Как трудно живётся на свете человеку неумеренно компетентному! Как несладко ему приходится, если чуточная неточность мозолит ему глаза, если всюду он замечает малейшую фальшь, если самые незначительные оплошки и ляпсусы раздражают его внимание! Ведь это сущее наказание – превосходнейшим образом разбираться во всех областях человеческих знаний, во всех отраслях науки и техники, во всех без разбору искусствах и ремёслах! Какой только галиматьи ни наслушаешься за день! С какой только серой посредственностью ни доводится общаться!

Натуры оптимистические и до смерти жизнелюбивые поспешат посоветовать: а вы не слушайте дураков. Читайте умные книги.

Читал. Удовольствие в целом похожее. Каких только глупостей ни напишут в научных произведениях! Какого только ваньку не сваляют подчас даже самые великие мудрецы! Какую непростительную чушь умеют проворонить в своих блистательных сочинениях знаменитые теоретики! И как же тяжко влачить одухотворённое бытие, исполненное любовью к истине, когда не в меру проницательному рассудку чуть не по сорок раз на странице случается спотыкаться, то и дело наскакивая на не к месту применённую формулу в химическом уравнении, на безграмотное политическое решение, на неверный мазок в полотне живописца, на неладно присобаченную шестерню в perpetuum mobile, на чудовищные ошибки в абстрактных мировоззренческих построениях и ещё бог знает на какие жуткие аберрации, попускаемые слабосильным общественным мнением! И сколько же на полках скопилось солидных академических изданий, нуждающихся в срочных опровержениях!

Хотите сказать, что я преувеличиваю? Сгущаю краски? Раздуваю из мухи слона?

Чтобы не затягивать долгие споры, сошлюсь лишь на один вопиющий пассаж. Вам ведь часто приходится слышать, да многие из вас наверняка и сами так думают, что, мол, есть в поведении разумных созданий, к коим мы с гордостью себя причисляем, такие специфические сферы, которые-де не подчиняются строгим научным закономерностям. Возьмите для иллюстрации расхожее поприще – заурядное философское творчество. И толкните в бок своего ближнего из любого интеллектуального сословия: правда ли, скажем, что точные логические закономерности работают в философии столь же исправно и неукоснительно, как в алгебре и геометрии? Держу пари, что девять квалифицированных специалистов из десяти опрошенных недоучек ответят вам сходу и резко отрицательно. Да ещё присовокупят сюда обидные аллегории: крыша, что ли, поехала? Взбредёт же такое на ум! Только олухам царя небесного простительны подобные несуразности! Слава богу, дескать, не перевелись ещё умные люди, которым известно со всей достоверностью, что на истинную философию ни в коем случае не распространяются нормы и правила, применяемые в точных науках! Чего тут долго точить балясы? Философия и математика несовместимы! Дураку понятно!

Откуда, однако, у дураков такая уверенность? Позвольте убедить вас в обратном. Ведь что такое логика? Для тех, кому это неизвестно, скажу, что логика – это наука о законах мышления. А для тех, кому этого недостаточно, добавлю, что мыслим мы, как правило, головой. И стало быть, утверждать, что логика действует в математике, но не действует в философии, значит утверждать, что, решая математическую задачу, мы думаем головой, а размышляя над философской проблемой, мы думаем каким-нибудь другим местом.

После Пифагора стыдно не знать, что строгие научные доказательства, во имя которых, собственно, и разрабатывается аппарат логического анализа, невозможны без определённого набора начальных предположений. Но до сих пор ещё встречаются люди, прошедшие все круги образования, для которых не очевидно, что именно эти-то начальные предположения, или, выражаясь логическим языком, посылы, полностью подчиняют себе все последующие умозаключения, а стало быть, и содержание теории в целом. К счастью ли, к сожалению, но это факт. Займите исходную позицию Ницше – и вопреки своему желанию, руководствуясь исключительно нормами здравомыслия, вы неотвратимо и вполне самостоятельно выведите из неё все фашистские идеалы. Займите исходную позицию Маркса – и даже самая поверхностная логика неизбежно заведёт вас в светлое коммунистическое завтра.

И такая ситуация всюду, где приходится думать логически. Впрочем, «думать» и «думать логически» – это одно и то же. Не скажете же вы о человеке: «Он хорошо думает, только нелогично». Если человек думает нелогично, утверждая что-либо без всякого основания, значит он не думает вовсе. Зато когда человек высказывает откровенную глупость, но приводит исчерпывающие логические обоснования, против которых не находится возражений, то это уже, простите, не глупость, а важное научное достижение.

Зачем, таким образом, логика? Для выведения точного знания. Но откуда мы его выводим, это самое «точное знание»? Разумеется, из посылов. А откуда берутся посылы?

Вот то-то и оно. Никто не знает, откуда они берутся и насколько они точны. Поэтому при необходимости обосновать можно в сущности всё, что угодно. Нет на свете такой идеи, которую нельзя было бы доказать со всей математической строгостью. Или вам кажется, что если доказано суждение А, то для доказательства взаимоисключающего суждения не-А придётся жульничать? Хитрить? Идти вразрез с устоявшимися представлениями? Попирать незыблемые правила логической выводимости? Ошибаетесь. Совсем не обязательно. Достаточно правильно выбрать нужную отправную точку – и считайте, что дело в шляпе. Желаете иметь одну прямую, параллельную данной? Положите в основание геометрии систему аксиом Евклида. Нужна вам целая прорва таких параллельных? Примите пятый постулат в редакции Лобачевского. Намерены избавиться от всех параллельных вчистую? Исходите из представлений Римана, и вы не получите ни одной.

