Среди многочисленного хлама - литературы на тему "Золотого сечения", попалась статья Олега Боднара "Теория относительности и филлотаксис: сходство и различие геометрических интерпретаций".

Словарь определяет филлотаксис как листорасположение (чаще всего, спиральное), но на самом деле, значение его выходит за расположение одних только листьев и, пожалуй, применимо в целом ко всему растительному фракталу. Математически, последовательность Фибоначчи одна из простейших рекурсивных, и в природных фракталах встречается повсеместно.

Статья начинается с описания представленной Германом Минковским геометрической интерпретации Теории относительности Эйнштейна, как гиперболического поворота (преобразования Лоренца). Математически, это просто отражение обыденного факта существования инвариантного в (псевдоевклидовом) пространстве объекта.

Популярное изложение этой интерпретации можно найти, например, у С. Кадомцева "Геометрия Лобачевского и физика".

Далее Боднар пишет: "Используя псевдоевклидову геометрию и ее тригонометрический аппарат, Минковский представил исчерпывающее математическое описание всех эффектов релятивистской механики. Ниже мы вернемся к деталям этой интерпретации. А пока отметим: физика пространства-времени теории относительности долгое время считалась единственной областью реализации геометрии Минковского. Однако, в появившейся в 1989г. работе [1], а позже и в других публикациях [2, 3, 4, 5], было показано, что геометрия Минковского реализуется в ростовом механизме ботанического явления филлотаксиса".

Из пяти перечисленных статей, первые четыре принадлежат самому Боднару, и пятая - А. Стахову (с соавторами), много лет спекулирующему на темах "около Золотого сечения".

Нельзя сказать, что ссылка на геометрию Минковского полностью некорректна, однако же, об околосветовых соростях речь при филлотаксисе не идет и все сходство заключается в банальном гиперболическом повороте. Так что все отсылки именно к СТО, следует считать исключительно маркетинговыми.

Следом Боднар переходит к изложению сути гиперболического поворота: "гиперболический поворот - это такое движение, при котором все точки плоскости, за исключением принадлежащим осям Ox и Oy, движутся по концентрическим гиперболам".

Боднэр пишет: "Гиперболический поворот можно считать суммарным движением, возникающим как результат одновременного сжатия и растяжения плоскости вдоль асимптот; например, - сжатия вдоль оси Оy и, растяжения вдоль оси Оx, выполняемых с одинаковой скоростью. Произведение координат х и у произвольной точки плоскости в ходе поворота остается неизменным (х*у = Const), на что, собственно, указывает формула. В результате гиперболического поворота искажаются формы фигур, но их площади сохраняются. Гиперболический поворот не нарушает параллельности прямых, а также пропорций длин отрезков произвольной прямой".

Боднэр приводит пример гиперболического преобразования квадратной решетки, базовые направления которой совпадают с осимптотами.

Надо сказать, что гиперболический поворот - аналог привычного тригонометрического поворота, где в роли окружностей выступают гиперболы. Чисто математически, гиперболические функции являются двойственными к тригонометрическим и получаются заменой комплексного аргумента на действительный. В природе гиперболические функции встречаются повсеместно (провисающие провода, затухающие колебания), и также часто, как и гиперболический поворот.

По сути, гиперболический поворот ("инвариант мощности") - характерная особенность деформации равновесных систем, сохраняющих свой фазовый объем.

Далее Боднар переходит к описанию филлотаксиса: "Речь идет о биоформах, в структуре которых реализуется спиральная симметрия. В качестве характерных примеров можно привести формы дисков подсолнухов, шишек хвойных деревьев и т.п. На поверхностях этих форм выразительно просматриваются лево- и правозакрученые спиральные линии - т.н. парастихи, образованные стыкующимися структурными элементами поверхности - семенами у подсолнухов, чешуйками у шишек хвойных и т.п. Количество левых и правых парастих, как правило, равно соседним числам ряда Фибоначчи".

Как пишет Боднар: "геометрия филлотаксиса сама по себе - оригинальная разновидность псевдоевклидовой геометрии, отличающаяся от классической свойствами, которые не были изучены в математике до ее открытия в филлотаксисе. Поэтому, следующий важный эффект - чисто математический и состоит в том, что, согласно геометрии филлотаксиса, гиперболический поворот является движением симметрического преобразования регулярной (квадратной) решетки. В процессе гиперболического поворота квадратная решетка деформируется, но периодически повторяет свои "квадратные" состояния, т.е. самосовмещается. Классическая теория симметрии не предполагает такого преобразования симметрии для квадратной (а вообще - регулярной) решетки. С классической точки зрения к квадратной решетке применимы три движения самосовмещения: параллельный перенос, зеркальное отражение и круговой поворот".

Далее Боднар подробно останавливается на связи геометрии филлотаксиса с золотым сечением ("координаты х и у вершин решетки описываются через степень золотого сечения Ф") и существовании характерного для гиперболической геометрии предела (в СТО - скорость света) - в данном случае, идеального угла дивергенции. Дивергенция D - угол расхождения двух последовательных вершин филлотаксисной решетки, измеряемый в поперечной плоскости филлотаксисной формы - цилиндра, конуса. В теории филлотаксиса, филлотаксисная решетка характеризуется показателем D, определяющим порядок симметрии.

В целом, статья Боднара оставляет приятное впечатление, слегка смазанное, во-первых, излишней апелляцией к СТО и, во-вторых, замалчиванием обыденности и повседневности гиперболического поворота.

Между тем гиперболический поворот ("инвариант мощности") настолько частая и важная характеристика деформации системы, что на нем стоит остановиться подробнее.

Для систем с единственной степенью свободы (траектория движения которых укладывается на фазовой плоскости), можно указать два характерных сопряженных параметра (в терминологии Флойда Файрстоуна, "продольный" и "поперечный"), например, обобщенную силу и обобщенную координату (или скорость), произведение которых дает работу (или мощность) деформации. В электрической цепи, например, это ток и напряжение.

Произвольные, в том числе, разрывные деформации системы, сохраняющие меру ("инвариант мощности"), можно рассматривать как эквивалентные отображения той же самой системы в различные координатные системы. На этом, например, построен метод Габриэля Крона ("Тензорный анализ сетей", "Диакоптика"). Обобщение метода Крона предложено у Михаила Грамма (серия статей "Дедуктивная теоретическая электротехника"), систематически использующего "вращение" электрической цепи в координатном пространстве (матрицы Гивенса) для ее симметрирования.

В сущности, тот же самый метод - симметрирование в координатном пространстве используют все без исключения техники сжатия данных (lossless data compression) и, как показано Клодом Шенноном, упаковка текстового сообщения файловым компрессором, фактически, является его Лоренц-сжатием (гиперболический поворот), сохраняющим в качестве инварианта "количество информации".

Забавно, что перевод с одного языка на другой (сохраняющий, в качестве инварианта, смысл), фактически, также является "гиперболическим поворотом" в координатном пространстве использованных языков.