Семинар Ф-штурма: "Теоремы Геделя и вопрос истинности высказываний", 19.01.13
Обсуждается семантическая сторона теорем Геделя о неполноте в аспекте вопроса истинности высказываний. Первый пробный ("первый блин комом") семинар на тему "негуманитарной философии". Проблемы Гильберта. Формализация математики. Непротиворечивость и полнота формальных систем. Семинар "Философского Штурма". Состоялся 19.01.13.
Докладчик: Гатиятуллин Булат
Теоремы Геделя и вопрос истинности высказываний from Actuspurus on Vimeo.
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления.
Что произойдёт если эту застывшую систему Si привести в движение? И вообще, каким образом можно осуществить подобную операцию? Через взаимодействие с подобными застывшими системами Sj, Sk, Sm ... Sn. Эта задача решается в элементарной диалектической логике. В ней как раз описывается технология взаимодействия таких застывших систем.
На философском языке проблема будет звучать так:
Диалектический смысл открытия Гёделя состоит в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления.
Пример простейшей формальной теории - это арифметика Пеано (сокращенно РА). Основные факты об арифметике Пеано и об арифметическом языке:
В первой теореме Гёделя о неполноте арифметики утверждается, что если формальная арифметика Пеано (PA) e-непротиворечива, то она неполна. Более точно, в ней доказывается существование некоторой замкнутой формулы («говорящей» о своей собственной недоказуемости) такой, что ни она, ни ее отрицание не доказуемы в PA (такие формулы называются неразрешимыми). В соответствии со второй теоремой Гёделя, если PA непротиворечива, то в ней не доказуема формула, выражающая непротиворечивость PA.
Вторая теорема обычно доказывается как следствие первой, но при этом ей придаётся особый по сравнению с первой статус. Считается, что вторая теорема даёт конкретный пример неразрешимой формулы, и самое главное, что в ней устанавливается фундаментальный факт невозможности доказательства непротиворечивости арифметики средствами самой арифметики: «арифметика не может доказать свою собственную непротиворечивость».
После того, как этой теоремой тыкали направо и налево, что-то обосновывая, я как ничего не понимающей в математике задавал вопрос математикам, а нет ли в условиях теоремы , по умолчанию что рассматриваемые системы бесконечны и по границам и по времени и по принципам , и что станет с этой теоремой , если условием станет обратные характеристики, плюс метапрограмма. которая создает иллюзию бесконечной вариативности-математики не поняли, что я их спрашиваю , а я до сих пор не понимаю философскую суть этой теоремы, как впрочем и других.
Но зато один математик ответил,и я это чувствовал и понимал и без него, по другим анализируемым фактами и из той же математики, что с помощью теорем философски определиться пока нельзя. Я это чувствовал по упоминаемым периодическим кризисам в математике, т.е обнаруживаемых ппротиворечиях между математическими положениями
Да, уж! Ком есть, а блина нет.
Было бы здорово, после того как пятеро участников семинара много чего наговорили по теме, увидеть собственное компактное резюме от каждого из участников по итогам обсуждения. А то концовка семинара получилась типа: "Упс!".
Потенциально для каждой формальной теории существует вычислительная машина, которая печатает на бумаге подряд все теоремы. И ничего кроме теорем.
Но математиков интересует, доказуемо данное утверждение в данной теории или нет? Сидя у машины, можем дождаться того счастливого момента, когда наше утверждение окажется напечатанным и, следовательно, доказано.
Во время неопределенно-долгого ожидания сиделец философ может предаться размышлениям о бренности мира и тщетности усилий, что заранее не может знать - будет напечатан машиной искомый результат или вообще никогда не будет напечатан.
Собрав в кулак свои мысли, сиделец подумает следующее:
Решение проблемы выразится в некотором утверждении А. Плюс символ отрицания [~]. Что означает либо доказательство А, либо его опровержение (доказательство ~А). Следовательно ждем печати А или ~А.
Всего же четыре возможности:
а) напечатано А.
б) напечатано ~А.
в) напечатано и А, и ~А (и тогда теория Т противоречива, ибо доказано утверждение вместе с его отрицанием).
г) не будет напечатано ни А, ни ~А.
В случае (г) можем сидеть у вычисляющей машины сколь угодно долго, но так и не дождемся печати на выходе ни А, ни ~А.
Вот в этом последнем случае теорию Т принято называть неполной (см. Бродский И.Н. Гусев С.С. и др. Символическая логика. - СПб, 2005 - С.183).
Полной называется теория, в которой любое утверждение, сформулированное средствами языка теории, можно либо доказать, либо опровергнуть.