Все просчёты и заблуждения, которыми грешат порой фундаментальные научные знания, не исключая ни физику, ни философию, ни математику, сосредоточены только в посылах. Хотите иметь объективное заключение? Не ошибитесь в исходном тезисе. Ваше дело его назначить, а далее остаётся лишь строжайшим образом рассуждать, рассуждать, рассуждать, пока не получится запланированный результат. Логика не виновата, что у вас чего-то не сходится. Каков посыл, таков и вывод. Из чего исходите, к тому же и придёте. В чём изначально уверены, то и доказываете. Станьте на точку зрения Ньютона, и вы получите физику Ньютона. Станьте на точку зрения Эйнштейна, и вы получите физику Эйнштейна.

В математике эта зависимость между предварительной установкой и полученным результатом действует особенно жёстко. Положитесь на убеждение древних мыслителей в том, что целое равняется сумме своих частей, и у вас появится прекрасная непротиворечивая модель, позволяющая получить упорядоченный ряд не менее прекрасных умозаключений. А отвергнете эту формулу в пользу мнения сэра Рассела, отождествившего часть и целое, и в ваше полное распоряжение поступит первостатейная антиномия и чистый абсурд, из которого с изящной неотвратимостью выводится точно такой же абсурд и столь же нелепые противоречия.

Поэтому если вы не хотите, чтобы ваши спорадические суждения по всяческим околонаучным вопросам выглядели пустым краснобайством и трепотнёй, а производили впечатление глубокого научного изыскания, подобного настоящему изложению, ставьте во главу угла всегда только абсолютно надёжные и многократно проверенные исходные утверждения, то бишь аксиомы, они же постулаты, они же догмы. Потому что когда вы думаете, если только вы вообще нуждаетесь в том, чтобы думать, ваше мышление, представьте, подчиняется объективным законам природы не менее строго, чем процессы в химии, физике и других прикладных областях: сколько дерьма возьмёте вначале, столько же в итоге и получите. Разница только в том, что в химии всё натуральное, а в логике и анализе – всего лишь милые грёзы и отвлечённые от действительности фантазии.

Но даже самые невинные выдумки и фантазии, выдвигаемые в качестве рабочей гипотезы, таят в себе вполне реальные академические неприятности. Не желаете вляпаться, двигаясь впотьмах к результату? Освободитесь сначала от всяческой дряни. Это говорю вам я, человек, который располагает личным практическим опытом и знает о дряни всё, и даже, пожалуй, более того, что полагается знать современному культурному человеку, умеющему черпать познания не только в кабинетных условиях, но и на улице. Говоря о дряни, я, разумеется, вкладываю в это понятие исключительно научное содержание, то есть всё то, что противоречит науке, тормозит прогресс и содействует профанации логики.

Итак, засучим рукава и займёмся этим предметом вплотную. И постараемся не повторять ошибок тех, кто неправильно начинает. А уж я-то, поверьте, знаю, с чего надо начинать.

Уважаемые дамы и господа!

Неплохо, да?

Уважаемые дамы и господа! Не уверен, что всё нижесказанное понравится всем в одинаковой степени, но раз уж чьи-то светлые головы придумали принципы справедливости, придётся нам совершить над собой усилие и всю жизнь теперь их придерживаться.

Почему у вас такие кислые мины? Нет уж, голубчики, сделайте умные лица, ибо нам предстоит разобраться в сложнейшем математическом вопросе, имеющем принципиальное значение для науки недалёкого будущего. Недалёкого, конечно, в собственном значении этого слова, а не в том, от которого портятся нервы. Математики меня понимают.

Есть среди читателей математики? Вы получите удовольствие, полностью соразмерное с вашей осведомлённостью в области математической логики.

Есть среди читателей гуманитарии? Вам придётся потерпеть. Единственное, чем я могу вас утешить, так это тем, что тема моего обращения носит яркий оттенок некоторой мировоззренческой привлекательности, ибо разговор пойдёт о таком философском понятии, как понятие бесконечность. Вы должны быть рады.

Вечность, бесконечность, неисчерпаемая делимость – категории высочайшего уровня умозрения, и поскольку они обозначают нечто весьма абстрактное, зыбкое и незавершённое, их ясная и доходчивая интерпретация сопряжена, безусловно, с серьёзными затруднениями. Трудности, причём, таковы, что вдохновили однажды И. Мандельштама на весьма безрадостное восклицание: «Не говорите мне про вечность, я не могу её вместить». А русский самородок Козьма Прутков разразился ещё более чувственной компиляцией: «Плюнь тому в глаза, кто скажет, что можно объять необъятное!».

Однако эмоциональные всплески подобного художественного достоинства, с точки зрения науки, не более чем красивое поэтическое враньё, рассчитанное на тех ценителей изящной словесности, кто сомнительную риторику предпочитает серьёзным исследованиям. Я, конечно, понимаю: надо быть тупицей и набитой балдой, чтобы спорить с Козьмой Прутковым, но раз надо, значит надо. Надо твёрдо и решительно возразить, прикрывая глаза руками: заблуждаются те, кто полагают, будто насчёт бесконечности человечеству ничего не известно. Известно! Иначе кому бы пришло в голову окрестить нас после этого Homo sapiens? У кого бы повернулся язык называть нас человеком разумным, если бы мы понятия не имели о сущности такой категории, которую сами же и придумали?

