"В мире интересного" - прошу комментариев по поводу:

""Victor Sorokine  2 марта в 21:25 ·

ЛЕММА об окончаниях, или ключ к Теореме Ферма

За 350 лет доказывать эту интуитивно истинную лемму почему-то никому в голову не пришло, возможно, потому, что ее доказательство казалось невозможным. Но именно благодаря ей доказательство Великой теоремы Ферма представляется теперь рядовой школьной задачей для математической Олимпиады. Итак,

Доказательство рассматривается в системе счисления с простым основанием n>2.
Обозначения: A', A'', A''' и т.д. – первая, вторая, третья и т.д. цифра от конца числа A, A_[k] – k-значное окончание числа A. Итак,

Лемма о степенных окончаниях произведения двух чисел

Если (ap)_[k+1] = (d^{n^k})_[k+1], где a) k>0, b) 1<a'<n, c) (a^n)_[k]=(d^{n^(k-1)})_[k], d) p_[k] числа p=1, то
P_[k+1]=1 и a_[k+1]=(d^{n^k})_[k+1].

Доказательство. (Для облегчения понимания расчет производится для k=2, т.е. для значений a_[3]=a'''00+a''0+a', p_[3]=1=001 и (ap)_[3]=(d^{nn})_[3]. Для k>2 расчет аналогичный.)

Если a_[3]=(d^{nn})_[3] и p_[3]=1, то равенства (a_[3]*p_[3])_[3]=(d^{nn})_[3] и
{(a^{n-1})_[3]*(p^{n-1})_[3])}_[3]=(d^{nn(n-1)})_[3] непротиворечивы.
Но если третьи цифры чисел a и p отличаются на x и y от a''' и p''' [=0], то есть a°_[3]=a_[3]+x00 и p°_[3]=1+y00 (здесь x и y – цифры!), но цифра (d^{nn})'''=const, то равенства (a°_[3]*p°_[3])_[3]=(d^{nn})_[3] и {(a°^{n-1})_[3]*(p°^{n-1})_[3]}_[3]=
=(d^{nn(n-1)})_[3] противоречивы. Покажем это.

Действительно, из произведения (a_[3]+x00)(1+y00), или (x00+a_[3])(y00+1), мы находим, что третья цифра изменилась (от значения d''', или a''') на выражение (x+a'y)', равное 0. Откуда x=-a'y.

А теперь вычислим изменение третьей цифры в числе
{(a°^{n-1})_[3]*(p°^{n-1})_[3]}_[3] [=(d^{nn(n-1)})_[3]=001]. (От чего оно по третьим цифрам измениться не может.)

Трехзначное окончание числа y01 в (n-1)-й степени станет равным (n-1)y+1 с третьей цифрой [(n-1)y]'.
Поскольку a°_[3]=x00+(d^{nn})_[3], то трехзначное окончание числа a°_[3] в (n-1)=й степени будет равно [(n-1)x00(d^{nn}')^{n-2}+1]_[3], где (d^{nn})'=d'=a', а третья цифра числа a°^{n-1} будет равна
(n-1)x(a') ^{n-2}, или (n-1)x/a', поскольку последняя цифра числа a'^{n-1}=1 (см. малую теорему).

И теперь третья цифра произведения (a°p°)^{n-1} будет равна: (n-1)x/a'+a'(n-1)y [=0], откуда x=-a'a'y, где a'≠1. И мы получили противоречие с первым случаем: x=-a'y.
Тем самым мы должны признать истинным первый случай:
(d^{n^k})_[k]={(a'^{n^k})_[k]*(1^{n^k})_[k]}_[k].

В равенстве Ферма числа A, B, C являются однозначными числами A', B', C' в степени n^k, где k неограниченно велико. Но об этом в другой статье. ""  https://www.facebook.com/victor.sorokine/posts/1450480124985587