Рассмотрим парадокса неожиданной казни в наиболее популярной своей формулировке*:
«Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему:
Вас казнят на следующей неделе в полдень.
День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём, только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру.
Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал. Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в субботу вечером я буду знать об этом. А, по словам начальника, я не буду знать день своей казни. Следовательно, последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать, что меня казнят в субботу, значит, и её можно исключить». Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник, преступник пришёл к выводу, что начальник не сможет его казнить, выполнив все свои слова. На следующей неделе палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Всё, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?»
В рассуждениях заключенного, как и в исходном соглашении между ним и начальником тюрьмы не достает одного существенного условия: договоренности о том, когда и сколько раз заключенный должен заявить о своем знании дня казни (что, мол, она для него не сюрприз). Вариантов таких условий всего три:
- в день, когда ему объявили о приговоре (в воскресенье);
- в один из дней на неделе, но только один раз (скажем, утром до полудня);
- или заключенный имеет право каждый день говорить "я точно знаю, что меня казнят сегодня, и казнь сегодня не будет сюрпризом для меня".
Судя по тому, что заключенный в своих рассуждениях считает, что может заявить о своем знании в последний день (в воскресенье), то подразумевается, что действует договоренность, записанная в п.2 (один раз и только в один день недели). Ведь если бы заключенный рассчитывал на вариант п.3 (заявлять каждый день), то знал бы, что останется жить без всяких рассуждений. К тому же начальник тюрьмы, предположительно не только честный, но и мало-мальски разумный человек, и прежде, чем обещать сюрприз, должен был бы оговорить невозможность такой абсурдной ситуации. Итак, если вариант п.3 исключается, то становится понятно, что у начальника тюрьмы не может возникнуть никаких проблем с сюрпризом: он казнит заключенного в любой из дней кроме названного при условии п.1 или в первый же день, когда заключенный не заявит с утра, что его казнят сегодня при варианте п.2. Следовательно, если бы формулировка была бы полной, то есть содержала указание на то, когда и сколько раз заключенный должен сообщить о том, что он знает день казни, то и не было рассуждений заключенного про воскресенье, а значит не было и самого парадокса.
Однако и в такой, а скорее, благодаря именно такой (неполной) формулировке парадокс содержит исключительно любопытный логический момент, касающийся передачи истинности между суждениями в обратном временном порядке. В логических рассуждениях время либо вообще не учитывается (если это не специальные темпоральные логики), либо неявно подразумевается, что исходное, принимаемое за истинное, суждение по времени предшествует последующим, выводимым. При таких последовательных рассуждениях, типа, если истинно А, то истинно В, а из В следует истинность С и т.д., ясно, что с истинностным значением начального суждения уже ничего не может произойти, оно остается неизменным по ходу логического вывода - оно ведь уже в прошлом. Но в рассуждениях заключенного мы сталкиваемся с другой ситуацией - он делает вывод в обратном временном порядке. Сначала он принимает в качестве истинного суждение "в воскресенье меня казнить не могут" и далее продолжая ту же логику переносит его истинность на суждения "в субботу меня казнить не могут", "в пятницу меня казнить не могут" и т.д. Вот тут-то мы и должны задать себе интересный вопрос: а сохраняется ли истинность исходного суждения (про воскресенье), когда заключенный рассуждает о других, предшествующих днях недели? Обратим внимание на то, что вывод заключенного о невозможности казни в воскресенье был основан на истинности суждения "я дожил до субботы". Но при рассуждении про возможность казни, скажем, в четверг суббота еще не наступила, а значит суждение "я дожил до субботы", а вмести с ним и "в воскресенье меня казнить не могут", не могут быть приняты как истинные. Вот и получается, что при продвижении по логической цепочке "если В то С, то П, то Ч и т.д." (где В, С, П, Ч суждения "меня не могут казнить в воскресенье [субботу, пятницу, четверг, соответственно]"), так вот, при таком логическом выводе не сохраняется истинность первого, исходного суждения (В), а значит и весь вывод теряет смысл.
Фактически мы пришли к вполне очевидному заключению: логическая истинность в цепочке рассуждений однозначно передается только при переходе от ранних во времени суждений к поздним, от суждений об уже свершившихся фактах к суждениям об еще не свершившихся фактах, а не наоборот. Передача истинности (если это вообще возможно) при обратных во времени рассуждениях требует особого логического исследования.
Итак, в парадоксе неожиданной казни логическое затруднение возникло по причине неполной формулировки условий: в нем не было установлено, когда и сколько раз заключенный имеет право заявить о своем знании о дне казни. Явное оговаривание этого условия делает бессмысленной как логику рассуждений заключенного, так и сам парадокс. Однако благодаря этой недосказанности мы смогли поставить проблему возможности переноса истинности суждений в обратном временном порядке.
* Исходная формулировка парадокса, сделанная в 1948 Д. Дж. О’Коннором, была про офицеров и тревогу.