Однако с бухты-барахты такие открытия, безусловно, не делаются. Судя по размерам лысины,  времени на это изобретение ушло порядочно. Уж пришлось почесать в затылках! Какая только ерунда и чепуховина ни лезла в голову поначалу! За долгие века эволюции передумано было всякого. Поэтому к сегодняшнему дню можно смело сказать, что о бесконечности человечество информировано особенно хорошо и довольно подробно. Даже не перечислить всего того, что мы узнали на этот счёт. Нам известно много всего такого. Лейбницу, к примеру, известно, что один только Бог способен доводить бесконечное деление до конца, а Якову Бернулли в придачу известно, что ничего подобного, не только Бог, но и он сам, Бернулли, достигнет последнего, ¥-го члена натурального ряда, если будет двигаться от нуля. Спиноза считал идею бесконечности наиболее ясной из всех идей, без которой невозможно познать «всей природы, как она реально существует в себе», а Давид Юм, поди ж ты, называет это софистикой, ибо никакая протяжённость, как он говорит, «неделима до бесконечности и не состоит из бесконечного числа частей, ибо представление как того, так и другого превышает наши ограниченные способности».

Все мы, как видите, неплохо разбираемся в данном вопросе и даже судим весьма уверенно, когда нас никто не спрашивает. Хотя бывали и такие, кто остерегался высказываться открыто. Гоббс, например, вполне сознательно обходил «вопросы о бесконечности и вечности, довольствуясь тем учением, которое даёт священное писание», и, как только речь заходила на эту тему, с поспешностью заявлял: «Перехожу теперь к другим проблемам, обсуждение которых не вводит в грех». Лосев тоже пережил не лучшие философские времена, но, парируя выпады своих оппонентов на страницах советской печати, он не без пафоса признаётся: «Однако я никакого испуга перед бесконечностью не испытываю». Гегель, похоже, также не испытывал страха ни перед вечностью, ни перед неограниченной делимостью, и даже умудрился расчленить эту закомуристую категорию на «истинную бесконечность» и «дурную бесконечность», в которых можно было бы угадать бесконечность актуальную и потенциальную, если бы прославленный немецкий идеалист хоть немного разбирался в математике. В математике разбирался Брауэр, отец-основатель интуиционистской логики, но он и слышать ничего не хотел о бесконечности актуальной.

Довольно, однако, разноречивых суждений. Выделим в этом хаосе кривотолков одну характерную проблему, расколовшую научное общество на два враждующих лагеря. Первую точку зрения достойно отстаивал Галилей, убеждённый в том, что слова «больше», «равно», «меньше» не имеют смысла применительно к бесконечным количествам. По другую сторону баррикад уютно обосновался Рассел, который придерживался иного, противного мнения, и, надо сказать, противного до чрезвычайности. В логическом смысле. То есть в смысле диаметральной противоположности. Опираясь на доказательство своего старшего современника, о котором речь пойдёт ниже, Рассел весьма убедительно и красноречиво показывает, что даже в том случае, когда n сколь угодно велико, величина 2ⁿ больше, чем величина n, хотя обе они являются бесконечными. И подводит итог ошеломляющего научного свойства: «Применяя это, как сделал я, ко всем вещам во Вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не являются вещами. Но поскольку никто не знает точно, что означает слово вещь в этом утверждении, не очень-то легко точно сформулировать, что именно удалось доказать».

Подумаешь, какой пустяк! Пусть вас это не беспокоит. Ну и что с того, что невозможно сформулировать со всею ясностью и определённостью, что именно удалось доказать? Главное, со всею ясностью и определённостью констатировать, что доказать это всё-таки удалось! С предельной научной строгостью! И замнём этот казус для ясности.

Я бы мог привести вам ещё тысячу и один пример, если бы не боялся потерять мысль, увязнув по самый гипоталамус в этой наукообразной трясине, поглотившей тысячу и одного аналитика, осмелившегося высказать компетентное мнение по данному туманному поводу. Туману здесь и в самом деле скопилось немало, и лишь совсем недавно, в конце XIX века, выдающийся немецкий математик Георг Кантор, родившийся в Петербурге в 1845 году, сделал нам одолжение – он распутал наконец эту каверзную головоломку. Ему удалось окончательно доказать, опираясь на лучшие образцы математической строгости и непредвзятости, что множество всех действительных чисел гораздо больше, чем множество чисел натурального ряда. И это, заметьте, притом, что каждое из этих множеств содержит бесконечное число своих элементов. Кантор доказал этот факт шутя и играючи, да ещё, наверное, насвистывал при этом что-нибудь весьма легкомысленное, словно он привык получать подобные эпохальные результаты ещё с пелёнок.

Надеюсь, вы не сочтёте меня болтуном и бездельником, если я попрошу вас затратить немного времени и труда, труда главным образом умственного, а времени преимущественного досужего, чтобы мы смогли самолично убедиться в справедливости его заключения. Но прежде чем приступить к подробному разбирательству по делу о его аналитическом методе, немного предыстории. Мне понадобится ввести вас в курс дела.

Итак, с чего началась эта запутанная история? Какие события предшествовали научному подвигу Георга Кантора? Этот вопрос осветить нетрудно.

История создания теории множеств началась приблизительно 20 миллиардов лет тому назад с большого взрыва, разметавшего по окружающему пространству огромную массу слежавшегося вещества, из которого вскорости образовались космические галактики. И вот в один прекрасный день, в одной из таких галактик, в Солнечной системе, на планете Земля, зародились примитивные формы жизни. Сначала, как известно, возникли беспозвоночные, гады и папоротники, затем летающие ящуры и крокодилы, чуть позже свиньи, ослы и бараны, после них появились твари куда более сообразительные, от которых впоследствии произошёл человек, а уж потом, разумеется, лешие, ведьмы и математик Кантор. Но это, повторяю, потом. А до этого люди считать не умели. Ну, разве до двух или до трёх, не больше.

