэры. Следовательно, мэр этого города может жить в любом городе, в котором он не мэр.
Но мэры , должны жить в городе мэров!!! А не в любом другом!!!
Вот оно что?! Подзабыл условие...
Тоже не проблема. Он мэр мэров! Должен жить типа в Кремле: город в городе.
Любой город должен иметь мэра, даже если там только один человек , и тот мэр. А мэры должны жить в городе мэров, а не в своём, доверенном им городе !!!
Город в городе не устраивает?
Мэр не живёт в доверенном ему городе, население которого составляют мэры других городов. Он живёт в городе в городе, где он не мэр. Вообще такой город в городе есть в каждом городе: это дом. В нём нет мэра, есть папа.
Другой вариант, в городе, где живут мэры других городов, собственный мэр невозможен, если он не мэр мэров. Как мэр мэров, а не просто мэр, он может жить в любом городе... А просто мэры - где им скажут.
То, что это можно охарактеризовать как рекурсию, справедливо. Но может повторяющийся процесс рекурсии на каком-то более высоком уровне абстракции (на уровне "взгляда со стороны") создает динамический элемент, такой как "самоописание" (не выразимый через статичные составляющие структуры множества)? А без рекурсии, без процесса, т.е. в простом "формальном" множестве, его, скорее всего, нет. Может поэтому и возникает парадокс?
Может быть. Всегда встает вопрос о рамках применимости понятий. Жесткое отграничение обратная сторона размытости понятия. Понятие всегда и соединяет и разъединяет. Гипертрофия какой-либо одной стороны ведет к парадоксам.
Парадокс вещь вполне формальная и часто связан с неявной подменой понятий или отождествлением не тождественных. В случае с парадоксом Рассела рекурсия не существенна - сам парадокс, на мой взгляд возник вследствие отождествления не равных множеств.
Классическая формальная логика статична. Хотя и говорят, что вывод получается из посылок, но на самом деле в ней он существует одновременно с посылками, а в рассуждении только проявляется. Формально: множество посылок всегда включено в множество всех выводов из них.
Эта статичность оправдана тем, что классическая логика говорит о сущем, неизменном по отношению к ней. Но такая логика дает сбои, когда начинает применяться в рефлексии, когда ее предметом становиться само мышление.
Это пример динамической логики, которой увы в формальном виде нет. Не стоит здесь упрекать в чем-то классическую логику, это не она.
Результатом действия динамической логики не обязательно должен быть уход в дурную бесконечность. Могут получаться и статичные выводы отрицающие часть посылок.
Проблема не в упреке, а выявлении формальных причин парадокса.
Статичности логики противостоит не сам парадокс, а метод которым Вы стали его объяснять. Я думаю причина самого парадокса в не транзитивности используемой Расселом теории множеств. Из того, что A элемент B, и B элемент C, в ней не следует что A элемент C.
Вообще само понятие элемент в теории множеств сомнительное. С одной стороны элемент это нечто взятое вне связи с целым, с другой стороны нечто элемент в силу некоторой связи с множеством.
Здесь в конце было предложено решение парадоксов Рассела в логике нечетких множеств.
Было также предложенно понимание "четких" множеств как предельный случай множеств нечетких. Для нечетких множеств парадокса Рассела нет.
Спасибо
Я помню это видео.
Игорь,
Понравилась Ваша последняя фраза о сомнительности вероятностного подхода к реальности вещи. Я не знаю практической реализации нечёткой логики Аскер-заде, впрочем как и условной вероятности Байеса. По-моему, это чистые игры разума. А парадокс Рассела решается ещё проще - множества всех множеств в реальности не существует и не может существовать. Буду благодарен, если переубедите.
Должен вас огорчить - теория нечетких множеств является надстройкой над теорий (обычных) множеств.
г-н Корвин,
Спасибо, я в курсе. Вопрос же мой был о практическом применении нечёткой логики. Можете назвать, где она реализована?
Я не специалист. Кажется она применяется при распознавании образов.
г-н Корвин,
Должен Вас огорчить - она не применяется при распознавании образов, там применяется геологическая модель, которая много проще и эффективнее.
Меня это никак не огорчает, потому что я не возлагаю на эту теорию никаких надежд.
"Тождественно ли новое множество множеству М? – нет. Тогда и обозначим его М'."
Александр, вот здесь Ваша ошибка.
Никакого М1 в условиях задачи нет. И быть не может. Это чисто Ваши домыслы.
Есть просто М , которое все остальные множества объединяет.
Изначально не известно включено оно или нет, поэтому Ваши допущения это просто плохо понятые Вами условия задачи.
Да, согласен.
В логике (математике) отсутствует представление о времени и когда ставится вопрос о новом множестве (множестве всех множеств), то не подразумевается, что оно образуется на момент постановки вопроса, а что оно существовало вечно. Я же ввел время - и получил лишь занятный пассаж. Однако еще попробую над ним подумать.
Спасибо