Учение счёту занятие нервное. Не всякий рассудок выдержит. Умов пострадало, конечно, немало. И чем же всё это закончилось, по вашему мнению? Нужно знать наших диких и ненасытных пращуров, чтобы предвидеть неизбежный финал. Счёт уже шёл на тысячи, миллионы, секстильоны, уже и места перестало хватать на tabula rasa, чтобы изобразить такие количества в виде разнообразных крючочков и закорючек, специально для этого предназначенных, но сколько бы они чего ни сосчитали, всё им казалось мало. Деваться, как видите, некуда. Пришлось придумывать бесконечность.

Придумать-то мы придумали, да только, похоже, не до конца. Пуще прежнего разгорались научные препирательства. Споры, дискуссии, оскорбления, мучительные размышления по ночам, мордобой на пленарных заседаниях и тому подобные творческие усилия, направленные на поиски истины, становились явлением обыкновенным.

Вот вкратце те события, которые предшествовали открытию теории множеств.

Надо ли говорить, что когда появился человек, который раз и навсегда положил конец этим безобразиям, мир пришёл от него в такое восхищение, что был наперёд убеждён в абсолютной неоспоримости всех его заключений и в совершенной непогрешимости найденных им доказательств. Хотя, как это часто бывает в подобных случаях, большинство людей в глаза не видывали ничего, что написано этим автором. Мне ведь тоже на ум не могло прийти искать его оригинальные тексты, потому что я, по понятным соображениям, чувствовал себя таким же ничтожеством рядом с великими гениями, как это чувствует рядом со мной любой из моих читателей.

Но любопытство всё-таки разбирало. Как это возможно такое, чтобы одна бесконечность была больше или меньше другой бесконечности? Как они сосчитали? Вы когда-нибудь над этим задумывались?

Я, признаться, попробовал. Задумался. Чёрт меня всё же попутал. И знаете, к чему я пришёл? Я пришёл к заключению, что моих математических способностей не хватает даже на то, чтобы осилить до крайности упрощённое изложение канторова доказательства, приспособленного к школьной программе. Это я очень быстро сообразил. Как только попытался найти ответ на волнующие меня вопросы в небольшом пособии для учителей с отпугивающим названием: «Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики».

Мне бы очень не хотелось отнимать у вас драгоценное время, которое, несомненно, вы могли бы убить гораздо скорее, если бы предпочли сейчас какое-нибудь другое чтиво, не содержащее математических формул, но в данном случае я просто вынужден привести изрядный кусок из вышеназванного произведения, чтобы вы тут не очень-то задавались. А чтобы вам не было скучно всё это читать, я нарочно не исправлял ошибок, будете их искать.

Покажем, что множество действительных чисел из интервала (0, 1) не может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие множеству N всех натуральных чисел. Заметим, что каждое действительное число из (0, 1) можно рассматривать как бесконечную десятичную дробь 0, а₁ а₂ а₃ …, где разряды а­_i – это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Предположим теперь, что нам удалось установить такое соответствие:

1 « 0, а₁⁽¹⁾ а₂⁽¹⁾ а₃⁽¹⁾ … а_n⁽¹⁾ …

2 « 0, а₁⁽²⁾ а₂⁽²⁾ а₃⁽²⁾ … а_n⁽²⁾ …

3 « 0, а₁⁽³⁾ а₂⁽³⁾ а₃⁽³⁾ … а_n⁽³⁾ …

…

m « 0, а₁^(m) а₂^(m) а₃^(m) … а_n^(m) …

…

что каждому натуральному числу m отвечает некоторое число  0, а₁^(m) а₂^(m) а₃^(m) … а_n^(m) … Тогда мы можем указать действительное число b = 0, b₁ b₂ …, которое наверняка в этом списке не встречается. Цифры b_i числа b определим так:

b_i = 5, если i-тая цифра a_i⁽ⁱ⁾ i-того числа не равна 5.

b_i = 9, если i-тая цифра a_i⁽ⁱ⁾ i-того числа равна 5.

Ясно, что b в предполагаемом бесконечном списке не встречается, так как оно отличается от каждого из чисел этого списка по меньшей мере одним разрядом: от i-того числа в i-том разряде. Тем самым показано, что N и множество чисел на (0, 1) не равномощны.

Не знаю, до какой степени можно упрощать доказательство Кантора, чтобы не исказить при этом подлинного смысла его идей, но есть в приведённом переложении какой-то подвох, который, может быть, не всем и не сразу бросается в глаза. Скажите, пожалуйста, откуда тут взялись пятёрки и девятки? Лично я никаких пятёрок не наблюдаю! Всюду, насколько хватает взора, простираются одни лишь сплошные нули и ничего, к сожалению, больше! Ведь если начинать с самого начала, какая цифра окажется на первом месте после запятой в первом ряду? Разумеется, ноль! А на втором месте после запятой? Снова ноль! А на третьем? Опять-таки ноль! А на i-том? Надоели. Ноль, будь он неладен!

Но когда же там появиться хотя бы первая единичка?

Простите, вы что же, в самом деле надеетесь дождаться ближайшей единички? Боюсь, что вам не доставит удовольствия это услышать, особенно в вашем цветущем возрасте, но вы не будете жить вечно. Так что ваши надежды совершенно несбыточны, ибо именно вечность должна пройти, чтобы в отдалённой от нас бесконечности появилась первая единица. Вечность – это знаете, что такое? Вечность – это такая штука, которая никогда не кончается, и стало быть, она простирается дальше любого, сколь угодно большого индекса i.

Так может ли в нашем ряду появиться пятёрка или девятка в каком-то i-том разряде? Нашёл, у кого спросить. Отвечу лучше сам. Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда. Иначе бы оказалось возможным с помощью конечного индекса i указать такой разряд в записи произвольного числа, который является завершающим. Но это, конечно же, исключается, ибо если мы действительно подразумеваем бесконечность, а не просто что-то очень и очень большое, то любую единичку или пятёрку всегда можно отодвинуть подальше от запятой и повторять эту процедуру ровно столько раз, сколько понадобится для опровержения мнения оппонента в любом математическом споре.

Ну, а что мы видим в вертикальном направлении? Совершенно аналогичную картину! Как бы долго ни продолжалось заполнение этого списка, то есть какое бы колоссальное натуральное число мы слева ни записали, справа ему всегда будет соответствовать действительное число, состоящее исключительно из нулей вплоть до любого натурального разряда, а следовательно, мы никогда не встретим здесь не то что пятёрки, но даже самой хиленькой единички! Никаких иных цифр, помимо нулей, здесь нет и не может быть, ведь если бы такое оказалось возможным, значит, нам удалось конечное натуральное число m записать на таком месте в списке, которое соответствует бесконечности, не так ли?

Возможно, что я неважно сегодня соображаю, возможно. Возможно, я плохо выспался. Возможно даже, что я просто настоящий осёл. Но даже ослы, и те способны заметить, что сторонники этого метода упустили самое важное – условие бесконечности. Или это условие заключается в том, что их построения бесконечно глупы?

Не хочу вас огорчать, но вместо истинной бесконечности вам самым бессовестным образом пытаются подсунуть самый обыкновенный конечный ряд самых обыкновенных конечных чисел, а все эти выразительные многоточия уводят нас не в бесконечность, как хотелось бы думать, а в самую что ни на есть банальную смысловую неопределённость, что, согласитесь, далеко не одно и то же. Ведь если мы и в самом деле упустили из виду какое-то действительное число, присутствующее на интервале (0; 1), то что нам мешает его дописать в уже составленный список? Разве в натуральном множестве не найдётся для этого нужного номера? Найдётся, вне всяких сомнений, иначе мы были бы не вправе называть это множество бесконечным! А раз оно бесконечно, то этого множества с избытком хватит на то, чтобы пронумеровать ещё мириады и мириады пропущенных десятичных дробей!

Вы что-нибудь понимаете? Вот и я ничего не понимаю. Мы с вами ничего не понимаем, потому что этот текст предназначен для учителей. А нам нужен текст, предназначенный для учеников.

Недолго думая, а может быть, не думая вовсе, я отправился в библиотеку – библиотеку, разумеется, публичную, и там на самом видном месте быстро отыскал именно то, что нам нужно – замечательную популярную книженцию, выдержавшую, кстати, уже не одно издание, хотя, если честно, с трудом себе представляю, как это можно выдержать.

Моё позорное недомыслие, проявленное в предыдущем примере, обнаружилось сразу, уже во второй главе. Дело, как выяснилось, в том, что числа в так называемом бесконечном списке располагаются отнюдь не в порядке возрастания или убывания! Видите, какими мы с вами были болванами? Числа в списке следуют одно за другим не в порядке возрастания, а в соответствии с каким-то правилом, «которое позволяет уловить закономерность в их размещении и тем самым позволяет всякому, кто только пожелает, продолжить эту последовательность как угодно далеко».

Далее разъясняется следующее.

Последовательность может начинаться хотя бы так:

  первое число              0,100000000000000…,

  второе число            0,202020202020202…,

  третье число                       0,3113111311113…

  …………………

Каково бы ни было это правило выписывания чисел, можно тем не менее указать действительное число, начинающееся с 0 целых и не содержащееся в этой последовательности.

Идея заключается в том, чтобы придумать такое число «бе», которое является действительным, то есть представляет собой бесконечную десятичную дробь, но отличается от всех без исключения чисел, уже имеющихся в составленном списке. Сделать это, по мнению авторов, проще пареной репы. Если, изобретая такое число, на первом месте после запятой записать цифру, отличающуюся от первой цифры числа, фигурирующего на первом месте в списке; на втором месте после запятой записать цифру, отличающуюся от второй цифры числа, находящегося на втором месте в списке; на третьем месте после запятой записать цифру, отличающуюся от третьей цифры третьего числа и так далее, то в конце концов мы получим число, которое по крайней мере одной цифрой будет отличаться от любого уже имеющегося в списке числа.

Если остался кто-то, кто и со второго раза ничего не понял, могу объяснить ещё короче. Придуманное нами число «бе», пропущенное в первоначально составленном списке, отличается первой цифрой от первого числа, второй цифрой от второго числа, третьей цифрой от третьего числа и так далее до бесконечности.

Вот теперь нам всё ясно, правда? Теперь мы отчётливо видим, что ни черта у них, конечно, не выйдет! Теперь мы воочию убедились, что все эти математические спекуляции – большая чушь, ахинея и полная ерунда на постном масле! А если и остаётся ещё какая-то неясность, то, пожалуй, только одна: чего ради им понадобилось настолько всё усложнять? Зачем было нужно вводить какое-то дополнительное правило, суть которого ещё предстоит разгадать, когда и без оного трудностей не оберёшься?

Так вот, оказывается, – вы меня слушаете? – ока-зы-ва-ет-ся, что действительные числа нельзя расположить в порядке возрастания! Нет, вы слышали? Да как же это, позвольте, их нельзя расположить в порядке возрастания, когда они уже расположены, причём именно таким образом, и на числовой оси, и на интервале (0; 1)! Может быть, математики не различают смысла выражений «нельзя расположить» с выражением «нельзя записать»? И что же? После того как мы разместим эти числа вразнобой, у нас такая возможность появится? Если это так, дорогие коллеги, то мы с вами занимаемся не наукой, пардон, а изобразительным искусством. В духе Малевича и Пикассо. Поскольку суть такого рода бумагомарательства – не соображать, а изображать.

Может быть, вы расцениваете этот курьёз как обычную житейскую глупость? Ошибаетесь, это не глупость. Это маразм. Я бы мог извиниться за свою проницательность, если бы хоть немного преувеличил, однако эти люди не думали логически, а следовательно, не думали вовсе, когда заявляли, что если числа, которые нельзя расположить в порядке возрастания, тщательно перемешать, так тотчас же после этого те же самые люди сумеют те же самые числа легко расположить одно после другого. Ну не бред?

В наше время наука наводнена такими учёными, которых совсем нетрудно убедить в том, что эта теорема доказана со всей категорической строгостью, на какую только способна современная математика. Помните заключение сэра Рассела о неравномощности множеств 2ⁿ и n? Никто не оспаривает его рассуждений, однако же ни он сам и никто другой толком не знают, что же именно удалось доказать. Так бывает со всяким образованным человеком, когда он начинает свои рассуждения не оттуда, откуда следует. А мы ведь с вами с самого начала договорились, что главное в искусстве правильного мышления – чётко разобраться в посылах.

С чего же начинают свои рассуждения цитируемые авторы? Очевидно, с некоего правила, руководствуясь которым всякий желающий может составить список действительных чисел, взятых из интервала (0; 1). Что же это за правило такое? Да очень простое правило, в сущности говоря. Оно должно обладать всего лишь двумя характерными признаками, которые, несомненно, легко бы вычислили даже те неприспособленные к наукам учащиеся, кто изучал математику в цирковом училище.

Во-первых. Данное правило должно обеспечивать перечисление всех без исключения действительных чисел, содержащихся на интервале (0; 1). Ибо если мы внесём в список не все указанные числа, а только некоторые из них, то результат одно-однозначного соответствия, которого так добивался Кантор, то есть результат сравнения их полного количества с количеством чисел натурального ряда будет, естественно, заведомо неверным.

Во-вторых. Данное правило должно абсолютно надёжно исключить возможность внесения в список одного и того же числа хотя бы дважды, не говоря уже о недопустимости многократного дублирования одних и тех же чисел. Если нарушить это условие, то мы не сможем обеспечить однозначность поэлементного сопоставления чисел натурального ряда, располагаемого в порядке возрастания и потому исключающего пробелы и повторы, с числами действительными, располагающимися вразброс.

А теперь мы вновь попробуем уточнить: что же именно удалось доказать? Если говорить без околичностей, то авторы процитированных фрагментов с треском доказали совсем не то, о чём во всеуслышание было объявлено. Жаль, что Бертран Рассел так и не смог отчётливо сформулировать свою мысль. Смотрю и удивляюсь. Лауреат Нобелевской премии! По литературе! Не мог сформулировать! Срам! Ибо результат доказательства не только возможен и вполне очевиден, но и давным-давно известен всем тем, кто хоть мельком касался этой проблемы.

В подтверждение этого заявления опять сошлюсь на цитату, взятую из того же источника:

Нельзя образовать последовательность всех действительных чисел, заключённых между 0 и 1, не пропустив при этом ни одного числа.

Ну-с, что я вам говорил? Разве всё дело не в посыле? Стоило ли тратить столько нервов и сил, чтобы получить результат, который был известен заранее? Повторю этот вывод своими словами, потому что некоторые профессора и академики не всегда отдают отчёт своим собственным заявлениям. Доказан был, очевидно, не тот факт, что мощность множества действительных чисел превышает мощность натурального ряда, а тот факт, что не существует такого правила, которое позволяет записать все действительные числа без единого пропуска и повторения.

Но тут возникает новая напасть. Когда мы были уверены в том, что доказательство состоялось, мы понятия не имели, что же именно удалось доказать. Теперь же, когда мы точно установили, что конкретно удалось доказать, с новой силой встаёт вопрос, а действительно ли доказать это удалось? Имеем ли мы право сделать такой вывод?

Такие гении, как Кантор, имеют на это право, а вот мы, к сожалению, нет. Мы люди маленькие. Незаслуженные. Нас, понятно, никто и слушать не станет, если мы позволим себе рассуждать с такой же небрежностью и разгильдяйством, какие простительны непререкаемым авторитетам. А посему, если мы хотим чего-то добиться, нам придётся закусить удила и заново переделывать то, что сегодня считается окончательно завершённым.

Итак, приступим. Запишем первую цифру нашего «бе» и зададимся вопросом: сколько чисел в представленном списке уже имеют на первом месте после запятой ту же самую цифру? Ответ очевиден – бесконечное множество. Запомните этот факт.

Далее запишем вторую цифру после запятой в наше число «бе». И повторим свой вопрос: сколько чисел в списке уже имеют после запятой такое же сочетание двух первых цифр? Ответ опять не вызывает сомнения – бесконечное множество.

Запишем третью цифру в число «бе». Затем четвёртую, пятую, i-тую. И снова спросим: сколько чисел из данного списка в точности совпадает с нашим числом вплоть до последней записанной нами цифры в i-том разряде? Да всё то же бесконечное множество!

Но когда же это бесконечное множество совпадений уменьшиться хотя бы на единицу? Так ведь в том-то и дело, что попросту ни-ко-гда! А никогда – это очень долго, друзья мои. Гора-аздо дольше, чем можно себе вообразить.

Предположим, однако, что Бернулли был прав, и последняя цифра в бесконечной периодической дроби всё-таки существует. Обозначим её ¥ и нахально продолжим задавать свои вопросы: все ли числа в составленном списке имеют на последнем месте инфинитную цифру ¥? Иначе и быть не может, если мы подразумеваем именно бесконечные десятичные дроби. Стало быть, какую цифру мы должны записать в конструируемое нами число на последнем месте? Полагаете, ту же самую ¥? Здрассьте! Мы обязаны записать другую цифру, чтобы она, по условию пресловутого «правила», отличалась и в этом разряде от чисел, уже имеющихся в списке. И, стало быть, мы должны каким-то образом изобразить на последнем месте в числе «бе» не-¥. Однако и в этом предельном случае доказательства у нас не получится, ибо мы, по тому же Бернулли, не довели построение до конца.

Час от часу не легче. Неужто Кантор и впрямь дурак, каким его сообща выставляют в многочисленных популярных изданиях? Может быть, это блажь, но всё же хотелось бы в этом удостовериться.

Я, конечно, понимаю, как это трудно и противно – разбирать громоздкие выкладки выдающихся математиков, изложенные с нудной систематичностью в официальных академических изданиях, но вы ведь теперь и сами видите, что без оригинального текста самого Георга Кантора, записанного слово в слово, нам, безусловно, не обойтись.

Ничего не поделаешь, пришлось мне несолоно хлебавши вновь отправляться в библиотеку, разумеется публичную, выписывать требование, ограничивающее мою свободу читальным залом, и готовится к самому худшему. А самое худшее в читальном зале знаете что? Отсутствие дивана. Отвратительная примета публичности. Ну где тут мысли улягутся?

Что ж, эти мерзкие неудобства с лихвой будут компенсированы приобщением к великим идеям, когда мне поднесут наконец вожделенные «Труды по теории множеств» выдающегося математика XIX века.

Труды! Робея и с почтительным трепетом я взял в свои руки увесистый манускрипт и, сгорая от страха и нетерпения, принялся его перелистывать. Ничего, уж как-нибудь да разберусь, если хорошо посижу и подумаю. Посидел, подумал… Посмотрел одну теорему, другую… Тю! И это вы называете математикой? Да этакая математика годится только на то, чтобы оболванивать идиотов, вот что я вам скажу.

Чтобы рассеять ваши сомнения, хочу предложить вашему вниманию одну из лучших его теорем. Сосредоточьтесь. Это, по словам Кантора:

…весьма общая теорема, которую со всей строгостью мы доказали в журнале Крелле, т. 77, а именно такая: «Если имеется просто бесконечная последовательность

ω₁; ω₂; …ω₃;

неравных действительных чисел, заданная по какому-либо закону, то во всяком данном интервале (α…β) можно указать число η (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в этой последовательности (как её член)».

Опуская ненужные частные случаи, проследим за ниточкой рассуждений.

Пусть многообразие (ω) всюду плотно в интервале (α…β). В этом случае всякий сколь угодно малый интервал (γ…δ), расположенный в (α…β), содержит числа нашей последовательности (ω). Чтобы показать, что тем не менее в интервале (α…β) существуют числа η, не содержащиеся в (ω), мы прибегнем к следующему соображению.

Здесь я намерен на секунду остановиться, чтобы вы смогли перевести дух и обратить внимание на весьма необычную мысль, которую Кантор заложил в свой исходный посыл. Понятие плотного множества предполагает (от дефиниции Кантора я вас решил уберечь), что оно содержит в себе все без исключения существующие числа, заключённые на некотором произвольном интервале, то есть (мы делаем вывод) не существует никаких других чисел, которые можно было бы разместить в указанном интервале по правилам старшинства или как-нибудь иначе, чтобы сие дополнительное число не совпало при этом с уже имеющимся в интервале числом. Теорема же гласит о том, что если множество всюду плотно, то существуют тем не менее числа, коих это множество не содержит. Ясно? Ясно, конечно! Если множество плотно, то оно не плотно. Что тут неясного? А вот и само доказательство.

Т.к. в нашей последовательности определённо имеются числа, содержащиеся внутри интервала (α…β), то одно из них должно иметь наименьший индекс, скажем ω_ε1 , а некоторое другое число ω_ε2 должно быть с непосредственно бóльшим индексом.

Обозначим меньшее из двух чисел ω_ε1 , ω_ε2 через α^′, а большее через β^′ (их равенство исключается, т.к. мы предположили, что наша последовательность состоит из различных чисел). Тогда по определению α<α^′<β^′<β, причём ε₁<ε₂. Кроме того, следует заметить, что все числа ω_μ   нашей последовательности, для которых μ<ε₂ не находятся внутри интервала (α^′…β^′), что непосредственно вытекает из определения чисел ω_ε1 , ω_ε2 . Совершенно так же можно рассмотреть два числа ω_ε3 , ω_ε4 нашей последовательности, которые попадают внутрь интервала (α^′…β^′) и меньшее из них будет обозначено через α″, а большее – через β″.

Тогда имеем: α′<α″<β″<β′; ε₂<ε₃<ε₄ и очевидно, что все числа ω_μ нашей последовательности, для которых μ<ε₄ не попадают внутрь интервала (α″…β″). После того как, следуя тому же закону, получим интервал (α^(ν-1)…β^(ν-1)), оказывается, что следующий интервал получается из него тем, что находим два первых (то есть взятых с наименьшими индексами) числа нашей последовательности (ω) (пусть они будут ω_ε2ν-1 , ω_ε2ν ), которые попадают внутрь интервала (α^(ν-1)…β^(ν-1)); меньшее из этих чисел будут обозначаться через α^(ν), а большее – через β^(ν).

Тогда интервал (α^(ν)…β^(ν))  расположен внутри всех предшествующих интервалов и находится к нашей последовательности (ω) в том своеобразном отношении, что все числа ω_μ , для которых μ ≤ ε_2ν , определённо расположены вне его. Так как, очевидно:

ε₁<ε₂<ε₃<…<ε_2ν-2<ε_2ν-1<ε_2ν<…

и эти числа, будучи индексами, являются целыми числами, то ε_2ν<2ν, а потому ν<ε_2ν; мы можем поэтому определённо сказать – и этого для последующего достаточно, что если ν – произвольное целое число, то величина ω_ν расположена вне интервала (α^(ν)…β^(ν)).

Так как числа α′, α″, α′′′, … α^ν… возрастают по величине, будучи, однако, заключёнными в интервале (α…β), то они имеют определённый предел, который мы обозначим через А, так что

А = lim α^ν для ν = ∞

То же самое справедливо для чисел β′, β″, β′′′…β^ν, которые убывают и притом расположены в интервале (α…β); их предел мы обозначим через B, так что

B = lim β^ν для ν = ∞.

Очевидно, что α^(ν)<A≤B<β^(ν).

Легко видеть, что случай A<B представиться не может, так как в противном случае всякое число ω нашей последовательности было бы расположено вне интервала (A…B), ибо ω_ν  находится вне интервала (α^(ν)…β^(ν)); тогда, вопреки предположению, наша последовательность не была бы всюду плотной в интервале (α…β).

Остаётся поэтому случай A=B, а тогда оказывается, что число η=A=B не принадлежит нашей последовательности (ω). Действительно, если бы оно было членом нашей последовательности, например ν-м, то имели бы ν=ω. Последнее же равенство невозможно ни для какого значения ν, так как η расположено внутри интервала (α^(ν)…β^(ν)), а ω_ν вне его.

Многим читателям, как мне кажется, не понадобилось бы даже переводить этот текст с оригинала на их родной язык, потому что это всё равно не прибавило бы им ясности. Позвольте мне поэтому внести необходимые пояснения, чтобы даже идиотам стало понятно, что же именно удалось доказать великому математическому таланту.

Кантору удалось доказать, что если число η меньше B, то оно больше B, и если оно больше А, то оно меньше А.

Не поняли? Попробуем ещё раз.

Если интервал от А до В содержит все числа меньшие В, но большие А, то данный интервал содержит не все числа меньшие В, но большие А.

Опять не уразумели?

Если число η попадает в интервал (α…β), то это число выпадает из данного интервала.

Повторить? Пожалуйста.

Если η подчиняется условию α < η < β, то оно не подчиняется условию α < η < β.

И всё это легко доказывается путём хитроумнейших махинаций с индексами, где целые числа незаметно для наблюдателя перемежаются с числами бесконечными.

Вы внимательно следили за выкладками Кантора? Ну и зря. Вы напрасно потратили время. Будь вы немного умнее, давно бы уже догадались, что если бы Кантор ограничился единственным условием старшинства, то есть обошёлся бы ясными и вполне достаточными понятиями «больше», «меньше» или «равно», то ничего бы у него не вышло. Не доказал бы он своей теоремы. Поэтому-то он и пустился во все тяжкие, петляя и запутывая следы и нарочно делая вид, что раз уж некоторое правило исправно работает в манипуляциях с конечными числами, то его уверенно можно распространить и на бесконечные величины.

И как же нам теперь прикажете быть? Какой вы видите выход? Затрудняетесь с ответом? Опять, как видно, придётся расхлёбывать мне. Хорошо ещё, что я умею выводить резюме. Хотите знать, какое я принял решение? Я захлопнул книгу и пошёл домой. Это, кстати, единственно правильное решение. Оно одинаково справедливо для обоих исключающих вариантов – и в том случае, когда Кантор дурак, а мы умные; и в том случае, когда мы умные, а Кантор дурак.

Прощай, понятие «мощность»! Нет, не удалось пока ещё никому, слава богу, укротить понятие бесконечности! Право, лучше было бы, если бы он вовсе ею не интересовался. Хотя нельзя не признать тем не менее, что тот аналитический метод, который изобрёл великий Кантор, чудо до чего хорош! С его помощью легко можно доказать не только прямую теорему, но и, подозреваю, обратную. А именно: если исходить из того посыла, что число η заведомо находится за пределами интервала (α…β), то отсюда можно вывести твёрдое заключение, что число η попадает внутрь того же самого интервала. А что? Я бы на вашем месте попробовал. Наверняка получится.

Сам-то я за это дело не возьмусь. У меня эти индексы уже вот где сидят! Почитаю-ка я лучше Зенона, Лобачевского, Гегеля… В общем, мы ещё с вами встретимся. Такие обстоятельные люди, как я и мои читатели, всегда найдут серьёзную научную тему, чтобы всласть почесать языки.